Ters Fonksiyon
Bir \( f \) fonksiyonunun \( (a, b) \) şeklindeki tüm eşlemeleri \( (b, a) \) şeklinde tersine çevrildiğinde elde edilen bağıntı bir fonksiyon ise bu fonksiyona \( f \) fonksiyonunun ters fonksiyonu denir ve \( f^{-1} \) ile gösterilir.
\( f: A \to B \) olmak üzere,
\( f \) fonksiyonunun (eğer tanımlı ise) tersi olan \( f^{-1} \) fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlar.
\( f^{-1}: B \to A \)
\( (a, b) \in f \iff (b, a) \in f^{-1} \)
Bir diğer gösterimle;
\( f(a) = b \iff f^{-1}(b) = a \)
Kimyasal elementleri sembolleri ile eşleyen fonksiyon:
\( f: \) kimyasal element \( \longmapsto \) sembol
\( f = \) {(Hidrojen, H), (Karbon, C), (Oksijen, O), (Demir, Fe), ...}
\( f(\text{Hidrojen}) = \text{H} \)
\( f^{-1}: \) sembol \( \longmapsto \) kimyasal element
\( f^{-1} = \) {(H, Hidrojen), (C, Karbon), (O, Oksijen), (Fe, Demir), ...}
\( f^{-1}(\text{H}) = \text{Hidrojen} \)
Ülkeleri plaka kodları ile eşleyen fonksiyon:
\( g: \) ülke \( \longmapsto \) plaka kodu
\( g = \) {(Almanya, D), (İtalya, I), (Meksika, MEX), (Türkiye, TR), ...}
\( g(\text{Almanya}) = \text{D} \)
\( g^{-1}: \) plaka kodu \( \longmapsto \) ülke
\( g^{-1} = \) {(D, Almanya), (I, İtalya), (MEX, Meksika), (TR, Türkiye), ...}
\( g^{-1}(\text{D}) = \text{Almanya} \)
Aşağıdaki şekilde tanımlı \( f \) ve \( f^{-1} \) fonksiyonlarında, \( b \) değeri \( a \) değerinin \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsü iken, \( a \) değeri de \( b \) değerinin \( f^{-1} \) fonksiyonuna göre görüntüsüdür.
Bir fonksiyon ve ters fonksiyonu art arda uygulandığında başlangıç değerine geri dönülür.
\( a \in A, \quad b \in B \) olmak üzere,
\( f^{-1}(f(\textcolor{red}{a})) = f^{-1}(b) = \textcolor{red}{a} \)
\( f(f^{-1}(\textcolor{blue}{b})) = f(a) = \textcolor{blue}{b} \)
Daha önce yaptığımız fonksiyon - makine benzetmesi ters fonksiyona aşağıdaki şekilde uyarlanabilir.
Ters fonksiyon bir fonksiyonun çarpmaya göre tersi ile karıştırılmamalıdır.
Ters fonksiyon:
\( \quad f^{-1}(x) \)
Bir fonksiyonun çarpmaya göre tersi:
\( \quad [f(x)]^{-1} = \dfrac{1}{f(x)} \)
Ters Fonksiyonun Var Olma Koşulları
\( A \)'dan \( B \)'ye tanımlı bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için gerekli iki koşulu aşağıdaki şekilde tanımlamıştık.
- \( A \) kümesinin her elemanı \( B \) kümesinin en az bir elemanı ile eşlenmelidir.
- \( A \) kümesinin her elemanı \( B \) kümesinin en fazla bir elemanı ile eşlenmelidir.
\( f \) fonksiyonunun eşleşmeleri tersine çevrildiğinde elde edilen bağıntının da bir fonksiyon olabilmesi için bu iki koşulun sağlanması gerekir. Aşağıda göstereceğimiz üzere, bu iki koşulun sağlaması için \( f \) fonksiyonu birebir ve örten olmalıdır.
Örten Olma Koşulu
Tersinin birinci fonksiyon olma koşulunu sağlaması için, \( B \) kümesindeki her eleman \( A \) kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü olmalı, yani \( f \) örten olmalıdır. Aksi takdirde, \( B \) kümesinde eşlenmemiş kalan bir elemanın ters yönde \( A \) kümesinde eşleneceği hiçbir eleman bulunmaz.
Birebir Olma Koşulu
Tersinin ikinci fonksiyon olma koşulunu sağlaması için, \( A \) kümesindeki farklı elemanların \( B \) kümesindeki görüntüleri farklı olmalı, yani \( f \) birebir olmalıdır. Aksi takdirde, \( B \) kümesindeki ortak görüntü ters yönde \( A \) kümesinde birden fazla elemanla eşlenir.
Sabit fonksiyonlar birebir olmadıkları için ters fonksiyonları yoktur.
Ters Fonksiyonun Tanım ve Görüntü Kümesi
\( f^{-1} \) ters fonksiyonu \( f \) fonksiyonunun \( (a, b) \) şeklindeki tüm eşlemelerini \( (b, a) \) şeklinde tersine çevirir. Bunun bir sonucu olarak, bir fonksiyonun tanım ve görüntü kümeleri ters fonksiyonda yer değiştirir, yani \( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım kümesi \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesine, görüntü kümesi de \( f \) fonksiyonunun tanım kümesine eşit olur.
\( f: A \to B \) ve \( f \) birebir ve örten olmak üzere,
\( f^{-1}: B \to A \)
\( f \) fonksiyonu örten olduğu için \( f(A) = B \) olur.
Bir fonksiyonun birebir olduğu ama örten olmadığı durumda, değer kümesi görüntü kümesine eşit olacak şekilde daraltılarak fonksiyon örten yapılabilir ve ters fonksiyonu tanımlı hale getirilebilir.
\( f: \mathbb{R} - \{2\} \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} \)
Yukarıda tanımı ve grafiği verilen \( f \) fonksiyonu için ters fonksiyonu tanımlı olan yeni bir fonksiyon tanımlayalım.
Verilen fonksiyon \( x = 2 \) noktasında tanımsız olduğu ve \( 4 \) değerini almadığı için görüntü kümesi değer kümesine eşit değildir, dolayısıyla örten değildir. Fonksiyonun değer kümesi görüntü kümesine eşit olacak şekilde daraltılırsa fonksiyon örten olur ve ters fonksiyonu tanımlı hale gelir.
\( g: \mathbb{R} - \{2\} \to \mathbb{R} - \{4\} \)
\( g(x) = x + 2 \)
\( g^{-1}: \mathbb{R} - \{4\} \to \mathbb{R} - \{2\} \)
\( g^{-1}(x) = x - 2 \)
Birebir olmayan bazı fonksiyonlarda, tanım kümesi her elemanın görüntüsü farklı olacak şekilde daraltılarak fonksiyon birebir yapılabilir ve ters fonksiyonu tanımlı hale getirilebilir.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R^+} \cup \{0\} \)
\( f(x) = x^2 \)
Yukarıda tanımı ve grafiği verilen \( f \) fonksiyonu için ters fonksiyonu tanımlı olan yeni bir fonksiyon tanımlayalım.
Verilen parabol fonksiyonu aynı \( y \) değerini birden fazla noktada aldığı için birebir değildir, dolayısıyla ters fonksiyonu tanımlı değildir. Fonksiyonun tanım kümesi aşağıdaki şekilde daraltılırsa fonksiyon birebir olur ve ters fonksiyonu tanımlı hale gelir.
\( g: [0, \infty) \to [0, \infty) \)
\( g^{-1}: [0, \infty) \to [0, \infty) \)
\( g^{-1}(x) = \sqrt{x} \)
Fonksiyonun tanım kümesi alternatif olarak aşağıdaki şekilde de daraltılara ters fonksiyonu tanılı hale getirilebilir.
\( h: (-\infty, 0] \to [0, \infty) \)
\( h^{-1}: [0, \infty) \to (-\infty, 0] \)
\( h^{-1}(x) = -\sqrt{x} \)
Yukarıdaki iki örnekte kullandığımız yöntemler aşağıdaki şekilde özetlenebilir.
- Fonksiyon örten değilse değer kümesi görüntü kümesine daraltılarak örten hale getirilebilir.
- Fonksiyon birebir değilse tanım kümesi uygun bir alt kümeye daraltılarak birebir hale getirilebilir.
Bir Fonksiyonun Ters Fonksiyonunu Bulma
Ters fonksiyonu tanımlı olan bir fonksiyonun ters fonksiyonu aşağıdaki adımlarla bulunabilir.
- \( y = f(x) \) fonksiyonu yazılır.
- \( x \) değişkeni \( y \) cinsinden yalnız bırakılır.
- \( x \) ve \( y \) değişkenleri aralarında yer değiştirilir.
- Elde edilen fonksiyon \( y = f^{-1}(x) \) fonksiyonudur.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = 5x - 2 \) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulalım.
Eğimi sıfırdan farklı olan doğrusal fonksiyon tüm reel sayılarda birebir ve örtendir.
\( y = f(x) \) fonksiyonunu yazalım.
\( y = 5x - 2 \)
\( x \) değişkenini \( y \) cinsinden yalnız bırakalım.
\( 5x = y + 2 \)
\( x = \dfrac{y + 2}{5} \)
\( x \) ve \( y \) değişkenlerini aralarında yer değiştirelim.
\( y = \dfrac{x + 2}{5} \)
Elde ettiğimiz fonksiyon \( y = f^{-1}(x) \) fonksiyonudur.
\( f^{-1}: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f^{-1}(x) = \dfrac{x + 2}{5} \)
\( f \) fonksiyonunun tanım kümesindeki bir değere \( f \) ve \( f^{-1} \) fonksiyonları art arda uygulandığında başlangıç değerine geri dönüldüğünü teyit edelim.
\( f(\textcolor{red}{5}) = 5(5) - 2 = \textcolor{blue}{23} \)
\( f^{-1}(\textcolor{blue}{23}) = \dfrac{23 + 2}{5} = \textcolor{red}{5} \)
\( g: [3, \infty) \to [-9, \infty) \) olmak üzere,
\( g(x) = x^2 - 6x \) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulalım.
\( y = g(x) \) fonksiyonunu yazalım.
\( y = x^2 - 6x \)
Eşitliğin sağ tarafını tam kareye tamamlayalım.
\( = (x - 3)^2 - 9 \)
Tepe noktası \( T(3, -9) \) olan parabol verilen tanım ve değer kümesinde birebir ve örtendir.
\( x \) değişkenini \( y \) cinsinden yalnız bırakalım.
\( (x - 3)^2 = y + 9 \)
\( \abs{x - 3} = \sqrt{y + 9} \)
Fonksiyonun tanım kümesi içinde \( x - 3 \ge 0 \) olur.
\( x = \sqrt{y + 9} + 3 \)
\( x \) ve \( y \) değişkenlerini aralarında yer değiştirelim.
\( y = \sqrt{x + 9} + 3 \)
Elde ettiğimiz fonksiyon \( y = g^{-1}(x) \) fonksiyonudur.
\( g^{-1}: [-9, \infty) \to [3, \infty) \) olmak üzere,
\( g^{-1}(x) = \sqrt{x + 9} + 3 \)
\( g \) fonksiyonunun tanım kümesindeki bir değere \( g \) ve \( g^{-1} \) fonksiyonları art arda uygulandığında başlangıç değerine geri dönüldüğünü teyit edelim.
\( g(\textcolor{red}{8}) = 8^2 - 6(8) = \textcolor{blue}{16} \)
\( g^{-1}(\textcolor{blue}{16}) = \sqrt{16 + 9} + 3 = \textcolor{red}{8} \)
\( ax + b \) formundaki bir fonksiyonun ters fonksiyonunu kısa yoldan bulmak için \( b \)'nin işareti tersine döner, \( a \) paydaya iner.
\( a \ne 0 \) olmak üzere,
\( f(x) = \textcolor{red}{a}x \textcolor{blue}{+ b} \) ise,
\( f^{-1}(x) = \dfrac{x \textcolor{blue}{- b}}{\textcolor{red}{a}} \)
\( f(x) = 2x - 3 \) ise,
\( f^{-1}(x) = \dfrac{x + 3}{2} \)
\( g(x) = 5x \) ise,
\( g^{-1}(x) = \dfrac{x}{5} \)
İSPATI GÖSTER
\( f(x) = ax + b \)
\( y = f(x) \) fonksiyonunu yazalım.
\( y = ax + b \)
\( x \) değişkenini yalnız bırakalım.
\( ax = y - b \)
\( x = \dfrac{y - b}{a} \)
\( x \) ve \( y \) değişkenlerini aralarında yer değiştirelim.
\( y = \dfrac{x - b}{a} \)
Elde ettiğimiz fonksiyon \( y = f^{-1}(x) \) fonksiyonudur.
\( f^{-1}(x) = \dfrac{x - b}{a} \)
\( \frac{ax + b}{cx + d} \) formundaki bir fonksiyonun ters fonksiyonunu kısa yoldan bulmak için \( a \) ve \( d \) katsayıları aralarında yer değiştirir ve her ikisinin işareti değiştirilir, \( b \) ve \( c \) aynı kalır.
\( ad - bc \ne 0 \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{\textcolor{red}{a}x + b}{cx \textcolor{blue}{+ d}} \) ise,
\( f^{-1}(x) = \dfrac{\textcolor{blue}{-d}x + b}{cx \textcolor{red}{-a}} \)
\( f(x) = \dfrac{-2x + 4}{3x + 5} \) ise,
\( f^{-1}(x) = \dfrac{-5x + 4}{3x + 2} \)
\( g(x) = \dfrac{3x - 1}{2x} \) ise,
\( g^{-1}(x) = \dfrac{-1}{2x - 3} \)
İSPATI GÖSTER
\( f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d} \)
\( y = f(x) \) fonksiyonunu yazalım.
\( y = \dfrac{ax + b}{cx + d} \)
\( x \) değişkenini yalnız bırakalım.
\( y(cx + d) = ax + b \)
\( cyx + dy = ax + b \)
\( cyx - ax = -dy + b \)
\( x(cy - a) = -dy + b \)
\( x = \dfrac{-dy + b}{cy - a} \)
\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirelim.
\( y = \dfrac{-dx + b}{cx - a} \)
Elde ettiğimiz fonksiyon \( y = f^{-1}(x) \) fonksiyonudur.
\( f^{-1}(x) = \dfrac{-dx + b}{cx - a} \)
Ters Fonksiyonun Grafiği
Noktanın simetriği konusunda koordinat düzlemindeki bir \( (a, b) \) noktasının \( y = x \) doğrusuna göre yansımasının \( (b, a) \) noktası olduğunu görmüştük.
Bir fonksiyondaki her \( (a, b) \) noktası ters fonksiyonda \( (b, a) \) noktasına karşılık geldiği için, bir fonksiyon ile tersinin grafikleri \( y = x \) doğrusuna göre simetrik olur.
Buna göre \( f(a) = b \) ise \( f^{-1}(b) = a \) olur ve grafikteki \( (a, b) \) noktası ters fonksiyonda \( (b, a) \) noktasına dönüşür.
Bir fonksiyonun birebir olup olmadığını belirlemek için yatay doğru testi kullanılabilir. Fonksiyonun grafiğini birden fazla noktada kesen herhangi bir yatay doğru yoksa fonksiyon birebirdir.
Bir aralıkta sürekli bir fonksiyon birebir ise ya kesin artan ya da kesin azalandır. Dolayısıyla böyle bir fonksiyonun grafiğinde yön değiştiren bir iniş-çıkış bulunmaz.
Aşağıda verilen iki örnekte bir fonksiyonla tersi arasındaki \( y = x \) doğrusuna göre simetri gösterilmiştir.
| Grafik | Fonksiyon ve Tersi |
|---|---|
|
2. dereceden polinom fonksiyonu: \( f: [0, \infty) \to [0, \infty) \) \( f(x) = x^2 \) Karekök fonksiyonu: \( f^{-1}: [0, \infty) \to [0, \infty) \) \( f^{-1} = \sqrt{x} \) |
|
Üstel fonksiyon: \( f: \mathbb{R} \to (0, \infty) \) \( f(x) = 2^x \) Logaritma fonksiyonu: \( f^{-1}: (0, \infty) \to \mathbb{R} \) \( f^{-1} = \log_2{x} \) |
Temel Fonksiyonların Tersi
En sık kullanılan fonksiyonlar ve tersleri, uygun tanım ve görüntü kümeleri ile birlikte aşağıda listelenmiştir.
| Fonksiyon | Ters Fonksiyon |
|---|---|
|
\( a \ne 0 \) olmak üzere, \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = ax + b \) |
\( f^{-1}: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f^{-1}(x) = \dfrac{x - b}{a} \) |
|
\( f: [0, \infty) \to [0, \infty) \) \( f(x) = x^2 \) |
\( f^{-1}: [0, \infty) \to [0, \infty) \) \( f^{-1}(x) = \sqrt{x} \) |
|
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = x^3 \) |
\( f^{-1}: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x} \) |
|
\( f: \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R} - \{0\} \) \( f(x) = \dfrac{1}{x} \) |
\( f^{-1}: \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R} - \{0\} \) \( f^{-1}(x) = \dfrac{1}{x} \) |
|
\( f: [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \to [-1, 1] \) \( f(x) = \sin{x} \) |
\( f^{-1}: [-1, 1] \to [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) \( f^{-1}(x) = \arcsin{x} \) |
|
\( f: [0, \pi] \to [-1, 1] \) \( f(x) = \cos{x} \) |
\( f^{-1}: [-1, 1] \to [0, \pi] \) \( f^{-1}(x) = \arccos{x} \) |
|
\( f: (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \to \mathbb{R} \) \( f(x) = \tan{x} \) |
\( f^{-1}: \mathbb{R} \to (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) \( f^{-1}(x) = \arctan{x} \) |
|
\( a \gt 0, a \ne 1 \) olmak üzere, \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R^+} \) \( f(x) = a^x \) |
\( f^{-1}: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R} \) \( f^{-1}(x) = \log_a{x} \) |
Yukarıda ters fonksiyonlar ve bir fonksiyonun çarpmaya göre tersi hakkında yaptığımız uyarıyı burada trigonometrik fonksiyonlar için tekrarlamak yerinde olacaktır.
