Bir tam sayının belirli bir sayıya kalansız bölünüp bölünmediğini bölme işlemini yapmadan kısa yoldan bulmamızı sağlayan kurallara bölünebilme kuralları denir.
Tüm tam sayılar 1'e tam bölünürler.
2 ile Bölünebilme
Çift sayılar (son rakamı 0, 2, 4, 6, 8 olan sayılar) 2'ye tam bölünür.
Bir tam sayı 2'ye tam bölünmüyorsa kalan sayı 1'dir.
2'ye tam bölünen bazı sayılar: \( 0, 2, 24, 148, 2056 \)
2'ye tam bölünmeyen bazı sayılar: \( 1, 3, 15, 227, 1049 \)
3 ile Bölünebilme
Rakamlarının toplamı 3 ya da 3'ün katı olan sayılar 3'e tam bölünür. Sayının rakamlarının toplamı da büyük bir sayı ise aynı yöntem rakamlar toplamına tekrar uygulanabilir.
Bir sayı 3'e tam bölünmüyorsa kalan sayı rakamların toplamının 3'e bölümünden kalan sayıdır.
ÖRNEK:
Aşağıdaki sayı rakamları toplamı 3'e tam bölündüğü için 3'e tam bölünür.
İfadenin ilk kısmının her terimi 3'ün bir katı olduğu için ilk kısım 3'e tam bölünür, dolayısıyla \( (abcd) \) sayısının 3'e tam bölünebilirliğini bulmak için ikinci kısmın 3'e bölünebilirliğini kontrol etmemiz yeterlidir, bu kısım da sayının rakamları toplamına eşittir.
Ayrıca ifadenin ilk kısmının 3'e bölümünden kalan 0 olduğu için sayının 3'e bölümünden kalan ikinci kısmın 3'e bölümünden kalana eşit olur.
İfadenin ilk kısmının her terimi 4'ün bir katı olduğu için ilk kısım 4'e tam bölünür, dolayısıyla \( (abcd) \) sayısının 4'e tam bölünebilirliğini bulmak için ikinci kısımdaki ve sayının son iki basamağına karşılık gelen \( (cd) \) sayısının 4'e bölünebilirliğini kontrol etmemiz yeterlidir.
Ayrıca ifadenin ilk kısmının 4'e bölümünden kalan 0 olduğu için sayının 4'e bölümünden kalan ikinci kısmın 4'e bölümünden kalana eşit olur.
İfadenin ilk kısmının her terimi 4'ün bir katı olduğu için ilk kısım 4'e tam bölünür, dolayısıyla \( (abcd) \) sayısının 4'e tam bölünebilirliğini bulmak için ikinci kısmın 4'e bölünebilirliğini kontrol etmemiz yeterlidir, bu kısım da sayının onlar basamağındaki rakamın iki katı ile birler basamağındaki rakamın toplamına eşittir.
Ayrıca ifadenin ilk kısmının 4'e bölümünden kalan 0 olduğu için sayının 4'e bölümünden kalan ikinci kısmın 4'e bölümünden kalana eşit olur.
4'e tam bölünen bazı sayılar: \( 0, 4, 44, 268, 736, 1908 \)
4'e tam bölünmeyen bazı sayılar: \( 5, 30, 174, 446, 3402 \)
5 ile Bölünebilme
Son rakamı 0 ya da 5 olan sayılar 5'e tam bölünür.
Bir sayı 5'e tam bölünmüyorsa kalan sayı son rakamının 5'e bölümünden kalan sayıdır.
5'e tam bölünen bazı sayılar: \( 0, 5, 10, 165, 790, 1115 \)
5'e tam bölünmeyen bazı sayılar: \( 8, 72, 124, 703, 1004 \)
6 ile Bölünebilme
Önümüzdeki bölümde göreceğimiz genel bölünebilme kuralına göre, hem 2'ye hem de 3'e tam bölünen sayılar 6'ya da tam bölünür.
ÖRNEK:
\( 1.368 \) sayısı yukarıda paylaştığımız bölünebilme kurallarına göre hem 2'ye hem 3'e tam bölündüğü için 6'ya da tam bölünür.
6'ya tam bölünen bazı sayılar: \( 0, 6, 66, 132, 576, 3336 \)
6'ya tam bölünmeyen bazı sayılar: \( 9, 15, 76, 232, 1232 \)
7 ile Bölünebilme
Yöntem 1
Son rakamını iki ile çarpıp diğer basamaklardaki sayıdan çıkartınca kalan sayı 7'ye tam bölünen sayılar 7'ye tam bölünür. Bu yöntemle elde ettiğimiz sayı hala büyük ise yöntemi bu sayıya tekrar uygulayabiliriz.
ÖRNEK:
Yöntemi \( 249.207 \) sayısına 7'ye bölünebilirliğinden emin olduğumuz noktaya kadar uygulayalım.
\( 21 \) 7'ye tam bölündüğü için \( 249.207 \) sayısı da tam bölünür.
Yöntem 2
Sayının rakamlarının altına birler basamağından başlayarak sırasıyla "(+1), (+3), (+2), (-1), (-3), (-2), (+1), ..." yazılır ve her basamaktaki sayılar birbiriyle çarpılır. Elde edilen sayıların toplamı 7'nin tam katı ise bu sayı 7'ye tam bölünür.
ÖRNEK:
Yöntemi \( 7.249.207 \) sayısına uygulayalım.
\( 7.249.207 \)
\( (+1)(-2)(-3)(-1)(+2)(+3)(+1) \)
Her basamaktaki rakamları aralarında çarparak bu çarpımları toplayalım.
İfadenin ilk kısmının her terimi 7'nin bir katı olduğu için ilk kısım 7'ye tam bölünür, dolayısıyla \( (abcdef) \) sayısının 7'ye tam bölünebilirliğini bulmak için ikinci kısmın 7'ye bölünebilirliğini kontrol etmemiz yeterlidir, bu kısım da rakamların birler basamağından başlayarak sırasıyla "(+1), (+3), (+2), (-1), (-3), (-2), (+1), ..." ile çarpımlarının toplamına eşittir.
Ayrıca ifadenin ilk kısmının 7'ye bölümünden kalan 0 olduğu için sayının 7'ye bölümünden kalan ikinci kısmın 7'ye bölümünden kalana eşit olur.
\( (abcdef) \bmod{7} = (-2a - 3b - c + 2d + 3e + f) \bmod{7} \)
İfadenin ilk kısmının her terimi 8'in bir katı olduğu için ilk kısım 8'e tam bölünür, dolayısıyla \( (abcdef) \) sayısının 8'e tam bölünebilirliğini bulmak için ikinci kısmın 8'e bölünebilirliğini kontrol etmemiz yeterlidir.
Ayrıca ifadenin ilk kısmının 8'e bölümünden kalan 0 olduğu için sayının 8'e bölümünden kalan ikinci kısmın 8'e bölümünden kalana eşit olur.
İfadenin ilk kısmının her terimi 9'un bir katı olduğu için ilk kısım 9'a tam bölünür, dolayısıyla \( (abcd) \) sayısının 9'a tam bölünebilirliğini bulmak için ikinci kısmın 9'a bölünebilirliğini kontrol etmemiz yeterlidir, bu kısım da sayının rakamları toplamına eşittir.
Ayrıca ifadenin ilk kısmının 9'a bölümünden kalan 0 olduğu için sayının 9'a bölümünden kalan ikinci kısmın 9'a bölümünden kalana eşit olur.
9'a tam bölünen bazı sayılar: \( 0, 9, 99, 333, 846, 1458 \)
9'a tam bölünmeyen bazı sayılar: \( 35, 66, 136, 557, 3606 \)
10 ile Bölünebilme
Son rakamı 0 olan sayılar 10'a tam bölünür.
Bir sayı 10'a tam bölünmüyorsa kalan sayının son rakamıdır.
10'a tam bölünen bazı sayılar: \( 0, 10, 50, 100, 840, 1230 \)
10'a tam bölünmeyen bazı sayılar: \( 5, 55, 101, 352, 1001 \)
11 ile Bölünebilme
Yöntem 1
Sayının tüm basamakları birler basamağından başlayıp sağdan sola, her basamaktaki rakamın işareti sırasıyla "+ – + – + -" olacak şekilde toplanır. Elde edilen toplam 11'in katı ise sayı 11'e tam bölünür.
İfadenin ilk kısmının her terimi 11'in bir katı olduğu için ilk kısım 11'e tam bölünür, dolayısıyla \( (abcde) \) sayısının 11'e tam bölünebilirliğini bulmak için ikinci kısmın 11'e bölünebilirliğini kontrol etmemiz yeterlidir, o da yöntemde açıkladığımız şekilde rakamların toplamına/farkına eşittir.
Ayrıca ifadenin ilk kısmının 11'e bölümünden kalan 0 olduğu için sayının 11'e bölümünden kalan ikinci kısmın 11'e bölümünden kalana eşit olur.
\( (abcde) \bmod{11} = (a - b + c - d + e) \bmod{11} \)
Son rakamını diğer basamaklardaki sayıdan çıkartınca kalan sayı 11'e tam bölünen sayılar 11'e tam bölünür. Bu yöntemle elde ettiğimiz sayı hala büyük ise yöntemi bu sayıya tekrar uygulayabiliriz.
ÖRNEK:
Yöntemi \( 49.786 \) sayısına 11'e bölünebilirliğinden emin olduğumuz noktaya kadar uygulayalım.
\( 49.786 \Longrightarrow 4978 - 6 = 4972 \)
\( 4.972 \Longrightarrow 497 - 2 = 495 \)
\( 495 \Longrightarrow 49 - 5 = 44 \)
11'e tam bölünen bir kalan elde ettiğimiz için sayı 11'e tam bölünür.
Yöntemi \( 143.689 \) sayısına 11'e bölünebilirliğinden emin olduğumuz noktaya kadar uygulayalım.
\( 143.689 \Longrightarrow 14368 - 9 = 14359 \)
\( 14.359 \Longrightarrow 1435 - 9 = 1426 \)
\( 1.426 \Longrightarrow 142 - 6 = 136 \)
11'e tam bölünmeyen bir kalan elde ettiğimiz için sayı 11'e tam bölünmez.
11'e bölünebilirliğini kontrol edeceğimiz 4 basamaklı sayıya \( (abcd) \) diyelim ve bu sayıyı kısmen çözümlenmiş şekliyle 3 basamaklı \( (abc) \) sayısı cinsinden yazalım.
\( (abcd) = 10(abc) + d \)
İki taraftan \( 11d \) çıkaralım.
\( (abcd) - 11d = 10(abc) + d - 11d \)
\( (abcd) - 11d = 10(abc) - 10d \)
\( (abcd) - 11d = 10[(abc) - d] \)
Eğer \( (abcd) \) sayısı 11'e tam bölünüyorsa yukarıdaki eşitliğin sol tarafındaki \( (abcd) - 11d \) ifadesi de 11'e tam bölünmelidir, çünkü \( (abcd) \) ve \( (abcd) - 11d \) ifadeleri farkları 11'in bir katı olduğu için 11 modunda denktirler.
\( (abcd) \equiv [(abcd) - 11d] \pmod{11} \)
Eğer \( (abcd) - 11d \) ifadesi 11'e tam bölünüyorsa bu ifadeye eşit olan eşitliğin sağ tarafındaki \( 10[(abc) - d] \) ifadesi de 11'e tam bölünmelidir.
Eğer \( 10[(abc) - d] \) ifadesi 11'e tam bölünüyorsa 10 ve 11 aralarında asal olduğu için ifadenin diğer çarpanı olan \( (abc) - d \) ifadesi 11'e tam bölünmelidir.
Dolayısıyla \( (abc) - d \) ifadesinin verilen 4 basamaklı \( (abcd) \) sayısına 11 modülünde denk olduğu sonucuna varabiliriz, bu yüzden iki sayının 11'e bölünebilme durumları aynıdır ve \( (abcd) \) sayısının 11'e tam bölünebilirliğini bulmak için \( (abc) - d \) ifadesinin 11'e bölünebilirliğini kontrol etmemiz yeterlidir.
