Tanım kümesinin farklı aralıklarında farklı fonksiyon tanımlarına sahip fonksiyonlara parçalı fonksiyon denir. Bir parçalı fonksiyonun her bir aralığının alt ve üst sınır noktalarına kritik nokta denir.
Parçalı fonksiyonlar farklı aralıklarda farklı tanımlara sahip oldukları için özellikle kritik noktalarında süreklilik açısından dikkatli incelenmesi gereken fonksiyonlardır.
Bir parçalı fonksiyonun kritik olmayan bir noktasında sürekli olup olmadığını bulmak için, fonksiyonun bu noktadaki değerine ve bu noktanın bulunduğu aralıkta tanımlı fonksiyonun bu noktadaki soldan ve sağdan limitlerine bakmamız gerekir.
Bir parçalı fonksiyonun kritik bir noktasında sürekli olup olmadığını bulmak için, fonksiyonun bu noktadaki değerine ve bu kritik noktanın iki tarafında tanımlı fonksiyonların bu noktadaki soldan ve sağdan limitlerine bakmamız gerekir.
Parçalı fonksiyonların sürekliliğini birkaç örnek üzerinden açıklamaya çalışalım:
SORU:
Aşağıdaki parçalı fonksiyonun kritik noktalarındaki sürekliliğini bulalım.
Soldan ve sağdan limitler tanımlı olsa da birbirlerine eşit olmadıkları için fonksiyonun bu noktada limiti tanımlı değildir, dolayısıyla fonksiyon bu noktada sürekli değildir. Nitekim "kalem" testini uyguladığımızda fonksiyon grafiğinin bu noktada bir sıçrama yaptığını görebiliriz.
Şimdi de \( x = 6 \) noktasındaki sürekliliği inceleyelim:
Soldan limit: \( \lim_{x \to 6^-} h(x) = 2 \)
Sağdan limit: \( \lim_{x \to 6^+} k(x) = 2 \)
Fonksiyon değeri: \( f(6) = 2 \)
Bu noktada soldan ve sağdan limitlerin tanımlı ve eşit olduğunu, aynı zamanda fonksiyonun da bu noktada tanımlı olduğunu ve soldan ve sağdan limit değerlerine eşit olduğunu görüyoruz. Bu yüzden fonksiyon bu noktada süreklidir. Nitekim "kalem" testini uyguladığımızda fonksiyon grafiğinin bu noktada herhangi bir kesintiye uğramadığını görebiliriz.
Aşağıdaki parçalı fonksiyonun sürekli bir fonksiyon olması için \( a \) ve \( b \) reel sayılarının alması gereken değerleri bulalım.
\( f(x) = \begin{cases}
x^2 + a, & x \lt 3 \\
4, & x = 3 \\
-2x - b, & x \gt 3
\end{cases} \)
Çözümü Göster
Parçalı fonksiyonun her iki aralığında tanımlı fonksiyonlar (ikinci dereceden ve doğrusal) sürekli fonksiyonlar oldukları için fonksiyonun süreksizliğini sadece kritik noktalar için kontrol etmemiz yeterlidir. Fonksiyon tanımını incelediğimizde fonksiyonun sadece \( x = 3 \) noktasında kritik noktası olduğunu görüyoruz.
Fonksiyonun \( x = 3 \) noktasındaki değeri verildiği için bu noktadaki sürekliliğin sağlanması için soldan ve sağdan limitlerin bu değere eşit olması gerekir.
\( \lim_{x \to 3^-} (x^2 + a) = 4 \)
\( \lim_{x \to 3^+} (-2x - b) = 4 \)
Doğrudan yerine koyma yöntemini kullanarak her iki limit hesaplaması sonucunda \( a \) ve \( b \) değerlerini bulabiliriz.
\( \lim_{x \to 3^-} (x^2 + a) = 4 \)
\( 3^2 + a = 4 \)
\( a = -5 \)
\( \lim_{x \to 3^+} (-2x - b) = 4 \)
\( -2(3) - b = 4 \)
\( b = -10 \)
Buna göre istenen değerleri \( a = -5 \) ve \( b = -10 \) olarak bulmuş olduk.
