Tam Bölen Sayısı

200'ün asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılışı:

\( 200 = 2^3 \cdot 5^2 \)

Asal bölenler: 2, 5

Asal bölenlerin sayısı \( = 2 \)

Pozitif bölenlerin sayısı \( = (3 + 1)(2 + 1) = 12 \)

Pozitif bölenler: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200

Tüm (pozitif ve negatif) bölenlerin sayısı \( = 2 \cdot 12 = 24 \)

Tüm bölenler: Yukarıdaki pozitif bölenler ve negatif işaretlileri

Asal olmayan pozitif bölenlerin sayısı \( = 12 - 2 = 10 \)

Asal olmayan pozitif bölenler: 2 ve 5 hariç pozitif bölenler

Asal olmayan bölenlerin sayısı \( = 24 - 2 = 22 \)

Asal olmayan bölenler: 2 ve 5 hariç tüm bölenler

Tek sayı pozitif bölenlerin sayısı \( = (2 + 1) = 3 \)

Tek sayı pozitif bölenler: 1, 5, 25

Çift sayı pozitif bölenlerin sayısı \( = 12 - 3 = 9 \)

Çift sayı pozitif bölenler: Yukarıdaki tek sayı pozitif bölenler hariç tüm pozitif bölenler

Verilen sayıya \( A \) diyelim.

\( A = 2^5 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 7 \)

Bir sayının pozitif bölenlerinin sayısı asal çarpanlarının kuvvetlerinin birer fazlasının çarpımına eşittir.

Önce pozitif bölenlerden 4 ile tam bölünenleri bulalım.

\( A \) sayısının içindeki 4 çarpanını ayıralım.

\( 2^2 \cdot (2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 7) \)

Buna göre \( A \) sayısının \( 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 7 \) sayısının pozitif bölen sayısı kadar 4 ile tam bölünen pozitif böleni vardır.

\( (3 + 1)(3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 96 \) pozitif bölen

Şimdi de pozitif bölenlerden 4 ve 7 ile tam bölünenleri bulalım. Bunun için \( A \) sayısının içindeki 4 ve 7 çarpanlarını ayıralım.

\( 2^2 \cdot 7 \cdot (2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^2) \)

\( A \) sayısının \( 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \) sayısının pozitif bölen sayısı kadar 4 ve 7 ile tam bölünen pozitif böleni vardır.

\( (3 + 1)(3 + 1)(2 + 1) = 48 \) pozitif bölen

Tüm durumdan istenmeyen durumu çıkarırsak istenen durumu buluruz.

\( 96 - 48 = 48 \) pozitif bölen

360'ın asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılışı:

\( 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \)

Asal bölenler: 2, 3, 5

Asal bölenlerin sayısı \( = 3 \)

Pozitif bölenlerin sayısı \( = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 \)

Pozitif bölenler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360

Tüm (pozitif ve negatif) bölenlerin sayısı \( = 2 \cdot 24 = 48 \)

Tüm bölenler: Yukarıdaki pozitif bölenler ve negatif işaretlileri

Asal olmayan pozitif bölenlerin sayısı \( = 24 - 3 = 21 \)

Asal olmayan pozitif bölenler: 2, 3 ve 5 hariç pozitif bölenler

Asal olmayan bölenlerin sayısı \( = 48 - 3 = 45 \)

Asal olmayan bölenler: 2, 3 ve 5 hariç tüm bölenler

Tek sayı pozitif bölenlerin sayısı \( = (2 + 1)(1 + 1) = 6 \)

Tek sayı pozitif bölenler: 1, 3, 5, 9, 15, 45

Çift sayı pozitif bölenlerin sayısı \( = 24 - 6 = 18 \)

Çift sayı pozitif bölenler: Yukarıdaki tek sayı pozitif bölenler hariç tüm pozitif bölenler

Asal bölenlerin toplamı \( = 2 + 3 + 5 = 10 \)

Pozitif bölenlerin toplamı \( = (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3) \cdot \) \( (3^0 + 3^1 + 3^2) \cdot \) \( (5^0 + 5^1) \)

\( = 15 \cdot 13 \cdot 6 = 1170 \)

Pozitif bölenlerin çarpımı \( = \sqrt{360^{24}} = 360^{12} \)

\( 70^{n - 4} = (2 \cdot 5 \cdot 7)^{n - 4} \)

\( = 2^{n - 4} \cdot 5^{n - 4} \cdot 7^{n - 4} \)

Bu sayının pozitif bölen sayısını bulalım.

