\( A \) ve \( B \) sayılarının \( C \) sayısına bölme işlemlerini aşağıdaki şekilde yazabiliriz (\( m \) ve \( n \) sırasıyla bölüm, \( k_1 \) ve \( k_2 \) sırasıyla kalan değerleri olmak üzere).
\( A = m \cdot C + k_1 \)
\( B = n \cdot C + k_2 \)
\( A + B \) ifadesini aşağıdaki gibi yazabiliriz.
\( A + B = m \cdot C + k_1 + n \cdot C + k_2 \)
\( = (m + n) \cdot C + k_1 + k_2 \)
İfadenin \( (m + n) \cdot C \) kısmı çarpan olarak \( C \)'yi içerdiği için bu kısım \( C \) ile tam bölünecektir ve tüm ifadenin \( C \)'ye bölümünden kalan \( k_1 + k_2 \)'nin \( C \) ile bölümünden kalan olur.
\( A \) ve \( B \) sayılarının \( C \) sayısına bölme işlemlerini aşağıdaki şekilde yazabiliriz (\( m \) ve \( n \) sırasıyla bölüm, \( k_1 \) ve \( k_2 \) sırasıyla kalan değerleri olmak üzere).
\( A = m \cdot C + k_1 \)
\( B = n \cdot C + k_2 \)
\( A \cdot B \) ifadesini aşağıdaki gibi yazabiliriz.
\( A \cdot B = (m \cdot C + k_1) \cdot (n \cdot C + k_2) \)
\( = m \cdot n \cdot C^2 + m \cdot C \cdot k_2 \) \( + n \cdot C \cdot k_1 + k_1 \cdot k_2 \)
İfadenin \( m \cdot n \cdot C^2 + m \cdot C \cdot k_2 + n \cdot C \cdot k_1 \) kısmının tümü çarpan olarak \( C \)'yi içerdiği için bu kısım \( C \) ile tam bölünecektir ve tüm ifadenin \( C \)'ye bölümünden kalan \( k_1 \cdot k_2 \)'nin \( C \) ile bölümünden kalan olur.
Bu ifadede birbiriyle toplanan ve çarpılan tüm terimlerin ayrı ayrı 5 ile bölümünden kalan sayıları ifadede yerine koyarak ve bu kalan sayılar üzerinden aynı işlemi yaparak kalanı bulabiliriz.
Bir \( A \) pozitif tam sayısının \( B \) pozitif tam sayısına bölümünden kalan \( k \) ise \( A \) sayısının \( B \)'nin bir tam böleni olan \( C \) pozitif tam sayısına bölümünden kalan, \( k \)'nın \( C \)'ye bölümünden kalana eşittir.
ÖRNEK:
\( A \) pozitif tam sayısının 45'e bölümünden kalan 20 ise,
- \( A \)'nın 9'a bölümünden kalan 20'nin 9'a bölümünden kalan sayı olan 2 olur.
- \( A \)'nın 5'e bölümünden kalan 20'nin 5'e bölümünden kalan sayı olan 0 olur.
\( A \) sayısının \( B \) sayısına bölme işlemini aşağıdaki şekilde yazabiliriz (\( m \) bölüm, \( k \) kalan değerleri olmak üzere).
\( A = m \cdot B + k \)
\( B \) sayısının \( C \) sayısına tam bölündüğü bölme işlemini aşağıdaki şekilde yazabiliriz (\( n \) bölüm olmak üzere).
\( B = n \cdot C \)
\( B \) sayısını birinci eşitlikte yerine koyalım.
\( A = m \cdot n \cdot C + k \)
İfadenin \( m \cdot n \cdot C \) kısmı çarpan olarak \( C \)'yi içerdiği için bu kısım \( C \) ile tam bölünecektir ve tüm ifadenin \( C \)'ye bölümünden kalan \( k \)'nın \( C \) ile bölümünden kalan olur.
\( a \) sayısının 12'ye bölümünden kalan 5, \( b \) sayısının 12'ye bölümünden kalan 2 olduğuna göre \( b^2 - 3a \) sayısının 12'ye bölümünden kalan kaçtır?
İfadedeki sayıların her birinin 9'a bölümünden kalanı yazarak ve işlemi bu kalan sayılar üzerinden yaparak \( x \)'in 9'a bölümünden kalanı bulabiliriz.
\( x = (21542 + 14425) \cdot 38123 \)
\( (5 + 7) \cdot 8 = 12 \cdot 8 \)
Aynı işlemi tekrar yapabiliriz.
\( 3 \cdot 8 = 24 \)
24'ün 9'a bölümünden kalan 6'dır, dolayısıyla \( x \)'in de 9'a bölümünden kalan 6 olur.