\( A \) ve \( B \) kümelerinin kartezyen çarpımı, birinci bileşeni \( A \) kümesinin, ikinci bileşeni \( B \) kümesinin elemanı olmak üzere yazılabilecek tüm sıralı ikililerin kümesidir. \( A \) ve \( B \) kümelerinin kartezyen çarpımı \( A \times B \) ile gösterilir.
İki kümenin kartezyen çarpımının ortak özellik yöntemi ile tanımı aşağıdaki gibidir.
İki kümenin kartezyen çarpımının liste, Venn şeması ve tablo şeklinde gösterimleri aşağıdaki gibidir.
İki kümenin kartezyen çarpımı da bir kümedir ve bu kümenin elemanları birer sıralı ikilidir (sıralı ikililerin parantez içindeki bileşenleri değildir). Kartezyen çarpım kümesinin elemanı olan her bir sıralı ikili, yukarıdaki Venn şemasındaki birer oka karşılık gelir.
\( A \) ve \( B \) kümelerinin kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı iki kümenin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
Yukarıdaki örnekteki 3 elemanlı \( A \) ve 4 elemanlı \( B \) kümelerinin kartezyen çarpımının 12 elemanlı olduğunu kartezyen çarpımının liste şeklinde yazılışındaki eleman sayısı ve Venn şeması gösterimindeki ok sayısı ile teyit edebiliriz.
Bir kümenin kendisiyle kartezyen çarpımı üslü ifade şeklinde de gösterilebilir.
Her noktanın koordinatlarının birer sıralı ikili (sıralı üçlü) olarak ifade edildiği iki (üç) boyutlu koordinat sistemleri aşağıdaki şekilde de gösterilir.
Kartezyen çarpım kümesinin elemanları olan sıralı ikililerde bileşenlerin sırası önemli olduğu için kartezyen çarpımının değişme özelliği yoktur .
Kartezyen çarpımının kesişim işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.
\( A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C) \)
ÖRNEK:
\( A = \{ a, b, c \} \)
\( B = \{ 1, 2 \} \)
\( C = \{ 1, 3 \} \)
\( A \times (B \cap C) = A \times \{ 1 \} \) \( = \{ (a, 1), (b, 1), (c, 1) \} \)
\( (A \times B) \cap (A \times C) = \{ (a, 1), (a, 2), (b, 1), \) \( (b, 2), (c, 1), (c, 2) \} \) \( \cap \{ (a, 1), (a, 3), (b, 1), \) \( (b, 3), (c, 1), (c, 3) \} \) \( = \{ (a, 1), (b, 1), (c, 1) \} \)
İSPATI GÖSTER
İlk olarak \( A \times ( B \cap C) \subseteq (A \times B) \cap (A \times C) \) olduğunu gösterelim.
\( (x, y) \in A \times (B \cap C) \) alalım.
Bu durumda \( x \in A \) ve \( y \in (B \cap C) \) olur.
\( y \in (B \cap C) \) ise \( y \) her iki kümenin de elemanıdır.
\( x \in A \land (y \in B \land y \in C) \)
"Ve" bileşik önermesinin birleşme özelliği vardır.
\( \equiv (x \in A \land y \in B) \land (x \in A \land y \in C) \)
\( \equiv (x, y) \in (A \times B) \land (x, y) \in (A \times C) \)
\( \equiv (x, y) \in (A \times B) \cap (A \times C) \) olur. \( \textcolor{red}{(1)} \)
Şimdi \( (A \times B) \cap (A \times C) \subseteq A \times (B \cap C) \) olduğunu gösterelim.
\( (x, y) \in (A \times B) \cap (A \times C) \) alalım.
Bu durumda \( (x, y) \in (A \times B) \land (x, y) \in (A \times C) \) olur.
\( (x, y) \in A \times B \Rightarrow x \in A \land y \in B \)
\( (x, y) \in A \times C \Rightarrow x \in A \land y \in C \)
\( x \in A \land (y \in B \land y \in C) \)
\( \equiv x \in A \land y \in (B \cap C) \)
\( \equiv (x, y) \in A \times (B \cap C) \) olur. \( \textcolor{red}{(2)} \)
Yukarıda kırmızı ile işaretlediğimiz \( (1) \) ve \( (2) \)'den \( A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C) \) olur.
Gönder
Kartezyen çarpımının birleşim işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.
\( A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C) \)
ÖRNEK:
Yukarıdaki örnekteki kümeleri kullanalım.
\( A \times (B \cup C) = A \times \{ 1, 2, 3 \} \) \( = \{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), \) \( (b, 1), (b, 2), (b, 3), \) \( (c, 1), (c, 2), (c, 3) \} \)
\( (A \times B) \cup (A \times C) = \{ (a, 1), (a, 2), (b, 1), \) \( (b, 2), (c, 1), (c, 2) \} \) \( \cup \{ (a, 1), (a, 3), (b, 1), \) \( (b, 3), (c, 1), (c, 3) \} = \{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), \) \( (b, 1), (b, 2), (b, 3), \) \( (c, 1), (c, 2), (c, 3) \} \)
İSPATI GÖSTER
İlk olarak \( A \times (B \cup C) \subseteq (A \times B) \cup (A \times C) \) olduğunu gösterelim.
\( (x, y) \in A \times (B \cup C) \) alalım.
Bu durumda \( x \in A \) ve \( y \in (B \cup C) \) olur.
Buradan \( x \in A \land (y \in B \lor y \in C) \) elde edilir.
\( x \in A \land (y \in B \lor y \in C) \)
"Ve" işleminin "veya" işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.
\( (x \in A \land y \in B) \lor (x \in A \lor y \in C) \)
\( (x, y) \in (A \times B) \lor (x, y) \in (A \times C) \)
\( (x, y) \in (A \times B) \cup (A \times C) \) olur. \( \textcolor{red}{(1)} \)
Şimdi \( (A \times B) \cup (A \times C) \subseteq A \times (B \cup C) \) olduğunu gösterelim.
\( (x, y) \in (A \times B) \cup (A \times C) \) alalım.
Bu durumda \( (x, y) \in (A \times B) \lor (x, y) \in (A \times C) \) olur.
\( (x, y) \in (A \times B) \Rightarrow x \in A \land y \in B \)
\( (x, y) \in (A \times C) \Rightarrow x \in A \land y \in C \)
\( x \in A \land (y \in B \lor y \in C) \)
\( \equiv x \in A \land y \in (B \cup C) \)
\( \equiv (x, y) \in A \times (B \cup C) \) olur. \( \textcolor{red}{(2)} \)
Yukarıda kırmızı ile işaretlediğimiz \( (1) \) ve \( (2) \)'den \( A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C) \) olur.
Gönder
Kartezyen çarpımının fark işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.
\( A \times (B - C) = (A \times B) - (A \times C) \)
ÖRNEK:
Yukarıdaki örnekteki kümeleri kullanalım.
\( A \times (B - C) = A \times \{ 2 \} \) \( = \{ (a, 2), (b, 2), (c, 2) \} \)
\( (A \times B) - (A \times C) = \{ (a, 1), (a, 2), (b, 1), \) \( (b, 2), (c, 1), (c, 2) \} - \) \( \{ (a, 1), (a, 3), (b, 1), \) \( (b, 3), (c, 1), (c, 3) \} \) \( = \{ (a, 2), (b, 2), (c, 2) \} \)
İSPATI GÖSTER
İlk olarak \( A \times (B - C) \subseteq (A \times B) - (A \times C) \) olduğunu gösterelim.
\( (x, y) \in A \times (B - C) \) alalım.
Bu durumda \( x \in A \) ve \( y \in (B - C) \) olur.
\( y \in (B - C) \Rightarrow y \in B \land y \notin C \)
\( x \in A \land (y \in B \land y \notin C) \) olur.
\( \equiv (x \in A \land y \in B) \land (x \in A \land y \notin C) \)
\( \equiv (x, y) \in (A \times B) \land (x, y) \notin (A \times C) \)
\( \equiv (x, y) \in (A \times B) - (A \times C) \) olur. \( \textcolor{red}{(1)} \)
Şimdi \( (A \times B) - (A \times C) \subseteq A \times (B - C) \) olduğunu gösterelim.
\( (x, y) \in (A \times B) - (A \times C) \) alalım.
Bu durumda \( (x, y) \in (A \times B) \land (x, y) \notin (A \times C) \) olur.
\( (x, y) \in (A \times B) \Rightarrow x \in A \land y \in B \)
\( x \in A \) olduğunu yukarıda bulduğumuz için \( y \notin C \) olur.
\( (x, y) \notin (A \times C) \Rightarrow x \in A \land y \not\in C \)
\( x \in A \land (y \in B \land y \notin C) \)
\( \equiv x \in A \land y \in (B - C) \)
\( \equiv (x, y) \in A \times (B - C) \) olur. \( \textcolor{red}{(2)} \)
Yukarıda kırmızı ile işaretlediğimiz \( (1) \) ve \( (2) \)'den \( A \times (B - C) = (A \times B) - (A \times C) \) olur.
Gönder
Bir kümenin boş küme ile kartezyen çarpımı yine boş kümedir.
\( A \) ve \( B \) kümelerinin birer alt kümesi olan iki kümenin kartezyen çarpımı, \( A \) ve \( B \) kümelerinin kartezyen çarpımının alt kümesidir.
Aşağıdaki gibi dört kümenin kesişim kümelerinin kartezyen çarpımı, kartezyen çarpımlarının kesişim kümesine eşittir.
\( A \), \( B \) ve \( C \) kümelerinin kartezyen çarpımı, birinci bileşeni \( A \) kümesinden, ikinci bileşeni \( B \) kümesinden, üçüncü bileşeni \( C \) kümesinden alınmak üzere, yazılabilecek tüm \( (a, b, c) \) sıralı üçlülerinin kümesidir. \( A \), \( B \) ve \( C \) kümelerinin kartezyen çarpımı \( A \times B \times C \) ile gösterilir.
\( A \), \( B \) ve \( C \) kümelerinin kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı üç kümenin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
SORU 1:
\( A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 4\} \) olduğuna göre,
\( A \times A \) kartezyen çarpım kümesinin elemanlarının kaçında ikinci bileşen birinci bileşenin karesine eşittir?
Çözümü Göster
Bir sayının karesi negatif olamayacağı için ikinci bileşen negatif olamaz.
İkinci bileşenin her olası değeri için koşulu sağlayan sıralı ikilileri listeleyelim.
\( (x, 0) \) için \( \{(0, 0)\} \)
\( (x, 1) \) için \( \{(1, 1), (-1, 1)\} \)
\( (x, 2) \) için \( \emptyset \)
\( (x, 4) \) için \( \{(2, 4), (-2, 4)\} \)
Buna göre sorudaki koşulu sağlayan sıralı ikili sayısı 5 olur.
SORU 2:
\( K \times L = \{ (a, 1), (b, 1), \) \( (c, 1), (a, 2), \) \( (b, 2), (c, 2) \} \)
\( M \times N = \{ (4, x), (5, x), \) \( (4, y), (5, y), \) \( (4, z), (5, z) \} \)
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi \( M \times L \) kümesinin elemandır?
(a) \( (1, 5) \)
(b) \( (4, 2) \)
(c) \( (a, 5) \)
(d) \( (5, c) \)
(e) \( (a, b) \)
Çözümü Göster
\( K \times L \) kümesinin sıralı ikililerinin ikinci bileşenleri \( L \) kümesini oluşturur.
\( L = \{ 1, 2 \} \)
\( M \times N \) kümesinin sıralı ikililerinin birinci bileşenleri \( M \) kümesini oluşturur.
\( M = \{ 4, 5 \} \)
\( M \times L = \{ (4, 1), (4, 2), (5, 1), (5, 2 ) \} \)
\( (4, 2) \in (M \times L) \)
Buna göre doğru cevap (b) seçeneği olur.
SORU 3:
\( K = \{ 1, 2, 3, 4 \}, L = \{ 2, 3, 4 \}, M = \{ 3, 4, 5 \} \) olduğuna göre,
\( (K \cap L) \times (L - M) \) kümesi nedir?
Çözümü Göster
\( K \cap L = \{ 2, 3, 4 \} \)
\( L - M = \{ 2 \} \)
\( (K \cap L) \times (L - M) = \{ (2, 2), (3, 2), (4, 2) \} \)
SORU 4:
\( A = \{ x: -2 \le x \le 2, x \in \mathbb{Z} \} \)
\( s[(A \times B) \cup (A \times C)] = 45 \) olduğuna göre,
\( s(B \cup C) \) kaçtır?
Çözümü Göster
Kartezyen çarpımının kesişim, birleşim ve fark işlemleri üzerinde dağılma özelliği vardır.
\( (A \times B) \cup (A \times C) = A \times (B \cup C) \)
\( A = \{ -2, -1, 0, 1, 2 \} \)
\( s(A) = 5 \)
İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
\( s[A \times (B \cup C)] = s(A) \cdot s(B \cup C) = 45 \)
Buna göre \( s(B \cup C) = 9 \) bulunur.
SORU 5:
\( s(A - B) = 4 \)
\( s(A \cap B) = 2 \)
\( s[(B \times A) \cup (A \times A)] = 48 \) olduğuna göre,
\( s(B - A) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( A - B \) ve \( A \cap B \) kümelerinin birleşimi \( A \) kümesine eşittir.
\( s(A) = 4 + 2 = 6 \)
Kartezyen çarpımının kesişim, birleşim ve fark işlemleri üzerinde dağılma özelliği vardır.
\( (B \times A) \cup (A \times A) = (B \cup A) \times A \)
İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
\( s[(B \cup A) \times A] = s(B \cup A) \cdot s(A) = 48 \)
Buna göre \( s(B \cup A) = 8 \) olur.
\( s(B - A) = s(B \cup A) - s(A) = a \)
\( = 8 - 6 = 2 \) bulunur.
SORU 6:
\( A = \{ 1, 2, 3, 6 \} \)
\( B = \{ 6, 1 \} \) olduğuna göre,
\( A \times B \) kartezyen çarpım kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde \( (2, 6) \) ikilisi vardır?
Çözümü Göster
\( A \times B \) kümesi \( 4 \cdot 2 = 8 \) elemanlıdır ve bu elemanlardan biri \( (2, 6) \) sıralı ikilisidir.
\( A \times B \) kümesinin \( (2, 6) \) dışındaki 7 elemanı ile \( 2^7 = 128 \) alt küme oluşturulabilir.
Bu 128 alt kümeye sonradan \( (2, 6) \) elemanını ekleyebileceğimizi düşünürsek \( A \times B \) kümesinin 128 alt kümesinde \( (2, 6) \) elemanı bulunur.
SORU 7:
\( K = \{a, b, c, d\} \)
\( L = \{\{1\}, 2, 4, 5\} \)
\( M = \{x, \{y\}, \{\{t\}\}\} \)
kümeleri için aşağıdakilerin hangileri yanlıştır?
I. \( (a, b) \) ikilisi \( K \times K \) kümesinin bir elemanıdır.
II. \( (b, 1) \) ikilisi \( K \times L \) kümesinin bir elemanıdır.
III. \( (\{1\}, \{y\}) \) ikilisi \( L \times M \) kümesinin bir elemanıdır.
IV. \( (c, x) \) ikilisi \( M \times K \) kümesinin bir elemanıdır.
V. \( (a, a) \) ikilisi \( K \times K \) kümesinin bir elemanıdır.
VI. \( (\{t\}, 4) \) ikilisi \( M \times L \) kümesinin bir elemanıdır.
Çözümü Göster
\( a \in K \) ve \( b \in K \) olduğu için \( (a, b) \in K \times K \) olur. I. öncül doğrudur.
