Fonksiyon Kavramı

Bir fonksiyon iki küme elemanları arasında bir ilişki kurar ve birinci kümenin her elemanını ikinci kümenin bir ve yalnız bir elemanı ile eşler.

Fonksiyonlar genellikle \( f \), \( g \), \( h \) gibi küçük harflerle gösterilir. İki küme arasında tanımlı bir fonksiyonun gösterimi aşağıdaki şekildedir:

Bu gösterimde \( A \) ve \( B \) elemanları eşleşecek olan kümeleri, \( f \) de eşleme kuralını içeren fonksiyonu temsil eder. Bu üç bileşen bir fonksiyonun ayrılmaz birer parçasıdır ve herhangi biri olmadan bir fonksiyonu tanımlayamayız.

Fonksiyon - Makine Benzetmesi

Sık kullanılan ve faydalı bir benzetmeye göre, bir fonksiyonu (\( f \)), bir kümenin her bir elemanını (\( x \)) girdi olarak alan ve her girdi değerini diğer bir kümenin tek bir elemanı (\( f(x) \)) ile eşleyerek bir çıktıya dönüştüren bir makine gibi düşünebiliriz.

Fonksiyon - makine benzetmesi
Fonksiyon - makine benzetmesi

Bir fonksiyonun tüm eşleşmelerini birer sıralı ikili olarak düşünürsek, bu ikililerin birinci bileşeni girdi değerlerine, ikinci bileşeni çıktı değerlerine karşılık gelir. Bu açıdan baktığımızda bir fonksiyonu elemanları sıralı ikililer olan bir küme olarak da düşünebiliriz.

Fonksiyon tanımının sıralı ikili olarak gösterimi
Fonksiyon tanımının sıralı ikili olarak gösterimi

Örnek bir fonksiyon üzerinden bu eşleme mantığını göstermeye çalışalım:

Bu gösterimdeki farklı kısımları aşağıdaki gibi detaylandırabiliriz:

Fonksiyon gösterimi
Fonksiyon gösterimi

Bu eşlemelerin nasıl gerçekleştiği birkaç örnek değer üzerinden aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Girdi (\( x \)) Fonksiyon (\( f \)) Çıktı (\( f(x) \)) Gösterim
\( 0 \) \( 2 \cdot 0 + 1 \) \( 1 \) \( f(0) = 1 \)
\( 1 \) \( 2 \cdot 1 + 1 \) \( 3 \) \( f(1) = 3 \)
\( 5 \) \( 2 \cdot 5 + 1 \) \( 11 \) \( f(5) = 11 \)
\( 10 \) \( 2 \cdot 10 + 1 \) \( 21 \) \( f(10) = 21 \)

Bir fonksiyonun eşleme kuralı yukarıdaki örnekte olduğu gibi matematiksel olmak zorunda değildir. Örneğin Türkiye'nin illerini yüzölçümleri ile eşleştiren aşağıdaki fonksiyonu matematiksel bir ilişkiye dayanmayan fonksiyonlara örnek olarak verebiliriz.

SORU:

\( f(x) = x^2 - 2x + 4 \) olduğuna göre \( f(0) + f(1) + f(2) \) kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( f(\dfrac{x - 1}{x + 1}) = x^2 - 4x - 7 \) olduğuna göre \( f(3) \) kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

4 yanlışın bir doğruyu götürdüğü 25 soruluk bir sınavda tüm soruları cevaplayan ve \( n \) sorudaki cevabı doğru olan bir öğrencinin net sayısını veren fonksiyon nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} \)

\( f \) fonksiyonu tanım kümesindeki her \( x \in \mathbb{N} \) elemanını o sayıya en yakın tam kare sayının karekökü ile eşlediğine göre \( f(11) + f(34) \) kaçtır?

Çözümü Göster

Bağımsız ve Bağımlı Değişkenler

Bir fonksiyonun girdi ve çıktı değişkenleri arasında ilişki sebebiyle bir fonksiyonun girdisini temsil eden değişkene aynı zamanda bağımsız değişken, çıktısını temsil eden değişkene de bağımlı değişken denir. Bir fonksiyonda davranışını incelediğimiz değişken bağımlı değişkendir. Bağımlı değişkenin davranışını anlayabilmemiz ve yorumlayabilmemiz için de bağımsız değişkene farklı değerler vererek bağımlı değişken üzerindeki etkisini gözlemleriz.

Birden Fazla Değişkenli Fonksiyon

Girdi olarak birden fazla değişkeni olan fonksiyonlar da tanımlamamız mümkündür. Girdi olarak iki değişkeni olan bir fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlayabiliriz.

Yukarıdaki tanımdaki \( A^2 \) fonksiyonun girdisini oluşturan \( (x, y) \) sıralı ikililerini içeren bir kümeyi ifade etmektedir.

Örneğin silindirin taban yarıçapı ve yüksekliği olmak üzere iki girdiden oluşan ve çıktı olarak silindirin hacmini hesaplayan bir fonksiyonu iki değişkenli fonksiyonlara örnek olarak verebiliriz.

Daha önce değindiğimiz fonksiyon-makine benzetmesini bu tip fonksiyonlara aşağıdaki şekilde uyarlayabiliriz.

İki girdili fonksiyon
İki girdili fonksiyon
SORU:

\( f: \mathbb{R^2} \to \mathbb{R} \) ve \( f(x, y) = 3x - 2y + 1 \) olduğuna göre \( f(f(1, 3), 2) \) değeri kaçtır?

Çözümü Göster


« Önceki
Fonksiyon Tanımı
Sonraki »
Fonksiyonların Grafik Gösterimi


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır