Bir Faktöriyelde Bulunan Çarpan Sayısı

10! içinde belirli bir asal çarpanın kaç kez bulunduğunu sayıyı asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazarak bulabiliriz.

10! için bu işlemi asal çarpanlara ayırarak yapabilmiş olsak da, daha büyük bir sayının faktöriyeli için bu işlem çok uzun sürecektir. Bu amaçla bir sayının faktöriyelinin içinde belirli bir çarpanın kaç kez bulunduğunu aşağıda detaylandıracağımız yöntemle bulabiliriz.

Örnek olarak 85! içinde 3 çarpanının kaç kez geçtiğini bulalım. 85!'in açılımı 1'den 85'e kadar sayıların çarpımı şeklinde aşağıdaki tabloda listelenmiştir.

85! içindeki 3 çarpanları
85! içindeki 3 çarpanları

Tablodaki her bir sayıyı asal çarpanları açısından düşündüğümüzde şu çıkarımları yapabiliriz:

  • Mavi kutular: Bu sayıların içinde bir tane \( 3 \) çarpanı bulunmaktadır (\( 3^1 = 3 \)).
  • Yeşil kutular: Bu sayıların içinde iki tane \( 3 \) çarpanı bulunmaktadır (\( 3^2 = 3 \cdot 3 \)).
  • Sarı kutular: Bu sayıların içinde üç tane \( 3 \) çarpanı bulunmaktadır (\( 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \)).
  • Turuncu kutular: Bu sayıların içinde dört tane \( 3 \) çarpanı bulunmaktadır (\( 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \)).
  • Gri kutular: Bu sayıların içinde \( 3 \) asal çarpan olarak bulunmaz.

Bu bilgiyi kullanarak 85! içinde 3 çarpanının kaç kez geçtiğini bulmak için aşağıdaki yöntemi kullanabiliriz.

85! içindeki 3 çarpanı sayısını bulma
85! içindeki 3 çarpanı sayısını bulma

Yukarıdaki şekildeki hesaplamanın detayları aşağıda adım adım açıklanmıştır:

  • Adım 1: Önce faktöriyeli verilen sayı olan \( 85 \)'i \( 3 \)'e böleriz. Kalanı dikkate almadan elde ettiğimiz bölüm (\( 28 \)) bize en azından bir tane \( 3 \) çarpanı içeren kutu sayısını verir (gri dışındaki tüm renkli kutular).
  • Adım 2: İlk adımda elde ettiğimiz bölümü (\( 28 \)) tekrar \( 3 \)'e böleriz. Bu işlemin sonucu bize kutuların kaçının ikinci bir \( 3 \) çarpanı daha içerdiğini verir (yeşil, sarı ve turuncu kutular).
  • Adım 3: İkinci adımda elde ettiğimiz bölümü (\( 9 \)) tekrar \( 3 \)'e böleriz. Bu işlemin sonucu bize kutuların kaçının üçüncü bir \( 3 \) çarpanı daha içerdiğini verir (sarı ve turuncu kutular).
  • Adım 4: Üçüncü adımda elde ettiğimiz bölüm (\( 3 \)) içinde en az bir \( 3 \) daha bulundurduğu için bölme işlemini tekrar yaparız. Bu işlemin sonucu bize renkli kutuların kaçının dördüncü bir \( 3 \) çarpanı daha içerdiğini verir (turuncu kutular).
  • Dördüncü adımın işlem sonucu olan \( 1 \) içinde başka bir \( 3 \) bulunmadığı için işlemi sonlandırırız. Her bir adımın bölümlerinin toplamı bize \( 85! \) sayısının içindeki \( 3 \) asal çarpanlarının toplam sayısını verir \( 28 + 9 + 3 + 1 = 41 \).
SORU:

\( 100! \) sayısı arka arkaya kaç kez kalansız \( 3 \)'e bölünebilir?

Çözümü Göster


SORU:

\( x \) ve \( y \) doğal sayı olmak üzere,

\( 30! = 6^x \cdot y \)

eşitliğini sağlayan \( x \) değeri en çok kaç olabilir?

Çözümü Göster


SORU:

\( n, A \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,

\( 88! = 24^n \cdot A \)

denkleminde \( n \)'in alabileceği en büyük değer kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( M \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,

\( 5! \cdot 9! \cdot M \)

ifadesinin bir tam kare sayı olması için \( M \) sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( 0! + 2! + 4! + 6! + \ldots + 100! \)

sayısının 24 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözümü Göster

Bir Faktöriyelde Asal Çarpanların Kuvvetleri

Bir sayının faktöriyelinin asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılışında asal çarpanlar büyüdükçe çarpanların kuvvetleri azalır ya da aynı kalır.


« Önceki
Faktöriyel
Sonraki »
Faktöriyel Uygulamaları


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır