Ters Fonksiyon
Bir \( f \) fonksiyonunun \( (a, b) \) şeklindeki tüm eşlemelerini \( (b, a) \) şeklinde tersine çeviren fonksiyona \( f \) fonksiyonunun ters fonksiyonu denir ve \( f^{-1} \) ile gösterilir.
\( f: A \to B \) olmak üzere,
\( f \) fonksiyonunun tersi olan \( f^{-1} \) fonksiyonu (eğer tanımlı ise) aşağıdaki koşulları sağlar.
\( f^{-1}: B \to A \)
\( (a, b) \in f \iff (b, a) \in f^{-1} \)
\( f \): Kimyasal elementleri sembolleri ile eşleyen fonksiyon
\( f = \) {(Hidrojen, H), (Karbon, C), (Oksijen, O), (Demir, Fe), ...}
\( f^{-1} = \) {(H, Hidrojen), (C, Karbon), (O, Oksijen), (Fe, Demir), ...}
\( g \): Ülkeleri plaka kodları ile eşleyen fonksiyon
\( g = \) {(Almanya, D), (İtalya, I), (Meksika, MEX), (Türkiye, TR), ...}
\( g^{-1} = \) {(D, Almanya), (I, İtalya), (MEX, Meksika), (TR, Türkiye), ...}
Yukarıdaki birinci örneği kullanırsak, demirin \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsü Fe'dir, Fe'nin \( f \) fonksiyonuna göre ters görüntüsü de demirdir.
\( f(\text{Demir}) = \text{Fe} \)
\( f^{-1}(\text{FE}) = \text{Demir} \)
Bir \( a \) değerinin \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsünün yine \( f \) fonksiyonuna göre ters görüntüsü kendisine eşittir. Benzer şekilde, bir \( b \) değerinin \( f^{-1} \) fonksiyonuna göre görüntüsünün yine \( f^{-1} \) fonksiyonuna göre ters görüntüsü kendisine eşittir.
\( a \in A, \quad b \in B \) olmak üzere,
\( f^{-1}(f(\textcolor{red}{a})) = f^{-1}(b) = \textcolor{red}{a} \)
\( f(f^{-1}(\textcolor{blue}{b})) = f(a) = \textcolor{blue}{b} \)
Ters fonksiyonun gösteriminde kullanılan \( -1 \) üslü ifadelerde kullanılan üs ile karıştırılmamalıdır, yani bir fonksiyonun tersi o fonksiyonun -1. kuvveti yani çarpmaya göre tersi demek değildir.
Daha önce yaptığımız fonksiyon - makine benzetmesini ters fonksiyona aşağıdaki şekilde uyarlayabiliriz.
Ters Fonksiyonun Tanımlı Olma Koşulları
\( A \)'dan \( B \)'ye tanımlı bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için gerekli iki koşulu aşağıdaki şekilde tanımlamıştık.
- \( A \) kümesinde \( B \) kümesinin bir elemanıyla eşlenmemiş açıkta eleman kalmamalıdır.
- \( A \) kümesinin her elemanı \( B \) kümesinde sadece bir elemanla eşlenmelidir (iyi tanımlılık).
\( f \) fonksiyonunun tersi olan \( f^{-1} \) de bir fonksiyon olduğu için bu iki koşulu sağlamalıdır. Aşağıda göstereceğimiz üzere, \( f^{-1} \) fonksiyonunun bu iki koşulu sağlaması için \( f \) fonksiyonu birebir ve örten olmalıdır.
Birebir ve örten olmayan bir \( f \) fonksiyonunun ters fonksiyonu tanımlı değildir.
Örten Olma Koşulu
\( f^{-1} \) fonksiyonunun birinci fonksiyon olma koşulunu sağlaması için, \( B \) kümesinde \( A \) kümesinin bir elemanıyla eşlenmemiş açıkta eleman kalmamalıdır, yani \( f \) örten olmalıdır.
Yukarıdaki örnekteki gibi \( f \) fonksiyonunun örten olmadığı durumda \( B \) kümesinde açıkta eleman kalır ve bu elemanlar \( f^{-1} \) fonksiyonunda \( A \) kümesinin bir elemanıyla eşlenemez ve \( f^{-1} \) fonksiyonu için birinci fonksiyon olma koşulu sağlanmamış olur.
Birebir Olma Koşulu
\( f^{-1} \) fonksiyonunun ikinci fonksiyon olma koşulunu sağlaması için, \( B \) kümesinin her elemanı \( A \) kümesinde sadece bir elemanla eşlenmelidir, yani \( f \) birebir olmalıdır.
Yukarıdaki örnekteki gibi \( f \) fonksiyonunun birebir olmadığı durumda \( A \) kümesinin iki elemanı \( B \) kümesinde aynı elemanla eşlenir. Bu durum \( f^{-1} \) fonksiyonunda bu elemanın \( A \) kümesinde iki görüntüsü olması anlamına gelir ve \( f^{-1} \) fonksiyonu için ikinci fonksiyon olma koşulu sağlanmamış olur.
Sabit fonksiyonlar birebir olmadıkları için ters fonksiyonları yoktur.
Ters Fonksiyonun Tanım ve Görüntü Kümesi
\( f^{-1} \) ters fonksiyonu tanımlı ise \( f \) fonksiyonunun \( (a, b) \) şeklindeki tüm eşlemelerini \( (b, a) \) şeklinde tersine çevirir. Bunun bir sonucu olarak bir fonksiyonun tanım ve görüntü kümeleri ters fonksiyonda yer değiştirir, yani \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım kümesi, \( f \) fonksiyonunun tanım kümesi \( f^{-1} \) fonksiyonunun görüntü kümesi olur.
\( f: A \to B \) ve \( f \) birebir ve örten olmak üzere,
\( f^{-1}: B \to A \)
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R^+} \) ise,
\( f^{-1}: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R} \)
Bir fonksiyon birebir ve içine ise değer kümesi görüntü kümesine eşit olacak şekilde daraltılarak fonksiyon örten yapılabilir ve ters fonksiyonu tanımlı hale getirilebilir.
\( f: \mathbb{R} - \{2\} \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} \)
Yukarıdaki fonksiyon \( x = 2 \) noktasında tanımsız olduğu ve \( f(x) = 4 \) değerini alamadığı için içinedir, dolayısıyla ters fonksiyonu tanımlı değildir. Fonksiyonun değer kümesi görüntü kümesine eşit olacak şekilde daraltılırsa fonksiyon örten olur ve ters fonksiyonu tanımlı hale gelir.
\( f: \mathbb{R} - \{2\} \to \mathbb{R} - \{4\} \)
\( f^{-1}: \mathbb{R} - \{4\} \to \mathbb{R} - \{2\} \)
\( f^{-1}(x) = x - 2 \)
Birebir olmayan bazı fonksiyonların tanım kümesi fonksiyon her \( y \) değerini sadece bir kez alacak şekilde daraltılarak fonksiyon birebir yapılabilir ve ters fonksiyonu tanımlı hale getirilebilir.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R^+} \cup \{0\} \)
\( f(x) = x^2 \)
Yukarıdaki parabol fonksiyonu aynı \( y \) değerini birden fazla noktada aldığı için birebir değildir, dolayısıyla ters fonksiyonu tanımlı değildir. Fonksiyonun tanım kümesi aşağıdaki şekilde daraltılırsa fonksiyon birebir olur ve ters fonksiyonu tanımlı hale gelir.
\( f: [0, \infty) \to [0, \infty) \)
\( f^{-1}: [0, \infty) \to [0, \infty) \)
\( f^{-1}(x) = \sqrt{x} \)
Bir Fonksiyonun Ters Fonksiyonunu Bulma
Bir fonksiyonun ters fonksiyonu aşağıdaki adımlar takip edilerek bulunabilir.
- \( y = f(x) \) fonksiyonu yazılır.
- \( x = f(y) \) olacak şekilde \( x \) değişkeni yalnız bırakılır.
- \( x \) ve \( y \) değişkenleri aralarında yer değiştirilir.
- Elde edilen fonksiyon \( y = f^{-1}(x) \) fonksiyonudur.
\( f(x) = 5x - 2 \) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulalım.
\( y = f(x) \) fonksiyonunu yazalım.
\( y = 5x - 2 \)
\( x \) değişkenini yalnız bırakalım.
\( 5x = y + 2 \)
\( x = \dfrac{y + 2}{5} \)
\( x \) ve \( y \) değişkenlerini aralarında yer değiştirelim.
\( y = \dfrac{x + 2}{5} \)
Elde ettiğimiz fonksiyon \( y = f^{-1}(x) \) fonksiyonudur.
\( f^{-1}(x) = \dfrac{x + 2}{5} \)
Bir değerin \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsünün ters görüntüsünün aynı değeri verip vermediğini kontrol edelim.
\( f(\textcolor{red}{5}) = 5(5) - 2 = \textcolor{blue}{23} \)
\( f^{-1}(\textcolor{blue}{23}) = \dfrac{23 + 2}{5} = \textcolor{red}{5} \)
\( g(x) = x^2 - 6x \) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulalım.
\( y = g(x) \) fonksiyonunu yazalım.
\( y = x^2 - 6x \)
\( x \) değişkenini yalnız bırakalım.
\( y + 9 = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \)
\( x = \sqrt{y + 9} + 3 \)
\( x \) ve \( y \) değişkenlerini aralarında yer değiştirelim.
\( y = \sqrt{x + 9} + 3 \)
Elde ettiğimiz fonksiyon \( y = g^{-1}(x) \) fonksiyonudur.
\( g^{-1}(x) = \sqrt{x + 9} + 3 \)
Bir değerin \( g \) fonksiyonuna göre görüntüsünün ters görüntüsünün aynı değeri verip vermediğini kontrol edelim.
\( g(\textcolor{red}{8}) = 8^2 - 6(8) = \textcolor{blue}{16} \)
\( g^{-1}(\textcolor{blue}{16}) = \sqrt{16 + 9} + 3 = \textcolor{red}{8} \)
\( ax + b \) formundaki bir fonksiyonun ters fonksiyonunu kısa yoldan bulmak için \( b \)'nin işareti tersine döner, \( a \) paydaya iner.
\( f(x) = \textcolor{red}{a}x \textcolor{blue}{+ b} \) ise,
\( f^{-1}(x) = \dfrac{x \textcolor{blue}{- b}}{\textcolor{red}{a}} \)
\( f(x) = 2x - 3 \) ise,
\( f^{-1}(x) = \dfrac{x + 3}{2} \)
\( g(x) = 5x \) ise,
\( g^{-1}(x) = \dfrac{x}{5} \)
İSPATI GÖSTER
\( \frac{ax + b}{cx + d} \) formundaki bir fonksiyonun ters fonksiyonunu kısa yoldan bulmak için \( a \) ve \( d \) katsayıları aralarında yer ve işaret değiştirir.
\( f(x) = \dfrac{\textcolor{red}{a}x + b}{cx \textcolor{blue}{+ d}} \) ise,
\( f^{-1}(x) = \dfrac{\textcolor{blue}{-d}x + b}{cx \textcolor{red}{-a}} \)
\( f(x) = \dfrac{-2x + 4}{3x + 5} \) ise,
\( f^{-1}(x) = \dfrac{-5x + 4}{3x + 2} \)
\( g(x) = \dfrac{3x - 1}{2x} \) ise,
\( g^{-1}(x) = \dfrac{-1}{2x - 3} \)
İSPATI GÖSTER
Ters Fonksiyonun Grafiği
Noktanın simetriği konusunda analitik düzlemdeki bir \( (a, b) \) noktasının \( y = x \) noktasına göre simetriğinin \( (b, a) \) noktası olduğunu görmüştük.
Bir fonksiyondaki her \( (a, b) \) ikilisi için ters fonksiyonda bir \( (b, a) \) ikilisi bulunduğu için, bir fonksiyonun ve tersinin grafikleri her zaman \( y = x \) doğrusuna göre simetriktir.
\( f(a) = b \)
\( f^{-1}(b) = a \)
Bir fonksiyonun örten veya birebir olup olmadığını anlamak için kullandığımız yatay doğru testine göre, bir fonksiyonun grafiğini birden fazla noktada kesen yatay bir doğru yoksa fonksiyon birebirdir.
Sürekli bir fonksiyon ve ters fonksiyonu birebir oldukları için grafiklerinin iniş ve çıkışları olmaz, yani ya kesin artan ya da kesin azalan fonksiyonlardır.
Aşağıda iki örnekte fonksiyonlar ve tersleri arasındaki \( y = x \) doğrusuna göre simetri gösterilmiştir.
| Fonksiyon ve Tersi | Grafik |
|---|---|
|
2. dereceden polinom fonksiyonu: \( f: [0, \infty) \to [0, \infty) \) \( f(x) = x^2 \) Karekök fonksiyonu: \( f^{-1}: [0, \infty) \to [0, \infty) \) \( f^{-1} = \sqrt{x} \) |
|
|
Üstel fonksiyon: \( f: \mathbb{R} \to (0, \infty) \) \( f(x) = 2^x \) Logaritma fonksiyonu: \( f^{-1}: (0, \infty) \to \mathbb{R} \) \( f^{-1} = \log_2{x} \) |
|
Temel Fonksiyonların Tersi
En sık kullanılan fonksiyonların ters fonksiyonları her iki fonksiyon için en geniş tanım ve görüntüleri ile birlikte aşağıda listelenmiştir.
| Fonksiyon | Ters Fonksiyon |
|---|---|
|
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = ax + b \) |
\( f^{-1}: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f^{-1}(x) = \dfrac{x - b}{a} \) |
|
\( f: [0, \infty) \to [0, \infty) \) \( f(x) = x^2 \) |
\( f^{-1}: [0, \infty) \to [0, \infty) \) \( f^{-1}(x) = \sqrt{x} \) |
|
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = x^3 \) |
\( f^{-1}: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x} \) |
|
\( f: [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \to [-1, 1] \) \( f(x) = \sin{x} \) |
\( f^{-1}: [-1, 1] \to [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) \( f^{-1}(x) = \arcsin{x} \) |
|
\( f: [0, \pi] \to [-1, 1] \) \( f(x) = \cos{x} \) |
\( f^{-1}: [-1, 1] \to [0, \pi] \) \( f^{-1}(x) = \arccos{x} \) |
|
\( f: (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \to \mathbb{R} \) \( f(x) = \tan{x} \) |
\( f^{-1}: \mathbb{R} \to (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) \( f^{-1}(x) = \arctan{x} \) |
|
\( f: (0, \pi) \to \mathbb{R} \) \( f(x) = \cot{x} \) |
\( f^{-1}: \mathbb{R} \to (0, \pi) \) \( f^{-1}(x) = \arccot{x} \) |
|
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R^+} \) \( f(x) = a^x \) |
\( f^{-1}: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R} \) \( f^{-1}(x) = \log_a{x} \) |
Parçalı Fonksiyonların Tersi
Bir parçalı fonksiyonun ters fonksiyonu aşağıdaki adımlar takip edilerek bulunabilir.
- Parçalı fonksiyonun her aralığındaki tanımın ayrı ayrı ters fonksiyonu bulunur.
- Her aralık için bulunan ters fonksiyon o aralığın tanım kümesinde \( x \) yerine konur ve eşitsizlik \( x \) için çözülür. Elde edilen yeni \( x \) aralığı ters fonksiyonun o tanımının tanım aralığı olur.
\( f(x) = \begin{cases} 3x - 6 & x \le 2 \\ x - 2 & x \gt 2 \end{cases} \)
\( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu bulalım.
Parçalı fonksiyonun her iki aralığındaki tanımların ayrı ayrı tersini bulalım.
Bir parçalı fonksiyonun ters fonksiyonunda aralıkların sınır değerleri de değişir.
1. aralık:
\( f(x) = 3x - 6 \)
\( f^{-1}(x) = \dfrac{x + 6}{3} \)
Ters fonksiyonda bu tanımın sınır değerini bulmak için \( x \) yerine ters fonksiyon tanımını yazalım ve \( x \)'i yalnız bırakalım.
\( \dfrac{x + 6}{3} \le 2 \)
\( x + 6 \le 6 \)
\( x \le 0 \)
2. aralık:
\( f(x) = x - 2 \)
\( f^{-1}(x) = x + 2 \)
Ters fonksiyonda bu tanımın sınır değerini bulmak için \( x \) yerine ters fonksiyon tanımını yazalım ve \( x \)'i yalnız bırakalım.
\( x + 2 \gt 2 \)
\( x \gt 0 \)
\( f^{-1} \) tanımı aşağıdaki şekilde olur.
\( f(x) = \begin{cases} \dfrac{x + 6}{3} & x \le 0 \\ x + 2 & x \gt 0 \end{cases} \)
Ters Fonksiyon İşlem Kuralları
Bir fonksiyonun ters fonksiyonu tanımlı ise tersinin tersi kendisine eşittir.
\( (f^{-1})^{-1} = f \)
Bir fonksiyonun tersi ile bileşkesi birim fonksiyona eşittir.
\( f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = I \)
\( g \circ f \circ f^{-1} \circ h = g \circ I \circ h = g \circ h \)
\( f(x) = 2x + 1 \)
\( f^{-1}(x) = \dfrac{x - 1}{2} \)
\( (f \circ f^{-1})(x) = f(f^{-1}(x)) \)
\( = 2f^{-1}(x) + 1 = 2\dfrac{x - 1}{2} + 1 \)
\( = (x - 1) + 1 = x = I \)
\( (f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) \)
\( = \dfrac{f(x) - 1}{2} = \dfrac{(2x + 1) - 1}{2} \)
\( = \dfrac{2x}{2} = x = I \)
İSPATI GÖSTER
İki ya da daha fazla fonksiyonun bileşkesinin ters fonksiyonu, fonksiyonların ters fonksiyonlarının ters sırada bileşkesine eşittir.
\( (g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1} \)
\( (h \circ g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1} \)
İSPATI GÖSTER
\( A = \{a, b, c, d, e\} \) kümesinde tanımlı \( f = \{(a, c), (b, d), (c, e), (d, a), (e, b)\} \) fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, \( f^{-1} \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözümü Göster\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)
\( f(x + 2) = 3x - 2 + a \)
\( f^{-1}(4) = 3 \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = 8x^3 - 36x^2 + 54x - 20 \)
\( f^{-1}(a^3 + 7) = 5 \)
olduğuna göre, \( a \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( f: A \to B \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{x^2 - k}{x + 3} \) fonksiyonu veriliyor.
\( (2, 3) \in f^{-1} \) ise \( k \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = 3^{x - 1} - 11 \) olduğuna göre, \( f^{-1}(70) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(2x - 1) = 3x + 5 \) ve \( f^{-1}(2a - 5) = 11 \)
olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = mx + n \) ve \( f^{-1}(x) = nx + m \) olduğuna göre, \( m + n \) kaça eşittir?
Çözümü Göster\( f(x) = 2x + 1 \) ve \( g(x) = x^3 + 2 \)
olduğuna göre, \( (f^{-1} \circ g)(1) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( g^{-1}(5 + 2x) = g(x) + 2x \) olduğuna göre, \( (g \circ g)(0) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = x^4 + 2x^2 + mx + 5 \)
\( f^{-1}(x) \) fonksiyonunun grafiği \( (-2, 1) \) noktasından geçtiğine göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f: \mathbb{R} - \{ -\frac{1}{3} \} \to \mathbb{R} - \{ \frac{4}{3} \} \)
\( f(x) = \dfrac{4x - 2}{3x + 1} \) olduğuna göre, \( f^{-1}(-1) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( (f \circ g)(x) = x + 2 \)
\( f(x) = \dfrac{3x - 2}{3} \)
olduğuna göre, \( g^{-1}(2) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = \dfrac{3f(x) + 6}{2x - 1} \)
\( f^{-1}(3) = m - 3 \)
olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f: \mathbb{R} - \{ a \} \to \mathbb{R} - \{ b \} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{3x - a}{2x - 1} \) fonksiyonu birebir ve örten ise \( f(b) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( \dfrac{f(x) + 3}{f(x)} = 2x + 3 \) olduğuna göre,
\( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözümü Göster\( y = f(x) \) fonksiyonu için \( xy + 4y = 3x - 2 \) eşitliği veriliyor.
Buna göre \( f^{-1}(x) \) nedir?
Çözümü Göster\( f: [4, +\infty) \to A \) fonksiyonu örtendir.
\( f(x) = x^2 - 8x + 12 \) olduğuna göre, \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözümü Göster\( f, g, h \) uygun aralıklarda tanımlı birer fonksiyondur.
\( f(x) = 2 - \ln(x + 1) \)
\( g(x) = \sqrt{e^x - 2} \)
\( h(x) = 1 + 2e^{-x} \)
Verilen fonksiyonların tersini bulunuz.
Çözümü Göster\( f(\dfrac{3}{7x + 5}) = \dfrac{1}{3 - 7x} \) olduğuna göre, \( f(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözümü Göster\( f(\frac{x - 1}{x + 1}) = x + 2 \)
olduğuna göre, \( f(x) \) fonksiyonu nedir?
Çözümü Göster\( f(x) = \dfrac{(a + 2)x - 4}{x - 3} \) fonksiyonunun tersi kendine eşit olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = \dfrac{2x + 3}{4x - 2} \) olduğuna göre,
\( \underbrace{(f \circ f \circ \ldots \circ f \circ f)}_\text{999 adet}(x) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)
\( (g \circ f^{-1})(x) = 3x - 4 \)
\( (f \circ g)(x) = x + 1 \)
olduğuna göre, \( (g \circ g)(6) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( (f^{-1} \circ g)^{-1}(x) = 3x - 2 \)
\( (f \circ g)(x) = 2x + 4 \) olduğuna göre,
\( (f \circ f)(x) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) ve \( g \) birebir ve örten fonksiyonlardır.
\( (g \circ f^{-1})(2x + 5) = g(3x - 2) \) olduğuna göre, \( f(4) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = \dfrac{x + 4}{6} \)
\( (g \circ f)^{-1}(x) = 3x - 13 \)
olduğuna göre, \( g(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözümü Göster\( f, g, h, t \) fonksiyonları tanımlı oldukları aralıklarda birebir ve örtendir.
\( (f \circ g^{-1} \circ h)(x) = 3x + 4 \)
\( (h^{-1} \circ g)(x) = 2x - 1 \) olduğuna göre,
\( f(x) \) fonksiyonu nedir?
Çözümü Göster
Yukarıda \( f(x) \) ve \( g(x) = x^5 \) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
Buna göre \( (f \circ g^{-1} \circ f)(0) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = x + 1 \) ve \( (f \circ g^{-1})(x) = (f \circ f)(x) \)
olduğuna göre, \( g(3) \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) tanımlı olduğu aralıkta bir fonksiyondur.
\( f(x) = \dfrac{12^x + 20^x}{3^x + 5^x} \) olduğuna göre,
\( \dfrac{f(3) + f(4)}{f^{-1}(2)} \) ifadesi kaçtır?
Çözümü Göster\( f: [0, 5) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \sqrt{x + 4} \)
fonksiyonunun ters fonksiyonunu bularak tanım ve görüntü kümelerini belirtin.
Çözümü Göster\( f: [0, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = 2x^2 + 5 \)
fonksiyonunun ters fonksiyonunu bularak tanım ve görüntü kümelerini belirtin.
Çözümü Göster\( f(\log_2{x}) = \sqrt{x} + 5 \) ise \( f^{-1}(x) \) nedir?
Çözümü Göster