Fonksiyonun Sol ve Sağ Tersi
\( f: A \to B \) şeklinde bir fonksiyon tanımlayalım. \( A \) ve \( B \) kümeleri üzerindeki birim fonksiyonlara sırasıyla \( I_A \) ve \( I_B \) diyelim.
Her \( a \in A \) ve \( b \in B \) için,
\( I_A(a) = a \)
\( I_B(b) = b \)
\( f \) fonksiyonunun sol ve sağ tersi olan fonksiyonlar aşağıdaki şekilde tanımlanır.
Bir Fonksiyonun Sol Tersi
\( g: B \to A \) olmak üzere,
\( g \circ f = I_A \) ise,
\( g \) fonksiyonuna \( f \) fonksiyonunun sol tersi denir.
Aşağıda bu tanımı sağlayan bir \( f \) fonksiyonu ve sol tersi olan (ancak sağ tersi olmayan) \( g \) fonksiyonu gösterilmiştir.
\( f = \{(a, 1), (b, 2), (c, 3)\} \)
\( g = \{(1, a), (2, b), (3, c), (4, c)\} \)
\( g \circ f = \{(a, a), (b, b), (c, c)\} \)
Bir fonksiyonun sol tersinin var olması için gerekli ve yeterli koşul, fonksiyonun birebir olmasıdır.
Bir \( f: A \to B \) fonksiyonu tanımlayalım.
Önce \( f \) fonksiyonunun sol tersi olan bir fonksiyon varsa \( f \) fonksiyonunun birebir olduğunu gösterelim.
\( g: B \to A \) fonksiyonunun \( f \) fonksiyonunun sol tersi olduğunu kabul edelim.
\( a_1, a_2 \in A \) olsun.
\( f \) fonksiyonunun birebir olduğunu göstermek için \( f(a_1) = f(a_2) \) olduğunu kabul edelim.
Eşitliğin taraflarının \( g \) fonksiyonuna göre görüntüsü de birbirine eşit olur.
\( g(f(a_1)) = g(f(a_2)) \)
\( (g \circ f)(a_1) = (g \circ f)(a_2) \)
\( g \) fonksiyonu \( f \) fonksiyonunun sol tersi ise tanım gereği \( g \circ f = I_A \) olur.
\( I_A(a_1) = I_A(a_2) \)
\( a_1 = a_2 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonu birebirdir.
Şimdi \( f \) fonksiyonu birebir ise sol tersi olan bir fonksiyonun var olduğunu gösterelim.
\( f \) fonksiyonunun birebir olduğunu kabul edelim.
\( g: B \to A \) şeklinde tanımlı ve \( f \) fonksiyonunun sol tersi olan bir fonksiyon bulunduğunu gösterelim.
\( b \in B \) olsun.
\( b \) elemanı iki farklı durumda olabilir.
Durum 1: \( b \in f(A) \)
\( f \) birebir olduğu için \( f(a) = b \) olan benzersiz bir \( a \in A \) elemanı vardır.
Tanımlayacağımız \( g \) fonksiyonu bu \( b \) elemanını bu \( a \) elemanı ile eşlesin.
Durum 2: \( b \not\in f(A) \)
Herhangi bir \( a_1 \in A \) elemanı seçelim.
Tanımlayacağımız \( g \) fonksiyonu bu \( b \) elemanını seçtiğimiz bu sabit \( a_1 \) elemanı ile eşlesin.
\( b \not\in f(A) \) olduğu için bu tanımlama \( g \circ f = I_A \) eşitliğini bozmayacaktır.
Buna göre \( f \) fonksiyonunun sol tersi olan bir \( g \) fonksiyonunu aşağıdaki şekilde tanımlayabiliriz.
Bir Fonksiyonun Sağ Tersi
\( h: B \to A \) olmak üzere,
\( f \circ h = I_B \) ise,
\( h \) fonksiyonuna \( f \) fonksiyonunun sağ tersi denir.
