Bir sayının asal çarpanlarını küme olarak tanımlayıp Venn şeması şeklinde gösterebiliriz.
\( 300 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \)
\( A = \{ x: 300 \text{ sayısının asal çarpanları} \} \)
\( A = \{ 2, 2, 3, 5, 5 \} \)
300 sayısının asal çarpanlarının küme gösterimi
NOT: Küme tanımına göre, bir eleman bir kümede sadece bir kez bulunabilir, ancak burada tekrarlayan çarpanları asal çarpanlar kümesine birden fazla kez dahil etmiş olduk. Bu tekrarlayan elemanları "birinci 2 çarpanı, ikinci 2 çarpanı vb." şeklinde birbirinden farklı elemanlar olarak düşünebiliriz.
İki sayının asal çarpanlarını da benzer şekilde küme olarak tanımlayıp Venn şeması şeklinde gösterebiliriz..
\( 252 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^1 \)
\( A = \{ x: 252 \text{ sayısının asal çarpanları} \} \)
\( A = \{ 2, 2, 3, 3, 7 \} \)
\( 120 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \)
\( B = \{ x: 120 \text{ sayısının asal çarpanları} \} \)
\( B = \{ 2, 2, 2, 3, 5 \} \)
İki sayının asal çarpanlarının küme gösterimi
EBOB ve EKOK'un Küme Gösterimi
Yukarıdaki şemada \( A \) kümesi (mavi + yeşil alan) 252'nin asal çarpanlarını, \( B \) kümesi (sarı + yeşil alan) 120'nin asal çarpanlarını içermektedir.
İki kümenin kesişim kümesi (yeşil alan) iki sayıda ortak çarpanlarını içermektedir, bu da iki sayının EBOB'una karşılık gelmektedir. İki kümenin birleşim kümesi ise (mavi + yeşil + sarı alan) iki sayının EKOK'unu vermektedir.
Bu gösterim bize iki sayının EBOB'unun bu sayıların asal çarpanlarının kesişim kümesi anlamını göstermektedir. Dolayısıyla, iki ya da daha fazla sayının EBOB'unu bulurken aynı zamanda bu sayıların asal çarpanlarının oluşturduğu kümelerin kesişim kümesini buluyor oluruz.
Benzer şekilde, bu gösterim bize iki sayının EKOK'unun bu sayıların asal çarpanlarının birleşim kümesi anlamını göstermektedir. Dolayısıyla, iki ya da daha fazla sayının EKOK'unu bulurken aynı zamanda bu sayıların asal çarpanlarının oluşturduğu kümelerin birleşim kümesini buluyor oluruz.
Aralarında Asal Sayıların Küme Gösterimi
Aralarında asal sayıların ortak çarpanı olmadığı için küme gösteriminde kesişim kümesi boş küme olur.
Aralarında asal sayıların asal çarpanlarının küme gösterimi
\( 28 = 2^2 \cdot 7^1 \)
\( A = \{ 2, 2, 7 \} \)
\( 45 = 3^2 \cdot 5^1 \)
\( B = \{ 3, 3, 5 \} \)
\( A \cap B = \emptyset \)
SORU:
\( a \) ve \( b \) birbirinden farklı doğal sayılar ve
\( EKOK(a, b) = 108 \) olduğuna göre,
\( a + b \) toplamı en küçük kaçtır?
Çözümü Göster
İki sayının asal çarpanlarını Venn şeması şeklinde gösterirsek kesişim kümesindeki çarpanların çarpımı sayıların EBOB'unu, birleşim kümesindeki çarpanların çarpımı da sayıların EKOK'unu verecektir.
\( EKOK(a, b) = 108 \)
\( d \cdot m \cdot n = 2^2 \cdot 3^3 \)
Sayıların toplamının en küçük değeri için kesişim kümesi boş, yani sayılar aralarında asal olmalıdır.
Bu aşağıdaki iki durumda sağlanır (sayıların aralarında yer değiştirdiği durumları iki kez saymadan).
\( a = 2^2 \cdot 3^3 = 108, \quad b = 1 \)
\( a = 2^2 = 4, \quad b = 3^3 = 27 \)
Sayıların toplamının en küçük olduğu durum ikinci durumdur.
\( a + b = 27 + 4 = 31 \)
SORU:
\( a \) ve \( b \) aralarında asal sayılar olmak üzere,
\( EKOK(a, b) = 360 \) eşitliğini sağlayan kaç farklı \( (a, b) \) sıralı ikilisi yazabiliriz?
Çözümü Göster
Bu soruyu yukarıda gördüğümüz küme gösterimi ile çözelim. Aşağıdaki şekilde \( A \) kümesi \( a \) sayısının, \( B \) kümesi de \( b \) sayısının asal çarpanlarını göstermektedir. Kümelerin kesişimi iki sayının ortak asal çarpanlarını (yani EBOB'larını), birleşimi de tekrarsız tüm asal çarpanlarını (yani EKOK'larını) vermektedir.
360'ı asal çarpanlarına ayıralım.
\( EKOK(a, b) = 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \)
Bu soruda yapmamız gereken, 360'ın asal çarpanlarını yukarıdaki Venn şemasındaki üç bölgeye (mavi, sarı ve yeşil) kaç farklı şekilde dağıtabileceğimizi bulmaktır. Bununla ilgili koşulları şu şekilde sıralayabiliriz.
Sayıların aralarında asal olduğu belirtildiği için, kesişim kümesi (yeşil bölge) boş küme olmalıdır.
Bir asal sayının tüm çarpanları aynı bölgede (mavi ya da sarı) olmak zorundadır. Örneğin 3'ün bir asal çarpanı \( a \) sayısının, diğer çarpanı \( b \) sayısının çarpan listesinde yer alırsa, bu çarpan iki sayıda ortak olacağı için kesişim kümesinde yer alması gerekecek, bu da sayıların aralarında asallığını bozacaktır.
Dolayısıyla, \( 2^3 \), \( 3^2 \) ve \( 5 \) çarpanlarını her birini asal çarpanlarına ayırmadan bu iki bölgeye kaç farklı şekilde yerleştirebileceğimizi bulmamız gerekmektedir. Bu üç çarpanın her biri için iki seçeneğimiz olduğu için (mavi ve sarı bölgeler), sayıları toplamda \( 2^3 = 8 \) farklı şekilde yerleştirebiliriz. Buna göre sayılar aşağıdaki gibi oluşacaktır. Her bir durumda sayıların aralarında asal olduğunu ve çarpımlarının 360 olduğu görebiliriz.
