Tam Bölen Sayısı

\( A \) pozitif tam sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli aşağıdaki gibi olsun.

\( A = x^a \cdot y^b \cdot z^c \)

Bir \( X \) pozitif tam sayısının \( A \) sayısının bir böleni olabilmesi için aşağıdaki iki koşulu sağlaması gerekir.

• Asal çarpanları sadece \( A \) sayısının asal çarpanlarını içerebilir.
• Her asal çarpanın kuvveti en fazla \( A \) sayısında bulunduğu kuvvette olabilir.

Dolayısıyla \( X \) sayısını asal çarpanlarına ayrılmış şekilde aşağıdaki gibi yazabiliriz.

\( X = x^p \cdot y^q \cdot z^r \)

\( 0 \le p \le a \)

\( 0 \le q \le b \)

\( 0 \le r \le c \)

Bu koşulları yukarıdaki gibi bir bölme işlemiyle de gösterebiliriz. Bir \( X \) sayısının \( A \) sayısını tam bölebilmesi için tüm çarpanları \( A \) sayısının çarpanları ile sadeleşmelidir. Bunun için \( X \) sayısı \( A \) sayısında bulunmayan bir asal çarpan içeremez ve bir asal çarpan \( X \) sayısında \( A \) sayısında bulunduğu kuvvetten daha fazla bir kuvvette bulunamaz. Aksi durumlarda sadeleşmeler sonucunda paydada çarpan(lar) kalacak ve işlem sonucu bir tam sayı olmayacaktır.

Bu doğrultuda oluşturabileceğimiz farklı \( X \) sayıları yukarıdaki üç eşitsizliği sağlayan \( p \), \( q \) ve \( r \) tam sayılarının sayısı kadar olacaktır. Buna göre \( p \) sayısı için \( a + 1 \), \( q \) sayısı için \( b + 1 \), \( r \) sayısı için de \( c + 1 \) farklı değer seçeneği oluşmaktadır.

\( p = \{ 0, 1, \ldots, a \} \)

\( q = \{ 0, 1, \ldots, b \} \)

\( r = \{ 0, 1, \ldots, c \} \)

Sayma konusunda göreceğimiz çarpma yoluyla sayma kuralına göre, \( p \), \( q \) ve \( r \) sayılarının her biri sırasıyla \( a + 1 \), \( b + 1 \) ve \( c + 1 \) farklı şekilde seçilebiliyorsa bu üç sayı birlikte \( (a + 1)(b + 1)(c + 1) \) farklı şekilde seçilebilir.

Buna göre \( A \) pozitif tam sayısını tam bölen \( (a + 1)(b + 1)(c + 1) \) farklı pozitif tam sayı yazılabilir.

\( A \) pozitif tam sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli aşağıdaki gibi olsun.

\( A = x^a \cdot y^b \cdot z^c \)

\( A \) sayısının asal çarpanlarından \( x \)'in çift sayı, \( y \) ve \( z \)'nin tek sayı olduğunu varsayalım.

\( n \) tane tam sayının çarpımında sayılardan en az biri çift ise sonuç çift olur, bir diğer deyişle bir tam sayı tek ise asal çarpanlarının tümü tektir. Buna göre \( A \)'nın tek sayı bölenleri çift asal çarpan içermeyen bölenler olur ve bu bölenlerin sayısını bulmak için \( A \)'nın sadece tek asal çarpanlarını dikkate alarak pozitif bölen sayısını hesaplarız (PBS).

Tek sayı pozitif bölenlerin sayısı (TPBS) \( = (b + 1)(c + 1) \)

Çift sayı bölen sayısını toplam pozitif bölen sayısından tek sayı bölen sayısını çıkararak bulabiliriz. Bir bölenin çift sayı olması için içinde en az bir çift asal çarpan olması yeterlidir, bir diğer ifadeyle sadece tek sayı çarpanlardan oluşmaması gerekir.

Çift sayı pozitif bölenlerin sayısı (ÇPBS) \( = (\text{PBS}) - (\text{TPBS}) \)

\( A \) sayısının asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılışı aşağıdaki gibi olsun:

\( A = x^a \cdot y^b \cdot z^c \)

Bir sayının \( A \) sayısının pozitif böleni olabilmesi için \( A \) sayısı ile aynı asal çarpanlara en fazla \( A \) sayısında bulunduğu sayıda sahip olması gerekir. Dolayısıyla \( A \) sayısının bir pozitif böleni \( x \) asal çarpanını \( 0 \) ile \( a \) adet arası bir sayıda içerebilir (diğer asal çarpanlar için de aynı şekilde).

\( A \) sayısının asal çarpanları arasından bu şekilde seçilerek oluşturulabilecek tüm pozitif bölenlerin aşağıdaki ifadenin açılımındaki terimlerle birebir eşleşeceğini söyleyebiliriz.

\( (x^0 + x^1 + x^2 + ... + x^a) \cdot \) \( (y^0 + y^1 + y^2 + ... + y^b) \cdot \) \( (z^0 + z^1 + z^2 + ... + z^c) \)

Buna göre, bu ifadenin kendisi bize \( A \) sayısının pozitif bölenlerinin toplamını verecektir.

Pozitif bölenlerinin toplamı \( = (x^0 + x^1 + x^2 + ... + x^a) \cdot \) \( (y^0 + y^1 + y^2 + ... + y^b) \cdot \) \( (z^0 + z^1 + z^2 + ... + z^c) \)

Bu ifadedeki her bir çarpan bir geometrik dizi ifade etmektedir. \( x \) asal çarpanının karşılık geldiği ilk çarpanı örnek olarak alırsak:

Geometrik dizinin terimleri: \( x^0, x^1, x^2, ..., x^a \)

İlk terim (\( a_1 \)): \( x^0 = 1 \)

Terim sayısı (n): \( a + 1 \)

Ortak çarpan (r): \( x \)

Geometrik diziler konusunda göreceğimiz terimler toplamı formülüne göre bu dizinin terimler toplamını aşağıdaki formülle hesaplayabiliriz (bu formülün ispatı verilen linkte bulunabilir):

Terimler toplamı \( = a_1 \cdot \dfrac{r^n - 1}{r - 1} \)

Terimler toplamı \( = x_0 \cdot \dfrac{x^{a + 1} - 1}{x - 1} \) \( = \dfrac{x^{a + 1} - 1}{x - 1} \)

Bu formülü yukarıdaki formüldeki tüm asal çarpanlara yansıtırsak \( A \) sayısının pozitif bölenlerinin toplamı formülünü aşağıdaki şekilde elde ederiz:

Pozitif bölenlerinin toplamı \( = \dfrac{x^{a + 1} - 1}{x - 1} \cdot \dfrac{y^{b + 1} - 1}{y - 1} \cdot \dfrac{z^{c + 1} - 1}{z - 1} \)

\( A \) sayısının asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılışı aşağıdaki gibi olsun:

\( A = x^a \cdot y^b \cdot z^c \)

Daha önce bahsettiğimiz gibi, \( A \) sayısının pozitif bölenleri aşağıdaki ifadenin açılımındaki terimlerle birebir eşleşir. Dolayısıyla bu açılımdaki terimlerin çarpımını bulmamız gerekmektedir.

\( (x^0 + x^1 + x^2 + ... + x^a) \cdot \) \( (y^0 + y^1 + y^2 + ... + y^b) \cdot \) \( (z^0 + z^1 + z^2 + ... + z^c) \)

\( A \) sayısının pozitif bölenlerinin çarpımını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( \underbrace{x^0y^0z^0}_\text{1. bölen} \cdot \underbrace{x^0y^0z^1}_\text{2. bölen} \cdots \underbrace{x^1y^1z^1}_\text{k. bölen} \cdots \underbrace{x^a y^b z^c}_\text{PBS. bölen} \)

Bu çarpımda sadece \( x \) asal çarpanını dikkate alırsak, \( x \)'in her farklı kuvvetinin \( (b + 1)(c + 1) \) kez tekrarladığını görebiliriz. Buna göre yukarıdaki ifadedeki \( x \) içeren çarpanları aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( \underbrace{x^0 \cdot x^1 \cdot x^2 \cdots x^a}_\text{(b + 1)(c + 1) adet} \)

\( x \)'in kuvvetlerini toplayarak tek tabanda birleştirelim.

\( = \underbrace{x^{0 + 1 + 2 + \cdots + a}}_\text{(b + 1)(c + 1) adet} \)

Ardışık sayıların toplam formülünü kullanarak kuvveti tekrar yazalım.

\( = \underbrace{x^\frac{a(a + 1)}{2}}_\text{(b + 1)(c + 1) adet} \)

Son olarak bu çarpan \( (b + 1)(c + 1) \) kez tekrarladığı için yanyana yazmamız durumunda \( x \)'in kuvvetini bu sayı ile çarpabiliriz.

\( = x^\frac{a(a + 1)(b + 1)(c + 1)}{2} \)

\( PBS = (a + 1)(b + 1)(c + 1) \) olduğu için formülde bu ifade yerine PBS yazalım.

\( = x^\frac{a \cdot PBS}{2} \)

Bu ifade sadece tabanın \( x \) olduğu çarpanları içeriyordu, diğer asal çarpanları da eklersek tüm pozitif bölenlerin çarpımını aşağıdaki şekilde buluruz.

Pozitif bölenlerinin çarpımı \( = x^\frac{a \cdot PBS}{2} \cdot y^\frac{b \cdot PBS}{2} \cdot z^\frac{c \cdot PBS}{2} \)

Asal çarpanların ortak kuvvetlerini sabit tutarak tabanları birleştirelim.

\( = (x^a \cdot y^b \cdot z^c)^\frac{PBS}{2} \)

Taban \( A \) sayısına eşit olduğu için yerine koyduğumuzda pozitif bölenlerin çarpımı formülünü elde ederiz.

Pozitif bölenlerinin çarpımı \( = A^\frac{PBS}{2} = \sqrt{A^{PBS}} \)