\( \sin^{-1}{x} = \arcsin{x} \)
\( \sin^{-1}{x} \ne \dfrac{1}{\sin{x}} \)
Ters Fonksiyonun Özellikleri
Tersi tanımlı bir fonksiyonun tersinin tersi kendisine eşittir.
\( f \) birebir ve örten olmak üzere,
\( (f^{-1})^{-1} = f \)
\( f: \mathbb{R} - \{ \frac{5}{2} \} \to \mathbb{R} - \{ 2 \} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{4x - 1}{2x - 5} \)
\( f^{-1}: \mathbb{R} - \{ 2 \} \to \mathbb{R} - \{ \frac{5}{2} \} \) olmak üzere,
\( f^{-1}(x) = \dfrac{5x - 1}{2x - 4} = g(x) \)
\( g^{-1}(x) = \dfrac{4x - 1}{2x - 5} = f(x) \)
Tersi tanımlı bir fonksiyonun tersi ile bileşkesi uygun birim fonksiyonu verir.
\( f: A \to B \) birebir ve örten olmak üzere,
\( f \circ f^{-1} = I_B \)
\( f^{-1} \circ f = I_A \)
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere
\( f(x) = 2x + 1 \)
\( f^{-1}(x) = \dfrac{x - 1}{2} \)
\( (f \circ f^{-1})(x) = f(f^{-1}(x)) \)
\( = 2f^{-1}(x) + 1 = 2 \cdot \dfrac{x - 1}{2} + 1 \)
\( = (x - 1) + 1 = x = I_\mathbb{R}(x) \)
\( (f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) \)
\( = \dfrac{f(x) - 1}{2} = \dfrac{(2x + 1) - 1}{2} \)
\( = \dfrac{2x}{2} = x = I_\mathbb{R}(x) \)
İSPATI GÖSTER
\( f: A \to B \) birebir ve örten bir fonksiyon ve
\( f^{-1}: B \to A \) \( f \)'nin ters fonksiyonu olmak üzere,
\( f(x) = y \Longleftrightarrow f^{-1}(y) = x \)
\( (f \circ f^{-1})(y) = I_B(y) \) olduğunu gösterelim.
\( (f \circ f^{-1})(y) = f(f^{-1}(y)) \)
\( = f(x) = y \)
\( (f \circ f^{-1})(y) = y \) bulduğumuz için, yani \( f \circ f^{-1} \) bileşke fonksiyonunun girdi ve çıktı değerleri eşit ve \( y \) olduğu için bu fonksiyon birim fonksiyona eşittir.
\( (f \circ f^{-1})(y) = I_B(y) \)
\( (f^{-1} \circ f)(x) = I_A(x) \) olduğunu gösterelim.
\( (f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) \)
\( = f^{-1}(y) = x \)
\( (f^{-1} \circ f)(x) = x \) bulduğumuz için, yani \( f^{-1} \circ f \) bileşke fonksiyonunun girdi ve çıktı değerleri eşit ve \( x \) olduğu için bu fonksiyon birim fonksiyona eşittir.
\( (f^{-1} \circ f)(x) = I_A(x) \)
Bu özellik bulunan ters fonksiyonun doğruluğunu kontrol etmek için de kullanılabilir. \( f^{-1} \) bulunduktan sonra \( f \circ f^{-1} \) ve \( f^{-1} \circ f \) bileşkelerinin ikisi de birim fonksiyonu veriyorsa ters fonksiyon doğru bulunmuştur. Hızlı bir ön kontrol için tek bir nokta da denenebilir: \( f(a) = b \) ise \( f^{-1}(b) = a \) olmalıdır.
Tersleri tanımlı iki ya da daha fazla fonksiyonun bileşkesinin tersi, fonksiyonların terslerinin ters sırada bileşkesine eşittir.
\( (g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1} \)
\( (h \circ g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1} \)
İSPATI GÖSTER
\( f: A \to B \) ve
\( g: B \to C \) birebir ve örten fonksiyonlar olmak üzere,
\( g \circ f \) ifadesinin tersi \(f^{-1} \circ g^{-1} \) ise bu iki ifadenin bileşkesi birim fonksiyonu vermelidir.
\( (g \circ f) \circ (f^{-1} \circ g^{-1}) \)
Bileşke işleminin birleşme özelliği olduğu için parantezlerin yerini değiştirerek işlem sırasını değiştirebiliriz.
\( = g \circ ((f \circ f^{-1}) \circ g^{-1}) \)
Bir fonksiyonun tersi ile bileşkesi birim fonksiyona eşittir.
\( = g \circ (I_B \circ g^{-1}) \)
Birim fonksiyon bileşke işleminin etkisiz elemanıdır.
\( = g \circ g^{-1} = I_C \)
Sonuç birim fonksiyon olduğu için bileşkesini aldığımız iki ifadenin birbirinin tersi olduğu sonucuna varabiliriz.
\( (g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1} \)
Aynı sonucu ikinci ifadenin yerlerini değiştirdiğimizde de elde ederiz.
\( (f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f) \)
Bileşke işleminin birleşme özelliği olduğu için parantezlerin yerini değiştirerek işlem sırasını değiştirebiliriz.
\( = f^{-1} \circ ((g^{-1} \circ g) \circ f) \)
Bir fonksiyonun tersi ile bileşkesi birim fonksiyona eşittir.
\( = f^{-1} \circ (I_B \circ f) \)
Birim fonksiyon bileşke işleminin etkisiz elemanıdır.
\( = f^{-1} \circ f = I_A \)
Bileşkede yapılan işlemleri geri almak için işlemler ters sırada geri alınır.
\( A = \{a, b, c, d, e\} \) kümesinde tanımlı \( f = \{(a, c), (b, d), (c, e), (d, a), (e, b)\} \) fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, \( f^{-1} \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonu tanım kümesindeki farklı elemanların görüntüleri farklı olduğu için birebir, değer kümesindeki her eleman tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü olduğu için örtendir.
Dolayısıyla fonksiyonun ters fonksiyonu tanımlıdır ve elemanı olan sıralı ikililerin bileşenlerinin aralarında yer değiştirmesi ile elde edilir.
\( f(a) = c \Longrightarrow f^{-1}(c) = a \)
Buna göre ters fonksiyon aşağıdaki gibi olur.
\( f^{-1} = \{(c, a), (d, b), (e, c), (a, d), (b, e)\} \)
Yukarıda verilen \( f \) fonksiyon grafiğine göre,
\( f(3) + f^{-1}(3) + f^{-1}(2) + f(0) + f^{-1}(0) \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonunun grafiği verilen aralıkta sürekli ve kesin artan olduğu için birebir ve örtendir.
\( f \) fonksiyonunun grafiğini inceleyerek sorudaki ifadelerin değerlerini bulalım.
\( f(3) \), fonksiyonun \( x = 3 \) noktasındaki görüntüsünü ifade eder.
\( f(3) = 5 \)
\( f^{-1}(3) \), \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsü 3 olan \( x \) değerini ifade eder.
\( f^{-1}(3) = 1 \)
\( f^{-1}(2) \), \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsü 2 olan \( x \) değerini ifade eder.
\( f^{-1}(2) = 0 \)
\( f(0) \), fonksiyonun \( x = 0 \) noktasındaki görüntüsünü ifade eder.
\( f(0) = 2 \)
\( f^{-1}(0) \), \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsü 0 olan \( x \) değerini ifade eder.
\( f^{-1}(0) = -3 \)
İstenen toplam \( 5 + 1 + 0 + 2 + (-3) = 5 \) olarak bulunur.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x + 2) = 3x - 2 + a \)
\( f^{-1}(4) = 3 \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) eğimi sıfırdan farklı doğrusal bir fonksiyondur ve tüm reel sayılarda birebir ve örtendir.
