Birbirinden farklı \( A \) ve \( B \) pozitif tam sayılarının \( C \) pozitif tam sayısına bölümünden kalanlar sırasıyla \( k_1 \) ve \( k_2 \) olsun.
\( A + B \) toplamının \( C \) ile bölümünden kalan, \( k_1 + k_2 \)'nin C ile bölümünden kalan olur.
ÖRNEK:
\( 378 \)'in \( 5 \) ile bölümünden kalan \( 3 \)'tür.
\( 134 \)'in \( 5 \) ile bölümünden kalan \( 4 \)'tür.
Buna göre, \( 378 + 134 = 512 \)'nin \( 5 \) ile bölümünden kalan, \( 3 + 4 = 7 \)'nin \( 5 \) ile bölümünden kalan, yani \( 2 \)'dir.
İSPATI GÖSTER
\( A \) ve \( B \) sayılarının \( C \) sayısına bölüm işlemlerini aşağıdaki şekilde yazabiliriz (\( m \) ve \( n \) sırasıyla bölüm, \( k_1 \) ve \( k_2 \) sırasıyla kalan değerleri olmak üzere).
\( A = m \cdot C + k_1 \)
\( B = n \cdot C + k_2 \)
\( A + B \) ifadesini aşağıdaki gibi yazabiliriz.
\( A + B = m \cdot C + k_1 + n \cdot C + k_2 \)
\( = (m + n) \cdot C + k_1 + k_2 \)
İfadenin \( (m + n) \cdot C \) kısmı çarpan olarak \( C \)'yi içerdiği için bu kısım \( C \) ile tam bölünecektir ve tüm ifadenin \( C \)'ye bölümünden kalan \( k_1 + k_2 \)'nin C ile bölümünden kalan olacaktır.
\( A \cdot B \) toplamının \( C \) ile bölümünden kalan, \( k_1 \cdot k_2 \)'nin C ile bölümünden kalan olur.
ÖRNEK:
\( 177 \)'in \( 5 \) ile bölümünden kalan \( 2 \)'dir.
\( 83 \)'in \( 5 \) ile bölümünden kalan \( 3 \)'tür.
Buna göre, \( 177 \cdot 83 = 14.691 \)'in \( 5 \) ile bölümünden kalan, \( 2 \cdot 3 = 6 \)'nın \( 5 \) ile bölümünden kalan, yani \( 1 \)'dir.
İSPATI GÖSTER
\( A \) ve \( B \) sayılarının \( C \) sayısına bölüm işlemlerini aşağıdaki şekilde yazabiliriz (\( m \) ve \( n \) sırasıyla bölüm, \( k_1 \) ve \( k_2 \) sırasıyla kalan değerleri olmak üzere).
\( A = m \cdot C + k_1 \)
\( B = n \cdot C + k_2 \)
\( A \cdot B \) ifadesini aşağıdaki gibi yazabiliriz.
\( A \cdot B = (m \cdot C + k_1) \cdot (n \cdot C + k_2) \)
\( = m \cdot n \cdot C^2 + m \cdot C \cdot k_2 \) \( + n \cdot C \cdot k_1 + k_1 \cdot k_2 \)
İfadenin \( m \cdot n \cdot C^2 + m \cdot C \cdot k_2 + n \cdot C \cdot k_1 \) kısmının tümü çarpan olarak \( C \)'yi içerdiği için bu kısım \( C \) ile tam bölünecektir ve tüm ifadenin \( C \)'ye bölümünden kalan \( k_1 \cdot k_2 \)'nin C ile bölümünden kalan olacaktır.
SORU:
\( 3594 \cdot 498 + 1832 \cdot 523 \) işleminin sonucunun 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Göster
Bu ifadede birbiriyle toplanan ve çarpılan tüm terimlerin ayrı ayrı 5 ile bölümünden kalan sayıları ifadede yerine koyarak ve bu kalan sayılar üzerinden aynı işlemi yaparak kalanı bulabiliriz.
18'in 5'e bölümünden kalan 3 olduğu için, verilen ifadenin sonucunun da 5 ile bölümünden kalan 3'tür.
Bir Bölenin Çarpanlarına Bölmede Kalan
Bir \( A \) pozitif tam sayısının \( B \) pozitif tam sayısına bölümünden kalan \( k \) ise \( A \) sayısının \( B \)'nin bir tam böleni olan \( C \) pozitif tam sayısına bölümünden kalan, \( k \)’nın \( C \)'ye bölümünden kalana eşittir.
ÖRNEK:
\( A \) pozitif tam sayısının 45'e bölümünden kalan 20 ise,
- \( A \)'nın 9'a bölümünden kalan 20'nin 9'a bölümünden kalan sayı olan 2'dir.
- \( A \)'nın 5'e bölümünden kalan 20'nin 5'e bölümünden kalan sayı olan 0'dır.