Bölmede Kalan

Bu ifadede birbiriyle toplanan ve çarpılan tüm terimlerin ayrı ayrı 5 ile bölümünden kalan sayıları ifadede yerine koyarak ve bu kalan sayılar üzerinden aynı işlemi yaparak kalanı bulabiliriz.

\( 3594 \cdot 498 + 1832 \cdot 523 \)

\( (3590 + 4) \cdot (495 + 3) + \) \( (1830 + 2) \cdot (520 + 3) \)

\( 4 \cdot 3 + 2 \cdot 3 = 12 + 6 = 18 \)

18'in 5'e bölümünden kalan 3 olduğu için, verilen ifadenin sonucunun da 5 ile bölümünden kalan 3'tür.

\( 3^{72} = (3^6)^{12} \)

\( = 729^{12} \)

\( 729 \)'un 364'e bölümünden kalan 1'dir.

\( = 1^{12} = 1 \) bulunur.

Bölünen sayıya \( A \), bölüme \( K \) diyelim.

\( A = 693 \cdot K + 347 \)

\( A = 77 \cdot 9 \cdot K + 347 \)

77 sayısı 693'ün bir tam böleni olduğu için \( 693K \) terimi 77'ye tam bölünür.

Buna göre \( A \) sayısının 77'ye bölümünden kalan, 347'nin 77'ye bölümünden kalana eşittir.

\( 347 = 77 \cdot 4 + 39 \)

\( A \) sayısının 77'ye bölümünden kalan 39 olur.

İfadenin terimlerini düzenleyelim.

\( 11^2 \cdot 2^2 - 11^2 \cdot 3^2 + 11^2 \cdot 4^2 - 11^2 \cdot 5^2 \)

İfadeyi \( 11^2 \) parantezine alalım.

\( = 11^2 \cdot (2^2 - 3^2 + 4^2 - 5^2) \)

\( = 11^2 \cdot (4 - 9 + 16 - 25) \)

\( = -14 \cdot 11^2 \)

Verilen ifade 7 çarpanını içerdiği için 7'ye tam bölünür, yani kalan 0 olur.

\( a \) ve \( b \) yerine verilen koşulları sağlayan birer sayı yazalım.

\( a = 5, \quad b = 14 \)

\( b^2 - 3a = 14^2 - 3 \cdot 5 \)

\( = 196 - 15 = 181 \)

\( 181 \)'in 12'ye bölümünden kalan 1'dir.

Verilen ifadenin 5'e bölümünden kalanı bulmak için her terimin 5'e bölümünden kalanı yazalım.

\( 29^2 + 2491 \)

\( 4^2 + 1 = 17 \)

17'nin 5'e bölümünden kalan 2 olduğu için verilen ifadenin 5'e bölümünde kalan da 2'dir.

İfadedeki sayıların her birinin 9'a bölümünden kalanı yazarak ve işlemi bu kalan sayılar üzerinden yaparak \( x \)'in 9'a bölümünden kalanı bulabiliriz.

\( x = (21542 + 14425) \cdot 38123 \)

\( (5 + 7) \cdot 8 = 12 \cdot 8 \)

Aynı işlemi tekrar yapabiliriz.

\( 3 \cdot 8 = 24 \)

24'ün 9'a bölümünden kalan 6'dır, dolayısıyla \( x \)'in de 9'a bölümünden kalan 6 olur.

Verilen sayıların arasındaki fark sabit ve 19 olduğu için hepsini böldüğünde aynı kalanı veren sayı 19'dur.

Üç sayıya \( a \), \( b \) ve \( c \) diyelim.

\( p, q, r \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,

\( a = 47p + 36 \)

\( b = 47q + 38 \)

\( c = 47r + 21 \)

Eşitlikleri taraf tarafa toplayalım.

\( a + b + c = 47(p + q + r) + 95 \)

95 içindeki 47'nin katlarını parantez içine alalım.

\( a + b + c = 47(p + q + r + 2) + 1 \)

Buna göre sayılarının toplamının 47 ile bölümünden kalan 1'dir.

\( a \) sayısı iki farklı sayıyı böldüğünde kalanlar aynı oluyorsa bu iki sayının farkı \( a \) sayısının bir tam katı olmalıdır.

İki sayının farkını bulalım.

\( 109152 - 99137 = 10015 \)

10015 sayısını çarpanlarına ayıralım.

\( 10015 = 5 \cdot 2003 \)

Bu çarpanlardan sadece 2003 sayısı 4 basamaklı olduğundan \( a = 2003 \) olmalıdır.