En Küçük Ortak Kat (EKOK)
Sıfırdan farklı iki veya daha fazla tam sayının pozitif ortak katlarının en küçüğüne en küçük ortak kat (EKOK) ya da ortak katların en küçüğü (OKEK) denir.
\( 3 \)'ün katları \( = \{ 3, 6, 9, 12, 15, \ldots \} \)
\( 4 \)'ün katları \( = \{ 4, 8, 12, 16, 20, \ldots \} \)
İki sayının ortak katlarının en küçüğü 12 olduğu için sayıların EKOK'u da 12'dir.
\( \text{EKOK}(3, 4) = 12 \)
Bir negatif tam sayı bir diğer tam sayıyı bölüyorsa sayının pozitif işaretlisi de aynı sayıyı böler. EKOK için pozitif ortak katların en küçüğünü bulmamız gerektiği için verilen sayıların mutlak değerlerini dikkate alarak EKOK'larını bulabiliriz.
Buna göre, aşağıda sayıların EKOK'ları aynıdır.
\( \text{EKOK}(3, 4) = 12 \)
\( \text{EKOK}(-3, 4) = 12 \)
\( \text{EKOK}(3, -4) = 12 \)
\( \text{EKOK}(-3, -4) = 12 \)
İki sayının tüm ortak katları aynı zamanda iki sayının EKOK'unun da birer katıdır. Dolayısıyla, iki sayının tüm ortak katlarını bulmak için bu iki sayının EKOK'unun katlarını bulabiliriz.
EKOK'un birkaç kullanım alanı aşağıdaki gibidir:
- İki kesirin toplama ya da çıkarma işleminde kesirler paydalarının EKOK'una genişletilerek ortak paydada buluşturulur.
- İki ya da daha fazla kesirin karşılaştırılmasında kesirler paydalarının EKOK'una genişletilerek ortak paydada buluşturulur.
Sayıların EKOK'unu Bulma
İki ya da daha fazla sayının EKOK'unu iki farklı yöntemle bulabiliriz.
Bölen Listesi Yöntemi
Bir sayıyı bölen listesi yöntemi ile asal çarpanlarına nasıl ayırabileceğimizi önceki bölümde görmüştük. İki ya da daha fazla sayının EKOK'unu da benzer bir yöntemle bulabiliriz.
- Önce EKOK'unu bulmak istediğimiz sayıları ilk satıra iki sütun halinde yazarak sağına dikey bir çizgi çizeriz.
- Denemeye en küçük asal sayı olan 2'den başlayarak, bu asal sayının bu iki sayıdan en az birini kalansız bölüp bölmediğini kontrol ederiz.
- Eğer denediğimiz asal sayı bu iki sayıdan en az birini kalansız bölüyorsa bu asal sayıyı dikey çizginin sağındaki sütuna yazarız. EBOB işleminden farklı olarak, bu sayının o satırdaki tüm sayıları aynı anda kalansız bölüp bölmediğine bakmayız.
- Birinci sütundaki sayının bu asal sayıya kalansız bölünüp bölünmediğine bakarız. Eğer kalansız bölünüyorsa bölümü aynı sütunda sayının altına yeni bir satıra yazarız. Eğer kalansız bölünmüyorsa sayıyı bölme işlemi yapmadan olduğu gibi alt satıra taşırız. Aynı işlemi ikinci sütundaki sayı için de yaparız.
- Her yeni satır için 2., 3. ve 4. adımları tekrarlarız. Denemeye her yeni satırda bir önceki satırda kullandığımız asal sayı ile devam ederiz. Eğer son satırda kullandığımız asal sayı bu satırdaki sayılardan en az birini kalansız bölmüyorsa bu sayıdan büyük bir sonraki asal sayıyı deneyerek devam ederiz.
- Herhangi bir sütunda 1 sayısına ulaştığımızda o sütun için bölme işlemleri tamamlanmıştır. Çizginin solundaki sayıların tümü 1 olduğunda EKOK bulma işlemi tamamlanmıştır.
- Çizginin sağındaki sütundaki tüm sayılar bulmak istediğimiz EKOK değerinin asal çarpanlarıdır. Bu sayıları çarptığımızda sayıların EKOK'unu bulmuş oluruz.
Bu yöntemi kullanarak 24 ve 30 sayılarının EKOK'unu aşağıdaki şekilde bulabiliriz.
Asal Çarpan Listesi Yöntemi
Kullanabileceğimiz ikinci yöntem aşağıdaki gibidir.
- EKOK'unu bulmak istediğimiz sayıları önce ayrı ayrı asal çarpanlarına ayırırız ve alt alta asal çarpan listesi şeklinde yazarız.
- Daha sonra her asal çarpan için sayıların asal çarpan listelerindeki en büyük kuvveti alırız.
- Tüm asal çarpanların elde ettiğimiz bu en büyük kuvvetlerle asal çarpan listesi şeklinde yazılışı bulmak istediğimiz EKOK değerinin asal çarpanlarıdır. Bu sayıları çarptığımızda sayıların EKOK'unu bulmuş oluruz.
Aşağıda aynı 24 ve 30 sayıları için bu yöntem gösterilmiştir. Burada 2 asal çarpanının daha büyük kuvveti 24 sayısından, 5'in daha büyük kuvveti ise 30 sayısından gelmektedir. 3'ün kuvveti her iki sayıda da aynı olduğu için büyük kuvvet iki sayıdan da gelmektedir.
24 ve 30'un ortak katları ve en küçük ortak katı (EKOK) aşağıda gösterilmiştir. Görülebileceği gibi, iki sayının sonsuz sayıda ortak katı vardır (120, 240, 360...) ve bunların en küçüğü (EKOK) 120'dir.
EKOK İşlem Özellikleri
EKOK işleminin değişme özelliği vardır:
\( \text{EKOK}(a, b) = \text{EKOK} (b, a) \)
\( \text{EKOK}(9, 12) = \text{EKOK}(12, 9) = 36 \)
EKOK işleminin birleşme özelliği vardır. Buna göre, üç sayının EKOK'u herhangi iki sayının EKOK'unun üçüncü sayı ile EKOK'una eşittir.
\( \text{EKOK}(a, \text{EKOK}(b, c)) \) \( = \text{EKOK}(\text{EKOK}(a, b), c) \) \( = \text{EKOK}(a, b, c) \)
\( \text{EKOK}(6, \text{EKOK}(12, 18)) \) \( = \text{EKOK}(\text{EKOK}(6, 12), 18) \) \( = \text{EKOK}(6, 12, 18) = 36 \)
EKOK İşlem Kuralları
Bir sayının \( 1 \) ya da \( -1 \) ile EKOK'u sayının mutlak değerine eşittir.
\( \text{EKOK}(a, 1) = \abs{a} \)
\( \text{EKOK}(a, -1) = \abs{a} \)
\( \text{EKOK}(5, 1) = \text{EKOK}(5, -1) \) \( = \abs{5} \) \( = 5 \)
\( \text{EKOK}(-5, 1) = \text{EKOK}(-5, -1) \) \( = \abs{-5} \) \( = 5 \)
İSPATI GÖSTER
Bir sayının kendisi ya da ters işaretlisi ile EKOK'u sayının mutlak değerine eşittir.
\( \text{EKOK}(a, a) = \abs{a} \)
\( \text{EKOK}(a, -a) = \abs{a} \)
\( \text{EKOK}(5, 5) = 5 \)
\( \text{EKOK}(5, -5) = 5 \)
\( \text{EKOK}(-5, -5) = 5 \)
İSPATI GÖSTER
İki sayı aralarında asalsa EKOK'ları sayıların çarpımının mutlak değerine eşittir.
\( a \) ve \( b \) aralarında asal ise,
\( \text{EKOK}(a, b) = \abs{a \cdot b} \)
\( \text{EKOK}(3, 4) = \abs{12} = 12 \)
\( \text{EKOK}(3, -4) = \abs{-12} = 12 \)
\( \text{EKOK}(-3, -4) = \abs{12} = 12 \)
İSPATI GÖSTER
\( a \) sayısı \( b \) sayısının bir böleni ise bu iki sayının EKOK'u \( b \)'nin mutlak değerine eşittir.
\( a, b, k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( b = k \cdot a \) ise,
\( \text{EKOK}(a, b) = \abs{b} \)
\( \text{EKOK}(5, 15) = \abs{15} = 15 \)
\( \text{EKOK}(5, -15) = \abs{-15} = 15 \)
İSPATI GÖSTER
Kesirli Sayıların EKOK'u
Kesirli sayıların EKOK'u, kesirlerin paylarındaki sayıların EKOK'unun paydalarındaki sayıların EBOB'una oranına eşittir.
\( \text{EKOK} \left( \dfrac{a}{x}, \dfrac{b}{y}, \dfrac{c}{z} \right) \) \( = \dfrac{\text{EKOK}(a, b, c)}{\text{EBOB}(x, y, z)} \)
\( \text{EKOK} \left( \dfrac{2}{3}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{5}{6} \right) \) \( = \dfrac{\text{EKOK}(2, 3, 5)}{\text{EBOB}(3, 4, 6)} = \dfrac{30}{1} = 30 \)
24, 36 ve 51 ile tam bölünen en büyük 4 basamaklı sayı kaçtır?
Çözümü Göster\( EKOK(20, 32, 36) = EKOK(180, x, 48) \)
olduğuna göre, \( x \)'in alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözümü Göster\( x, y, z \in \mathbb{Z^+} \) ve
\( A = 9x + 6 = 8y + 6 = 6z + 6 \) olduğuna göre, \( A \) en az kaç olabilir?
Çözümü Göster\( A, x, y, z \in Z^+ \) olmak üzere,
\( A = 4x + 7 = 5y - 2 = 6z + 3 \)
koşulunu sağlayan en küçük \( A \) sayısı kaçtır?
Çözümü Göster\( A, x, y, z \in Z^+ \) olmak üzere,
\( A = 3x = 5y - 1 = 7z + 1 \)
koşulunu sağlayan en küçük \( A \) sayısı için \( x + y + z \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( x, y, z \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( A = 3x + 2 = 5y + 5 = 7z + 4 \) olduğuna göre, en küçük pozitif \( A \) sayısı kaçtır?
Çözümü Göster\( a, b, c \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( x = 72a \)
\( x = 96b \)
\( x = 120c \)
olduğuna göre, \( x \)'in alabileceği üç farklı değerin toplamı en az kaçtır?
Çözümü Göster\( m \) sayısının 18 ile en küçük ortak katı 360, 45 ile en büyük ortak böleni 15'tir.
Buna göre \( m \) sayısının rakamları toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) kümesi, 1000'den küçük olan ve \( 2, 3, 4, 5, 6 \) sayıları ile bölündüğünde sırasıyla \( 1, 2, 3, 4, 5 \) kalanlarını veren doğal sayılardan oluşan bir kümedir.
Buna göre \( A \) kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Çözümü Göster12'ye bölündüğünde 4, 15'e bölündüğünde 7, 40'a bölündüğünde 32 kalanını veren, aynı zamanda 11'in tam katı olan en küçük tam sayı kaçtır?
Çözümü Göster9, 14 ve 18 ile bölündüğünde 4 kalanını veren, aynı zamanda 17'nin tam katı olan en küçük tam sayı kaçtır?
Çözümü Göster