Birim Fonksiyon
Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü yine kendisi olan fonksiyona birim fonksiyon denir. \( A \) kümesi üzerindeki birim fonksiyon genellikle \( I_A \) ile gösterilir.
\( I_A: A \to A \) olmak üzere,
Her \( x \in A \) elemanı için \( I_A(x) = x \) ise,
\( I_A \), \( A \) kümesi üzerindeki birim fonksiyondur.
Birim fonksiyonun grafiği orijinden geçen ve eğimi 1 olan doğrudur.
Birim fonksiyon birebir ve örtendir.
Bileşke fonksiyon bölümünde göreceğimiz üzere, birim fonksiyon bileşke işleminde etkisizdir.
\( f: A \to B \) olmak üzere,
\( f \circ I_A = I_B \circ f = f \)
Ters fonksiyon bölümünde göreceğimiz üzere, bir fonksiyonun tersiyle bileşkesi uygun birim fonksiyonu verir.
\( f: A \to B \) birebir ve örten bir fonksiyon olmak üzere,
\( f \circ f^{-1} = I_B \)
\( f^{-1} \circ f = I_A \)
\( f(2x + 1) = ax^2 + bx + a - 2b - c \) birim fonksiyon olduğuna göre, \( c \) kaçtır?
Çözümü GösterBirim fonksiyonda tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü kendisidir.
Buna göre aşağıdaki eşitlik sağlanmalıdır.
\( f(2x + 1) = 2x + 1 \)
\( ax^2 + bx + a - 2b - c = 2x + 1 \)
İki polinomun eşitliğinde derecesi aynı olan terimlerin katsayıları birbirine eşittir.
\( a = 0 \)
\( b = 2 \)
\( a - 2b - c = 1 \)
\( 0 - 2(2) - c = 1 \)
\( c = -5 \) bulunur.
\( f(x - 1) = \dfrac{ax^2 + bx + c}{x - 2} \) birim fonksiyon olduğuna göre, \( f(a + b - c) \) kaçtır?
Çözümü GösterBirim fonksiyonda tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü kendisidir.
Buna göre aşağıdaki eşitlik sağlanmalıdır.
\( f(x - 1) = x - 1 \)
\( \dfrac{ax^2 + bx + c}{x - 2} = x - 1 \)
\( ax^2 + bx + c = (x - 1)(x - 2) \)
\( ax^2 + bx + c = x^2 - 3x + 2 \)
İki polinomun eşitliğinde derecesi aynı olan terimlerin katsayıları birbirine eşittir.
\( a = 1, \quad b = -3, \quad c = 2 \)
\( f(a + b - c) = f(1 + (-3) - 2) = f(-4) \)
Birim fonksiyonda her elemanın görüntüsü kendisine eşittir.
\( = -4 \) bulunur.
Aşağıdaki öncüllerden hangileri doğrudur?
I. Her doğrusal fonksiyon sabit fonksiyondur.
II. Her sabit fonksiyon birim fonksiyondur.
III. Her birim fonksiyon doğrusal fonksiyondur.
IV. Her doğrusal fonksiyon birim fonksiyondur.
Çözümü GösterDoğrusal fonksiyonlar \( f(x) = mx + c \) formundadır.
Birim fonksiyon \( f(x) = x \) formundadır.
Sabit fonksiyonlar \( f(x) = c \) formundadır.
I. öncül:
Doğrusal fonksiyonlar sadece \( m = 0 \) olduğunda sabit fonksiyon olur.
I. öncül yanlıştır.
II. öncül:
Birim fonksiyonda bir \( x \) değerinin görüntüsü kendisidir, sabit fonksiyonda ise sabit bir değerdir.
II. öncül yanlıştır.
III. öncül:
Birim fonksiyon \( f(x) = 1x + 0 \) şeklinde yazılabilir, dolayısıyla aynı zamanda doğrusaldır.
III. öncül doğrudur.
IV. öncül:
Doğrusal fonksiyonlar sadece \( m = 1 \) ve \( c = 0 \) olduğunda birim fonksiyon olur.
IV. öncül yanlıştır.
Buna göre sadece III. öncül doğrudur.
\( f \) birim fonksiyon ve \( g \) sabit fonksiyon olmak üzere,
\( f(3k - 1) + g(n + 1) = f(k + 3) + g(2n) \) olduğuna göre, \( k \) kaçtır?
Çözümü Göster\( g \) sabit fonksiyon olduğu için \( g(n + 1) = g(2n) \) olur, dolayısıyla eşitliğin her iki tarafındaki bu iki ifade birbirini götürür.
\( f(3k - 1) = f(k + 3) \)
\( f \) birim fonksiyon olduğu için \( f(x) = x \) olur.
