Bir pozitif tam sayıyı tam olarak bölen asal sayılara o sayının asal bölenleri ya da asal çarpanları denir.
\( x \), \( y \), \( z \) birbirinden farklı asal sayılar ve \( a \), \( b \), \( c \) birer pozitif tam sayı olmak üzere,
\( A = x^a \cdot y^b \cdot z^c \)
ifadesine \( A \) sayısının asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılışı, yapılan bu işleme de asal çarpanlara ayırma denir.
Bir asal sayı bir sayının içinde çarpan olarak birden fazla kez yer alıyorsa çarpan listesinde tekrarlanmaz ve üslü ifade şeklinde yazılır. Bir sayının asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılışında çarpanlar genellikle tabanlara göre (kuvvetlere göre değil) küçükten büyüğe doğru sıralanır.
Aritmetiğin temel teoremine göre, 1'den büyük tüm tam sayılar asal sayıların çarpımı biçiminde ve çarpanların sıralaması hariç tek bir şekilde yazılabilir.
Aşağıda birkaç sayının asal çarpanları cinsinden yazılışları verilmiştir.
\( 12 = 2^2 \cdot 3^1 \)
\( 13 = 13^1 \)
\( 300 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \)
Bir sayıyı asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazarken iki noktaya dikkat edilmelidir, bu iki prensip sayesinde sayılar asal çarpanları cinsinden çarpanların sıralaması hariç tek bir şekilde yazılabilirler.
Birinci nokta: Çarpan listesinde sadece asal sayılar kullanılır, çünkü bileşik sayıların kullanılması bir sayının diğer sayıların çarpımı biçiminde birden fazla şekilde yazılabilmesi anlamına gelir.
Asal çarpanlar biçiminde doğru yazılış:
\( 72 = 2^3 \cdot 3^2 \)
Asal çarpanlar biçiminde yanlış yazılışlar:
\( 72 = 2 \cdot 36 \)
\( 72 = 4 \cdot 3 \cdot 6 \)
İkinci nokta: 1 bir asal sayı olmadığı için asal çarpan listesinde yer almaz. Her sayının asal çarpanları cinsinden tek bir şekilde yazılabilmesi 1 sayısının bir asal sayı olarak kabul edilmeme sebeplerinden biridir. 1 sayısı bir asal sayı olarak kabul edilmiş olsaydı sayılar asal çarpanları cinsinden birden fazla (hatta sonsuz farklı) biçimde yazılabilirdi.
Asal çarpanlar biçiminde doğru yazılış:
\( 12 = 2^2 \cdot 3^1 \)
Asal çarpanlar biçiminde yanlış yazılışlar:
\( 12 = 1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^1 \)
\( 12 = 1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^1 \)
Bu bilgiler ışığında, önümüzdeki bölenler, katlar, EKOK ve EBOB konularında karşımıza çıkacak sayıları bu sayıları oluşturan asal çarpanları cinsinden düşünüyor olmamız önem taşımaktadır.
Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için kullanabileceğimiz yöntemlerden biri bölen listesi yöntemidir. Bu yöntemde bir sayıyı asal çarpanlarına aşağıdaki adımlarla ayırabiliriz.
Bu yöntemi kullanarak 504 sayısını asal çarpanlarına aşağıdaki şekilde ayırabiliriz.
Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmada kullanabileceğimiz diğer bir yöntem çarpan ağacı yöntemidir. Bu yöntemde bir sayıyı asal çarpanlarına aşağıdaki adımlarla ayırabiliriz.
Bu yöntemi kullanarak 600 sayısını asal çarpanlarına aşağıdaki şekilde ayırabiliriz.
\( a \) bir asal sayı, \( b \) ve \( c \) birer pozitif tam sayısıdır.
\( a \cdot b = 540 \) ve \( a \cdot c = 315 \) olduğuna göre, \( a \)'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( a \) bir doğal sayı ve \( 800 = \frac{a^5}{x} \) olduğuna göre, bu koşulları sağlayan en küçük \( x \) doğal sayısının rakamları toplamı kaçtır?
Çözümü GösterEmre'nin yeğenlerinin yaşları asal sayı olup, yaşlarının çarpımı 280'dir. Buna göre Emre'nin yeğenlerinin ortalama yaşı kaçtır?
Çözümü Göster\( A \cdot 10! \) çarpımı bir pozitif tam sayının karesi olduğuna göre, \( A \)'nın alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözümü Göster1000'den küçük asal sayıların çarpımının sondan kaç basamağı 0'dır?
Çözümü Göster1 ile 800 arasında kaç tane tam sayının çarpanları sadece 4 farklı asal sayıdan oluşur?
Çözümü Göster\( a, b, c, d \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( (5 - a)(5 - b)(5 - c)(5 - d) = 9 \)
\( a, b, c, d \) sayıları birbirinden farklı sayılar olduğuna göre, bu sayıların toplamı kaça eşittir?
Çözümü Göster\( n \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 3969 \cdot (\dfrac{3}{7})^n \) ifadesinin sonucunu tam sayı yapan kaç tane \( n \) sayısı vardır?
Çözümü Göster6500'den küçük olmak koşuluyla 5'in katı olan kaç tane çift tam kare sayı vardır?
Çözümü Göster