\( 1 \in L \) değil \( \{1\} \in L \) olduğu için \( (b, 1) \notin K \times L \) olur. II. öncül yanlıştır.
\( \{1\} \in L \) ve \( \{y\} \in M \) olduğu için \( (\{1\}, \{y\}) \in L \times M \) olur. III. öncül doğrudur.
\( c \in K \) ve \( x \in M \) olduğu için \( (c, x) \in M \times K \) değil \( (c, x) \in K \times M \) olur. IV. öncül yanlıştır.
\( a \in K \) olduğu için \( (a, a) \in K \times K \) olur. V. öncül doğrudur.
\( \{t\} \in M \) değil \( \{\{t\}\} \in M \) olduğu için \( (\{t\}, 4) \notin M \times L \) olur. VI. öncül yanlıştır.
Buna göre II., IV. ve VI. öncüller yanlıştır.
SORU 8:
\( A \) ve \( B \) birer kümedir.
\( s(A \times B) = 28 \)
\( s(B \times B) = 49 \)
olduğuna göre \( s(A \times A) \) kaçtır?
Çözümü Göster
İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, kümelerin eleman çarpımlarının sayısına eşittir.
\( s(B \times B) = s(B) \cdot s(B) = 49 \)
\( s(B) = 7 \) bulunur.
\( s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) = 28 \)
\( s(A) \cdot 7 = 28 \)
\( s(A) = 4 \) bulunur.
Buna göre \( s(A \times A) = s(A) \cdot s(A) = 16 \) bulunur.
SORU 9:
\( s(K \times L) = 11, s(K \times M) = 19 \)
olduğuna göre, \( s(L \times M) \) kaçtır?
Çözümü Göster
İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, kümelerin eleman çarpımlarının sayısına eşittir.
\( s(K \times L) = s(K) \cdot s(L) = 11 \)
11 asal sayı olduğu için pozitif tam sayı çarpanları sadece 1 ve 11 olabilir.
\( s(K \times M) = s(K) \cdot s(M) = 19 \)
19 asal sayı olduğu için pozitif tam sayı çarpanları sadece 1 ve 19 olabilir.
Yukarıdaki iki eşitlikte ortak çarpan \( s(K) \) olduğu için \( s(K) = 1 \) olmalıdır.
Buna göre \( s(L) = 11 \) ve \( s(M) = 19 \) olur.
\( s(L \times M) = s(L) \cdot s(M) = 11 \cdot 19 = 209 \) bulunur.
SORU 10:
\( K \) ve \( L \) kümeleri için,
\( s(K \times K) - s(L \times L) = 31 \)
olduğuna göre, \( s(K \cup L) \) en az kaçtır?
Çözümü Göster
\( s(K \times K) - s(L \times L) = 31 \)
İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, kümelerin eleman çarpımlarının sayısına eşittir.
\( s(K) \cdot s(K) - s(L) \cdot s(L) = 31 \)
\( [s(K)]^2 - [s(L)]^2 = 31 \)
İki kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( (s(K) - s(L))(s(K) + s(L)) = 31 \)
31 asal sayı olduğu için pozitif tam sayı çarpanları sadece 1 ve 31 olabilir.
Buna göre iki kümenin eleman sayılarının toplamı 31, farkı 1 olur.
\( s(K) + s(L) = 31 \)
\( s(K) - s(L) = 1 \)
Buradan \( s(K) = 16 \) ve \( s(L) = 15 \) bulunur.
\( s(K \cup L) \) kümesinin en düşük değeri \( L \subset K \) olduğunda oluşur.
O halde \( L \subset K \) için \( s(K \cup L) = 16 \) bulunur.
