Tanım kümesindeki tüm elemanların değer kümesinde tek bir elemanla eşleştiği fonksiyonlara sabit fonksiyon denir.
Sabit fonksiyon
\( f: A \to B, \quad c \in B \) olmak üzere,
Her \( x \in A \) elemanı için \( f(x) = c \) ise,
\( f \) bir sabit fonksiyondur.
Sabit değeri sıfır olan sabit fonksiyonlara sıfır fonksiyonu da denir.
\( f(x) = 0 \) ise,
\( f \) sıfır fonksiyonudur.
Sabit fonksiyonlar bir değişken içermezler. Değişken içeren bir fonksiyonun sabit fonksiyon olduğu biliniyorsa değişkenli terimlerin katsayılarının sıfır olması gerekir.
\( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) bir sabit fonksiyon ise,
\( a = b = c = 0 \) koşulunun sağlanması gerekir.
ÖRNEK:
\( f(x) = (m + 3)x^2 + (2 - n)x - 5 \) bir sabit fonksiyon ise,
\( m + 3 = 0 \Longrightarrow m = -3 \)
\( 2 - n = 0 \Longrightarrow n = 2 \)
Değişken içeren aşağıdaki gibi bir rasyonel ifadenin sabit fonksiyon olduğu biliniyorsa pay ve paydadaki ifadeler sadeleşecek ve payda sadece sabit bir terim kalacak şekilde aşağıdaki koşulun sağlanması gerekir.
\( f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d} \) bir sabit fonksiyon ise,
\( \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} \) koşulunun sağlanması gerekir.
Sabit Fonksiyon Sayısı
Sabit fonksiyonlarda tanım kümesindeki tüm elemanlar değer kümesinde tek bir eleman ile eşleşeceği için, iki küme arasında tanımlanabilecek farklı sabit fonksiyon sayısı değer kümesinin eleman sayısına eşittir.
\( f: A \to B \)
\( s(A) = m \) ve \( s(B) = n \) olmak üzere,
Tanımlanabilecek sabit fonksiyon sayısı = \( n \)
SORU:
\( f(x) = \dfrac{ax + 2}{3x - 1} \) fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre \( f(0) \) kaçtır?
Çözümü Göster
Fonksiyonun sabit olması için en sade halinde \( x \)'li ifade bulunmaması gerekir.
Pay ve paydadaki \( x \)'li ifadelerin sadeleşmesi için \( x \)'lerin katsayılarının oranının sabit terimlerin oranına eşit olması gerekir.
\( \dfrac{a}{3} = \dfrac{2}{-1} \Longrightarrow a = -6 \)
Buna göre fonksiyonu tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \dfrac{-6x + 2}{3x - 1} \)
\( = \dfrac{-2(3x - 1)}{3x - 1} = -2 \)
Sabit fonksiyonun tüm \( x \) değerleri için değeri aynıdır.
\( f(x) = f(0) = -2 \)
SORU:
\( A = \{ a, b, c, d \} \) ve \( B = \{ 0, 1, 2, 3, 4 \} \) olduğuna göre \( A \)'dan \( B \)'ye görüntüsü bir çift sayı olan kaç adet sabit fonksiyon tanımlanabilir?
Çözümü Göster
\( A \)'dan \( B \)'ye değer kümesindeki eleman sayısı kadar sabit fonksiyon tanımlanabilir. Bu fonksiyonlardan üç tanesinde fonksiyonun görüntüsü bir çift sayıdır.
\( f(x) = 0, \quad f(x) = 2, \quad f(x) = 4 \)
SORU:
\( f \) bir sabit fonksiyon olmak üzere,
\( f(x) = (a + b - 3)x^2 + 6a + 2(2 + 3b) \) ise \( f(2a - b) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f \) sabit fonksiyon olduğu için \( x^2 \)'li terimin katsayısı 0 olmalıdır.
\( a + b - 3 = 0 \Longrightarrow a + b = 3 \)
\( f(x) = 6a + 6b + 4 \)
\( f(x) = 6(a + b) + 4 = 22 \)
Sabit fonksiyonun tüm \( x \) değerleri için değeri aynıdır.
\( f(2a - b) = 22 \) bulunur.
Birim Fonksiyon
Tanım kümesindeki tüm elemanların değer kümesindeki görüntüsü yine kendisi olan fonksiyonlara birim fonksiyon denir. Birim fonksiyonlar \( I \) ile gösterilir. Birim fonksiyona etkisiz fonksiyon ya da özdeş fonksiyon da denir.
Birim fonksiyon
\( f: A \to A \)
Her \( x \in A \) elemanı için \( f(x) = x \) ise,
\( f \) birim fonksiyondur.
Birim fonksiyon birebir ve örtendir.
SORU:
\( f(x) \) birim fonksiyon ve \( g(x) \) sabit fonksiyon olmak üzere,
\( f(3k - 1) + g(n + 1) = f(k + 3) + g(2n) \) ise \( k \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( g(x) \) sabit fonksiyon olduğuna göre \( g(n + 1) = g(2n) \) olur, dolayısıyla eşitliğin iki tarafındaki bu iki ifade birbirini götürür.
