Fonksiyon Olma Koşulları
Önceki bölümde verdiğimiz tanıma göre, \( A \) ve \( B \) boş kümeden farklı iki küme olmak üzere, \( A \) kümesinin her elemanını \( B \) kümesinin sadece bir elemanı ile eşleyen bağıntıya \( A \)'dan \( B \)'ye tanımlı fonksiyon denir.
Buna göre her fonksiyon bir bağıntıdır, ancak her bağıntı bir fonksiyon değildir. \( A \)'dan \( B \)'ye tanımlı bir bağıntının aynı zamanda bir fonksiyon olabilmesi için iki koşul sağlanmalıdır.
Koşul 1: \( A \) kümesinde \( B \) kümesinin bir elemanıyla eşlenmemiş açıkta eleman kalmamalıdır.
Her \( a \in A \) için,
\( (a, b) \in f \) olan en az bir \( b \in B \) elemanı vardır.
Koşul 2: \( A \) kümesinin her elemanı \( B \) kümesinde sadece bir elemanla eşlenmelidir (iyi tanımlılık).
Her \( a \in A \) ve \( b, c \in B \) için,
\( (a, b) \in f \) ve \( (a, c) \in f \) ise \( b = c \) olur.
\( A \)'dan \( B \)'ye tanımlı aşağıdaki bağıntının bir fonksiyon olup olmadığını inceleyelim.
- \( A \) kümesinde \( B \) kümesinin bir elemanı ile eşlenmemiş açıkta eleman yoktur, buna göre birinci koşul sağlanmaktadır.
- \( A \) kümesinin her elemanı \( B \) kümesinde sadece bir elemanla eşlenmiştir, buna göre ikinci koşul da sağlanmaktadır.
Buna göre verilen bağıntı bir fonksiyondur.
Venn şeması gösteriminde bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için \( A \) kümesinin her elemanından bir ve yalnız bir ok çıktığını kontrol etmemiz yeterlidir. \( B \) kümesinde eşlemelerin nasıl gerçekleştiğinin ya da \( B \) kümesinde açıkta eleman kalıp kalmadığının bir bağıntının fonksiyon olup olmaması açısından bir önemi yoktur.
Benzer bir örneği küme liste yöntemi ile tanımlanmış bir bağıntı üzerinden de verebiliriz.
\( A = \{ a, b, c, d \} \)
\( B = \{ 1, 2, 3 \} \) olmak üzere,
\( A \)'dan \( B \)'ye tanımlı aşağıdaki bağıntıların birer fonksiyon olup olmadığını inceleyelim.
Aşağıdaki iki bağıntı \( A \) kümesinin her elemanı \( B \) kümesinin sadece bir elemanı ile eşlendiği için birer fonksiyondur.
\( \beta_1 = \{ (a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 3) \} \)
\( \beta_2 = \{ (a, 2), (b, 2), (c, 2), (d, 2) \} \)
Aşağıdaki bağıntı \( A \) kümesinin bir elemanı açıkta kaldığı için (birinci fonksiyon koşulu) bir fonksiyon değildir.
\( \beta_3 = \{ (a, 1), (b, 2), (c, 3) \} \)
Aşağıdaki bağıntı \( A \) kümesinin bir elemanı \( B \) kümesinde iki elemanla eşlendiği için (ikinci fonksiyon koşulu) bir fonksiyon değildir.
\( \beta_4 = \{ \textcolor{red}{(a, 1)}, \textcolor{red}{(a, 2)}, (b, 3), (c, 2), (d, 1) \} \)
Küme liste yöntemi ile tanımlanmış bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için bağıntının tanım kümesindeki eleman sayısı kadar sıralı ikili içerdiğini ve sıralı ikililerin birinci bileşeninde tanım kümesinin her elemanının sadece bir kez yer aldığını kontrol etmemiz yeterlidir.
Bağıntı ve Fonksiyon Örnekleri
Aşağıda fonksiyon olma koşullarını sağlayan iki bağıntı verilmiştir. Bu bağıntılar \( A \) kümesinin her elemanını \( B \) kümesinin sadece bir elemanı ile eşlediği için birer fonksiyondur.
Aşağıda fonksiyon olma koşullarını sağlamayan iki bağıntı verilmiştir. Birinci bağıntı \( A \) kümesinin son elemanı açıkta kaldığı için (birinci fonksiyon koşulu), ikinci bağıntı da \( A \) kümesinin ilk elemanı \( B \) kümesinde iki elemanla eşlendiği için (ikinci fonksiyon koşulu) fonksiyon değildir.
Aşağıda diğer bazı bağıntılar ve her bağıntının bir fonksiyon olup olmadığı açıklamalarıyla birlikte verilmiştir.
| Bağıntı | Fonksiyon? | Açıklama |
|---|---|---|
| Bir sınıftaki öğrenciler (\( A \)) ve doğum günleri (\( B \)) | Fonksiyon | Her öğrencinin mutlaka ve tek bir doğum günü vardır. Belirli bir günde doğmuş öğrenci olmaması ya da birden fazla öğrenci olması bağıntının fonksiyon olmasına engel değildir. |
| Reel sayılar (\( A \)) ve kareleri (\( B \)) | Fonksiyon | Her reel sayının mutlaka ve tek bir karesi vardır. Bir sayının ve ters işaretlisinin karelerinin aynı olması bağıntının fonksiyon olmasına engel değildir. |
| Bir lisede son sınıftaki öğrenciler (\( A \)) ve yerleştikleri bölümler (\( B \)) | Fonksiyon Değil | Her öğrenci tek bir bölüme yerleşebilir, ama bir bölüme yerleşmemiş öğrenciler de olabilir, dolayısıyla fonksiyon olmanın birinci koşulu sağlanmaz. \( A \) kümesi sınavda bir bölüme yerleşen öğrenciler olarak tanımlanırsa bu bağıntı bir fonksiyon olur. |
| Bir üniversitedeki öğrenciler (\( A \)) ve vatandaşı oldukları ülkeler (\( B \)) | Fonksiyon Değil | Her öğrenci mutlaka bir ülkenin vatandaşıdır, ama bazı öğrenciler birden fazla ülkenin pasaportunu taşıyor olabilir, dolayısıyla fonksiyon olmanın ikinci koşulu sağlanmaz. |
\( A = \{a, b, c\} \)
\( B = \{1, 2\} \) olmak üzere,
\( A \) kümesinden \( B \) kümesine tanımlanabilecek tüm fonksiyonları listeleyin.
Çözümü Göster\( A \) kümesinden \( B \) kümesine tanımlı bir fonksiyon, \( A \) kümesinin her elemanını \( B \) kümesinin sadece bir elemanı ile eşler.
Buna göre \( A \)'dan \( B \)'ye aşağıdaki fonksiyonlar tanımlanabilir. Dikkat edilirse, her fonksiyonun \( A \) kümesinin her elemanı \( B \) kümesinin bir elemanı ile eşleşecek şekilde üç elemanı vardır.
\( f_1 = \{(a, 1), (b, 1), (c, 1)\} \)
\( f_2 = \{(a, 1), (b, 1), (c, 2)\} \)
\( f_3 = \{(a, 1), (b, 2), (c, 1)\} \)
\( f_4 = \{(a, 1), (b, 2), (c, 2)\} \)
\( f_5 = \{(a, 2), (b, 1), (c, 1)\} \)
\( f_6 = \{(a, 2), (b, 1), (c, 2)\} \)
\( f_7 = \{(a, 2), (b, 2), (c, 1)\} \)
\( f_8 = \{(a, 2), (b, 2), (c, 2)\} \)
\( A = \{ 1, 2, 3 \} \)
\( B = \{ a, b \} \) olmak üzere,
Aşağıdaki kümelerden hangileri \( A \)'dan \( B \)'ye bir fonksiyondur?
I. \( S_1 = \{ (1, a), (2, a), (3, a) \} \)
II. \( S_2 = \{ (1, b), (3, c) \} \)
III. \( S_3 = \{ (1, c), (3, b), (2, a), (3, a) \} \)
IV. \( S_4 = \{ (2, c), (1, b), (3, d) \} \)
V. \( S_5 = \{ (3, a), (2, b), (1, c), (4, a) \} \)
Çözümü GösterFonksiyon olma koşulları, tanım kümesinde boşta eleman kalmaması ve tanım kümesindeki bir elemanın değer kümesinde sadece bir elemanla eşlenmesidir.
I. öncül:
\( S_1 = \{ (1, a), (2, a), (3, a) \} \)
\( S_1 \) kümesi iki koşulu da sağladığı için \( A \)'dan \( B \)'ye bir fonksiyondur.
