Bir doğal sayıyı tam olarak bölen asal sayılara o sayının asal bölenleri ya da asal çarpanları denir.
\( x \), \( y \), \( z \) birbirinden farklı asal sayılar ve \( a \), \( b \), \( c \) birer pozitif tam sayı olmak üzere,
\( A = x^a \cdot y^b \cdot z^c \)
ifadesine, \( A \) sayısının asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılışı, yapılan bu işleme de asal çarpanlara ayırma denir.
Bir asal sayı bir sayının içinde çarpan olarak birden fazla kez yer alıyorsa çarpan listesinde tekrarlanmaz ve üslü ifade şeklinde yazılır. Ayrıca asal çarpanlar genellikle kuvvetlerine göre değil, asal çarpanlarına (tabanlarına) göre küçükten büyüğe doğru sıralanır.
Aritmetiğin Temel Teoremi'ne göre, 1'den büyük tüm tam sayılar asal sayıların çarpımı biçiminde ve çarpanların sıralaması hariç tek bir şekilde yazılabilirler.
Aşağıda birkaç sayının asal çarpanları cinsinden yazılışları verilmiştir.
\( 12 = 2^2 \cdot 3^1 \)
\( 13 = 13^1 \)
\( 300 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \)
Bir sayıyı asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazarken iki noktaya dikkat edilmelidir, bu iki prensip sayesinde sayılar asal çarpanları cinsinden çarpanların sıralaması hariç tek bir şekilde yazılabilirler.
Birinci nokta: Çarpan listesinde sadece asal sayılar kullanılır, çünkü bileşik sayıların kullanılması bir sayının diğer sayıların çarpımı biçiminde birden fazla şekilde yazılabilmesi anlamına gelir.
Asal çarpanlar biçiminde doğru yazılış:
\( 72 = 2^3 \cdot 3^2 \)
Asal çarpanlar biçiminde yanlış yazılışlar:
\( 72 = 2 \cdot 36 \)
\( 72 = 4 \cdot 3 \cdot 6 \)
İkinci nokta: 1 bir asal sayı olmadığı için asal çarpan listesinde yer almaz. Her sayının asal çarpanları cinsinden tek bir şekilde yazılabilmesi 1 sayısının bir asal sayı olarak kabul edilmeme sebeplerinden biridir. 1 sayısı bir asal sayı olarak kabul edilmiş olsaydı sayılar asal çarpanları cinsinden birden fazla (hatta sonsuz farklı) biçimde yazılabilirdi.
\( 12 = 2^2 \cdot 3^1 \)
\( 12 = 1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^1 \)
\( 12 = 1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^1 \)
Bu bilgiler ışığında, önümüzdeki bölenler, katlar, EKOK ve EBOB konularında karşımıza çıkacak sayıları bu sayıları oluşturan asal çarpanları cinsinden düşünüyor olmamız önem taşımaktadır.
Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için kullanabileceğimiz yöntemlerden biri bölen listesi yöntemidir. Bu yöntemde bir sayıyı asal çarpanlarına aşağıdaki adımlarla ayırabiliriz.
Bu yöntemi kullanarak 504 sayısını asal çarpanlarına aşağıdaki şekilde ayırabiliriz.
Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmada kullanabileceğimiz diğer bir yöntem çarpan ağacı yöntemidir. Bu yöntemde bir sayıyı asal çarpanlarına aşağıdaki adımlarla ayırabiliriz.
Bu yöntemi kullanarak 600 sayısını asal çarpanlarına aşağıdaki şekilde ayırabiliriz.