\( f: A \to B \) şeklinde bir fonksiyon tanımlayalım. \( I_A \) fonksiyonu \( A \) kümesinde tanımlı, \( I_B \) fonksiyonu da \( B \) kümesinde tanımlı birim fonksiyonlardır.
Her \( a \in A \) ve \( b \in B \) için,
\( I_A(a) = a \)
\( I_B(b) = b \)
\( f \) fonksiyonunun sol ve sağ tersi olan fonksiyonlar aşağıdaki şekilde tanımlanır.
Bir Fonksiyonun Sol Tersi
BİR FONKSİYONUN SOL TERSİ:
\( g: B \to A \) olmak üzere,
\( g \circ f = I_A \) ise,
\( g \) fonksiyonuna \( f \) fonksiyonunun sol tersi denir.
Bu tanımı sağlayan bir \( f \) fonksiyonu ve sol tersi olan (ancak sağ tersi olmayan) \( g \) fonksiyonu için küme ve Venn şema gösterimleri aşağıda verilmiştir.
Bir fonksiyonun sol tersi
ÖRNEK:
\( f = \{(a, 1), (b, 2), (c, 3)\} \)
\( g = \{(1, a), (2, b), (3, c), (4, c)\} \)
\( g \circ f = \{(a, a), (b, b), (c, c)\} \)
Bir fonksiyonun sol tersinin tanımlı olması için gerekli ve yeterli koşul fonksiyonun birebir olmasıdır.
\( h \) fonksiyonuna \( f \) fonksiyonunun sağ tersi denir.
Bu tanımı sağlayan bir \( f \) fonksiyonu ve sağ tersi olan (ancak sol tersi olmayan) \( h \) fonksiyonu için küme ve Venn şema gösterimleri aşağıda verilmiştir.
Bir fonksiyonun sağ tersi
ÖRNEK:
\( f = \{(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 3)\} \)
\( h = \{(1, a), (2, b), (3, c)\} \)
\( f \circ h = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3)\} \)
Bir fonksiyonun sağ tersinin tanımlı olması için gerekli ve yeterli koşul fonksiyonun örten olmasıdır.
Bir fonksiyonun hem sol tersi hem de sağ tersi tanımlı ise bu fonksiyonun ters fonksiyonu tanımlıdır.
\( g, h: B \to A \) olmak üzere,
\( g \) fonksiyonu \( f \) fonksiyonun sol tersi olsun.
\( g \circ f = I_A \)
\( h \) fonksiyonu \( f \) fonksiyonun sağ tersi olsun.
\( f \circ h = I_B \)
Bu durumda \( f \) fonksiyonun ters fonksiyonu tanımlıdır ve bu iki fonksiyona eşittir.
\( g = h = f^{-1} \)
Buna göre bir fonksiyonun tersinin tanımlı olması için fonksiyonun sol ve sağ tersi tanımlı olmalı, dolayısıyla fonksiyon hem birebir hem de örten olmalıdır.
Bir \( f \) fonksiyonunun tersi \( g \) fonksiyonu ise \( g \) fonksiyonun tersi de \( f \) fonksiyonudur.
