Birebir Fonksiyon
Bir fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü farklıysa bu fonksiyona birebir fonksiyon ya da injektif fonksiyon denir. Bir diğer ifadeyle, bir birebir fonksiyonda tanım kümesindeki birden fazla eleman değer kümesinde aynı elemanla eşlenmez.
Aşağıdaki fonksiyon tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü farklı olduğu için birebirdir.
\( f: A \to B \) fonksiyonunda, her \( x_1, x_2 \in A \) için,
\( f(x_1) = f(x_2) \Longrightarrow x_1 = x_2 \)
bir diğer ifadeyle, bu önermenin karşıt tersi olan
\( x_1 \ne x_2 \Longrightarrow f(x_1) \ne f(x_2) \)
önermesi doğru ise \( f \) birebir fonksiyondur.
Karşıt ters: \( (p \Rightarrow q) \equiv (q' \Rightarrow p') \)
\( A = \{ a, b, c \} \)
\( B = \{ 1, 2, 3, 4 \} \)
\( f, g: A \to B \)
\( f \) tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü farklı olduğu için birebirdir.
\( f = \{ (a, 3), (b, 4), (c, 1) \} \)
\( g \) tanım kümesindeki iki elemanın görüntüsü aynı olduğu için birebir değildir.
\( g = \{ (a, 3), (b, \textcolor{red}{1}), (c, \textcolor{red}{1}) \} \)
Bir fonksiyonun birebir olabilmesi için gerekli koşullardan biri, tanım kümesinin eleman sayısının değer kümesinin eleman sayısına eşit ya da ondan küçük olmasıdır. Aksi takdirde değer kümesinde tanım kümesindeki her elemanın farklı bir görüntüsü olacak kadar eleman bulunmaz.
\( f: A \to B \) fonksiyonunun birebir olabilmesi için gerekli koşul:
\( s(A) \le s(B) \)
Hem birebir hem de örten olan fonksiyonlara bijektif fonksiyon denir.
Birebir Fonksiyon Sayısı
Birebir fonksiyon sayısı aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( f: A \to B \)
\( s(A) = n, \quad s(B) = k \) olmak üzere,
Birebir fonksiyon sayısı \( = \begin{cases} 0 & n \gt k \\ P(k, n) = \dfrac{k!}{(k - n)!} & n \le k \\ \end{cases} \)
3 elemanlı \( A \) kümesinden 5 elemanlı \( B \) kümesine tanımlanabilecek birebir fonksiyon sayısı:
Birebir fonksiyon sayısı \( = P(5, 3) = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \)
İSPATI GÖSTER
Birebir Fonksiyonların Grafik Yorumu
Grafiği verilen bir fonksiyonun birebir olup olmadığını anlamak için görüntü kümesindeki tüm \( y \) değerleri için \( x \) eksenine paralel doğrular çizilir. Yatay doğru testi adı verilen bu yöntemde eğer doğruların hiçbiri grafiği birden fazla noktada kesmiyorsa fonksiyon birebirdir.
Bir fonksiyon belirli bir aralıkta kesin artan ya da kesin azalan ise o aralıkta birebirdir. Benzer şekilde, bir fonksiyon bir aralıkta birebir ise o aralıkta ya kesin artan ya da kesin azalandır (fonksiyon artıp azalamaz, azalıp artamaz ya da sabit kalamaz).
Aşağıda farklı fonksiyonların birebir olma durumları yatay doğru testi ile yorumlanmıştır.
| Fonksiyon | Grafik |
|---|---|
|
Sabit fonksiyon \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = c \) Yatay doğru fonksiyon grafiği ile çakışık olduğu (sonsuz noktada kestiği) için fonksiyon birebir değildir. |
|
|
Doğrusal fonksiyon \( a \ne 0 \) olmak üzere, \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = ax + b \) Her yatay doğru fonksiyon grafiğini sadece bir noktada keser, bu yüzden fonksiyon birebirdir. |
|
|
Mutlak değer fonksiyonu \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = \abs{x} \) Yatay doğrular fonksiyon grafiğini birden fazla noktada keser, bu yüzden fonksiyon birebir değildir. |
|
|
2. dereceden polinom fonksiyonu (parabol) \( a \ne 0 \) olmak üzere, \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = ax^2 + bx + c \) Yatay doğrular fonksiyon grafiğini birden fazla noktada keser, bu yüzden fonksiyon birebir değildir. Derecesi çift sayı olan tüm polinom fonksiyonları için aynı durum geçerlidir. |
|
|
3. dereceden polinom fonksiyonu \( a \ne 0 \) olmak üzere, \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) Yandaki grafikte yatay doğrular fonksiyon grafiğini birden fazla noktada kesmektedir, bu yüzden fonksiyon birebir değildir. Ancak 3. dereceden polinom fonksiyon grafikleri kesin artan/azalan da olabilirler (örneğin \( x^3 \)), bu gibi durumlarda fonksiyonlar birebir olur. Derecesi tek sayı olan tüm polinom fonksiyonları için aynı durum geçerlidir. |
|
|
Üstel fonksiyon \( a \gt 0, a \ne 1 \) olmak üzere, \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = a^x \) Üstel fonksiyonlar taban değerine göre kesin artan ya da kesin azalan oldukları için birebirdirler. |
|
|
Logaritma fonksiyonu \( a \gt 0, a \ne 1 \) olmak üzere, \( f: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = \log_a{x} \) Logaritma fonksiyonları taban değerine göre kesin artan ya da kesin azalan oldukları için birebirdirler. |
|
Yukarıda paylaştığımız birebir fonksiyon tanımı ile yatay doğru testi arasındaki paralelliğin anlaşılması önem taşımaktadır. Birebir bir fonksiyonda tanım kümesindeki iki eleman değer kümesinde aynı elemanla eşlenemezler. Yatay doğru testi de fonksiyonun değer kümesindeki elemanların (grafiğin \( y \) değerleri) tanım kümesindeki en fazla bir elemanın görüntüsü olup olmadığını test etmektedir.