\( f(3k - 1) = f(k + 3) \)
\( f(x) \) birim fonksiyon olduğu için \( f(x) = x \) şeklinde yazabiliriz.
\( f(3k - 1) = 3k - 1 \)
\( f(k + 3) = k + 3 \)
\( 3k - 1 = k + 3 \)
\( k = 2 \) bulunur.
SORU:
\( f \) birim, \( g \) sabit fonksiyon olmak üzere,
\( f(a + 3) + g(a - 2) = g(4) + 2 \) ise \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster
Birim fonksiyon: \( f(x) = x \)
Sabit fonksiyon: \( g(x) = k \)
\( f(a + 3) = a + 3 \)
\( g(a - 2) = g(4) = 4 \)
\( a + 3 + k = k + 7 \)
\( a = 4 \) bulunur.
SORU:
\( f(x + 2) = ax^2 + bx + a - 2b - c \) birim fonksiyon olduğuna göre \( c \) kaçtır?
Çözümü Göster
Fonksiyon birim fonksiyon olduğu için \( f(x + 2) = x + 2 \) olmalıdır.
Buna göre \( x^2 \)'li terimin katsayısı 0 olmalıdır.
\( a = 0 \)
\( x \)'li terimin katsayısı 1 olmalıdır.
\( b = 1 \)
Sabit terim 2 olmalıdır.
\( a - 2b - c = 2 \)
\( 0 - 2 - c = 2 \)
\( c = -4 \) bulunur.
Doğrusal Fonksiyon
Birinci dereceden \( f(x) = ax + b \) şeklindeki fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir.
\( a, b \in \mathbb{R}, \quad a \ne 0 \) olmak üzere,
\( f: A \to B \)
\( f(x) = ax + b \) ise,
\( f \) doğrusal bir fonksiyondur.
NOT:
Bazı kaynaklarda \( a = 0 \) olması durumunda oluşan sabit fonksiyonlar da doğrusal kabul edilir. Biz burada doğrusal fonksiyonları derecesi bir olan polinom fonksiyonları olarak tanımlayacağız.
Doğrusal fonksiyonların grafiği birer doğrudur.
Doğrusal fonksiyonlar birebir ve örtendir.
SORU:
\( f(x) = (a - 3)x^3 + (b + 2)x^2 + ax + 4 \) fonksiyonu doğrusal bir fonksiyon olduğuna göre \( a \cdot b \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f(x) \) fonksiyonu doğrusal olduğu için sadece birinci dereceden \( x \)'li terim ve sabit terim içerebilir.
Bu durumda \( x^3 \) ve \( x^2 \)'li terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır.
\( a - 3 = 0 \Longrightarrow a = 3 \)
\( b + 2 = 0 \Longrightarrow b = -2 \)
\( a \cdot b = -6 \) bulunur.
SORU:
\( f(x) \) doğrusal bir fonksiyondur.
\( f(x) + f(x + 1) = 6x - 1 \) olduğuna göre \( f(1) + f^{-1}(1) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f(x) \) doğrusal bir fonksiyon olduğu için \( ax + b \) şeklinde yazılabilir.
\( f(x) + f(x + 1) = 6x - 1 \)
\( ax + b + a(x + 1) + b = 6x - 1 \)
\( 2ax + a + 2b = 6x - 1 \)
Eşitliğin iki tarafındaki ifadelerde benzer terimlerin katsayıları birbirine eşit olmalıdır.
\( 2ax = 6x \Longrightarrow a = 3 \)
\( a + 2b = -1 \Longrightarrow b = -2 \)
Buna göre fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = 3x - 2 \)
\( f^{-1}(x) = \dfrac{x + 2}{3} \)
\( f(1) = 3 \cdot 1 - 2 = 1 \)
\( f^{-1}(1) = \dfrac{1 + 2}{3} = 1 \)
\( f(1) + f^{-1}(1) = 1 + 1 = 2 \) bulunur.
SORU:
\( f \) doğrusal bir fonksiyon olmak üzere,
\( f(-3) = -15 \) ve \( f(2) = 5 \) ise \( f(6) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f(x) = ax + b \) olarak kabul ederek verilen fonksiyon değerleri ile iki bilinmeyenli iki denklem yazıp bu denklem sistemini çözersek fonksiyon tanımını elde ederiz. Alternatif bir çözüm aşağıdaki gibidir.
\( x \) değeri \( 2 - (-3) = 5 \) birim arttığında \( f(x) \) değeri \( 5 - (-15) = 20 \) birim artmıştır.
Buna göre \( x \) değeri 1 birim arttığında \( f(x) \) değeri 4 birim artmaktadır. Bu da doğrunun eğiminin 4 olduğu anlamına gelir.
Fonksiyon \( x = 2 \)'den \( x = 6 \)'ya 4 birim arttığında \( f(x) \) değeri \( 4 \cdot 4 = 16 \) birim artacaktır.
Buna göre \( f(6) = f(2) + 16 = 21 \) olur.
