Asal Çarpanlara Ayırma

Bir doğal sayıyı tam olarak bölen asal sayılara o sayının asal bölenleri ya da asal çarpanları denir.

Bir asal sayı bir sayının içinde çarpan olarak birden fazla kez yer alıyorsa çarpan listesinde tekrarlanmaz ve üslü ifade şeklinde yazılır. Ayrıca asal çarpanlar genellikle kuvvetlerine göre değil, asal çarpanlarına (tabanlarına) göre küçükten büyüğe doğru sıralanır.

Aritmetiğin Temel Teoremi

Aritmetiğin Temel Teoremi'ne göre, 1'den büyük tüm tam sayılar asal sayıların çarpımı biçiminde ve çarpanların sıralaması hariç tek bir şekilde yazılabilirler.

Aşağıda birkaç sayının asal çarpanları cinsinden yazılışları verilmiştir.

Bir sayıyı asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazarken iki noktaya dikkat edilmelidir, bu iki prensip sayesinde sayılar asal çarpanları cinsinden çarpanların sıralaması hariç tek bir şekilde yazılabilirler.

Birinci nokta: Çarpan listesinde sadece asal sayılar kullanılır, çünkü bileşik sayıların kullanılması bir sayının diğer sayıların çarpımı biçiminde birden fazla şekilde yazılabilmesi anlamına gelir.

İkinci nokta: 1 bir asal sayı olmadığı için asal çarpan listesinde yer almaz. Her sayının asal çarpanları cinsinden tek bir şekilde yazılabilmesi 1 sayısının bir asal sayı olarak kabul edilmeme sebeplerinden biridir. 1 sayısı bir asal sayı olarak kabul edilmiş olsaydı sayılar asal çarpanları cinsinden birden fazla (hatta sonsuz farklı) biçimde yazılabilirdi.

Bu bilgiler ışığında, önümüzdeki bölenler, katlar, EKOK ve EBOB konularında karşımıza çıkacak sayıları bu sayıları oluşturan asal çarpanları cinsinden düşünüyor olmamız önem taşımaktadır.

Bölen Listesi ile Asal Çarpanlara Ayırma

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için kullanabileceğimiz yöntemlerden biri bölen listesi yöntemidir. Bu yöntemde bir sayıyı asal çarpanlarına aşağıdaki adımlarla ayırabiliriz.

1. Önce asal çarpanlarına ayırmak istediğimiz sayıyı ilk satırın ilk sütununa yazarak sağına dikey bir çizgi çizeriz.
2. En küçük asal sayı olan 2'den başlayarak, bu asal sayının birinci sütundaki sayıyı kalansız bölüp bölmediğini kontrol ederiz.
3. Eğer denediğimiz asal sayı birinci sütundaki sayıyı kalansız bölüyorsa bu asal sayıyı dikey çizginin sağındaki sütuna yazarız.
4. Birinci sütundaki sayıyı ikinci sütuna yazdığımız bu asal sayıya böleriz ve bölümü birinci sütundaki sayının hemen altına yazarız.
5. Her yeni satırda 2., 3. ve 4. adımları tekrarlarız. Her yeni satırda denemeye bir önceki satırda kullandığımız asal sayı ile devam ederiz. Eğer son satırda kullandığımız asal sayı bu satırdaki sayıyı kalansız bölmüyorsa, bu asal sayıdan büyük bir sonraki asal sayıyı deneyerek devam ederiz.
6. Birinci sütunda 1 sayısına ulaştığımızda asal çarpanlara ayırma işlemi tamamlanmıştır. İkinci sütundaki asal sayıları küçükten büyüğe ve her asal sayının tekrar sayısı o sayının kuvveti olacak şekilde çarpan listesi olarak yazarız.

Bu yöntemi kullanarak 504 sayısını asal çarpanlarına aşağıdaki şekilde ayırabiliriz.

Çarpan Ağacı ile Asal Çarpanlara Ayırma

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmada kullanabileceğimiz diğer bir yöntem çarpan ağacı yöntemidir. Bu yöntemde bir sayıyı asal çarpanlarına aşağıdaki adımlarla ayırabiliriz.

1. Önce asal çarpanlarına ayırmak istediğimiz sayıyı en üstte bir kutuya yazarız (şekildeki turuncu kutu).
2. Bu sayıyı asal ya da bileşik sayı herhangi iki çarpanına ayırırız ve bu çarpanları sayıdan çıkan iki okun bağlandığı yeni kutulara yazarız. Bir sayıyı çarpanlarına ayırırken sayının kendisini ve 1'i bir çarpan olarak kullanmayız.
3. Eklediğimiz bir kutunun içindeki çarpan bir asal sayı ise sayıyı bir daire içine alırız (şekildeki yeşil kutular). Asal sayı elde ettiğimiz bir kolda çarpanlara ayırma işlemi tamamlanmıştır.
4. Eklediğimiz bir kutunun içindeki çarpan bir bileşik sayı ise (şekildeki gri kutular), bu kolda çarpanlara ayırma işlemine 2. adımdaki şekilde devam ederiz.
5. Tüm kollarda birer asal sayı elde ettiğimizde çarpanlara ayırma işlemi tamamlanmıştır. Daire içine aldığımız asal sayıları küçükten büyüğe ve her asal sayının tekrar sayısı o sayının kuvveti olacak şekilde çarpan listesi olarak yazarız.

Bu yöntemi kullanarak 600 sayısını asal çarpanlarına aşağıdaki şekilde ayırabiliriz.