II. öncül:
\( S_2 = \{ (1, b), (3, c) \} \)
\( S_2 \) kümesi "2" elemanı bir elemanla eşlenmediği için \( A \)'dan \( B \)'ye bir fonksiyon değildir.
III. öncül:
\( S_3 = \{ (1, c), (3, b), (2, a), (3, a) \} \)
\( S_3 \) kümesi "3" elemanı hem "a" hem de "b" elemanı ile eşlendiği için \( A \)'dan \( B \)'ye bir fonksiyon değildir.
IV. öncül:
\( S_4 = \{ (2, c), (1, b), (3, d) \} \)
\( S_4 \) kümesi "3" elemanı \( B \) kümesinde tanımlı olmayan bir elemanla eşlendiği için \( A \)'dan \( B \)'ye bir fonksiyon (ya da bağıntı) değildir.
V. öncül:
\( S_5 = \{ (3, a), (2, b), (1, c), (4, a) \} \)
\( S_5 \) kümesi birinci bileşeni \( A \) kümesinde tanımlı olmayan bir eleman içerdiği için \( A \)'dan \( B \)'ye bir fonksiyon (ya da bağıntı) değildir.
Buna göre sadece I. öncüldeki küme bir fonksiyondur.
Aşağıdaki bağıntılardan hangileri bir fonksiyon belirtir?
I. \( \beta_1: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \beta_1(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 4} \)
II. \( \beta_2: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}, \beta_2(x) = 2x + 4 \)
III. \( \beta_3: \mathbb{Z} \to \mathbb{R}, \beta_3(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 2} \)
IV. \( \beta_4: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \beta_4(x) = \sqrt{x^3 - 4} \)
V. \( \beta_5: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \beta_5(x) = \sqrt[3]{x^3 - 5} \)
Çözümü GösterI. öncül:
\( \beta_1: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \beta_1(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 4} \)
Verilen rasyonel ifade \( \mathbb{R} \) kümesindeki "4" elemanı için tanımlı değildir.
Bağıntı fonksiyon değildir.
II. öncül:
\( \beta_2: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}, \beta_2(x) = 2x + 4 \)
-3 ve daha küçük tam sayıların görüntüsü doğal sayı değildir.
\( \beta_2(-5) = 2(-5) + 4 = -6 \)
Bağıntı fonksiyon değildir.
III. öncül:
\( \beta_3: \mathbb{Z} \to \mathbb{R}, \beta_3(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 2} \)
Verilen rasyonel ifade her tam sayı için tanımlıdır.
Bağıntı fonksiyondur.
IV. öncül:
\( \beta_4: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \beta_4(x) = \sqrt{x^3 - 4} \)
Karekök ifadesi \( x^3 - 4 \lt 0 \) yapan \( x \) reel sayıları için tanımsızdır (örneğin 0).
Bağıntı fonksiyon değildir.
V. öncül:
\( \beta_5: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \beta_5(x) = \sqrt[3]{x^3 - 5} \)
Tek dereceli köklü ifadeler tüm reel sayılarda tanımlıdır.
Bağıntı fonksiyondur.
Buna göre III. ve V. öncüldeki bağıntılar birer fonksiyondur.
Aşağıdaki bağıntılardan hangileri bir fonksiyon belirtir?
I. \( \beta_1: \mathbb{R} \to \mathbb{R^+}, \beta_1 = x^4 \)
II. \( \beta_2: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}, \beta_2 = \abs{x} \)
III. \( \beta_3: \mathbb{Z^+} \to \mathbb{Q}, \beta_3 = \sqrt{x} \)
Çözümü GösterI. öncül:
\( \beta_1: \mathbb{R} \to \mathbb{R^+}, \beta_1 = x^4 \)
\( x = 0 \) için \( x^4 = 0 \) pozitif reel sayı değildir.
Bağıntı fonksiyon değildir.
II. öncül:
\( \beta_2: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}, \beta_2 = \abs{x} \)
(Pozitif, negatif ve sıfır) tüm tam sayıların mutlak değeri doğal sayılarda tanımlıdır.
Bağıntı fonksiyondur.
III. öncül:
\( \beta_3: \mathbb{Z^+} \to \mathbb{Q}, \beta_3 = \sqrt{x} \)
Sadece tam kare olan (4, 9, 16 vb.) pozitif tam sayıların karekökü rasyoneldir, diğer pozitif tam sayıların karekökü irrasyoneldir.
Bağıntı fonksiyon değildir.
Buna göre sadece II. öncüldeki bağıntı bir fonksiyondur.