PBS \( = (n - 3)(n - 3)(n - 3) \)

\( (n - 3)^3 = 27 \)

\( n = 6 \) bulunur.

\( 16! = 16 \cdot 15 \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \)

Sayıyı asal çarpanlarına ayırmadan \( 16! \) içindeki asal çarpanları yazalım.

\( \{ 2, 3, 5, 7, 11, 13 \} \)

Asal bölenlerin toplamı \( 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 41 \) olarak bulunur.

Verilen kümenin elemanlarını asal çarpanları cinsinden yazalım.

\( \{1, 2, a, 2 \cdot 3, 3^2, b\} \)

Elemanlar içinde 3 asal çarpanı içeren eleman bulunduğu için 3 de bu sayının bir pozitif böleni olmalıdır.

Elemanlar içinde 3'ün ikinci kuvvetini içeren eleman bulunduğu için 2 ve 3'ün ikinci kuvvetinin çarpımı da bu sayının bir pozitif böleni olmalıdır.

Buna göre \( a = 3 \) ve \( b = 2 \cdot 3^2 = 18 \) olur.

\( a + b = 3 + 18 = 21 \) bulunur.

\( A = 111^2 + 333^2 + 555^2 \)

\( = 111^2 + 3^2 \cdot 111^2 + 5^2 \cdot 111^2 \)

\( = 111^2(1 + 3^2 + 5^2) \)

\( = 111^2 \cdot 35 \)

\( = 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 37^2 \)

Pozitif bölen sayısını bulmak için asal çarpanların üsleri birer artılır ve çarpılır.

PBS \( = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(2 + 1) \)

\( = 36 \) bulunur.

\( \dfrac{2x + 180}{x} = \dfrac{2x}{x} + \dfrac{180}{x} \)

İlk terim bir tam sayı olduğu için ikinci terimi tam sayı yapan \( x \) değerleri tüm ifadeyi de tam sayı yapar.

180'in her bir pozitif böleni için bu kesirli ifadenin sonucu tam sayı olur.

\( 180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \)

180'in pozitif bölen sayısını bulalım.

PBS \( = (2 + 1) \cdot (2 + 1) \cdot (1 + 1) = 18 \) bulunur.

2500'ü asal çarpanlarına ayıralım.

\( 2500 = 2^2 \cdot 5^4 \)

İfadeyi tam kare çarpanlar cinsinden yazalım.

\( 2500 = (2^2)^1 \cdot (5^2)^2 \)

Tam kare bölenlerin içinde tüm çarpanların tam kare şeklinde bulunmaları gerektiği için parantez içindeki çarpanları asal çarpan gibi düşünerek pozitif bölen sayısını bulalım.

Tam kare bölen sayısı \( = (1 + 1)(2 + 1) = 6 \)

Buna göre 2500'ün 6 tam kare böleni vardır ve bu bölenler \( \{1, 4, 25, 100, 625, 2500\} \) sayılarıdır.

\( A \) sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

\( A = 2^5 \cdot 5^4 \cdot 2^3 \cdot 3^3 \)

\( = 2^8 \cdot 3^3 \cdot 5^4 \)

İfadeyi tam kare çarpanlar cinsinden yazalım.

\( A = (2^2)^4 \cdot (3^2)^1 \cdot 3 \cdot (5^2)^2 \)

Tam kare bölenlerin içinde tüm çarpanların tam kare şeklinde bulunması ve tam kare dışında bir çarpan bulunmaması gerektiği için parantez içindeki çarpanları asal çarpan gibi düşünerek pozitif bölen sayısını bulalım.

Tam kare bölen sayısı \( = (4 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 30 \)

Bulduğumuz tam kare bölen sayısına 1 de dahil olduğu için sonuçtan 1 çıkaralım.

\( 30 - 1 = 29 \) bulunur.

15 ve 300'ü asal çarpanlarına ayıralım.

\( 15 = 3 \cdot 5 \)

\( 300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 \)

Buna göre, \( x \) en az \( 3 \cdot 5 \), en fazla \( 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \) çarpanlarını içermelidir.

300 içinde olup 15 içinde olmayan çarpanlar \( 2^2 \cdot 5 \) olur ve bu çarpanlar için yazılabilecek bölen sayısı kadar farklı \( x \) sayısı yazılabilir.

\( 2^2 \cdot 5 \) çarpanları ile \( (2 + 1)(1 + 1) = 6 \) farklı bölen yazılabilir. Bu bölenlerin her birini \( 15 = 3 \cdot 5 \) ile çarparsak istenen koşulu sağlayan \( x \) değerlerini buluruz.

Buna göre \( x \)'in alabileceği 6 değer aşağıdaki gibidir.

\( 15 \cdot 2^0 \cdot 5^0 = 15 \)

\( 15 \cdot 2^1 \cdot 5^0 = 30 \)

\( 15 \cdot 2^2 \cdot 5^0 = 60 \)

\( 15 \cdot 2^0 \cdot 5^1 = 75 \)

\( 15 \cdot 2^1 \cdot 5^1 = 150 \)

\( 15 \cdot 2^2 \cdot 5^1 = 300 \)

\( 4^4 \cdot 3^{x + 1} = 2^8 \cdot 3^{x + 1} \)

Bu sayının pozitif bölen sayısı formülünü yazalım.

PBS \( = (8 + 1)(x + 2) = 36 \)

\( = 9(x + 2) = 36 \)

\( x = 2 \) bulunur.

210 sayısını asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazalım.

\( 210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \)

Buna göre 210'un \( 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \) pozitif tam sayı böleni vardır ve her biri için çarpımları 210 olan bir sıralı ikili yazılabilir.

\( (a, b) \in \{(1, 210), (2, 105), (3, 70), \ldots\} \)

\( y \in \mathbb{Z^+} \) olduğu için \( y + 8 \) çarpanı 8'den büyük, dolayısıyla \( y \notin \{1, 2, 3, 5, 6, 7\} \) olur.

Buna göre \( x \)'in alabileceği değerlerin sayısı \( 16 - 6 = 10 \) olarak bulunur.

\( 2514 - 98 = 2416 \)

İstenen sayı 2416'yı tam bölmelidir.

2416'yı çarpanlarına ayıralım.

\( 2416 = 2^4 \cdot 151 \)

2416'nın asal çarpanlarının (2, 2, 2, 2, 151) herhangi bir alt kümesindeki elemanların çarpımı 2416'yı tam böler.

Bu sayılar içinde üç basamaklı en büyük sayı \( 2 \cdot 2 \cdot 151 = 604 \) olur.

Tam sayı bölen sayısını bulmak için \( A \)'yı asal çarpanlarına ayıralım.

İfadeyi \( 9^{24} \) parantezine alalım.

\( A = 9^{24}(1 + 9 + 9^2 + 9^3) \)

\( = 3^{48}(1 + 9 + 81 + 729) \)

\( = 3^{48} \cdot 820 \)

\( = 2^2 \cdot 3^{48} \cdot 5 \cdot 41 \)

Bir sayının pozitif bölenlerinin sayısı asal çarpanlarının kuvvetlerinin birer fazlasının çarpımına eşittir.

\( A \) sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı:

\( (2 + 1)(48 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 588 \) olarak bulunur.

Kare farkı özdeşliğini kullanarak ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( 2^{16} - 1^2 = (2^8 + 1)(2^8 - 1) \)

Aynı özdeşliği kullanarak ifadeyi çarpanlarına ayırmaya devam edelim.

\( = (2^8 + 1)(2^4 + 1)(2^4 - 1) \)

\( = (2^8 + 1)(2^4 + 1)(2^2 + 1)(2^2 - 1) \)

\( = (2^8 + 1)(2^4 + 1)(2^2 + 1)(2^1 + 1)(2^1 - 1) \)

\( = 257 \cdot 17 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 \)

Bu ifadedeki çarpanların tümü asal sayı olduğu için sayıyı daha fazla çarpanlarına ayıramayız.

Asal çarpanları kendi aralarında çarparak tüm bölenleri arasından 2 basamaklı olanları bulalım.

257 asal çarpanı 3 basamaklı olduğundan sadece 17, 5 ve 3 çarpanlarını dikkate almamız yeterlidir.

\( 17 = 17 \)

\( 3 \cdot 5 = 15 \)

\( 3 \cdot 17 = 51 \)

\( 5 \cdot 17 = 85 \)

Buna göre \( 2^{16} - 1 \) sayısının 15, 17, 51 ve 85 olmak üzere 4 tane 2 basamaklı böleni vardır.

9360 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

\( 9360 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 13 \)

Bir sayının pozitif bölenlerinin sayısı asal çarpanlarının kuvvetlerinin birer fazlasının çarpımına eşittir.

\( (4 + 1)(2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 60 \)

9360 sayısının pozitif bölenleri içinde 1, 2 ve 3 böleni olan sayıları bulalım.

9360'ın bölenleri içinde sadece bir böleni olan tek sayı 1'dir.

9360'ın bölenleri içinde sadece iki böleni olan sayılar asal çarpan listesindeki asal çarpanlardır. 2, 3, 5 ve 13'ün her birinin bölenleri 1 ve kendileridir.

Buna göre sadece iki böleni olan 4 sayı vardır.

9360'ın bölenleri içinde sadece üç böleni olan sayılar kuvveti 2 ve daha büyük olan asal çarpanların kareleridir.

Buna göre \( 2^2 = 4 \) ve \( 3^2 = 9 \) sayılarının 3'er böleni vardır. 4'ün bölenleri 1, 2 ve 4; 9'un bölenleri 1, 3 ve 9'dur.

3'ten fazla böleni olan sayıları bulmak için 60'tan bu sayıları çıkaralım.

\( 60 - 1 - 4 - 2 = 53 \) bulunur.

Aşağıdaki şekilde tanımlı bir \( A \) sayısının pozitif bölenlerinin toplamı aşağıdaki formülle bulunur.

\( A = x^a \cdot y^b \cdot z^c \)

Pozitif bölenlerin toplamı \( = (x^0 + x^1 + x^2 + \ldots + x^a) \) \( (y^0 + y^1 + y^2 + \ldots + y^b) \) \( (z^0 + z^1 + z^2 + \ldots + z^c) \)

Bu bölenlerden en az bir tane 2 çarpanı içerenler çift sayı, hiç 2 çarpanı içermeyenler ise tek sayı olur.

\( X \) sayısının tek sayı bölenlerinin toplamına \( n \) diyelim.

Her ne kadar \( n \) değerine aşağıdaki çözümde ihtiyaç duymayacak olsak da bu değer 2 dışındaki asal çarpanlarla oluşturulabilecek tüm bölenlerin toplamına eşittir.

\( n = (2^0)(5^0 + 5^1 + 5^2)(7^0 + 7^1 + 7^2 + 7^3)(13^0 + 13^1) \)

\( X \) sayısının çift sayı bölenlerinin toplamına ise \( m \) diyelim.

\( X \) sayısının çift sayı pozitif bölenleri en az bir 2 çarpanı içeren bölenlerden oluşur.

\( m = (2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4) \cdot n \)

\( = 30n \)

Bulduğumuz iki değerin oranını bulalım.

\( \dfrac{\text{Tek bölenlerin toplamı}}{\text{Çift bölenlerin toplamı}} = \dfrac{n}{30n} \)

\( = \dfrac{1}{30} \) bulunur.

Verilen üslü ifadeyi asal çarpanlarına ayıralım.

\( 185^8 = 5^8 \cdot 37^8 \)

Bir sayının karekökünün tam sayı (tam kare) olması için asal çarpanlarının tümünün üsleri çift sayı olmalıdır.

\( 185^8 = (5^2)^4 \cdot (37^2)^4 \)

Buna göre \( 185^8 \) sayısının \( (4 + 1)(4 + 1) = 25 \) tane tam kare böleni vardır.

Bir sayının küpkökünün tam sayı (tam küp) olması için asal çarpanlarının tümünün üsleri 3'ün birer tam sayı katı olmalıdır.

\( 185^8 = (5^3)^2 \cdot (37^3)^2 \cdot x \)

Buna göre \( 185^8 \) sayısının \( (2 + 1)(2 + 1) = 9 \) tane tam küp böleni vardır.

6 hem 2'ye hem de 3'e bölündüğü için asal çarpanların 6 olduğu durumda oluşan bölenler hem tam kare hem de tam küptür ve yukarıda bulduğumuz sayılarda iki kez sayılmıştır.

\( 185^8 = (5^6)^1 \cdot (37^6)^1 \cdot y \)

Buna göre \( (1 + 1)(1 + 1) = 4 \) bölen iki kez sayılmıştır.

İki kez sayılan bölenler: \( 5^0 \cdot 37^0, 5^0 \cdot 37^6, 5^6 \cdot 37^0, 5^6 \cdot 37^6 \)

Buna göre istenen koşulu sağlayan \( 25 + 9 - 4 = 30 \) bölen vardır.