\( f^{-1}(4) = 3 \) ise \( f(3) = 4 \) olur.
\( f(x + 2) \) ifadesinde \( x = 1 \) yazalım.
\( f(1 + 2) = 3(1) - 2 + a \)
\( f(3) = 1 + a = 4 \)
\( a = 3 \) olarak bulunur.
\( f \) birebir ve örten bir fonksiyondur.
\( f(x) = 8x^3 - 36x^2 + 54x - 20 \)
\( f^{-1}(a^3 + 7) = 5 \) olduğuna göre, \( a \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( f^{-1}(a^3 + 7) = 5 \) ise,
\( f(5) = a^3 + 7 \)
\( f(5) \) değerini bulmak için fonksiyonda \( x = 5 \) yazalım.
\( f(5) = 8(5)^3 - 36(5)^2 + 54(5) - 20 \)
\( 1000 - 900 + 270 - 20 = a^3 + 7 \)
\( a^3 = 343 \)
\( a = 7 \) bulunur.
\( f: \mathbb{R} - \{ -\frac{1}{3} \} \to \mathbb{R} - \{ \frac{4}{3} \} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{4x - 2}{3x + 1} \) olduğuna göre, \( f^{-1}(-1) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( \frac{ax + b}{cx + d} \) formundaki bir fonksiyonun ters fonksiyonunu kısa yoldan bulmak için \( a \) ve \( d \) katsayıları aralarında yer değiştirir ve her ikisinin işareti değiştirilir, \( b \) ve \( c \) aynı kalır.
\( f^{-1}(x) = \dfrac{-x - 2}{3x - 4} \)
\( f^{-1}(-1) \) değerini bulmak için \( x = -1 \) yazalım.
\( f^{-1}(-1) = \dfrac{-(-1) - 2}{3(-1) - 4} \)
\( = \dfrac{1}{7} \) bulunur.
\( f: \mathbb{R} \to (-11, \infty) \) olmak üzere,
\( f(x) = 3^{x - 1} - 11 \) olduğuna göre, \( f^{-1}(70) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) üstel fonksiyonu tüm reel sayılarda birebir ve verilen değer kümesinde örtendir.
\( f^{-1}(70) = a \) diyelim.
\( f(a) = 70 \)
\( f \) fonksiyonunda görüntüsü 70 olan \( a \) değerini bulalım.
\( f(a) = 3^{a - 1} - 11 = 70 \)
\( 3^{a - 1} = 81 = 3^4 \)
\( a = 5 \)
\( f^{-1}(70) = a = 5 \) bulunur.
\( f(x) = \dfrac{(a + 2)x - 4}{x - 3} \) fonksiyonunun tersi kendisine eşit olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( \frac{ax + b}{cx + d} \) formundaki bir fonksiyonun ters fonksiyonunu kısa yoldan bulmak için \( a \) ve \( d \) katsayıları aralarında yer değiştirir ve her ikisinin işareti değiştirilir, \( b \) ve \( c \) aynı kalır.
\( f^{-1}(x) = \dfrac{3x - 4}{x - (a + 2)} \)
Buna göre fonksiyonun tersine eşit olabilmesi için \( a + 2 = 3 \) olmalıdır.
\( a = 1 \) bulunur.
\( f \) tersi tanımlı bir fonksiyondur.
\( f(x) = \dfrac{x^2 - k}{x + 3} \)
\( (2, 3) \in f^{-1} \) olduğuna göre, \( k \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f^{-1} \) fonksiyonunda 2'nin görüntüsü 3 ise \( f \) fonksiyonunda 3'ün görüntüsü 2 olur.
\( (3, 2) \in f \)
\( f(3) = 2 \)
Bu değerleri fonksiyonda yerine koyalım.
\( f(3) = \dfrac{3^2 - k}{3 + 3} = 2 \)
\( 9 - k = 12 \)
\( k = -3 \) bulunur.
\( f \) birebir ve örten bir fonksiyondur.
\( f(x) = x^4 + 2x^2 + mx + 5 \)
\( f^{-1}(x) \) fonksiyonunun grafiği \( (-2, 1) \) noktasından geçtiğine göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f^{-1}(x) \) fonksiyonunun grafiği \( (-2, 1) \) noktasından geçtiğine göre, \( f^{-1}(-2) = 1 \) olur.
\( f^{-1}(-2) = 1 \) ise \( f(1) = -2 \) olur.
\( f \) fonksiyonunda \( x = 1 \) yazalım.
\( f(1) = 1^4 + 2(1)^2 + m(1) + 5 = -2 \)
\( 1 + 2 + m + 5 = -2 \)
\( m = -10 \) bulunur.
Aşağıdaki şekilde \( -5 \le x \le 5 \) aralığında tanımlı \( y = f(x) \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
(a) \( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım ve görüntü kümelerini bulunuz.
(b) \( y = f^{-1}(x) \) fonksiyonunun grafiğini aynı koordinat düzlemi üzerinde çiziniz.
Çözümü Göster(a) seçeneği:
Grafikte görüldüğü üzere, \( f \) fonksiyonu \( [-5, 3] \) aralığındaki tüm değerleri almaktadır.
\( f \) görüntü kümesi: \( f([-5, 5]) = [-5, 3] \)
\( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım ve görüntü kümeleri, sırasıyla \( f \) fonksiyonunun görüntü ve tanım kümelerine eşittir.
\( f^{-1} \) tanım kümesi: \( [-5, 3] \)
\( f^{-1} \) görüntü kümesi: \( f^{-1}([-5, 3]) = [-5, 5] \)
(b) seçeneği:
Bir fonksiyonun grafiği ile tersinin grafiği, \( y = x \) doğrusuna göre simetriktir.
\( y = f(x) \) grafiği üzerindeki uç ve köşe noktaların koordinatlarına \( (x, y) \to (y, x) \) dönüşümü uygulayarak \( y = f^{-1}(x) \) grafiği üzerinde karşılık geldikleri noktaları belirleyelim.
\( (-5, -5) \longmapsto (-5, -5) \)
\( (-1, 1) \longmapsto (1, -1) \)
\( (5, 3) \longmapsto (3, 5) \)
Buna göre \( y = f^{-1}(x) \) fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibi elde edilir.
\( f \) birebir ve örten bir fonksiyondur.
\( f(2x - 1) = 3x + 5 \) ve \( f^{-1}(2a - 5) = 11 \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f^{-1}(2a - 5) = 11 \) ise,
\( f(11) = 2a - 5 \)
Birinci eşitlikte fonksiyonun içindeki ifadeyi 11 yapan \( x \) değerini bulalım.
\( 2x - 1 = 11 \Longrightarrow x = 6 \)
\( f(11) \) değerini bulmak için \( x = 6 \) yazalım.
\( f(2(6) - 1) = 3(6) + 5 \)
\( f(11) = 23 = 2a - 5 \)
\( a = 14 \) bulunur.
\( f \) birebir ve örten bir fonksiyondur.
\( f(x) = 3x + 1 \) ve \( g(x) = x^3 + 2 \) olduğuna göre, \( (f^{-1} \circ g)(2) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( (f^{-1} \circ g)(2) = f^{-1}(g(2)) = a \) diyelim.
\( g(2) = 2^3 + 2 = 10 \)
\( f^{-1}(g(2)) = f^{-1}(10) = a \)
Bu eşitliği aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( f(a) = 10 \)
\( 3a + 1 = 10 \)
\( a = 3 \) bulunur.
\( f(x) = \dfrac{3x - 2}{3} \)
\( (f \circ g)(x) = x + 2 \)
olduğuna göre, \( g^{-1}(2) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = x + 2 \)
\( f(x) \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( g(x) \) yazalım.
\( f(g(x)) = \dfrac{3g(x) - 2}{3} \)
\( f(g(x)) \) için elimizdeki iki ifadeyi birbirine eşitleyelim.
\( x + 2 = \dfrac{3g(x) - 2}{3} \)
\( 3x + 6 = 3g(x) - 2 \)
\( g(x) = \dfrac{3x + 8}{3} \)
\( g(x) \) fonksiyonunun tersini alalım.
\( g^{-1}(x) = \dfrac{3x - 8}{3} \)
\( g^{-1}(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) yazalım.
\( g^{-1}(2) = \dfrac{3(2) - 8}{3} = -\dfrac{2}{3} \) bulunur.
\( f(x) = \dfrac{3f(x) + 6}{2x - 1} \)
\( f^{-1}(3) = m - 3 \) olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü GösterBirinci eşitlikte \( f(x) \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( 2xf(x) - f(x) = 3f(x) + 6 \)
\( 2xf(x) - 4f(x) = 6 \)
\( f(x)(2x - 4) = 6 \)
\( f(x) = \dfrac{6}{2x - 4} \)
\( \frac{ax + b}{cx + d} \) formundaki bir fonksiyonun ters fonksiyonunu kısa yoldan bulmak için \( a \) ve \( d \) katsayıları aralarında yer değiştirir ve her ikisinin işareti değiştirilir, \( b \) ve \( c \) aynı kalır.
\( f^{-1}(x) = \dfrac{4x + 6}{2x} \)
\( f^{-1}(3) \) değerini bulmak için \( x = 3 \) yazalım.
\( f^{-1}(3) = \dfrac{4(3) + 6}{2(3)} = m - 3 \)
\( m - 3 = 3 \)
\( m = 6 \) bulunur.
\( \dfrac{f(x) + 3}{f(x)} = 2x + 3 \) olduğuna göre, \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözümü GösterBir fonksiyonun tersini bulmak için \( x \) değişkeni \( y = f(x) \) cinsinden yalnız bırakılır.
Verilen ifadede \( x \) bu forma çok yakındır.
\( 2x + 3 = \dfrac{f(x) + 3}{f(x)} \)
\( 2x = \dfrac{f(x) + 3}{f(x)} - 3 \)
\( 2x = \dfrac{3 - 2f(x)}{f(x)} \)
\( x = \dfrac{3 - 2f(x)}{2f(x)} \)
Eşitliğin sağ tarafında \( f(x) \) yerine \( x \) yazdığımızda \( f^{-1} \) fonksiyonunu elde ederiz.
\( f^{-1}(x) = \dfrac{3 - 2x}{2x} \)
Yukarıda \( f(x) \) ve \( g(x) = x^5 \) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
Buna göre \( (f \circ g^{-1} \circ f)(0) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( (f \circ g^{-1} \circ f)(0) = f(g^{-1}(f(0))) \)
Fonksiyon değerlerini içten dışa doğru bulalım.
\( f(0) = b \)
\( g^{-1}(f(0)) = g^{-1}(b) = 2 \)
\( f(g^{-1}(f(0))) = f(2) = 0 \) bulunur.
\( f \) fonksiyonu \( -14 \le x \le 13 \) aralığında aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.
\( f(x) = \sqrt[3]{2x + 1} \)
(a) \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
(b) \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
(c) \( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım ve görüntü kümelerini bulunuz.
Çözümü Göster(a) seçeneği:
Küpkök fonksiyonu tüm reel sayılarda sürekli ve artandır.
Dolayısıyla \( f \) fonksiyonu tanım aralığında sürekli ve artandır.
Fonksiyon artan olduğu için, en küçük ve en büyük değerlerini tanım aralığının sırasıyla sol ve sağ uç noktalarında alır. Fonksiyon sürekli olduğu için, en küçük ve en büyük değerleri arasındaki tüm değerleri de alır, dolayısıyla fonksiyonun görüntü kümesi bu iki değer arasındaki aralığın tamamı olur.
\( f(-14) = \sqrt[3]{2(-14) + 1} = -3 \)
\( f(13) = \sqrt[3]{2(13) + 1} = 3 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f([-14, 13]) = [-3, 3] \)
(b) seçeneği:
Bir fonksiyonun tersini bulmak için fonksiyon tanımında \( x \) değişkeni \( y \) cinsinden yalnız bırakılır, elde edilen ifadede \( x \) ve \( y \) değişkenleri aralarında yerleri değiştirilir.
\( y = \sqrt[3]{2x + 1} \)
Her iki tarafın küpünü alalım.
\( y^3 = 2x + 1 \)
\( x = \dfrac{y^3 - 1}{2} \)
\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirdiğimizde \( y = f^{-1} \) fonksiyonunu elde ederiz.
\( y = f^{-1}(x) = \dfrac{x^3 - 1}{2} \)
(c) seçeneği:
\( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım ve görüntü kümeleri, sırasıyla \( f \) fonksiyonunun görüntü ve tanım kümelerine eşittir.
\( f^{-1} \) tanım kümesi: \( [-3, 3] \)
\( f^{-1} \) görüntü kümesi: \( f^{-1}([-3, 3]) = [-14, 13] \)
\( f \) fonksiyonu \( -5 \le x \le 1 \) aralığında aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.
\( f(x) = (x - 2)^2 + 3 \)
(a) \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
(b) \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
(c) \( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım ve görüntü kümelerini bulunuz.
Çözümü Göster(a) seçeneği:
Verilen fonksiyon pozitif başkatsayılı ve tepe noktası \( T(2, 3) \) olan bir paraboldür.
Pozitif başkatsayılı bir parabol sürekli ve tepe noktasının solunda azalandır.
Dolayısıyla \( f \) fonksiyonu tanım aralığında sürekli ve azalandır.
Fonksiyon azalan olduğu için, en küçük ve en büyük değerlerini tanım aralığının sırasıyla sağ ve sol uç noktalarında alır. Fonksiyon sürekli olduğu için, en küçük ve en büyük değerleri arasındaki tüm değerleri de alır, dolayısıyla fonksiyonun görüntü kümesi bu iki değer arasındaki aralığın tamamı olur.
\( f(-5) = (-5 - 2)^2 + 3 = 52 \)
\( f(1) = (1 - 2)^2 + 3 = 4 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f([-5, 1]) = [4, 52] \)
(b) seçeneği:
Bir fonksiyonun tersini bulmak için fonksiyon tanımında \( x \) değişkeni \( y \) cinsinden yalnız bırakılır, elde edilen ifadede \( x \) ve \( y \) değişkenleri aralarında yerleri değiştirilir.
\( y = (x - 2)^2 + 3 \)
\( (x - 2)^2 = y - 3 \)
Her iki tarafın karekökünü alalım.
\( \abs{x - 2} = \sqrt{y - 3} \)
Tanım aralığında \( x - 2 \lt 0 \) olur ve ifade mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
\( -(x - 2) = \sqrt{y - 3} \)
\( x = 2 - \sqrt{y - 3} \)
\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirdiğimizde \( y = f^{-1} \) fonksiyonunu elde ederiz.
\( y = f^{-1}(x) = 2 - \sqrt{x - 3} \)
(c) seçeneği:
\( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım ve görüntü kümeleri, sırasıyla \( f \) fonksiyonunun görüntü ve tanım kümelerine eşittir.
\( f^{-1} \) tanım kümesi: \( [4, 52] \)
\( f^{-1} \) görüntü kümesi: \( f^{-1}([4, 52]) = [-5, 1] \)
\( f \) fonksiyonu \( 4 \le x \le 8 \) aralığında aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.
\( f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3} \)
(a) \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
(b) \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
(c) \( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım ve görüntü kümelerini bulunuz.
Çözümü Göster(a) seçeneği:
Payı paydaya bölerek ifadeyi fonksiyonu düzenleyelim.
\( f(x) = \dfrac{2(x - 3) + 7}{x - 3} = 2 + \dfrac{7}{x - 3} \)
\( h_1(x) = x - 3, h_2(x) = \dfrac{1}{x}, h_3(x) = 7x, h_4(x) = x + 2 \)
\( f = h_4 \circ h_3 \circ h_2 \circ h_1 \)
Fonksiyonu, her biri kendisine uygulanan aralıkta sürekli ve monoton olan daha basit fonksiyonların bileşkesi olarak yazabildiğimiz için, görüntü kümesini tanım aralığından başlayıp adım adım elde edebiliriz.
\( 4 \le x \le 8 \)
Eşitsizliğin taraflarından \( 3 \) çıkaralım.
\( 1 \le x - 3 \le 5 \)
Eşitsizliğin tarafları pozitif olduğundan çarpmaya göre terslerini aldığımızda eşitsizlik yön değiştirir.
\( \dfrac{1}{5} \le \dfrac{1}{x - 3} \le 1 \)
Eşitsizliğin taraflarını \( 7 \) ile çarpalım.
\( \dfrac{7}{5} \le \dfrac{7}{x - 3} \le 7 \)
Eşitsizliğin taraflarına \( 2 \) ekleyelim.
\( \dfrac{17}{5} \le 2 + \dfrac{7}{x - 3} \le 9 \)
Ortadaki ifade \( f(x) \)'e eşittir.
\( \dfrac{17}{5} \le f(x) \le 9 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f([4, 8]) = \left[ \dfrac{17}{5}, 9 \right] \)
(b) seçeneği:
Bir fonksiyonun tersini bulmak için fonksiyon tanımında \( x \) değişkeni \( y \) cinsinden yalnız bırakılır, elde edilen ifadede \( x \) ve \( y \) değişkenleri aralarında yerleri değiştirilir.
\( y = \dfrac{2x + 1}{x - 3} \)
\( y(x - 3) = 2x + 1 \)
\( yx - 3y = 2x + 1 \)
\( yx - 2x = 3y + 1 \)
\( x(y - 2) = 3y + 1 \)
\( x = \dfrac{3y + 1}{y - 2} \)
\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirdiğimizde \( y = f^{-1} \) fonksiyonunu elde ederiz.
\( y = f^{-1}(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2} \)
(c) seçeneği:
\( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım ve görüntü kümeleri, sırasıyla \( f \) fonksiyonunun görüntü ve tanım kümelerine eşittir.
\( f^{-1} \) tanım kümesi: \( \left[ \dfrac{17}{5}, 9 \right] \)
\( f^{-1} \) görüntü kümesi: \( f^{-1}\left( \left[ \dfrac{17}{5}, 9 \right] \right) = [4, 8] \)
\( f \) fonksiyonu \( 1 \le x \le 4 \) aralığında aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.
\( f(x) = 2^{x - 1} + 3 \)
(a) \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
(b) \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
(c) \( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım ve görüntü kümelerini bulunuz.
Çözümü Göster(a) seçeneği:
Üstel fonksiyon tüm reel sayılarda sürekli ve artandır.
Dolayısıyla \( f \) fonksiyonu tanım aralığında sürekli ve artandır.
Fonksiyon artan olduğu için, en küçük ve en büyük değerlerini tanım aralığının sırasıyla sol ve sağ uç noktalarında alır. Fonksiyon sürekli olduğu için, en küçük ve en büyük değerleri arasındaki tüm değerleri de alır, dolayısıyla fonksiyonun görüntü kümesi bu iki değer arasındaki aralığın tamamı olur.
\( f(1) = 2^{1 - 1} + 3 = 4 \)
\( f(4) = 2^{4 - 1} + 3 = 11 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f \) görüntü kümesi: \( f([1, 4]) = [4, 11] \)
(b) seçeneği:
Bir fonksiyonun tersini bulmak için fonksiyon tanımında \( x \) değişkeni \( y \) cinsinden yalnız bırakılır, elde edilen ifadede \( x \) ve \( y \) değişkenleri aralarında yerleri değiştirilir.
\( y = 2^{x - 1} + 3 \)
\( 2^{x - 1} = y - 3 \)
Her iki tarafın 2 tabanında logaritmasını alalım.
\( \log_2{2^{x - 1}} = \log_2(y - 3) \)
\( x - 1 = \log_2(y - 3) \)
\( x = \log_2(y - 3) + 1 \)
\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirdiğimizde \( y = f^{-1} \) fonksiyonunu elde ederiz.
\( y = f^{-1}(x) = \log_2(x - 3) + 1 \)
(c) seçeneği:
\( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım ve görüntü kümeleri, sırasıyla \( f \) fonksiyonunun görüntü ve tanım kümelerine eşittir.
\( f^{-1} \) tanım kümesi: \( [4, 11] \)
\( f^{-1} \) görüntü kümesi: \( f^{-1}([4, 11]) = [1, 4] \)
\( f\left( \dfrac{x - 1}{x + 1} \right) = x + 2 \) olduğuna göre, \( f(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözümü GösterVerilen eşitlikte \( x \) yerine \( \frac{x - 1}{x + 1} \) ifadesinin tersini koyduğumuzda \( f(x) \) fonksiyonunu buluruz.
\( \frac{ax + b}{cx + d} \) formundaki bir fonksiyonun ters fonksiyonunu kısa yoldan bulmak için \( a \) ve \( d \) katsayıları aralarında yer değiştirir ve her ikisinin işareti değiştirilir, \( b \) ve \( c \) aynı kalır.
\( y = \dfrac{-x - 1}{x - 1} \)
Verilen eşitlikte \( x \) yerine \( \frac{-x - 1}{x - 1} \) yazalım.
\( f\left( \dfrac{\frac{-x - 1}{x - 1} - 1}{\frac{-x - 1}{x - 1} + 1} \right) = \dfrac{-x - 1}{x - 1} + 2 \)
\( f\left( \dfrac{\frac{-x - 1 - x + 1}{x - 1}}{\frac{-x - 1 + x - 1}{x - 1}} \right) = \dfrac{-x - 1 + 2x - 2}{x - 1} \)
\( f\left( \dfrac{\frac{-2x}{x - 1}}{\frac{-2}{x - 1}} \right) = \dfrac{x - 3}{x - 1} \)
\( f(x) = \dfrac{x - 3}{x - 1} \) bulunur.
Eşitliğin sol tarafında parantez içinin \( f(x) \) olacağını bildiğimiz için sadece eşitliğin sağ tarafındaki işlemleri yapmamız da yeterli olacaktır.
\( f \) ve \( g \) birebir ve örten fonksiyonlardır.
\( (g \circ f^{-1})^{-1}(x) = 4x - 9 \)
\( f(x) = x - 1 \)
olduğuna göre, \( g(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözümü GösterBileşke fonksiyonun tersini parantez içine dağıtalım.
\( ((f^{-1})^{-1} \circ g^{-1})(x) = 4x - 9 \)
Ters fonksiyonun tersi fonksiyonun kendisine eşittir.
\( (f \circ g^{-1})(x) = 4x - 9 \)
\( f(g^{-1}(x)) = 4x - 9 \)
Eşitliğin sol tarafını \( f \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( g^{-1}(x) \) yazarak da elde edebiliriz.
\( g^{-1}(x) - 1 = 4x - 9 \)
\( g^{-1}(x) \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( g^{-1}(x) = 4x - 8 \)
Eşitliğin her iki tarafındaki fonksiyonların tersini alalım.
\( g(x) = \dfrac{x + 8}{4} \) bulunur.
\( f(x) = mx + n \) ve \( f^{-1}(x) = nx + m \) olduğuna göre, \( m + n \) kaça eşittir?
Çözümü GösterBir fonksiyonun ve tersinin bileşkesi birim fonksiyona eşittir.
\( (f \circ f^{-1})(x) = f(f^{-1}(x)) = x \)
\( f(nx + m) = x \)
\( m (nx + m) + n = x \)
\( mnx + m^2 + n = x \)
İki polinomun eşitliğinde aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşit olur.
\( mn = 1 \)
\( m^2 + n = 0 \)
\( n = -m^2 \)
Bu değeri birinci eşitlikte yerine koyalım.
\( mn = m(-m^2) = 1 \)
\( m^3 = -1 \)
\( m = -1 \)
\( mn = -1(n) = 1 \Longrightarrow n = -1 \)
\( m + n = -1 + (-1) = -2 \) bulunur.
\( f \) ve \( g \) fonksiyonları birebir ve örtendir.
\( f(3x + 2) = g^{-1}\left( \dfrac{3x - 4}{1 + x} \right) \)
olduğuna göre, \( (g \circ f)(-4) \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen eşitliğin her iki tarafının \( g \) fonksiyonu ile bileşkesini alalım.
\( g(f(3x + 2)) = g\left( g^{-1}\left( \dfrac{3x - 4}{1 + x} \right) \right) \)
\( (g \circ f)(3x + 2) = (g \circ g^{-1})\left( \dfrac{3x - 4}{1 + x} \right) \)
\( g \circ g^{-1} \) bileşke fonksiyonu birim fonksiyona eşittir.
\( (g \circ f)(3x + 2) = I\left( \dfrac{3x - 4}{1 + x} \right) \)
Birim fonksiyonda çıktı değeri girdi değerine eşittir.
\( (g \circ f)(3x + 2) = \dfrac{3x - 4}{1 + x} \)
Bu eşitlikte \( (g \circ f)(-4) \) değerini elde etmek için \( x \) yerine yazılacak değeri bulalım.
\( 3x + 2 = -4 \)
\( x = -2 \)
Eşitlikte \( x = -2 \) yazalım.
\( (g \circ f)(3(-2) + 2) = \dfrac{3(-2) - 4}{1 + (-2)} \)
\( (g \circ f)(-4) = 10 \) bulunur.
\( f: \mathbb{R} - \{ a \} \to \mathbb{R} - \{ b \} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{3x - a}{2x - 1} \) fonksiyonu birebir ve örten olduğuna göre, \( f(b) \) kaçtır?
Çözümü GösterBir rasyonel fonksiyonda paydayı 0 yapan \( x \) değeri fonksiyonu tanımsız yapar. Fonksiyonun tanım kümesindeki tüm elemanlar için tanımlı olması gerektiği için, paydayı sıfır yapan bu \( x \) değeri tanım kümesinin dışında bırakılan \( a \) değeri olmalıdır.
\( 2a - 1 = 0 \Longrightarrow a = \dfrac{1}{2} \)
\( f(x) = \dfrac{3x - \frac{1}{2}}{2x - 1} \)
Fonksiyon birebir ve örten olduğu için tersini alabiliriz.
\( \frac{ax + b}{cx + d} \) formundaki bir fonksiyonun ters fonksiyonunu kısa yoldan bulmak için \( a \) ve \( d \) katsayıları aralarında yer değiştirir ve her ikisinin işareti değiştirilir, \( b \) ve \( c \) aynı kalır.
\( f^{-1}(x) = \dfrac{x - \frac{1}{2}}{2x - 3} \)
\( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım kümesi, \( f \) fonksiyonunun tanım kümesi \( f^{-1} \) fonksiyonunun görüntü kümesidir.
\( f^{-1}: \mathbb{R} - \{ b \} \to \mathbb{R} - \{ \frac{1}{2} \} \)
Yine bir rasyonel fonksiyon olan ters fonksiyonda paydayı 0 yapan değer fonksiyonu tanımsız yapar. Fonksiyonun tanım kümesindeki tüm elemanlar için tanımlı olması gerektiği için, paydayı sıfır yapan bu \( x \) değeri ters fonksiyonun tanım kümesinin dışında bırakılan \( b \) değeri olmalıdır.
\( 2b - 3 = 0 \Longrightarrow b = \dfrac{3}{2} \)
\( f(b) \) değerini bulmak için \( x = \frac{3}{2} \) yazalım.
\( f(b) = f\left( \dfrac{3}{2} \right) \)
\( = \dfrac{3(\frac{3}{2}) - \frac{1}{2}}{2(\frac{3}{2}) - 1} = 2 \) bulunur.
\( f: [4, \infty) \to A \) fonksiyonu örtendir.
\( f(x) = x^2 - 8x + 12 \) olduğuna göre, \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözümü GösterVerilen fonksiyon başkatsayısı pozitif ve kolları yukarı yönlü olan bir paraboldür.
Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.
\( r = -\dfrac{-8}{2} = 4 \)
\( k = f(4) = 4^2 - 8(4) + 12 = -4 \)
\( T(4, -4) \) olduğuna göre parabolün görüntü kümesi \( [-4, \infty) \) olur.
\( f: [4, \infty) \to [-4, \infty) \)
Fonksiyonun tanım kümesi parabolün tepe noktası ve daha büyük apsis değerli noktaları kapsadığı için fonksiyon yatay doğru testini geçer ve birebirdir, dolayısıyla tersi tanımlıdır.
\( x \) değişkenini yalnız bırakalım.
İfadeyi tam kareye tamamlamak için 16 ekleyip çıkaralım.
\( y = x^2 - 8x + 16 - 16 + 12 \)
\( y = (x - 4)^2 - 4 \)
\( (x - 4)^2 = y + 4 \)
\( \sqrt{(x - 4)^2} = \sqrt{y + 4} \)
\( \abs{x - 4} = \sqrt{y + 4} \)
\( f \) fonksiyonunun tanım kümesi 4'ten büyük reel sayıları kapsadığı için \( x - 4 \) ifadesi mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( x - 4 = \sqrt{y + 4} \)
\( x = \sqrt{y + 4} + 4 \)
\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirdiğimizde \( y = f^{-1} \) fonksiyonunu elde ederiz.
\( y = f^{-1}(x) = \sqrt{x + 4} + 4 \)
\( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım kümesi \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesine, \( f^{-1} \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( f \) fonksiyonunun tanım kümesine eşittir.
\( f^{-1}: [-4, \infty) \to [4, \infty) \)
\( f \) fonksiyonu \( -4 \le x \lt 4 \) aralığında aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.
\( f(x) = \sqrt{\dfrac{4 + x}{4 - x}} \)
(a) \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
(b) \( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım ve görüntü kümelerini bulunuz.
Çözümü Göster(a) seçeneği:
Bir fonksiyonun tersini bulmak için fonksiyon tanımında \( x \) değişkeni \( y \) cinsinden yalnız bırakılır, elde edilen ifadede \( x \) ve \( y \) değişkenleri aralarında yerleri değiştirilir.
\( y = \sqrt{\dfrac{4 + x}{4 - x}} \)
Her iki tarafın karesini alalım.
\( y^2 = \dfrac{4 + x}{4 - x} \)
\( y^2(4 - x) = 4 + x \)
\( 4y^2 - xy^2 = 4 + x \)
\( x \)'li terimleri eşitliğin aynı tarafında toplayalım.
\( 4y^2 - 4 = xy^2 + x \)
\( 4(y^2 - 1) = x(y^2 + 1) \)
\( x = \dfrac{4(y^2 - 1)}{y^2 + 1} \)
\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirdiğimizde \( y = f^{-1} \) fonksiyonunu elde ederiz.
\( y = f^{-1}(x) = \dfrac{4(x^2 - 1)}{x^2 + 1} \)
(b) seçeneği:
\( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım ve görüntü kümeleri, sırasıyla \( f \) fonksiyonunun görüntü ve tanım kümelerine eşittir.
\( f \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
Kök içindeki payı paydaya bölerek fonksiyonu düzenleyelim.
\( f(x) = \sqrt{\dfrac{-(4 - x) + 8}{4 - x}} \)
\( = \sqrt{\dfrac{8}{4 - x} - 1} \)
\( h_1(x) = 4 - x, h_2(x) = \dfrac{1}{x}, h_3(x) = 8x, h_4(x) = x - 1 , h_5(x) = \sqrt{x} \)
\( f = h_5 \circ h_4 \circ h_3 \circ h_2 \circ h_1 \)
Fonksiyonu, her biri kendisine uygulanan aralıkta sürekli ve monoton olan daha basit fonksiyonların bileşkesi olarak yazabildiğimiz için, görüntü kümesini tanım aralığından başlayıp adım adım elde edebiliriz.
\( -4 \le x \lt 4 \)
Eşitsizliğin taraflarını \( -1 \) ile çarpalım. Bu durumda eşitsizlik yön değiştirir.
\( -4 \lt -x \le 4 \)
Eşitsizliğin taraflarına \( 4 \) ekleyelim.
\( 0 \lt 4 - x \le 8 \)
Eşitsizliğin tarafları pozitif olduğundan çarpmaya göre terslerini aldığımızda eşitsizlik yön değiştirir.
\( \dfrac{1}{4 - x} \ge \dfrac{1}{8} \)
Eşitsizliğin taraflarını \( 8 \) ile çarpalım.
\( \dfrac{8}{4 - x} \ge 1 \)
Eşitsizliğin taraflarından \( 1 \) çıkaralım.
\( \dfrac{8}{4 - x} - 1 \ge 0 \)
Eşitsizliğin taraflarının karekökünü alalım.
\( \sqrt{\dfrac{8}{4 - x} - 1} \ge 0 \)
Soldaki ifade \( f(x) \)'e eşittir.
\( f(x) \ge 0 \)
\( f \) görüntü kümesi: \( f([-4, 4)) = [0, \infty) \)
\( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım ve görüntü kümeleri, sırasıyla \( f \) fonksiyonunun görüntü ve tanım kümelerine eşittir.
\( f^{-1} \) tanım kümesi: \( [0, \infty) \)
\( f^{-1} \) görüntü kümesi: \( f^{-1}([0, \infty)) = [-4, 4) \)
\( f(x) = \dfrac{2x + 3}{4x - 2} \) olduğuna göre,
\( \underbrace{(f \circ f \circ \ldots \circ f \circ f)}_\text{999 adet}(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözümü Göster\( \frac{ax + b}{cx + d} \) formundaki bir fonksiyonun ters fonksiyonunu kısa yoldan bulmak için \( a \) ve \( d \) katsayıları aralarında yer değiştirir ve her ikisinin işareti değiştirilir, \( b \) ve \( c \) aynı kalır.
\( f^{-1}(x) = \dfrac{2x + 3}{4x - 2} \)
Buna göre verilen fonksiyon tersine eşittir.
\( f(x) = f^{-1}(x) \)
Bir fonksiyonun tersi ile bileşkesi birim fonksiyonu verir.
\( (f \circ f^{-1})(x) = I(x) = x \)
Buna göre verilen ifadeyi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( (f \circ f \circ \ldots \circ f \circ f \circ f)(x) = (f \circ f^{-1} \circ \ldots \circ f \circ f^{-1} \circ f)(x) \)
Son fonksiyon dışındaki fonksiyonların ikişerli bileşkesi birim fonksiyonu verir.
\( = (I \circ \ldots \circ I \circ f)(x) \)
\( = f(x) = \dfrac{2x + 3}{4x - 2} \) bulunur.