SORU 11:
\( A = \{a, b, c, d, e, f\} \)
\( A \) kümesinin birer alt kümesi olan \( B \) ve \( C \) kümeleri için \( \{a, b\} \subseteq B \) ve \( \{f\} \subseteq C \) veriliyor.
Buna göre, yazılabilecek farklı \( B \) ve \( C \) kümelerinin kartezyen çarpımlarının kaçında eleman sayısı bir tam kare sayı olur?
Çözümü Göster
Farklı eleman sayılarında kaç farklı \( B \) ve \( C \) kümesi yazılabileceğini bulalım.
\( \{a, b\} \subseteq B \subseteq A \)
Buna göre \( B \) kümesi \( \{c, d, e, f\} \) kümesinin elemanlarını içerip içermemesine göre \( 2^4 = 16 \) farklı şekilde olabilir.
\( C(4, 0) = 1 \) farklı 2 elemanlı \( B \) kümesi yazılabilir.
\( C(4, 1) = 4 \) farklı 3 elemanlı \( B \) kümesi yazılabilir.
\( C(4, 2) = 6 \) farklı 4 elemanlı \( B \) kümesi yazılabilir.
\( C(4, 3) = 4 \) farklı 5 elemanlı \( B \) kümesi yazılabilir.
\( C(4, 4) = 1 \) farklı 6 elemanlı \( B \) kümesi yazılabilir.
\( \{f\} \subseteq C \subseteq A \)
Buna göre \( C \) kümesi \( \{a, b, c, d, e\} \) kümesinin elemanlarını içerip içermemesine göre \( 2^5 = 32 \) farklı şekilde olabilir.
\( C(5, 0) = 1 \) farklı 1 elemanlı \( C \) kümesi yazılabilir.
\( C(5, 1) = 5 \) farklı 2 elemanlı \( C \) kümesi yazılabilir.
\( C(5, 2) = 10 \) farklı 3 elemanlı \( C \) kümesi yazılabilir.
\( C(5, 3) = 10 \) farklı 4 elemanlı \( C \) kümesi yazılabilir.
\( C(5, 4) = 5 \) farklı 5 elemanlı \( C \) kümesi yazılabilir.
\( C(5, 5) = 1 \) farklı 6 elemanlı \( C \) kümesi yazılabilir.
\( B \times C \) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı aşağıdaki durumlarda bir tam kare sayı olur.
Durum 1: \( s(B) = 2, s(C) = 2 \)
\( s(B \times C) = s(B) \cdot s(C) = 4 \)
Bu şekilde \( 1 \cdot 5 = 5 \) farklı kartezyen çarpım kümesi yazılabilir.
Durum 2: \( s(B) = 3, s(C) = 3 \)
\( s(B \times C) = s(B) \cdot s(C) = 9 \)
Bu şekilde \( 4 \cdot 10 = 40 \) farklı kartezyen çarpım kümesi yazılabilir.
Durum 3: \( s(B) = 4, s(C) = 4 \)
\( s(B \times C) = s(B) \cdot s(C) = 16 \)
Bu şekilde \( 6 \cdot 10 = 60 \) farklı kartezyen çarpım kümesi yazılabilir.
Durum 4: \( s(B) = 5, s(C) = 5 \)
\( s(B \times C) = s(B) \cdot s(C) = 25 \)
Bu şekilde \( 4 \cdot 5 = 20 \) farklı kartezyen çarpım kümesi yazılabilir.
Durum 5: \( s(B) = 6, s(C) = 6 \)
\( s(B \times C) = s(B) \cdot s(C) = 36 \)
Bu şekilde \( 1 \cdot 1 = 1 \) farklı kartezyen çarpım kümesi yazılabilir.
Durum 6: \( s(B) = 4, s(C) = 1 \)
\( s(B \times C) = s(B) \cdot s(C) = 4 \)
Bu şekilde \( 6 \cdot 1 = 6 \) farklı kartezyen çarpım kümesi yazılabilir.
Tüm durumların toplamını alalım.
\( = 5 + 40 + 60 + 20 + 1 + 6 \)
\( = 132 \) bulunur.
