Asal Çarpanlara Ayırma

Bir pozitif tam sayıyı tam olarak bölen asal sayılara o sayının asal bölenleri ya da asal çarpanları denir.

Asal çarpanlara ayırma
Asal çarpanlara ayırma

Bir asal sayı bir sayının içinde çarpan olarak birden fazla kez yer alıyorsa çarpan listesinde tekrarlanmaz ve üslü ifade şeklinde yazılır. Bir sayının asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılışında çarpanlar genellikle tabanlara göre (kuvvetlere göre değil) küçükten büyüğe doğru sıralanır.

Aritmetiğin Temel Teoremi

Aritmetiğin temel teoremine göre, 1'den büyük tüm tam sayılar asal sayıların çarpımı biçiminde ve çarpanların sıralaması hariç tek bir şekilde yazılabilir.

Aşağıda birkaç sayının asal çarpanları cinsinden yazılışları verilmiştir.

Bir sayıyı asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazarken iki noktaya dikkat edilmelidir, bu iki prensip sayesinde sayılar asal çarpanları cinsinden çarpanların sıralaması hariç tek bir şekilde yazılabilirler.

Birinci nokta: Çarpan listesinde sadece asal sayılar kullanılır, çünkü bileşik sayıların kullanılması bir sayının diğer sayıların çarpımı biçiminde birden fazla şekilde yazılabilmesi anlamına gelir.

İkinci nokta: 1 bir asal sayı olmadığı için asal çarpan listesinde yer almaz. Her sayının asal çarpanları cinsinden tek bir şekilde yazılabilmesi 1 sayısının bir asal sayı olarak kabul edilmeme sebeplerinden biridir. 1 sayısı bir asal sayı olarak kabul edilmiş olsaydı sayılar asal çarpanları cinsinden birden fazla (hatta sonsuz farklı) biçimde yazılabilirdi.

Bu bilgiler ışığında, önümüzdeki bölenler, katlar, EKOK ve EBOB konularında karşımıza çıkacak sayıları bu sayıları oluşturan asal çarpanları cinsinden düşünüyor olmamız önem taşımaktadır.

Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemleri

Bölen Listesi Yöntemi

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için kullanabileceğimiz yöntemlerden biri bölen listesi yöntemidir. Bu yöntemde bir sayıyı asal çarpanlarına aşağıdaki adımlarla ayırabiliriz.

  1. Önce asal çarpanlarına ayırmak istediğimiz sayıyı ilk satırın ilk sütununa yazarak sağına dikey bir çizgi çizeriz.
  2. En küçük asal sayı olan 2'den başlayarak, bu asal sayının birinci sütundaki sayıyı kalansız bölüp bölmediğini kontrol ederiz.
  3. Eğer denediğimiz asal sayı birinci sütundaki sayıyı kalansız bölüyorsa bu asal sayıyı dikey çizginin sağındaki sütuna yazarız.
  4. Birinci sütundaki sayıyı ikinci sütuna yazdığımız bu asal sayıya böleriz ve bölümü birinci sütundaki sayının hemen altına yazarız.
  5. Her yeni satırda 2., 3. ve 4. adımları tekrarlarız. Her yeni satırda denemeye bir önceki satırda kullandığımız asal sayı ile devam ederiz. Eğer son satırda kullandığımız asal sayı bu satırdaki sayıyı kalansız bölmüyorsa bu asal sayıdan büyük bir sonraki asal sayıyı deneriz.
  6. Birinci sütunda 1 sayısına ulaştığımızda asal çarpanlara ayırma işlemi tamamlanmıştır. İkinci sütundaki asal sayıları küçükten büyüğe ve her asal sayının tekrar sayısı o sayının kuvveti olacak şekilde çarpan listesi olarak yazarız.

Bu yöntemi kullanarak 504 sayısını asal çarpanlarına aşağıdaki şekilde ayırabiliriz.

Bölen listesi ile asal çarpanlara ayırma
Bölen listesi ile asal çarpanlara ayırma

Çarpan Ağacı Yöntemi

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmada kullanabileceğimiz diğer bir yöntem çarpan ağacı yöntemidir. Bu yöntemde bir sayıyı asal çarpanlarına aşağıdaki adımlarla ayırabiliriz.

  1. Önce asal çarpanlarına ayırmak istediğimiz sayıyı en üstte bir kutuya yazarız (şekildeki turuncu kutu).
  2. Bu sayıyı asal ya da bileşik sayı herhangi iki çarpanına ayırırız ve bu çarpanları sayıdan çıkan iki okun bağlandığı yeni kutulara yazarız. Bir sayıyı çarpanlarına ayırırken sayının kendisini ve 1'i çarpan olarak kullanmayız.
  3. Eklediğimiz bir kutunun içindeki çarpan bir asal sayı ise sayıyı bir daire içine alırız (şekildeki yeşil kutular). Asal sayı elde ettiğimiz bir kolda çarpanlara ayırma işlemi tamamlanmıştır.
  4. Eklediğimiz bir kutunun içindeki çarpan bir bileşik sayı ise (şekildeki gri kutular) bu kolda çarpanlara ayırma işlemine 2. adımdaki şekilde devam ederiz.
  5. Tüm kollarda birer asal sayı elde ettiğimizde çarpanlara ayırma işlemi tamamlanmıştır. Daire içine aldığımız asal sayıları küçükten büyüğe ve her asal sayının tekrar sayısı o sayının kuvveti olacak şekilde çarpan listesi olarak yazarız.

Bu yöntemi kullanarak 600 sayısını asal çarpanlarına aşağıdaki şekilde ayırabiliriz.

Çarpan ağacı ile asal çarpanlara ayırma
Çarpan ağacı ile asal çarpanlara ayırma
SORU 1:

\( a \) bir asal sayı, \( b \) ve \( c \) birer pozitif tam sayısıdır.

\( a \cdot b = 540 \) ve \( a \cdot c = 315 \) olduğuna göre, \( a \)'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 2:

\( a \) bir doğal sayı ve \( 800 = \frac{a^5}{x} \) olduğuna göre, bu koşulları sağlayan en küçük \( x \) doğal sayısının rakamları toplamı kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 3:

Emre'nin yeğenlerinin yaşları asal sayı olup, yaşlarının çarpımı 280'dir. Buna göre Emre'nin yeğenlerinin ortalama yaşı kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 4:

\( A \cdot 10! \) çarpımı bir pozitif tam sayının karesi olduğuna göre, \( A \)'nın alabileceği en küçük değer kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 5:

1000'den küçük asal sayıların çarpımının sondan kaç basamağı 0'dır?

Çözümü Göster
SORU 6:

1 ile 800 arasında kaç tane tam sayının çarpanları sadece 4 farklı asal sayıdan oluşur?

Çözümü Göster
SORU 7:

\( a, b, c, d \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,

\( (5 - a)(5 - b)(5 - c)(5 - d) = 9 \)

\( a, b, c, d \) sayıları birbirinden farklı sayılar olduğuna göre, bu sayıların toplamı kaça eşittir?

Çözümü Göster
SORU 8:

\( n \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,

\( 3969 \cdot (\dfrac{3}{7})^n \) ifadesinin sonucunu tam sayı yapan kaç tane \( n \) sayısı vardır?

Çözümü Göster
SORU 9:

6500'den küçük olmak koşuluyla 5'in katı olan kaç tane çift tam kare sayı vardır?

Çözümü Göster

« Önceki
Asal Sayılar
Sonraki »
Tam Bölen Sayısı


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır