Sıfırdan farklı bir \( n \) tam sayısı bir \( a \) tam sayısını kalansız bölüyorsa \( n \) sayısına \( a \) sayısının bir tam böleni ya da çarpanı denir. Bu durumda \( a \) sayısı \( n \) sayısının bir katı olur.
Daha sık kullanacağımız bir tanıma göre, sıfırdan farklı bir \( n \) tam sayısı ile çarpımının sonucu bir \( a \) tam sayısı olacak şekilde belirli bir \( k \) tam sayısı bulabiliyorsak, \( n \) sayısı \( a \) sayısının bir tam bölenidir, \( a \) sayısı da \( n \) sayısının bir katıdır.
\( a, k, n \in \mathbb{Z}, \quad n \ne 0 \) olmak üzere,
\( a = k \cdot n \) eşitliğini sağlayan belirli bir \( k \) tam sayısı bulabiliyorsak,
\( n \) sayısı \( a \) sayısının bir tam bölenidir ve \( a \) sayısı \( n \) sayısının bir katıdır.
Aşağıdaki eşitliği sağlayan belirli bir \( k \) değeri bulunduğu için \( 2 \) \( 6 \)'nın bir tam bölenidir.
\( 6 = 3 \cdot 2 \quad (k = 3) \)
Benzer şekilde \( 5 \) \( -10 \)'un bir tam bölenidir.
\( -10 = (-2) \cdot 5 \quad (k = -2) \)
Benzer şekilde \( -4 \) \( -4 \)'ün bir tam bölenidir.
\( -4 = 1 \cdot (-4) \quad (k = 1) \)
Yukarıda bilgiler ve formül doğrultusunda bazı tam bölme kurallarını aşağıdaki gibi türetebiliriz.
Tam bölen sayılar (\( n \)) pozitif ya da negatif olabilir, ancak \( 0 \) olamaz. Bunun sebebi \( n = 0 \) olması durumunda yukarıdaki eşitliği sağlayan belirli bir \( k \) değeri bulunmamasıdır. Dolayısıyla \( 0 \) hiçbir sayının tam böleni değildir.
\( n = 0 \) ise,
\( 0 = k \cdot 0 \)
eşitliğini sağlayan pek çok \( k \) değeri olabileceği için \( k \) belirsizdir.
\( 0 \) dışında herhangi bir \( n \) sayısı ile çarpımı 0 olan bir \( k \) tam sayısı bulabileceğimiz için (\( k = 0 \)), \( 0 \) dışındaki tüm tam sayılar \( 0 \)'ın bir tam bölenidir. Bir diğer ifadeyle, \( 0 \) sayısı \( 0 \) dışındaki tüm sayıların bir katıdır.
\( n \ne 0 \) olmak üzere,
\( 0 = k \cdot n \Longrightarrow k = 0 \)
Aşağıdaki eşitliğe göre \( 5 \) \( 0 \)'ın bir tam bölenidir.
\( 0 = 0 \cdot 5 \quad (k = 0) \)
Aşağıdaki eşitliğe göre \( -3 \) \( 0 \)'ın bir tam bölenidir.
\( 0 = 0 \cdot (-3) \quad (k = 0) \)
Tüm tam sayılar için aşağıdaki eşitlikleri sağlayacak birer tam sayı \( k \) değeri bulabileceğimiz için, \( 1 \) ve \( -1 \), \( 0 \) dahil tüm tam sayıların birer tam bölenidir.
\( a = k \cdot 1 \Longrightarrow k = a \)
\( a = k \cdot (-1) \Longrightarrow k = -a \)
Aşağıdaki eşitliklere göre \( 1 \) ve \( -1 \) \( 5 \)'in birer tam bölenidir.
\( 5 = 5 \cdot 1 \quad (k = 5) \)
\( 5 = (-5) \cdot (-1) \quad (k = -5) \)
Aşağıdaki eşitliklere göre \( 1 \) ve \( -1 \) \( 0 \)'ın birer tam bölenidir.
\( 0 = 0 \cdot 1 \quad (k = 0) \)
\( 0 = 0 \cdot (-1) \quad (k = 0) \)
\( k = 1 \) ve \( k = -1 \) için aşağıdaki eşitlikler sağlandığı için, \( 0 \) dışında her tam sayı (\( n \)) ve ters işaretlisi (\( -n \)) kendisinin bir tam bölenidir.
\( n \ne 0 \) olmak üzere,
\( n = k \cdot n \Longrightarrow k = 1 \)
\( n = k \cdot (-n) \Longrightarrow k = -1 \)
Aşağıdaki eşitliklere göre \( 5 \) ve \( -5 \) kendilerinin ve birbirlerinin birer tam bölenidir.
\( 5 = 1 \cdot 5 \quad (k = 1) \)
\( 5 = (-1) \cdot (-5) \quad (k = -1) \)
\( -5 = 1 \cdot (-5) \quad (k = 1) \)
\( -5 = (-1) \cdot 5 \quad (k = -1) \)
\( n \) sayısı \( a \) sayısının bir tam böleni ise \( -n \) sayısı da bir tam bölenidir. Aynı zamanda her iki sayı \( -a \) sayısının da birer tam bölenidir.
\( a = k \cdot n \) ise,
\( a = (-k) \cdot (-n) \)
\( -a = (-k) \cdot n \)
\( -a = k \cdot (-n) \)
\( 3 \) \( 6 \)'nın bir tam böleni olduğu için, \( 3 \) \( -6 \)'nın da bir tam bölenidir. Ayrıca \( -3 \) hem \( 6 \)'nın hem \( -6 \)'nın birer tam bölenidir.
\( 6 = (-2) \cdot (-3) \quad (k = -2) \)
\( -6 = (-2) \cdot 3 \quad (k = -2) \)
\( -6 = 2 \cdot (-3) \quad (k = 2) \)
Yukarıdaki bilgileri aşağıdaki gibi özetleyebiliriz:
Bu bilgiler doğrultusunda bazı sayıların tam bölenlerinin kümesi aşağıdaki tabloda verilmiştir. Bu bilgileri önümüzdeki bölümlerdeki örneklerde kullanıyor olacağız.
| Sayı (\( a \)) | Tam Bölenler Kümesi (\( n \)) |
|---|---|
| \( 1 \) | \( \{ -1, 1 \} \) |
| \( -1 \) | \( \{ -1, 1 \} \) |
| \( 4 \) | \( \{ -4, -2, -1, 1, 2, 4 \} \) |
| \( -4 \) | \( \{ -4, -2, -1, 1, 2, 4 \} \) |
| \( 9 \) | \( \{ -9, -3, -1, 1, 3, 9 \} \) |
| \( -9 \) | \( \{ -9, -3, -1, 1, 3, 9 \} \) |
| \( 12 \) | \( \{ -12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12 \} \) |
| \( -12 \) | \( \{ -12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12 \} \) |
| \( 0 \) | \( \mathbb{Z} - \{ 0 \} \) |
Not: Bu bölümde bundan sonra "bölen" kelimesinden kastımız belirli bir sayıyı "kalansız bölen tam sayılar" olacaktır.