Ters Fonksiyon
\( A \) kümesinden \( B \) kümesine tanımlı bir \( f \) fonksiyonunun sıralı ikili şeklindeki tüm eşlemelerini tersine çeviren ve \( B \) kümesinden \( A \) kümesine tanımlı olan fonksiyona \( f \) fonksiyonunun ters fonksiyonu denir ve \( f^{-1} \) ile gösterilir.
\( f: A \to B \) birebir ve örten bir fonksiyon olmak üzere,
\( f^{-1}: B \to A \)
\( f^{-1} = \{ (y, x): (x, y) \in f \} \) ise,
\( f^{-1} \) fonksiyonu \( f \) fonksiyonunun ters fonksiyonudur.
Bu tanıma göre \( f \) fonksiyonu üzerinde \( a \)'nın görüntüsü \( b \), \( b \)'nin ters görüntüsü \( a \)'dır.
\( f(a) = b \Longrightarrow f^{-1}(b) = a \)
Ters fonksiyonlarda kullanılan \( -1 \) sembolü üslü ifadelerde kullandığımız üs ile karıştırılmamalıdır, yani bir fonksiyonun tersi o fonksiyonun -1. kuvveti yani çarpmaya göre tersi demek değildir.
Aşağıda bir \( f \) fonksiyonu ve tersi olan \( f^{-1} \) fonksiyonu liste ve Venn şeması şeklinde verilmiştir. Görebileceğimiz gibi, \( f^{-1} \) fonksiyonu \( f \) fonksiyonunun tüm eşlemelerini \( B \) kümesinden \( A \) kümesine olacak şekilde tersine çevirmektedir.
\( f = \{ (1, c), (2, a), (3, b), (4, d) \} \)
\( f^{-1} = \{ (c, 1), (a, 2), (b, 3), (d, 4) \} \)
Bu eşlemeleri tek tek eleman bazında aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( f(1) = c \Longleftrightarrow f^{-1}(c) = 1 \)
\( f(2) = a \Longleftrightarrow f^{-1}(a) = 2 \)
\( f(3) = b \Longleftrightarrow f^{-1}(b) = 3 \)
\( f(4) = d \Longleftrightarrow f^{-1}(d) = 4 \)
Ters fonksiyonların önemli bazı özellikleri aşağıdaki gibidir.
- \( f: A \to B \) ise \( f^{-1}: B \to A \) olur, yani \( f \) fonksiyonunun tanım kümesi \( A \) ve değer kümesi \( B \) ise \( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım kümesi \( B \) ve değer kümesi \( A \) olur.
- \( a \in A, b \in B \) olmak üzere, \( (a, b) \in f \) ise \( (b, a) \in f^{-1} \) olur.
- Her fonksiyonun ters fonksiyonu tanımlı değildir, bir fonksiyonun ters fonksiyonunun tanımlı olması için, o fonksiyonun birebir ve örten olması gerekir.
Daha önce yaptığımız fonksiyon-makine benzetmesini ters fonksiyona aşağıdaki şekilde uygulayabiliriz.
Bir fonksiyon ve ters fonksiyonu arasındaki ilişkiyi aşağıdaki şekilde de yazabiliriz.
\( f(x) = 3x - 1 \Longleftrightarrow f^{-1}(3x - 1) = x \)
Ters Fonksiyonun Tanımlı Olma Koşulları
Fonksiyon konusunun başında bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için iki koşulun sağlanması gerektiğini belirtmiştik. Bu bölümde de bir fonksiyonun ters fonksiyonunun tanımlı olması için o fonksiyonun birebir ve örten olması gerektiğini belirttik.
Ters fonksiyon da bir fonksiyon olduğu için fonksiyon olma koşullarını sağlaması gerekir. Aşağıdaki tabloda bir \( f: A \to B \) fonksiyonunun ters fonksiyonunun tanımlı olma koşulları ile (birebir ve örten olma), ters \( f^{-1}: B \to A \) fonksiyonunun fonksiyon olma koşulları arasındaki ilişkiyi açıklamaya çalışacağız.
| \( f^{-1} \) Fonksiyon Olma Koşulu | \( f \)'nin Ters Fonksiyonunun Tanımlı Olma Koşulu |
|---|---|
| 1. koşul: Tanım kümesinde değer kümesinin bir elemanıyla eşleşmemiş açıkta eleman kalmaması gerekir. | Örten olma koşulu: \( f \) fonksiyonu örten olmazsa değer kümesinde açıkta eleman kalacaktır ve bu açıkta kalan elemanlar \( f^{-1} \) fonksiyonunda \( A \) kümesinde bir elemanla eşleşmeyecektir, bu yüzden de \( f^{-1} \) fonksiyonu için birinci fonksiyon olma koşulu sağlanmayacaktır. |
| 2. koşul: Tanım kümesinin her elemanı değer kümesinde yalnız bir elemanla eşleşmelidir. | Birebir olma koşulu: \( f \) fonksiyonu birebir olmazsa tanım kümesinin iki elemanı değer kümesinin aynı elemanı ile eşleşecektir. Bu durum ters fonksiyonda bu elemanın \( A \) kümesinde iki görüntüsü olması anlamına gelir, bu yüzden de \( f^{-1} \) fonksiyonu için ikinci fonksiyon olma koşulu sağlanmayacaktır. |
Ters Fonksiyonun Özellikleri
Bir fonksiyonun tersinin tersi kendisine eşittir.
\( (f^{-1})^{-1} = f \)
Bir fonksiyonun tersi ile bileşkesi birim fonksiyona eşittir.
\( f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = I \)
\( g \circ f \circ f^{-1} \circ h = g \circ I \circ h = g \circ h \)
\( f(x) = 2x + 1 \)
\( f^{-1}(x) = \dfrac{x - 1}{2} \)
\( (f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) \)
\( = \dfrac{f(x) - 1}{2} = \dfrac{(2x + 1) - 1}{2} \)
\( = \dfrac{2x}{2} = x = I \)
Bir Fonksiyonun Ters Fonksiyonunu Bulma
Bir fonksiyonun ters fonksiyonunu bulmak için, \( y = f(x) \) fonksiyonunda \( x \) yalnız kalacak şekilde fonksiyon yeniden düzenlenir ve bu işlem tamamlanınca \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerleri değiştirilir. Elde edilen yeni fonksiyon \( y = f(x) \) fonksiyonunun ters fonksiyonu olan \( y = f^{-1}(x) \) fonksiyonudur.
Doğrusal bir fonksiyonun ters fonksiyonu kısa yoldan aşağıdaki şekilde bulunabilir (sabit terimin işareti tersine döner, \( x \)'in katsayısı paydaya iner).
\( f: A \to B \) olmak üzere,
\( f(x) = ax + b \) ise,
\( f^{-1}(x) = \dfrac{x - b}{a} \)
\( f(x) = 2x - 3 \) ise,
\( f^{-1}(x) = \dfrac{x + 3}{2} \)
Doğrusal iki fonksiyonun oranı şeklindeki bir fonksiyonun ters fonksiyonu kısa yoldan aşağıdaki şekilde bulunabilir (paydaki \( x \)'in katsayısı ile paydanın sabit terimi aralarında işaret ve yer değiştirir).
\( f: A \to B \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d} \) ise,
\( f^{-1}(x) = \dfrac{-dx + b}{cx - a} \)
\( f(x) = \dfrac{-2x + 4}{3x + 5} \) ise,
\( f^{-1}(x) = \dfrac{-5x + 4}{3x + 2} \)
Yukarıdaki fonksiyonda \( cx + d = 0 \) eşitliğini sağlayan \( x \) değeri \( f \) fonksiyonunu, \( cx - a = 0 \) eşitliğini sağlayan \( x \) değeri \( f^{-1} \) fonksiyonunu tanımsız yapar, dolayısıyla ilgili fonksiyonların tanım kümesinin dışında bırakılmalıdır.
Bir Fonksiyonun Ters Fonksiyonunun Grafiği
\( y = f(x) \) ve \( y = f^{-1}(x) \) fonksiyonlarının grafikleri her zaman \( y = x \) doğrusuna göre birbirinin simetriğidir.
Bazı İşlem ve Fonksiyonların Tersi
Bazı işlem ve fonksiyonların ters işlem ve fonksiyonları aşağıda listelenmiştir.
| İşlem/Fonksiyon | Ters İşlem/Fonksiyon | Örnek Fonksiyon | Örnek Fonksiyonun Tersi |
|---|---|---|---|
| Toplama | Çıkarma | \( f(x) = x + 2 \) | \( f^{-1}(x) = x - 2 \) |
| Çarpma | Bölme | \( f(x) = 2x \) | \( f^{-1}(x) = \dfrac{x}{2} \) |
| Üslü İfade | Köklü İfade | \( f(x) = x^2 \) | \( f^{-1}(x) = \sqrt{x} \) |
| Sinüs | Arc Sinüs | \( f(x) = \sin{x} \) | \( f^{-1}(x) = \arcsin{x} \) |
| Kosinüs | Arc Kosinüs | \( f(x) = \cos{x} \) | \( f^{-1}(x) = \arccos{x} \) |
| Tanjant | Arc Tanjant | \( f(x) = \tan{x} \) | \( f^{-1}(x) = \arctan{x} \) |
| Kotanjant | Arc Kotanjant | \( f(x) = \cot{x} \) | \( f^{-1}(x) = \arccot{x} \) |
| Üstel Fonksiyon | Logaritma | \( f(x) = 2^x \) | \( f^{-1}(x) = \log_2{x} \) |
\( A = \{ a, b, c, d, e \} \) kümesinde tanımlı \( f = \{ (a, c), (b, d), (c, e), (d, a), (e, b) \} \) fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, \( f^{-1} \) fonksiyonu nedir?
Çözümü Göster
\( f: \mathbb{R} - \{ -\dfrac{1}{3} \} \to \mathbb{R} - \{ \dfrac{4}{3} \} \)
\( f(x) = \dfrac{4x - 2}{3x + 1} \) olduğuna göre, \( f^{-1}(-1) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f: [4, +\infty) \to A \) fonksiyonu örtendir.
\( f(x) = x^2 - 8x + 12 \) olduğuna göre \( f^{-1}(x) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f: \mathbb{R} - \{ a \} \to \mathbb{R} - \{ b \} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{3x - a}{2x - 1} \) fonksiyonu birebir ve örten ise \( f(b) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f(x + 1) = f(x) + 2 \), \( f(1) = 2 \) olduğuna göre \( f^{-1}(32) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( (f \circ g)(x) = x + 2 \) ve \( f(x) = \dfrac{3x - 2}{3} \) olduğuna göre \( g^{-1}(x) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( x - 1 = \dfrac{f(x) - 4}{3f(x) + 1} \) olduğuna göre, \( f^{-1}(x) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( (f^{-1} \circ g)^{-1}(x) = 3x - 2 \)
\( (f \circ g)(x) = 2x + 4 \) olduğuna göre,
\( (f \circ f)(x) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f(\frac{x - 1}{x + 1}) = x + 2 \) olduğuna göre \( f(x) \) fonksiyonu nedir?
Çözümü Göster
\( f(2x - 1) = 3x + 5 \) ve \( f^{-1}(2a - 5) = 11 \) olduğuna göre \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f(x) = 2x + 1 \) ve \( g(x) = x^3 + 2 \) olduğuna göre \( (f^{-1} \circ g)(1) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( g^{-1}(5 + 2x) = g(x) + 2x \) olduğuna göre \( g(g(0)) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f(x) = \dfrac{(a + 2)x - 4}{x - 3} \) fonksiyonunun tersi kendine eşit olduğuna göre \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f \) ve \( g \) birebir ve örten fonksiyonlardır.
\( (g \circ f^{-1})(2x + 5) = g(3x - 2) \) olduğuna göre \( f(4) \) kaçtır?
Çözümü Göster