Özet
Bir fonksiyonun örten, içine ya da birebir olup olmadığını anlamak için kullandığımız yatay doğru testini özetlemeye çalışalım: Bir fonksiyonun grafiğinde değer kümesindeki tüm \( y \) değerleri için \( x \) eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğruların aşağıdaki koşullara göre durumu fonksiyonun örten, içine ya da birebir olup olmadığını gösterir.
- Doğruların tümü grafiği en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örtendir.
- Doğruların bir kısmı grafiği kesiyor, bir kısmı kesmiyorsa fonksiyon içinedir.
- Doğruların hiçbiri grafiği birden fazla noktada kesmiyorsa fonksiyon birebirdir.
Bir fonksiyonun örten/içine ve birebir olma durumları aşağıdaki dört şekilde olabilir.
| Grafik | Notlar |
|---|---|
|
Birebir değil, içine fonksiyon Tanım kümesindeki iki eleman değer kümesinde aynı eleman ile eşlendiği için birebir değil. Değer kümesinde açıkta eleman kaldığı için içine. |
|
Birebir değil, örten fonksiyon Tanım kümesindeki iki eleman değer kümesinde aynı eleman ile eşlendiği için birebir değil. Değer kümesinde açıkta eleman kalmadığı için örten. |
|
Birebir ve içine fonksiyon Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü farklı olduğu için birebir. Değer kümesinde açıkta eleman kaldığı için içine. |
|
Birebir ve örten fonksiyon Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü farklı olduğu için birebir. Değer kümesinde açıkta eleman kalmadığı için örten. |
\( A = \{ 0, 2, 4, 6, 8, 10 \} \)
\( f: A \to A \) olmak üzere,
\( f \) fonksiyonu birebir olduğuna göre, \( f(0) + f(10) \) ifadesinin en büyük değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( A = \{ -2, 0, 2 \} \)
\( f: A \to B \) birebir ve örten bir fonksiyondur.
\( f(2x + 4) = x + 3 \) olduğuna göre, \( B \) kümesinin elemanları toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( s(A) = x^2 - 5 \) ve \( s(B) = 5x + 1 \) olmak üzere,
\( f: A \to B \) şeklinde tanımlı olan fonksiyon birebir ve örtendir.
Buna göre \( A \) kümesi kaç elemanlıdır?
Çözümü Göster\( s(A) = 3 \) ve \( s(B) = 6 \) olduğuna göre,
\( A \)'dan \( B \)'ye birebir olmayan kaç farklı fonksiyon tanımlanabilir?
Çözümü Göster\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = x^2 + 1 \)
\( g: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, \quad g(x) = 7x - 3 \)
\( h: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R}, \quad h(x) = 4x^2 + 2 \)
fonksiyonlarından hangileri birebir fonksiyondur?
Çözümü Göster\( f: A \to A \) fonksiyonu birebirdir.
\( A = \{ 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \) olduğuna göre, \( f(2) + f(3) + f(4) \) toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır?
Çözümü Göster\( A = \{ a, b, c \} \)
\( B = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \) olmak üzere,
\( A \)'dan \( B \)'ye görüntü kümesinde 2 elemanı bulunan birebir kaç fonksiyon yazılabilir?
Çözümü Göster\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = ax^2 + bx + c \) fonksiyonu veriliyor.
\( f \) birebir olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğru olabilir?
(a) \( a \neq 0, b = 1, c = 1 \)
(b) \( a = 0, b = 0, c = 2 \)
(c) \( a \neq 0, b = 0, c = 2 \)
(d) \( a = 0, b \neq 0, c \neq 0 \)
(e) \( a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0 \)
Çözümü Göster\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = \begin{cases} x - 2 & x \le 1 \\ x & x \gt 1 \end{cases} \)
olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi ya da hangileri doğrudur?
I. \( f \) içine fonksiyondur.
II. \( f \) birebir fonksiyondur.
III. \( f \)'in görüntü kümesi \( \mathbb{R} \)'dir.
Çözümü Göster