\( f(3k - 1) = 3k - 1 \)
\( f(k + 3) = k + 3 \)
Bu değerleri eşitlikte yerine koyalım.
\( 3k - 1 = k + 3 \)
\( k = 2 \) bulunur.
\( f \) birim fonksiyondur.
\( f(k) + f(2k) + f(3k) + \ldots + f(24k) = 900 \) olduğuna göre, \( f(k^3) \) kaçtır?
Çözümü GösterBirim fonksiyon aşağıdaki şekilde tanımlıdır.
\( f(x) = x \)
\( f(k) = k, f(2k) = 2k, \ldots, f(24k) = 24k \)
\( k + 2k + 3k + \ldots + 24k = 900 \)
Ardaşık sayıların toplam formülünü kullanalım.
\( \dfrac{k + 24k}{2} \cdot 24 = 900 \)
\( 25k = 75 \)
\( k = 3 \)
\( f(k^3) = f(3^3) = f(27) = 27 \) bulunur.
\( f \) ve \( g \) reel sayılar kümesinde tanımlı doğrusal fonksiyonlardır.
\( f \) fonksiyonu \( x \) eksenini \( (5, 0) \) noktasında, \( g \) fonksiyonu \( y \) eksenini \( (0, 2) \) noktasında kesmektedir.
\( h(x) \) birim fonksiyon olup, \( h(x) = 4f(x) - 5g(x) \) eşitliği verilmektedir.
Buna göre \( f(4) + g(3) \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) doğrusal bir fonksiyondur.
\( f(x) = mx + c \)
\( f \) fonksiyonu \( x \) eksenini \( (5, 0) \) noktasında keser.
\( f(5) = m(5) + c = 0 \)
\( c = -5m \)
\( f(x) = mx - 5m \)
\( g \) doğrusal bir fonksiyondur.
\( g(x) = nx + d \)
\( g \) fonksiyonu \( y \) eksenini \( (0, 2) \) noktasında keser.
\( g(0) = n(0) + d = 2 \)
\( d = 2 \)
\( g(x) = nx + 2 \)
\( h \) birim fonksiyondur
\( h(x) = x \)
\( h \) fonksiyonu için aşağıdaki eşitlik veriliyor.
\( h(x) = 4f(x) - 5g(x) \)
\( x = 4(mx - 5m) - 5(nx + 2) \)
\( x = 4mx - 20m - 5nx - 10 \)
\( x = (4m - 5n)x - 20m - 10 \)
İki polinomun eşitliğinde aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşittir.
\( 4m - 5n = 1 \)
\( -20m - 10 = 0 \)
\( m = -\dfrac{1}{2} \)
\( n = -\dfrac{3}{5} \)
Buna göre fonksiyonların tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2} \)
\( g(x) = -\dfrac{3}{5}x + 2 \)
Soruda istenen değerleri bulalım.
\( f(4) = -\dfrac{1}{2}(4) + \dfrac{5}{2} = \dfrac{1}{2} \)
\( g(3) = -\dfrac{3}{5}(3) + 2 = \dfrac{1}{5} \)
\( f(4) + g(3) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{7}{10} \) bulunur.
Aşağıdaki fonksiyonların birim fonksiyon olduğu en geniş tanım kümelerini bulunuz.
(a) \( f(x) = e^{\ln{x}} \)
(b) \( g(x) = \ln{e^x} \)
(c) \( h(x) = \sin(\arcsin{x}) \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( f \) fonksiyonu birim fonksiyon şeklinde ifade edilebilir.
\( f(x) = e^{\ln{x}} = x \)
\( \ln{x} \) fonksiyonunun tanım kümesi \( x \in (0, \infty) \) olduğu için \( f \) fonksiyonunun tanım kümesi de bu aralık olur.
\( f: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R^+} \)
(b) seçeneği:
\( g \) fonksiyonu birim fonksiyon şeklinde ifade edilebilir.
\( g(x) = \ln{e^x} = x\ln{e} = x \)
\( e^x \) ifadesinin tanım kümesi tüm reel sayılar ve görüntü kümesi pozitif reel sayılar olduğu için \( \ln{e^x} \) ifadesi tüm reel sayılarda tanımlıdır.
\( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)
(c) seçeneği:
\( h \) fonksiyonu birim fonksiyon şeklinde ifade edilebilir.
\( h(x) = \sin(\arcsin{x}) = x \)
\( \arcsin{x} \) fonksiyonunun tanım kümesi \( x \in [-1, 1] \) olduğu için \( h \) fonksiyonunun tanım kümesi de bu aralık olur.
\( h: [-1, 1] \to [-1, 1] \)