Fonksiyon Tipleri
Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki tüm elemanların değer kümesinde tek bir elemanla eşleştiği fonksiyonlara sabit fonksiyon denir.
\( f: A \to B, \quad c \in B \) olmak üzere,
Her \( x \in A \) elemanı için \( f(x) = c \) ise,
\( f \) bir sabit fonksiyondur.
Sabit değeri sıfır olan sabit fonksiyonlara sıfır fonksiyonu da denir.
\( f(x) = 0 \) ise,
\( f \) sıfır fonksiyonudur.
Sabit fonksiyonlar bir değişken içermezler. Değişken içeren bir fonksiyonun sabit fonksiyon olduğu biliniyorsa değişkenli terimlerin katsayılarının sıfır olması gerekir.
\( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) bir sabit fonksiyon ise,
\( a = b = c = 0 \) koşulunun sağlanması gerekir.
\( f(x) = (m + 3)x^2 + (2 - n)x - 5 \) bir sabit fonksiyon ise,
\( m + 3 = 0 \Longrightarrow m = -3 \)
\( 2 - n = 0 \Longrightarrow n = 2 \)
Değişken içeren aşağıdaki gibi bir rasyonel ifadenin sabit fonksiyon olduğu biliniyorsa pay ve paydadaki ifadeler sadeleşecek ve payda sadece sabit bir terim kalacak şekilde aşağıdaki koşulun sağlanması gerekir.
\( f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d} \) bir sabit fonksiyon ise,
\( \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} \) koşulunun sağlanması gerekir.
Sabit Fonksiyon Sayısı
Sabit fonksiyonlarda tanım kümesindeki tüm elemanlar değer kümesinde tek bir eleman ile eşleşeceği için, iki küme arasında tanımlanabilecek farklı sabit fonksiyon sayısı değer kümesinin eleman sayısına eşittir.
\( f: A \to B \)
\( s(A) = m \) ve \( s(B) = n \) olmak üzere,
Tanımlanabilecek sabit fonksiyon sayısı = \( n \)
\( f(x) = \dfrac{ax + 2}{3x - 1} \) fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre \( f(0) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( A = \{ a, b, c, d \} \) ve \( B = \{ 0, 1, 2, 3, 4 \} \) olduğuna göre \( A \)'dan \( B \)'ye görüntüsü bir çift sayı olan kaç adet sabit fonksiyon tanımlanabilir?
Çözümü Göster
\( f \) bir sabit fonksiyon olmak üzere,
\( f(x) = (a + b - 3)x^2 + 6a + 2(2 + 3b) \) ise \( f(2a - b) \) kaçtır?
Çözümü Göster
Birim Fonksiyon
Tanım kümesindeki tüm elemanların değer kümesindeki görüntüsü yine kendisi olan fonksiyonlara birim fonksiyon denir. Birim fonksiyonlar \( I \) ile gösterilir. Birim fonksiyona etkisiz fonksiyon ya da özdeş fonksiyon da denir.
\( f: A \to A \)
Her \( x \in A \) elemanı için \( f(x) = x \) ise,
\( f \) birim fonksiyondur.
Birim fonksiyon birebir ve örtendir.
\( f(x) \) birim fonksiyon ve \( g(x) \) sabit fonksiyon olmak üzere,
\( f(3k - 1) + g(n + 1) = f(k + 3) + g(2n) \) ise \( k \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f \) birim, \( g \) sabit fonksiyon olmak üzere,
\( f(a + 3) + g(a - 2) = g(4) + 2 \) ise \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f(x + 2) = ax^2 + bx + a - 2b - c \) birim fonksiyon olduğuna göre \( c \) kaçtır?
Çözümü Göster
Doğrusal Fonksiyon
Birinci dereceden \( f(x) = ax + b \) şeklindeki fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir.
\( a, b \in \mathbb{R}, \quad a \ne 0 \) olmak üzere,
\( f: A \to B \)
\( f(x) = ax + b \) ise,
\( f \) doğrusal bir fonksiyondur.
Bazı kaynaklarda \( a = 0 \) olması durumunda oluşan sabit fonksiyonlar da doğrusal kabul edilir. Biz burada doğrusal fonksiyonları derecesi bir olan polinom fonksiyonları olarak tanımlayacağız.
Doğrusal fonksiyonların grafiği birer doğrudur.
Doğrusal fonksiyonlar birebir ve örtendir.
\( f(x) = (a - 3)x^3 + (b + 2)x^2 + ax + 4 \) fonksiyonu doğrusal bir fonksiyon olduğuna göre \( a \cdot b \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f(x) \) doğrusal bir fonksiyondur.
\( f(x) + f(x + 1) = 6x - 1 \) olduğuna göre \( f(1) + f^{-1}(1) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f \) doğrusal bir fonksiyon olmak üzere,
\( f(-3) = -15 \) ve \( f(2) = 5 \) ise \( f(6) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f(x) = 2f(x - 1) - x \) ve \( f(0) = 1 \) olduğuna göre \( f(3) \) kaçtır?
Çözümü Göster
Tek ve Çift Fonksiyon
Çift Fonksiyon
Bir \( f \) fonksiyonunun tüm tanım aralığında \( f(x) = f(-x) \) ise bu fonksiyon bir çift fonksiyondur.
\( f: A \to B \)
Her \( x \in A \) için \( f(x) = f(-x) \) ise,
\( f \) bir çift fonksiyondur.
\( f(x) = x^4 - 2x^2 + 2 \)
\( f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 2 \) \( = x^4 - 2x^2 + 2 \)
\( f(x) = f(-x) \) olduğu için \( f \) bir çift fonksiyondur.
Çift fonksiyonların grafikleri \( y \) eksenine göre simetriktir, yani grafik üzerindeki her \( (a, b) \) noktası için, \( (-a, b) \) noktası da grafiğin üzerindedir.
Tek Fonksiyon
Bir \( f \) fonksiyonunun tüm tanım aralığında \( f(x) = -f(-x) \) ise bu fonksiyon bir tek fonksiyondur.
\( f: A \to B \)
Her \( x \in A \) için \( f(x) = -f(-x) \) ise,
\( f \) bir tek fonksiyondur.
\( f(x) = 3x^3 + x \)
\( f(-x) = 3(-x)^3 + (-x) \)
\( f(-x) = -3x^3 - x = -(3x^3 + x) \)
\( f(-x) = -f(x) \) olduğu için \( f \) bir tek fonksiyondur.
Tek fonksiyonların grafikleri orijine eksenine göre simetriktir, yani grafik üzerindeki her \( (a, b) \) noktası için, \( (-a, -b) \) noktası da grafiğin üzerindedir.
Tek ve çift fonksiyonları daha detaylı şekilde "Fonksiyon Grafikleri" konusundaki Tek ve Çift Fonksiyonlar bölümünde inceleyeceğiz.
\( f(x) = ax^4 + (b - 4)x^3 + 2x^2 - (a + b)x + 4 \) fonksiyonu bir çift fonksiyon olduğuna göre \( a \cdot b \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f(x) = 2x^2 - 4x + 5 \)
\( g(x) = f(x + a) \) olmak üzere,
\( g(x) \) bir çift fonksiyon olduğuna göre \( g(a) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f(x) \) tek fonksiyon olmak üzere,
\( 2f(x) + f(-2) = f(-x) - f(2) + 6x \) ve
\( f(a - 1) - f(1 - a) = 20 \) olduğuna göre \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f(x) = 3x^2 \)
\( g(x) = 2x \) olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri tek fonksiyondur?
- \( (f \circ g)(x) \)
- \( (f + g)(x) \)
- \( \left( \dfrac{f}{g} \right)(x) \)
Çözümü Göster