\( f, g, h, t \) fonksiyonları tanımlı oldukları aralıklarda birebir ve örtendir.
\( (f \circ g^{-1} \circ h)(x) = 3x + 4 \)
\( (h^{-1} \circ g)(x) = 2x - 1 \) olduğuna göre, \( f \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözümü GösterBirinci eşitlikteki fonksiyonların ikinci eşitlikteki fonksiyonlarla bileşkesini alalım.
\( (f \circ g^{-1} \circ h \circ h^{-1} \circ g)(x) = 3(2x - 1) + 4 \)
Bir fonksiyonun tersi ile bileşkesi birim fonksiyonu verir.
\( k \circ k^{-1} = k^{-1} \circ k = I \)
\( (f \circ g^{-1} \circ I \circ g)(x) = 6x + 1 \)
Bir fonksiyonun birim fonksiyon ile bileşkesi kendisini verir.
\( k \circ I = I \circ k = k \)
\( (f \circ g^{-1} \circ g)(x) = 6x + 1 \)
\( (f \circ I)(x) = 6x + 1 \)
\( f(x) = 6x + 1 \) bulunur.
\( f, g, h \) birebir ve örten fonksiyonlardır.
Aşağıdaki fonksiyonların tersini bulunuz.
(a) \( f(x) = 2 - \ln(x + 1) \)
(b) \( g(x) = \sqrt{e^x - 2} \)
(c) \( h(x) = 1 + 2e^{-x} \)
Çözümü GösterBir fonksiyonun tersini bulmak için fonksiyon tanımında \( x \) değişkeni \( y \) cinsinden yalnız bırakılır, elde edilen ifadede \( x \) ve \( y \) değişkenleri aralarında yerleri değiştirilir.
(a) seçeneği:
\( y = 2 - \ln(x + 1) \)
\( x \) değişkenini yalnız bırakalım.
\( \ln(x + 1) = 2 - y \)
Logaritma ifadesini üstel formda yazalım.
\( x + 1 = e^{2 - y} \)
\( x = e^{2 - y} - 1 \)
\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin aralarında yerlerini değiştirdiğimizde ters fonksiyonu elde ederiz.
\( y = f^{-1}(x) = e^{2 - x} - 1 \)
(b) seçeneği:
\( y = \sqrt{e^x - 2} \)
Eşitliğin her iki tarafının karesini alıp köklü ifadeden kurtulalım.
\( y^2 = e^x - 2 \)
\( e^x = y^2 + 2 \)
Her iki tarafın doğal logaritmasını alalım.
\( \ln{e^x} = \ln(y^2 + 2) \)
\( x = \ln(y^2 + 2) \)
\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin aralarında yerlerini değiştirdiğimizde ters fonksiyonu elde ederiz.
\( y = g^{-1}(x) = \ln(x^2 + 2) \)
(c) seçeneği:
\( y = 1 + 2e^{-x} \)
\( x \) değişkenini yalnız bırakalım.
\( 2e^{-x} = y - 1 \)
\( e^{-x} = \dfrac{y - 1}{2} \)
Her iki tarafın doğal logaritmasını alarak \( e \) ifadesinden kurtulalım.
\( \ln{e^{-x}} = \ln{\dfrac{y - 1}{2}} \)
\( -x = \ln{\dfrac{y - 1}{2}} \)
\( x = -\ln{\dfrac{y - 1}{2}} \)
\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin aralarında yerlerini değiştirdiğimizde ters fonksiyonu elde ederiz.
\( y = h^{-1}(x) = -\ln{\dfrac{x - 1}{2}} \)
\( f(x) = \dfrac{12^x + 20^x}{3^x + 5^x} \) olduğuna göre, \( f(2) \cdot f^{-1}(2) \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = \dfrac{12^x + 20^x}{3^x + 5^x} = \dfrac{3^x \cdot 4^x + 4^x \cdot 5^x}{3^x + 5^x} \)
Eşitliği \( 4^x \) parentezine alalım.
\( = \dfrac{4^x(3^x + 5^x)}{3^x + 5^x} = 4^x \)
Üstel fonksiyonun ters fonksiyonu logaritma fonksiyonudur.
\( f^{-1}(x) = \log_4{x} \)
Sorudaki ifadelerin değerini bulalım.
\( f(2) = 4^2 = 16 \)
\( f^{-1}(2) = \log_4{2} = \dfrac{1}{2} \)
Bulduğumuz değerleri yerlerine koyalım.
\( f(2) \cdot f^{-1}(2) = 16 \cdot \dfrac{1}{2} = 8 \) bulunur.
Yukarıda \( y = f(x + 2) \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
\( \dfrac{f(0) + f^{-1}(-1)}{f(2)} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( f(2) \) değerini bulmak için \( f(x + 2) \) grafiğinde \( x = 0 \) noktasına bakılır.
\( f(0 + 2) = f(2) = -1 \)
\( f(0) \) değerini bulmak için \( f(x + 2) \) grafiğinde \( x = -2 \) noktasına bakılır.
\( f(-2 + 2) = f(0) = -2 \)
\( f(2) = -1 \) olarak bulduğumuz için \( f^{-1}(-1) = 2 \) olur.
Bu değerleri sorudaki ifadede yerlerine koyalım.
\( \dfrac{f(0) + f^{-1}(-1)}{f(2)} = \dfrac{-2 + 2}{-1} = 0 \) bulunur.
\( g \) fonksiyonu birebir ve örten olduğuna göre, verilen aralıkta \( g(x) = g^{-1}(x) \) eşitliğini sağlayan kaç reel sayı vardır?
Çözümü Göster\( g(x) = g^{-1}(x) \) eşitliği, \( g(x) \) ve \( g^{-1}(x) \) fonksiyonlarının kesişim noktalarını ifade eder.
Bir fonksiyonun ve tersinin grafikleri \( y = x \) doğrusuna göre simetriktir, dolayısıyla iki fonksiyonun grafiklerinin kesişim noktaları \( y = x \) doğrusu üzerinde bulunur.
Buna göre, \( g(x) = g^{-1}(x) \) eşitliğini sağlayan noktalar, \( f(x) \) ve \( g(x) \) fonksiyonlarının grafiklerinin kesişim noktaları ile aynıdır.
Grafiği incelediğimizde \( f(x) \) ve \( g(x) \) fonksiyonları 5 noktada kesişir, dolayısıyla \( g(x) = g^{-1}(x) \) eşitliğini sağlayan 5 reel sayı vardır.
Yukarıdaki grafikteki \( g \) fonksiyonu doğrusal, her iki fonksiyon birebir ve artandır.
\( (g^{-1} \circ f)(k) = -3 \) olduğuna göre, \( k \) kaçtır?
Çözümü GösterEksenleri \( (a, 0) \) ve \( (0, b) \) noktalarında kesen doğrunun denklemi aşağıdaki formülle bulunur.
\( \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1 \)
\( \dfrac{x}{-6} + \dfrac{y}{2} = 1 \)
\( -x + 3y = 6 \)
\( y = g(x) = \dfrac{x}{3} + 2 \)
\( f \) ve \( g \) fonksiyonları \( x = k \) noktasında kesiştiklerine göre, bu noktada iki fonksiyonun değeri eşittir.
\( f(k) = g(k) = \dfrac{k}{3} + 2 \)
Soruda verilen ifadeyi düzenleyelim.
\( (g^{-1} \circ f)(k) = g^{-1}(f(k)) = -3 \)
\( g(-3) = f(k) \)
\( \dfrac{-3}{3} + 2 = f(k) \)
\( f(k) = 1 \)
\( f(k) = g(k) \) eşitliğini kullanalım.
\( g(k) = 1 \)
\( \dfrac{k}{3} + 2 = 1 \)
\( k = -3 \) bulunur.
\( f(\log_2{x}) = \sqrt{x} + 5 \) olduğuna göre, \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözümü GösterFonksiyonun içini \( x \) yapabilmek için \( x \) yerine \( \log_2{x} \) ifadesinin tersi olan \( 2^x \) yazalım.
\( f(\log_2{2^x}) = \sqrt{2^x} + 5 \)
\( f(x) = \sqrt{2^x} + 5 = y \)
\( x \) değişkenini yalnız bırakalım.
\( y - 5 = \sqrt{2^x} \)
Tarafların karesini alalım.
\( (y - 5)^2 = 2^x \)
Tarafların 2 tabanında logaritmasını alalım.
\( \log_2{(y - 5)^2} = \log_2{2^x} \)
\( x = 2\log_2(y - 5) \)
\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirdiğimizde \( y = f^{-1}(x) \) fonksiyonunu elde ederiz.
\( y = f^{-1}(x) = 2\log_2(x - 5) \)