Birebir Fonksiyon
Bir fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın değer kümesindeki görüntüsü farklıysa, bir diğer deyişle tanım kümesindeki birden fazla eleman değer kümesinde aynı eleman ile eşleşmiyorsa bu fonksiyona birebir fonksiyon ya da injektif fonksiyon denir.
\( f: A \to B \) fonksiyonunda, her \( x_1, x_2 \in A \) için,
\( \quad f(x_1) = f(x_2) \Longrightarrow x_1 = x_2 \)
bir diğer ifadeyle, bu önermenin karşıt tersi olan
\( \quad x_1 \ne x_2 \Longrightarrow f(x_1) \ne f(x_2) \)
önermesi doğru ise \( f \) bir birebir fonksiyondur.
Karşıt terslik kuralı: \( p \Rightarrow q \equiv q' \Rightarrow p \)
Bir fonksiyonun birebir olabilmesi için yeterli olmasa da gerekli bir koşul, tanım kümesinin eleman sayısının değer kümesinin eleman sayısına eşit ya da ondan küçük olmasıdır. Aksi takdirde değer kümesinde tanım kümesindeki her elemanın farklı bir görüntüsü olacak kadar eleman bulunmayacaktır.
\( s(A) \le s(B) \)
Hem birebir hem de örten olan fonksiyonlara bijektif fonksiyon denir.
Birebir Fonksiyon Sayısı
İki küme arasında yazılabilecek fonksiyon sayısını tanım kümesinin her bir elemanından değer kümesinin her bir elemanına çizilebilecek ok sayısı olarak düşünerek \( n^m \) olarak belirtmiştik. Birebir bir fonksiyonda tanım kümesinin bir elemanı değer kümesinin bir elemanı ile eşleştikten sonra artık tanım kümesinin bir diğer elemanı aynı elemanla eşleşemeyeceği için, birebir fonksiyon sayısını bulmak için tekrarsız permütasyon formülünü kullanmamız gerekir:
\( f: A \to B, \quad s(A) = m, \quad s(B) = n \) olmak üzere,
Tanımlanabilecek birebir fonksiyon sayısı \( = \begin{cases} 0 & m \gt n \\ P(n, m) = \dfrac{n!}{(n - m)!} & m \le n \\ \end{cases} \)
Birebir Fonksiyonların Grafik Yorumu
Grafiği verilen bir fonksiyonun birebir olup olmadığını anlamak için görüntü kümesindeki tüm \( y \) değerleri için \( x \) eksenine paralel doğrular çizilir. Yatay doğru testi denen bu yöntemde eğer doğruların hiçbiri grafiği birden fazla noktada kesmiyorsa fonksiyon birebirdir.
Bir fonksiyon belirli bir aralıkta kesin artan ya da kesin azalan ise o aralıkta aynı zamanda birebirdir.
Aşağıda farklı fonksiyon tiplerinin birebir olup olmadığı yatay doğru testi ile yorumlanmıştır.
| Fonksiyon | Grafik | Notlar |
|---|---|---|
|
Sabit fonksiyon \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = c \) |
|
Yatay doğru fonksiyon grafiği ile çakışık olduğu (sonsuz noktada kestiği) için fonksiyon birebir değildir. |
|
Doğrusal fonksiyon \( a \ne 0 \) olmak üzere, \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = ax + b \) |
|
Her yatay doğru fonksiyon grafiğini sadece bir noktada keser, bu yüzden fonksiyon birebirdir. |
|
Mutlak değer fonksiyonu \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = \abs{x} \) |
|
Yatay doğrular fonksiyon grafiğini birden fazla noktada keser, bu yüzden fonksiyon birebir değildir. |
|
2. dereceden polinom fonksiyonu (parabol) \( a \ne 0 \) olmak üzere, \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = ax^2 + bx + c \) |
|
Yatay doğrular fonksiyon grafiğini birden fazla noktada keser, bu yüzden fonksiyon birebir değildir. Derecesi çift sayı olan (\( 4, 6, 8, \ldots \)) tüm polinom fonksiyonları için aynı durum geçerlidir. |
|
3. dereceden polinom fonksiyonu \( a \ne 0 \) olmak üzere, \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) |
|
Yandaki grafikte yatay doğrular fonksiyon grafiğini birden fazla noktada kesebilmektedir, bu yüzden fonksiyon birebir değildir. Ancak 3. dereceden polinom fonksiyon grafikleri yerel minimum/maksimum değerlere sahip olmadan kesin artan ve kesin azalan fonksiyonlar da olabilirler, bu gibi durumlarda fonksiyonlar birebir olmaktadır. Derecesi tek sayı olan (\( 5, 7, 9, \ldots \)) tüm polinom fonksiyonları için aynı durum geçerlidir. |
|
Üstel fonksiyon \( a \gt 0, a \ne 1 \) olmak üzere, \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = a^x \) |
|
Üstel fonksiyonlar taban değerine göre kesin artan ya da kesin azalan fonksiyonlar oldukları için birebirdirler. |
|
Logaritma fonksiyonu \( a \gt 0, a \ne 1 \) olmak üzere, \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = \log_a{x} \) |
|
Logaritma fonksiyonları taban değerine göre kesin artan ya da kesin azalan fonksiyonlar oldukları için birebirdirler. |
Yatay doğru testi ile yukarıda paylaştığımız birebir fonksiyon tanımı arasındaki paralelliği anlamamız önem taşımaktadır. Birebir bir fonksiyonda tanım kümesindeki iki eleman değer kümesinde aynı elemanla eşleşemezler. Yatay doğru testi de fonksiyonun değer kümesindeki elemanların (grafiğin \( y \) değerleri) tanım kümesindeki en fazla bir elemanın görüntüsü olup olmadığını test etmektedir.
Bir fonksiyonun örten, içine ya da birebir olup olmadığını anlamak için kullandığımız yatay doğru testini şu şekilde özetleyebiliriz: Değer kümesindeki tüm \( y \) değerleri için \( x \) eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğruların aşağıdaki koşullara göre durumu fonksiyonun örten, içine ya da birebir olup olmadığını gösterir.
- Doğruların tümü grafiği en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örtendir.
- Doğruların bir kısmı grafiği kesiyor, bir kısmı kesmiyorsa fonksiyon içinedir.
- Doğruların hiçbiri grafiği birden fazla noktada kesmiyorsa fonksiyon birebirdir.
Özet
Bir fonksiyon örten/içine ve birebir olması açılarından aşağıdaki dört farklı tipten birinde olabilir:
| Grafik | Notlar |
|---|---|
|
Birebir değil, içine fonksiyon Tanım kümesindeki iki eleman değer kümesinde aynı eleman ile eşleştiği için birebir değil. Değer kümesinde açıkta eleman kaldığı için içine. |
|
Birebir değil, örten fonksiyon Tanım kümesindeki iki eleman değer kümesinde aynı eleman ile eşleştiği için birebir değil. Değer kümesinde açıkta eleman kalmadığı için örten. |
|
Birebir ve içine fonksiyon Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü farklı olduğu için birebir. Değer kümesinde açıkta eleman kaldığı için içine. |
|
Birebir ve örten fonksiyon Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü farklı olduğu için birebir. Değer kümesinde açıkta eleman kalmadığı için örten. |
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = x^2 + 1 \)
\( g: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, \quad g(x) = 7x - 3 \)
\( h: \mathbb{N} \to \mathbb{R}, \quad h(x) = 4x^2 + 2 \)
fonksiyonlarından hangileri birebir fonksiyondur?
Çözümü Göster
\( A = \{ 0, 2, 4, 6, 8, 10 \} \)
\( f: A \to A \) olmak üzere,
\( f \) fonksiyonu birebir olduğuna göre, \( f(0) + f(10) \) ifadesinin en büyük değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( s(A) = x^2 - 5 \) ve \( s(B) = 5x + 1 \) olmak üzere, \( f: A \to B \) şeklinde tanımlı olan fonksiyon birebir ve örtendir.
Buna göre \( A \) kümesi kaç elemanlıdır?
Çözümü Göster
\( s(A) = 3 \) ve \( s(B) = 6 \) olduğuna göre, \( f : A \to B \) şeklinde kaç farklı birebir fonksiyon yazılabilir?
Çözümü Göster
\( A = \{ a, b, c \} \), \( B = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \), \( f: A \to B \) olmak üzere,
görüntü kümesinde 2 elemanı bulunan kaç adet birebir fonksiyon yazılabilir?
Çözümü Göster
\( A = \{ 1, 2, 3 \} \) kümesinde birebir ve örten \( f \) fonksiyonu tanımlanıyor.
\( f = \{ (3, 1), (2, 3b - a - 2), (2a - 2b, 2) \} \) olduğuna göre \( a + b \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f: A \to B \) birebir ve örten bir fonksiyondur.
\( f(2x + 4) = x + 3 \) ve \( A = \{ -2, 0, 2 \} \) olduğuna göre \( B \) kümesinin elemanları toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
\( f: A \to A \) olmak üzere \( f \) fonksiyonu birebirdir.
\( A = \{ 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \) olduğuna göre \( f(2) + f(3) + f(4) \) toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır?
Çözümü Göster
\( f: A \to B \) fonksiyonu birebirdir fakat örten değildir.
\( s(A) = 7a + 3 \) ve \( s(B) = 4a + 24 \) olduğuna göre \( a \)'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü Göster