Ayrıca \( (abcd) \) sayısının ve \( (abc) - d \) ifadesinin 11'e bölümlerinden kalan eşit olur.
11'e tam bölünen bazı sayılar: \( 0, 11, 44, 121, 319, 1111 \)
11'e tam bölünmeyen bazı sayılar: \( 45, 101, 122, 444, 1011 \)
12 ile Bölünebilme
Önümüzdeki bölümde göreceğimiz genel bölünebilme kuralına göre, hem 3'e hem de 4'e tam bölünen sayılar 12'ye de tam bölünür.
ÖRNEK:
\( 7.356 \) sayısı yukarıda paylaştığımız bölünebilme kurallarına göre hem 3'e hem 4'e tam bölündüğü için 12'ye de tam bölünür.
12'ye tam bölünen bazı sayılar: \( 0, 12, 72, 276, 696, 1440 \)
12'ye tam bölünmeyen bazı sayılar: \( 44, 92, 112, 448, 1232 \)
SORU 1:
\( (abc) \) ve \( (46d) \) üç basamaklı sayılar ve \( 3 \cdot (abc) = (46d) \) olduğuna göre, \( d \)'nin alabileceği farklı rakam değerlerinin toplamı kaçtır?
90 basamaklı \( 461461 \ldots 461 \) sayısının 2, 4 ve 9 ile bölümünden kalanlar sırasıyla \( a \), \( b \) ve \( c \) olduğuna göre, \( a + b + c \) kaçtır?
\( 6! \) iki tane 3 çarpanı içerdiği için 9'a tam bölünür. 6'dan büyük sayıların faktöriyelleri \( 6! \) içerdikleri için o sayılar da 9'a tam bölünür.
Buna göre sadece \( 0! + 1! + 2! + 3! + 4! + 5! \) toplamının 9'a bölümünden kalanı bulmamız yeterlidir.
Son 3 basamağı 000 olan ya da 8'e tam bölünen sayılar 8'e tam bölünür.
\( 79! \) sayısı 2 ve 5 çarpanlarını 3'ten fazla sayıda içerdiği için \( 2^3 \cdot 5^3 = 10^3 = 1000 \) çarpanını mutlaka içerir, dolayısıyla son 3 basamağı 0'dır ve 8'e tam bölünür.
\( 79! \) sayısının son 3 basamağı \( 000 \) olduğu için bu sayıdan 11 çıkarıldığında elde edilen sayının son 3 basamağı \( 989 \) olur.
\( xxx \) ve \( yyy \) sayılarının rakamları toplamı sırasıyla \( 3x \) ve \( 3y \) olduğu için ikisi de 3'e tam bölünür, bu yüzden çarpımları olan \( (29570n) \) sayısı en az iki tane 3 çarpanı içerir ve 9'a tam bölünür.
9'a tam bölünen bir sayının rakamları toplamı da 9'a tam bölünür.
\( (29570n) \) sayısının rakamlarının toplamını alalım.
İstenen koşulun sağlanabilmesi için \( \frac{5n}{6} \) ve \( 4n \) sayıları \( [1000, 9999] \) aralığında olmalıdır.
Bu iki sayıdan küçük olanın \( \frac{5n}{6} \), büyük olanın \( 4n \) olduğu bilgisini kullanarak bu değer aralığının alt ve üst sınırlarını karşılaştıralım.
\( 1000 \le \dfrac{5n}{6} \)
\( 1200 \le n \)
\( 4n \) sayısı 4'ün katı olduğu için en büyük 9996 olur.
\( 4n \le 9996 \)
\( n \le 2499 \)
İki eşitsizliği birleştirelim.
\( 1200 \le n \le 2499 \)
\( \frac{5n}{6} \) ifadesinin tam sayı olabilmesi için \( n \) sayısı \( [1200, 2499] \) aralığında 6'nın katı bir sayı olmalıdır.
Ardışık sayılarda terim sayısı formülünü kullanarak \( n \)'nin alabileceği tam sayı değerlerin sayısını bulalım.