SORU:
\( f(x) = 2f(x - 1) - x \) ve \( f(0) = 1 \) olduğuna göre \( f(3) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f(1) \) değerini bulmak için fonksiyonda \( x = 1 \) yazılır.
\( f(1) = 2f(0) - 1 \)
\( f(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1 \)
\( f(2) \) değerini bulmak için fonksiyonda \( x = 2 \) yazılır.
\( f(2) = 2f(1) - 2 \)
\( f(2) = 2 \cdot 1 - 2 = 0 \)
\( f(3) \) değerini bulmak için fonksiyonda \( x = 3 \) yazılır.
\( f(3) = 2f(2) - 3 \)
\( f(3) = 2 \cdot 0 - 3 = -3 \)
Tek ve Çift Fonksiyon
Çift Fonksiyon
Bir \( f \) fonksiyonunun tüm tanım aralığında \( f(x) = f(-x) \) ise bu fonksiyon bir çift fonksiyondur.
\( f(x) = f(-x) \) olduğu için \( f \) bir çift fonksiyondur.
Çift fonksiyonların grafikleri \( y \) eksenine göre simetriktir, yani grafik üzerindeki her \( (a, b) \) noktası için, \( (-a, b) \) noktası da grafiğin üzerindedir.
Çift fonksiyon
Tek Fonksiyon
Bir \( f \) fonksiyonunun tüm tanım aralığında \( f(x) = -f(-x) \) ise bu fonksiyon bir tek fonksiyondur.
\( f: A \to B \)
Her \( x \in A \) için \( f(x) = -f(-x) \) ise,
\( f \) bir tek fonksiyondur.
ÖRNEK:
\( f(x) = 3x^3 + x \)
\( f(-x) = 3(-x)^3 + (-x) \)
\( f(-x) = -3x^3 - x = -(3x^3 + x) \)
\( f(-x) = -f(x) \) olduğu için \( f \) bir tek fonksiyondur.
Tek fonksiyonların grafikleri orijine eksenine göre simetriktir, yani grafik üzerindeki her \( (a, b) \) noktası için, \( (-a, -b) \) noktası da grafiğin üzerindedir.
Tek fonksiyon
Tek ve çift fonksiyonları daha detaylı şekilde "Fonksiyon Grafikleri" konusundaki Tek ve Çift Fonksiyonlar bölümünde inceleyeceğiz.
SORU:
\( f(x) = ax^4 + (b - 4)x^3 + 2x^2 - (a + b)x + 4 \) fonksiyonu bir çift fonksiyon olduğuna göre \( a \cdot b \) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen polinom fonksiyonu bir çift fonksiyon olduğu için sadece çift dereceli ve sabit terim içerebilir.
\( b - 4 = 0 \Longrightarrow b = 4 \)
\( a + b = 0 \Longrightarrow a = -4 \)
\( a \cdot b = -4 \cdot 4 = -16 \) bulunur.
SORU:
\( f(x) = 2x^2 - 4x + 5 \)
\( g(x) = f(x + a) \) olmak üzere,
\( g(x) \) bir çift fonksiyon olduğuna göre \( g(a) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( g(x) = 2(x + a)^2 - 4(x + a) + 5 \)
\( = 2x^2 + 4ax + 2a^2 - 4x - 4a + 5 \)
\( = 2x^2 + (4a - 4)x + 2a^2 - 4a + 5 \)
Yukarıdaki polinom fonksiyonu bir çift fonksiyon olduğu için sadece çift dereceli ve sabit terim içerebilir.
İkinci bir çözüm olarak, çift fonksiyonların grafikleri \( y \) eksenine göre simetriktir, bu da bir parabol için tepe noktasının \( y \) ekseni üzerinde olması anlamına gelir.
\( T(r, k) \) noktası \( f \) fonksiyonunun tepe noktası ise,
\( g \) fonksiyonunun tepe noktasının \( y \) ekseni üzerinde olabilmesi için \( f \) fonksiyonunun 1 birim sola ötelenmesi gerekir, bu da \( f(x + 1) \) fonksiyonudur, yani \( a = 1 \) olur.
SORU:
\( f(x) \) tek fonksiyon olmak üzere,
\( 2f(x) + f(-2) = f(-x) - f(2) + 6x \) ve
\( f(a - 1) - f(1 - a) = 20 \) olduğuna göre \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster
Tek fonksiyonlarda tanım gereği \( f(-x) = -f(x) \) olur.
\( f(-2) = -f(2) \)
\( 2f(x) = f(-x) + 6x \)
\( 3f(x) = 6x \)
\( f(x) = 2x \)
\( f(a - 1) = -f(-(a - 1)) = -f(1 - a) \)
\( f(a - 1) - f(1 - a) = 2f(a - 1) = 20 \)
\( f(a - 1) = 10 \)
\( x = a - 1 \) için \( f(x) = 2x \) fonksiyon değerini bulalım.
\( f(a - 1) = 2(a - 1) = 10 \)
\( a = 6 \) bulunur.
SORU:
\( f(x) = 3x^2 \)
\( g(x) = 2x \) olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri tek fonksiyondur?