Aşağıda bu tanımı sağlayan bir \( f \) fonksiyonu ve sağ tersi olan (ancak sol tersi olmayan) \( h \) fonksiyonu gösterilmiştir.
\( f = \{(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 3)\} \)
\( h = \{(1, a), (2, b), (3, c)\} \)
\( f \circ h = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3)\} \)
Bir fonksiyonun sağ tersinin var olması için gerekli ve yeterli koşul, fonksiyonun örten olmasıdır.
Bir \( f: A \to B \) fonksiyonu tanımlayalım.
Önce \( f \) fonksiyonunun sağ tersi olan bir fonksiyon varsa \( f \) fonksiyonunun örten olduğunu gösterelim.
\( h: B \to A \) fonksiyonunun \( f \) fonksiyonunun sağ tersi olduğunu kabul edelim.
\( b \in B \) olsun.
\( h \) fonksiyonu \( f \) fonksiyonunun sağ tersi olduğu için tanım gereği \( f \circ h = I_B \) olur.
\( (f \circ h)(b) = b \)
\( f(h(b)) = b \)
Dolayısıyla \( b \) elemanı en az bir \( a \in A \) elemanının \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsüdür.
Buna göre \( f \) fonksiyonu örtendir.
Şimdi \( f \) fonksiyonu örten ise sağ tersi olan bir fonksiyonun var olduğunu gösterelim.
\( f \) fonksiyonunun örten olduğunu kabul edelim.
\( h: B \to A \) şeklinde tanımlı ve \( f \) fonksiyonunun sağ tersi olan bir fonksiyon bulunduğunu gösterelim.
\( b \in B \) olsun.
\( f \) fonksiyonu örten olduğu için \( f(a) = b \) olan en az bir \( a \in A \) vardır.
\( b \) elemanı iki farklı durumda olabilir.
Durum 1: \( f(a) = b \) olan tek bir \( a \in A \) elemanı vardır.
Tanımlayacağımız \( h \) fonksiyonu bu \( b \) elemanını bu \( a \) elemanı ile eşlesin.
Durum 2: \( f(a) = b \) olan birden fazla \( a \in A \) elemanı vardır.
Bu elemanlar arasından herhangi bir \( a_1 \in A \) seçelim.
Tanımlayacağımız \( h \) fonksiyonu bu \( b \) elemanını seçtiğimiz bu \( a_1 \) elemanı ile eşlesin.
Yukarıdaki şekilde tanımlayacağımız \( h \) fonksiyonu \( f \) fonksiyonunun sağ tersi olur.
Bir Fonksiyonun Tersi
Bir fonksiyonun hem sol hem de sağ tersi tanımlı ise bu fonksiyonun ters fonksiyonu tanımlıdır.
\( g, h: B \to A \) olmak üzere,
\( g \) fonksiyonu \( f \) fonksiyonun sol tersi, \( h \) fonksiyonu da sağ tersi olsun.
\( g \circ f = I_A \)
\( f \circ h = I_B \)
Bu durumda \( f \) fonksiyonun tersi tanımlıdır ve bu iki fonksiyona eşittir.
\( g = h = f^{-1} \)
Buna göre bir fonksiyonun tersinin var olması için fonksiyonun hem sol ve hem de sağ tersi var olmalı, dolayısıyla fonksiyon hem birebir hem de örten olmalıdır.
sol ters var \( \Longleftrightarrow \) \( f \) birebir
sağ ters var \( \Longleftrightarrow \) \( f \) örten
sol ve sağ ters var \( \Longleftrightarrow \) \( f \) birebir ve örten
Bir \( f \) fonksiyonunun tersi \( g \) fonksiyonu ise \( g \) fonksiyonun tersi de \( f \) fonksiyonudur.
\( f^{-1} = g \Longleftrightarrow f = g^{-1} \)