Bir Sayının Tam Bölenleri

Sıfırdan farklı bir \( n \) tam sayısı bir \( a \) tam sayısını kalansız bölüyorsa \( n \) sayısına \( a \) sayısının bir tam böleni ya da çarpanı denir. Bu durumda \( a \) sayısı \( n \) sayısının bir katı olmaktadır.

Daha sık kullanacağımız bir tanıma göre, sıfırdan farklı bir \( n \) tam sayısı ile çarpımının sonucu bir \( a \) tam sayısı olacak şekilde belirli bir \( k \) tam sayısı bulabiliyorsak, \( n \) sayısı \( a \) sayısının bir tam bölenidir, \( a \) sayısı da \( n \) sayısının bir katıdır.

Tam Bölen Kuralları

Yukarıda bilgiler ve formül doğrultusunda bazı kuralları aşağıdaki gibi türetebiliriz.

"0" Hiçbir Sayının Tam Böleni Değildir

Tam bölen sayılar (\( n \)) pozitif ya da negatif olabilir, ancak \( 0 \) olamaz. Bunun sebebi \( n = 0 \) olması durumunda yukarıdaki eşitliği sağlayan belirli bir \( k \) değeri bulamayacak olmamızdır. Bunun sonucu olarak \( 0 \) hiçbir sayının tam böleni değildir.

Her Sayı "0"ı Tam Böler

\( 0 \) dışında herhangi bir \( n \) sayısı ile çarpımı 0 olan bir \( k \) tam sayısı bulabileceğimiz için (\( k = 0 \)), \( 0 \) dışındaki tüm tam sayılar \( 0 \)'ın bir tam bölenidir. Bir diğer ifadeyle, \( 0 \) sayısı \( 0 \) dışındaki tüm sayıların bir katıdır.

"1" ve "-1" Her Sayıyı Tam Böler

Tüm tam sayılar için aşağıdaki eşitlikleri sağlayacak birer tam sayı \( k \) değeri bulabileceğimiz için, \( 1 \) ve \( -1 \), \( 0 \) dahil tüm tam sayıların birer tam bölenidir.

Her Sayı Kendisini ve Ters İşaretlisini Tam Böler

\( k = 1 \) ve \( k = -1 \) için aşağıdaki eşitlikler sağlandığı için, \( 0 \) dışında her tam sayı (\( n \)) ve ters işaretlisi (\( -n \)) kendisinin bir tam bölenidir.

Tam Bölen ve Katların Negatif İşaretlileri

\( n \) sayısı \( a \) sayısının bir tam böleni ise \( -n \) sayısı da bir tam bölenidir. Aynı zamanda her iki sayı \( -a \) sayısının da birer tam bölenidir.

Örnek Sayıların Tam Bölenleri

Yukarıdaki bilgileri aşağıdaki gibi özetleyebiliriz:

  • \( 0 \) hiçbir sayının tam böleni değildir.
  • \( 0 \) dışındaki tüm tam sayılar \( 0 \)'ı tam böler.
  • \( 1 \) ve \( -1 \) tüm tam sayıları tam böler.
  • Bir tam sayının kendisi ve negatif işaretlisi o sayıyı tam böler.
  • Bir tam sayının tam bölen listesi aynı bölen sayıların pozitif ve negatif işaretlilerinden oluşur. Buna göre, bir sayının pozitif ve negatif tam bölen sayıları birbirine eşittir.
  • Bir tam sayının ve negatif işaretlisinin tam bölen listeleri aynıdır.

Bu bilgiler doğrultusunda bazı sayıların tam bölenlerinin kümesi aşağıdaki tabloda verilmiştir. Bu bilgileri önümüzdeki bölümlerdeki örneklerde kullanıyor olacağız.

Sayı (\( a \)) Tam Bölenler Kümesi (\( n \))
\( 1 \) \( \{ -1, 1 \} \)
\( -1 \) \( \{ -1, 1 \} \)
\( 4 \) \( \{ -4, -2, -1, 1, 2, 4 \} \)
\( -4 \) \( \{ -4, -2, -1, 1, 2, 4 \} \)
\( 9 \) \( \{ -9, -3, -1, 1, 3, 9 \} \)
\( -9 \) \( \{ -9, -3, -1, 1, 3, 9 \} \)
\( 12 \) \( \{ -12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12 \} \)
\( -12 \) \( \{ -12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12 \} \)
\( 0 \) \( \mathbb{Z} - \{ 0 \} \)

Not: Bu bölümde bundan sonra "bölen" kelimesinden kastımız belirli bir sayıyı "kalansız bölen tam sayılar" olacaktır.


« Önceki
Bölünebilme
Sonraki »
Bölünebilme Kuralları


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır