Bir \( A \) pozitif tam sayısının asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılışı aşağıdaki gibi olsun.
\( A = x^a \cdot y^b \cdot z^c \)
Asal bölenler (çarpanlar): \( x, y, z \)
Asal bölenlerin (çarpanların) sayısı (ABS) \( = 3 \)
ÖRNEK:
\( 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \)
Asal bölenler: 2, 3, 5
\( \text{ABS}_{360} = 3 \)
Bölen Sayısı
\( A \) sayısının pozitif bölenlerinin sayısı asal çarpan kuvvetlerinin birer fazlasının çarpımına eşittir. Bir bölenin negatif işaretlisi de aynı sayının böleni olduğu için pozitif ve negatif tüm bölenlerin sayısı pozitif bölenlerin sayısının iki katına eşittir.
Pozitif bölenlerin sayısı (PBS) \( = (a + 1)(b + 1)(c + 1) \)
Tüm (pozitif ve negatif) bölenlerin sayısı (TBS) \( = 2 \cdot (\text{PBS}) \)
Tüm bölenler: Yukarıdaki pozitif bölenler ve negatif işaretlileri
İSPATI GÖSTER
\( A \) pozitif tam sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli aşağıdaki gibi olsun.
\( A = x^a \cdot y^b \cdot z^c \)
Bir \( X \) pozitif tam sayısının \( A \) sayısının bir böleni olabilmesi için aşağıdaki iki koşulu sağlaması gerekir.
Asal çarpanları sadece \( A \) sayısının asal çarpanlarını içerebilir.
Her asal çarpanın kuvveti en fazla \( A \) sayısında bulunduğu kuvvette olabilir.
Dolayısıyla \( X \) sayısını asal çarpanlarına ayrılmış şekilde aşağıdaki gibi yazabiliriz.
\( X = x^p \cdot y^q \cdot z^r \)
\( 0 \le p \le a \)
\( 0 \le q \le b \)
\( 0 \le r \le c \)
Bu koşulları yukarıdaki gibi bir bölme işlemiyle de gösterebiliriz. Bir \( X \) sayısının \( A \) sayısını tam bölebilmesi için tüm çarpanları \( A \) sayısının çarpanları ile sadeleşmelidir. Bunun için \( X \) sayısı \( A \) sayısında bulunmayan bir asal çarpan içeremez ve bir asal çarpan \( X \) sayısında \( A \) sayısında bulunduğu kuvvetten daha fazla bir kuvvette bulunamaz. Aksi durumlarda sadeleşmeler sonucunda paydada çarpan(lar) kalacak ve işlem sonucu bir tam sayı olmayacaktır.
Bu doğrultuda oluşturabileceğimiz farklı \( X \) sayıları yukarıdaki üç eşitsizliği sağlayan \( p \), \( q \) ve \( r \) tam sayılarının sayısı kadar olacaktır. Buna göre \( p \) sayısı için \( a + 1 \), \( q \) sayısı için \( b + 1 \), \( r \) sayısı için de \( c + 1 \) farklı değer seçeneği oluşmaktadır.
\( p = \{ 0, 1, \ldots, a \} \)
\( q = \{ 0, 1, \ldots, b \} \)
\( r = \{ 0, 1, \ldots, c \} \)
Sayma konusunda göreceğimiz çarpma yoluyla sayma kuralına göre, \( p \), \( q \) ve \( r \) sayılarının her biri sırasıyla \( a + 1 \), \( b + 1 \) ve \( c + 1 \) farklı şekilde seçilebiliyorsa bu üç sayı birlikte \( (a + 1)(b + 1)(c + 1) \) farklı şekilde seçilebilir.
Buna göre \( A \) pozitif tam sayısını tam bölen \( (a + 1)(b + 1)(c + 1) \) farklı pozitif tam sayı yazılabilir.
Asal Olmayan Bölen Sayısı
Bir sayının asal olmayan pozitif bölenlerinin sayısı pozitif bölen ve asal bölen sayılarının farkına eşittir. Bir sayının asal olmayan tüm bölenlerinin sayısını da benzer şekilde hesaplayabiliriz. Asal sayılar negatif olamayacağı için asal bölenlerin negatif işaretlilerini birer asal bölen olarak düşünemeyiz.
Asal olmayan pozitif bölenlerin sayısı \( = (\text{PBS}) - (\text{ABS}) \)
Asal olmayan bölenlerin sayısı \( = (\text{TBS}) - (\text{ABS}) \)
ÖRNEK:
360 sayısı için,
Asal olmayan pozitif bölenlerin sayısı \( = 24 - 3 = 21 \)
Asal olmayan pozitif bölenler: 2, 3 ve 5 hariç pozitif bölenler
Asal olmayan bölenlerin sayısı \( = 48 - 3 = 45 \)
Asal olmayan bölenler: 2, 3 ve 5 hariç tüm bölenler
Tek/Çift Bölen Sayısı
\( A \) sayısının asal çarpanlarından \( x \)'in çift sayı, \( y \) ve \( z \)'nin tek sayı olduğunu varsayalım. Bu durumda \( A \)'nın pozitif bölenlerinden tek sayı olanların sayısını bulmak için sadece tek asal çarpanları dikkate alarak pozitif bölen sayısını hesaplarız (PBS). Çift sayı pozitif bölen sayısı toplam pozitif bölen sayısının tek sayı pozitif bölen sayısından farkına eşittir.
\( x \) çift sayı, \( y \) ve \( z \) tek sayı olmak üzere,
Tek sayı pozitif bölenlerin sayısı (TPBS) \( = (b + 1)(c + 1) \)
Çift sayı pozitif bölenlerin sayısı (ÇPBS) \( = (\text{PBS}) - (\text{TPBS}) \)
ÖRNEK:
360 sayısı için,
\( \text{TPBS}_{360} = (2 + 1)(1 + 1) = 6 \)
Tek sayı pozitif bölenler: 1, 3, 5, 9, 15, 45
\( \text{ÇPBS}_{360} = 24 - 6 = 18 \)
Çift sayı pozitif bölenler: Yukarıdaki tek sayı pozitif bölenler hariç tüm pozitif bölenler
İSPATI GÖSTER
\( A \) pozitif tam sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli aşağıdaki gibi olsun.
\( A = x^a \cdot y^b \cdot z^c \)
\( A \) sayısının asal çarpanlarından \( x \)'in çift sayı, \( y \) ve \( z \)'nin tek sayı olduğunu varsayalım.
\( n \) tane tam sayının çarpımında sayılardan en az biri çift ise sonuç çift olur, bir diğer deyişle bir tam sayı tek ise asal çarpanlarının tümü tektir. Buna göre \( A \)'nın tek sayı bölenleri çift asal çarpan içermeyen bölenler olur ve bu bölenlerin sayısını bulmak için \( A \)'nın sadece tek asal çarpanlarını dikkate alarak pozitif bölen sayısını hesaplarız (PBS).
Tek sayı pozitif bölenlerin sayısı (TPBS) \( = (b + 1)(c + 1) \)
Çift sayı bölen sayısını toplam pozitif bölen sayısından tek sayı bölen sayısını çıkararak bulabiliriz. Bir bölenin çift sayı olması için içinde en az bir çift asal çarpan olması yeterlidir, bir diğer ifadeyle sadece tek sayı çarpanlardan oluşmaması gerekir.
Çift sayı pozitif bölenlerin sayısı (ÇPBS) \( = (\text{PBS}) - (\text{TPBS}) \)
Tüm asal sayılar içinde sadece 2'nin çift sayı olduğunu burada tekrar hatırlatalım, dolayısıyla asal çarpan olarak 2 içermeyen sayıların hem kendileri hem de tüm bölenleri tek sayıdır.
SORU:
200 sayısını asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazıp yukarıda listelenen bölen sayılarını hesaplayalım.
Çözümü Göster
200'ün asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılışı:
Yukarıda listelediğimiz 200 sayısının 12 pozitif bölenini toplarsak yine 465 sayısını elde ederiz.
İSPATI GÖSTER
\( A \) sayısının asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılışı aşağıdaki gibi olsun:
\( A = x^a \cdot y^b \cdot z^c \)
Bir sayının \( A \) sayısının pozitif böleni olabilmesi için \( A \) sayısı ile aynı asal çarpanlara en fazla \( A \) sayısında bulunduğu sayıda sahip olması gerekir. Dolayısıyla \( A \) sayısının bir pozitif böleni \( x \) asal çarpanını \( 0 \) ile \( a \) adet arası bir sayıda içerebilir (diğer asal çarpanlar için de aynı şekilde).
\( A \) sayısının asal çarpanları arasından bu şekilde seçilerek oluşturulabilecek tüm pozitif bölenlerin aşağıdaki ifadenin açılımındaki terimlerle birebir eşleşeceğini söyleyebiliriz.
Bu ifadedeki her bir çarpan bir geometrik dizi ifade etmektedir. \( x \) asal çarpanının karşılık geldiği ilk çarpanı örnek olarak alırsak:
Geometrik dizinin terimleri: \( x^0, x^1, x^2, ..., x^a \)
İlk terim (\( a_1 \)): \( x^0 = 1 \)
Terim sayısı (n): \( a + 1 \)
Ortak çarpan (r): \( x \)
Geometrik diziler konusunda göreceğimiz terimler toplamı formülüne göre bu dizinin terimler toplamını aşağıdaki formülle hesaplayabiliriz (bu formülün ispatı verilen linkte bulunabilir):
Bu formülü yukarıdaki formüldeki tüm asal çarpanlara yansıtırsak \( A \) sayısının pozitif bölenlerinin toplamı formülünü aşağıdaki şekilde elde ederiz:
\( A \) sayısının asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılışı aşağıdaki gibi olsun:
\( A = x^a \cdot y^b \cdot z^c \)
Daha önce bahsettiğimiz gibi, \( A \) sayısının pozitif bölenleri aşağıdaki ifadenin açılımındaki terimlerle birebir eşleşir. Dolayısıyla bu açılımdaki terimlerin çarpımını bulmamız gerekmektedir.
Bu çarpımda sadece \( x \) asal çarpanını dikkate alırsak, \( x \)'in her farklı kuvvetinin \( (b + 1)(c + 1) \) kez tekrarladığını görebiliriz. Buna göre yukarıdaki ifadedeki \( x \) içeren çarpanları aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
Son olarak bu çarpan \( (b + 1)(c + 1) \) kez tekrarladığı için yanyana yazmamız durumunda \( x \)'in kuvvetini bu sayı ile çarpabiliriz.
\( = x^\frac{a(a + 1)(b + 1)(c + 1)}{2} \)
\( PBS = (a + 1)(b + 1)(c + 1) \) olduğu için formülde bu ifade yerine PBS yazalım.
\( = x^\frac{a \cdot PBS}{2} \)
Bu ifade sadece tabanın \( x \) olduğu çarpanları içeriyordu, diğer asal çarpanları da eklersek tüm pozitif bölenlerin çarpımını aşağıdaki şekilde buluruz.