Kartezyen Çarpımı

\( A \) ve \( B \) kümelerinin kartezyen çarpımı, birinci bileşeni \( A \) kümesinden, ikinci bileşeni \( B \) kümesinden alınmak üzere, yazılabilecek tüm \( (a, b) \) sıralı ikililerinin kümesidir. \( A \) ve \( B \) kümelerinin kartezyen çarpımı \( A \times B \) ile gösterilir.

İki kümenin kartezyen çarpımının ortak özellik yöntemi ile tanımı aşağıdaki gibidir.

İki kümenin kartezyen çarpımının liste, Venn şeması ve tablo şeklinde gösterimleri aşağıdaki gibidir.

İki kümenin kartezyen çarpımı
İki kümenin kartezyen çarpımı
Kartezyen çarpımının tablo gösterimi
Kartezyen çarpımının tablo gösterimi

İki kümenin kartezyen çarpımı da bir kümedir ve bu kümenin elemanları birer sıralı ikilidir (sıralı ikililerin parantez içindeki bileşenleri değildir). Kartezyen çarpım kümesinin elemanı olan her bir sıralı ikili, yukarıdaki Venn şemasındaki birer oka karşılık gelir.

\( A \) ve \( B \) kümelerinin kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı iki kümenin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Yukarıdaki örnekteki 3 elemanlı \( A \) ve 4 elemanlı \( B \) kümelerinin kartezyen çarpımının 12 elemanlı olduğunu kartezyen çarpımının liste şeklinde yazılışındaki eleman sayısı ve Venn şeması gösterimindeki ok sayısı ile teyit edebiliriz.

Bir kümenin kendisiyle kartezyen çarpımı üslü ifade şeklinde de gösterilebilir.

Her noktanın koordinatlarının birer sıralı ikili (sıralı üçlü) olarak ifade edildiği iki (üç) boyutlu koordinat sistemleri aşağıdaki şekilde de gösterilir.

Kartezyen Çarpımı İşlem Özellikleri

Kartezyen çarpım kümesinin elemanları olan sıralı ikililerde bileşenlerin sırası önemli olduğu için kartezyen çarpımının değişme özelliği yoktur.

Kartezyen çarpımının kesişim, birleşim ve fark işlemleri üzerinde dağılma özelliği vardır.

Kartezyen Çarpımı İşlem Kuralları

Bir kümenin boş küme ile kartezyen çarpımı yine boş kümedir.

\( A \) ve \( B \) kümelerinin birer alt kümesi olan iki kümenin kartezyen çarpımı, \( A \) ve \( B \) kümelerinin kartezyen çarpımının alt kümesidir.

Aşağıdaki gibi dört kümenin kesişim kümelerinin kartezyen çarpımı, kartezyen çarpımlarının kesişim kümesine eşittir.

Üç Kümenin Kartezyen Çarpımı

\( A \), \( B \) ve \( C \) kümelerinin kartezyen çarpımı, birinci bileşeni \( A \) kümesinden, ikinci bileşeni \( B \) kümesinden, üçüncü bileşeni \( C \) kümesinden alınmak üzere, yazılabilecek tüm \( (a, b, c) \) sıralı üçlülerinin kümesidir. \( A \), \( B \) ve \( C \) kümelerinin kartezyen çarpımı \( A \times B \times C \) ile gösterilir.

\( A \), \( B \) ve \( C \) kümelerinin kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı üç kümenin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

SORU:

\( A = \{ -2, -1, 0, 1, 2, 4 \} \) olduğuna göre,

\( A \times A \) kartezyen çarpım kümesinin elemanlarından kaç tanesinin ikinci bileşeni, birinci bileşeninin karesine eşittir?

Çözümü Göster


SORU:

\( K \times L = \{ (a, 1), (b, 1), \) \( (c, 1), (a, 2), \) \( (b, 2), (c, 2) \} \)

\( M \times N = \{ (4, x), (5, x), \) \( (4, y), (5, y), \) \( (4, z), (5, z) \} \)

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi \( M \times L \) kümesinin elemandır?

(a) \( (1, 5) \)

(b) \( (4, 2) \)

(c) \( (a, 5) \)

(d) \( (5, c) \)

(e) \( (a, b) \)

Çözümü Göster


SORU:

\( K = \{ 1, 2, 3, 4 \}, L = \{ 2, 3, 4 \}, M = \{ 3, 4, 5 \} \) olduğuna göre,

\( (K \cap L) \times (L - M) \) kümesi nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( A = \{ x: -2 \le x \le 2, x \in \mathbb{Z} \} \)

\( s[(A \times B) \cup (A \times C)] = 45 \) olduğuna göre,

\( s(B \cup C) \) kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( s(A - B) = 4 \)

\( s(A \cap B) = 2 \)

\( s[(B \times A) \cup (A \times A)] = 48 \) olduğuna göre,

\( s(B - A) \) kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( A = \{ 1, 2, 3, 6 \} \)

\( B = \{ 6, 1 \} \) olduğuna göre,

\( A \times B \) kartezyen çarpım kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde \( (2, 6) \) ikilisi vardır?

Çözümü Göster


« Önceki
Sıralı İkili
Sonraki »
Kartezyen Çarpımının Grafik Gösterimi


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır