Bir Faktöriyelde Bulunan Çarpan Sayısı

Bir sayı belirli bir çarpanı içerdiği sayıda o çarpana kalansız bölünebilir, bunun sebebi sayıyı o çarpana her böldüğümüzde sayının asal çarpanları biçiminde yazılışında o çarpanın kuvvetinin bir azalacak olmasıdır.

Buna göre \( 100! \) sayısının içinde:

3'ün her katı için \( \floor{100 / 3} = 33 \) tane

9'un her katı için \( \floor{33 / 3} = 11 \) tane daha

27'nin her katı için \( \floor{11 / 3} = 3 \) tane daha

81'in her katı için \( \floor{3 / 3} = 1 \) tane daha

Toplamda \( 33 + 11 + 3 + 1 = 48 \) tane 3 çarpanı vardır.

Dolayısıyla \( 100! \) sayısı arka arkaya 48 kez 3'e kalansız bölünebilir.

\( 30! = 6^x \cdot y \)

\( 6 = 2 \cdot 3 \)

Her 6 çarpanı birer tane 2 ve 3 çarpanından oluştuğu için \( 30! \) sayısı içinde 2 ve 3 çarpanlarından hangisi daha az sayıda ise o kadar sayıda 6 çarpanı içerir. Bir faktöriyelin içinde daha büyük bir sayı olan 3 çarpanı 2 çarpanından daha az sayıda bulunur.

Buna göre, \( 30! \) sayısının içinde:

3'ün her katı için \( \floor{30 / 3} = 10 \) tane

9'un her katı için \( \floor{10 / 3} = 3 \) tane daha

27'nin her katı için \( \floor{3 / 3} = 1 \) tane daha

Toplamda \( 10 + 3 + 1 = 14 \) tane 3 çarpanı vardır.

Buna göre, \( 30! \) sayısının içinde 14 tane 3 çarpanı, dolayısıyla 14 tane 6 çarpanı vardır.

O halde, verilen eşitlikte \( x \) doğal sayısı en çok 14 olabilir.

Bu soru \( 88! \) sayısı \( 24 \)'e en çok kaç kez kalansız bölünebilir sorusu ile özdeştir, çünkü \( n \)'nin alabileceği en büyük değer \( 88! \) içindeki \( 24 \) çarpan sayısına eşittir.

\( 24 \)'ü asal çarpanlarına ayıralım.

\( 24 = 2^3 \cdot 3^1 \)

\( 88! \) içinde 3 adet 2 çarpanı ve 1 adet 3 çarpanı grup olarak kaç adet bulunuyorsa o kadar 24 çarpanı bulunuyordur. Buna göre önce \( 88! \) içindeki 2 ve 3 çarpan sayılarını bulalım.

\( 88! \) içindeki \( 2 \) çarpan sayısı \( = 44 + 22 + 11 + 5 + 2 + 1 = 85 \)

\( 88! \) içindeki \( 3 \) çarpan sayısı \( = 29 + 9 + 3 + 1 = 42 \)

Verilen denklemde 24'ü çarpanları cinsinden yazalım.

\( 88! = (2^3 \cdot 3^1)^n \cdot A \)

\( 88! \) içindeki 85 adet 2 çarpanı ve 42 adet 3 çarpanını aşmayacak şekilde \( n \)'ye verebileceğimiz en büyük değer 28 olur. Bu durumda, kalan 1 adet 2 çarpanı ve 14 adet 3 çarpanı \( A \) değişkenine dahil olur.

\( 88! = (2^3 \cdot 3^1)^{28} \cdot A \)

\( 88! = 2^{84} \cdot 3^{28} \cdot A \)

Buna göre, sorunun cevabı \( n = 28 \)'dir.

Bir sayının tam kare olabilmesi için (1, 4, 9, 16, ...) asal çarpanları biçiminde yazılışında tüm asal çarpanlarının kuvveti birer çift sayı olmalıdır.

\( A = (x^a \cdot y^b \cdot z^c)^2 \)

\( = x^{2a} \cdot y^{2b} \cdot z^{2c} \)

\( 5! \) ve \( 9! \) sayılarını asal çarpanlarına ayıralım.

\( 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \)

\( = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \)

\( 9! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \)

\( = 2^7 \cdot 3^4 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \)

Bu iki sayının çarpımını alalım.

\( 5! \cdot 9! = 2^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7^1 \)

Bu çarpımda 2 ve 5'in kuvvetlerinin çift, 3 ve 7'nin kuvvetlerinin tek olduğunu görüyoruz, dolayısıyla ifadenin bir tam kare olması için ihtiyacımız olan en azından 1'er adet 3 ve 7 çarpanıdır. Buna göre, \( M \)'nin alması gereken en küçük değer \( M = 3 \cdot 7 = 21 \) olur.

\( 5! \cdot 9! \cdot M \)

\( = (2^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7^1) \cdot (3 \cdot 7) \)

\( = 2^{10} \cdot 3^6 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \)

\( = (2^5 \cdot 3^3 \cdot 5^1 \cdot 7^1)^2 \)

\( 4! = 24 \) olduğu için 4'ten büyük tüm sayıların faktöriyelleri de 24 çarpanını içerir ve 24'e kalansız bölünür.

Dolayısıyla verilen toplamın 24 ile bölümünden kalan \( 0! + 2! \) toplamının 24 ile bölümünden kalana eşittir.

\( 0! + 2! = 1 + 2 = 3 \)

Buna göre ifadenin 24 ile bölümünden kalan 3 olur.

\( 12! \cdot 11! \cdot 10! = A \) diyelim.

\( 10! \) sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

Bir faktöriyelde bulunan çarpan sayısını bulma yöntemini kullanalım.

\( 10! \) içinde \( 5 + 2 + 1 = 8 \) tane 2 çarpanı, \( 3 + 1 = 4 \) tane 3 çarpanı, \( 2 \) tane 5 çarpanı, \( 1 \) tane de 7 çarpanı vardır.

\( 10! = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7 \)

\( A \) sayısını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( A = (12 \cdot 11 \cdot 10!) \cdot (11 \cdot 10!) \cdot 10! \)

\( = 12 \cdot 11^2 \cdot (10!)^3 \)

\( = 2^2 \cdot 3 \cdot 11^2 \cdot (10!)^3 \)

\( 10! \) yerine yukarıda bulduğumuz eşitini yazalım.

\( = 2^2 \cdot 3 \cdot 11^2 \cdot (2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7)^3 \)

\( = 2^2 \cdot 3 \cdot 11^2 \cdot 2^{24} \cdot 3^{12} \cdot 5^6 \cdot 7^3 \)

\( = 2^{26} \cdot 3^{13} \cdot 5^6 \cdot 7^3 \cdot 11^2 \)

İfadeyi en küçük tam kare sayıların kuvvetleri şeklinde yazalım.

\( = (2^2)^{13} \cdot (3^2)^{6} \cdot 3 \cdot (5^2)^3 \cdot (7^2)^1 \cdot 7 \cdot (11^2)^1 \)

Tam kare pozitif bölen sayısını bulmak için \( 2^2 \), \( 3^2 \), \( 5^2 \), \( 7^2 \) ve \( 11^2 \) çarpanlarını daha fazla çarpanlarına ayrılmayan birer çarpan olarak düşünmeliyiz.

Çift sayı kuvvetleri ile bulunmayan \( 3 \) ve \( 7 \) çarpanları ise tam kare sayılarda bulunmamalıdır.

Buna göre sadece \( 2^2 \), \( 3^2 \), \( 5^2 \), \( 7^2 \) ve \( 11^2 \) çarpanlarını asal çarpan olarak kabul ederek tam kare pozitif bölen sayısını bulalım.

\( (13 + 1)(6 + 1)(3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 1568 \) bulunur.