Ters Fonksiyon

\( A \) kümesinden \( B \) kümesine tanımlı bir \( f \) fonksiyonunun sıralı ikili şeklindeki tüm eşlemelerini tersine çeviren ve \( B \) kümesinden \( A \) kümesine tanımlı olan fonksiyona \( f \) fonksiyonunun ters fonksiyonu denir ve \( f^{-1} \) ile gösterilir.

Bu tanıma göre \( f \) fonksiyonu üzerinde \( a \)'nın görüntüsü \( b \), \( b \)'nin ters görüntüsü \( a \)'dır.

Ters fonksiyonlarda kullanılan \( -1 \) sembolü üslü ifadelerde kullandığımız üs ile karıştırılmamalıdır, yani bir fonksiyonun tersi o fonksiyonun -1. kuvveti yani çarpmaya göre tersi demek değildir.

Fonksiyonun tersi ve -1. kuvveti
Fonksiyonun tersi ve -1. kuvveti

Aşağıda bir \( f \) fonksiyonu ve tersi olan \( f^{-1} \) fonksiyonu liste ve Venn şeması şeklinde verilmiştir. Görebileceğimiz gibi, \( f^{-1} \) fonksiyonu \( f \) fonksiyonunun tüm eşlemelerini \( B \) kümesinden \( A \) kümesine olacak şekilde tersine çevirmektedir.

f fonksiyonu
f fonksiyonu
f fonksiyonunun ters fonksiyonu
f fonksiyonunun ters fonksiyonu

Bu eşlemeleri tek tek eleman bazında aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

Ters fonksiyonların önemli bazı özellikleri aşağıdaki gibidir.

  • \( f: A \to B \) ise \( f^{-1}: B \to A \) olur, yani \( f \) fonksiyonunun tanım kümesi \( A \) ve değer kümesi \( B \) ise \( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım kümesi \( B \) ve değer kümesi \( A \) olur.
  • \( a \in A, b \in B \) olmak üzere, \( (a, b) \in f \) ise \( (b, a) \in f^{-1} \) olur.
  • Her fonksiyonun ters fonksiyonu tanımlı değildir, bir fonksiyonun ters fonksiyonunun tanımlı olması için, o fonksiyonun birebir ve örten olması gerekir.

Daha önce yaptığımız fonksiyon-makine benzetmesini ters fonksiyona aşağıdaki şekilde uygulayabiliriz.

Ters fonksiyon
Ters fonksiyon

Bir fonksiyon ve ters fonksiyonu arasındaki ilişkiyi aşağıdaki şekilde de yazabiliriz.

Ters Fonksiyonun Tanımlı Olma Koşulları

Fonksiyon konusunun başında bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için iki koşulun sağlanması gerektiğini belirtmiştik. Bu bölümde de bir fonksiyonun ters fonksiyonunun tanımlı olması için o fonksiyonun birebir ve örten olması gerektiğini belirttik.

Ters fonksiyon da bir fonksiyon olduğu için fonksiyon olma koşullarını sağlaması gerekir. Aşağıdaki tabloda bir \( f: A \to B \) fonksiyonunun ters fonksiyonunun tanımlı olma koşulları ile (birebir ve örten olma), ters \( f^{-1}: B \to A \) fonksiyonunun fonksiyon olma koşulları arasındaki ilişkiyi açıklamaya çalışacağız.

\( f^{-1} \) Fonksiyon Olma Koşulu \( f \)'nin Ters Fonksiyonunun Tanımlı Olma Koşulu
1. koşul: Tanım kümesinde değer kümesinin bir elemanıyla eşleşmemiş açıkta eleman kalmaması gerekir. Örten olma koşulu: \( f \) fonksiyonu örten olmazsa değer kümesinde açıkta eleman kalacaktır ve bu açıkta kalan elemanlar \( f^{-1} \) fonksiyonunda \( A \) kümesinde bir elemanla eşleşmeyecektir, bu yüzden de \( f^{-1} \) fonksiyonu için birinci fonksiyon olma koşulu sağlanmayacaktır.
2. koşul: Tanım kümesinin her elemanı değer kümesinde yalnız bir elemanla eşleşmelidir. Birebir olma koşulu: \( f \) fonksiyonu birebir olmazsa tanım kümesinin iki elemanı değer kümesinin aynı elemanı ile eşleşecektir. Bu durum ters fonksiyonda bu elemanın \( A \) kümesinde iki görüntüsü olması anlamına gelir, bu yüzden de \( f^{-1} \) fonksiyonu için ikinci fonksiyon olma koşulu sağlanmayacaktır.

Ters Fonksiyonun Özellikleri

Bir fonksiyonun tersinin tersi kendisine eşittir.

Bir fonksiyonun tersi ile bileşkesi birim fonksiyona eşittir.

Bir Fonksiyonun Ters Fonksiyonunu Bulma

Bir fonksiyonun ters fonksiyonunu bulmak için, \( y = f(x) \) fonksiyonunda \( x \) yalnız kalacak şekilde fonksiyon yeniden düzenlenir ve bu işlem tamamlanınca \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerleri değiştirilir. Elde edilen yeni fonksiyon \( y = f(x) \) fonksiyonunun ters fonksiyonu olan \( y = f^{-1}(x) \) fonksiyonudur.

Doğrusal bir fonksiyonun ters fonksiyonu kısa yoldan aşağıdaki şekilde bulunabilir (sabit terimin işareti tersine döner, \( x \)'in katsayısı paydaya iner).

Doğrusal iki fonksiyonun oranı şeklindeki bir fonksiyonun ters fonksiyonu kısa yoldan aşağıdaki şekilde bulunabilir (paydaki \( x \)'in katsayısı ile paydanın sabit terimi aralarında işaret ve yer değiştirir).

Yukarıdaki fonksiyonda \( cx + d = 0 \) eşitliğini sağlayan \( x \) değeri \( f \) fonksiyonunu, \( cx - a = 0 \) eşitliğini sağlayan \( x \) değeri \( f^{-1} \) fonksiyonunu tanımsız yapar, dolayısıyla ilgili fonksiyonların tanım kümesinin dışında bırakılmalıdır.

Bir Fonksiyonun Ters Fonksiyonunun Grafiği

\( y = f(x) \) ve \( y = f^{-1}(x) \) fonksiyonlarının grafikleri her zaman \( y = x \) doğrusuna göre birbirinin simetriğidir.

Bazı İşlem ve Fonksiyonların Tersi

Bazı işlem ve fonksiyonların ters işlem ve fonksiyonları aşağıda listelenmiştir.

İşlem/Fonksiyon Ters İşlem/Fonksiyon Örnek Fonksiyon Örnek Fonksiyonun Tersi
Toplama Çıkarma \( f(x) = x + 2 \) \( f^{-1}(x) = x - 2 \)
Çarpma Bölme \( f(x) = 2x \) \( f^{-1}(x) = \dfrac{x}{2} \)
Üslü İfade Köklü İfade \( f(x) = x^2 \) \( f^{-1}(x) = \sqrt{x} \)
Sinüs Arc Sinüs \( f(x) = \sin{x} \) \( f^{-1}(x) = \arcsin{x} \)
Kosinüs Arc Kosinüs \( f(x) = \cos{x} \) \( f^{-1}(x) = \arccos{x} \)
Tanjant Arc Tanjant \( f(x) = \tan{x} \) \( f^{-1}(x) = \arctan{x} \)
Kotanjant Arc Kotanjant \( f(x) = \cot{x} \) \( f^{-1}(x) = \arccot{x} \)
Üstel Fonksiyon Logaritma \( f(x) = 2^x \) \( f^{-1}(x) = \log_2{x} \)
SORU:

\( A = \{ a, b, c, d, e \} \) kümesinde tanımlı \( f = \{ (a, c), (b, d), (c, e), (d, a), (e, b) \} \) fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, \( f^{-1} \) fonksiyonu nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( f: \mathbb{R} - \{ -\dfrac{1}{3} \} \to \mathbb{R} - \{ \dfrac{4}{3} \} \)

\( f(x) = \dfrac{4x - 2}{3x + 1} \) olduğuna göre, \( f^{-1}(-1) \) kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( f: [4, +\infty) \to A \) fonksiyonu örtendir.

\( f(x) = x^2 - 8x + 12 \) olduğuna göre \( f^{-1}(x) \) kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( f: \mathbb{R} - \{ a \} \to \mathbb{R} - \{ b \} \) olmak üzere,

\( f(x) = \dfrac{3x - a}{2x - 1} \) fonksiyonu birebir ve örten ise \( f(b) \) kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( f(x + 1) = f(x) + 2 \), \( f(1) = 2 \) olduğuna göre \( f^{-1}(32) \) kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( (f \circ g)(x) = x + 2 \) ve \( f(x) = \dfrac{3x - 2}{3} \) olduğuna göre \( g^{-1}(x) \) kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( x - 1 = \dfrac{f(x) - 4}{3f(x) + 1} \) olduğuna göre, \( f^{-1}(x) \) kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( (f^{-1} \circ g)^{-1}(x) = 3x - 2 \)

\( (f \circ g)(x) = 2x + 4 \) olduğuna göre,

\( (f \circ f)(x) \) kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( f(\frac{x - 1}{x + 1}) = x + 2 \) olduğuna göre \( f(x) \) fonksiyonu nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( f(2x - 1) = 3x + 5 \) ve \( f^{-1}(2a - 5) = 11 \) olduğuna göre \( a \) kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( f(x) = 2x + 1 \) ve \( g(x) = x^3 + 2 \) olduğuna göre \( (f^{-1} \circ g)(1) \) kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( g^{-1}(5 + 2x) = g(x) + 2x \) olduğuna göre \( g(g(0)) \) kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( f(x) = \dfrac{(a + 2)x - 4}{x - 3} \) fonksiyonunun tersi kendine eşit olduğuna göre \( a \) kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( f \) ve \( g \) birebir ve örten fonksiyonlardır.

\( (g \circ f^{-1})(2x + 5) = g(3x - 2) \) olduğuna göre \( f(4) \) kaçtır?

Çözümü Göster


« Önceki
Bileşke Fonksiyon
Sonraki »
Fonksiyonlarla İşlemler


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır