EBOB/EKOK Problemleri

EBOB/EKOK problemleri farklı şekillerde karşımıza çıkabilmektedir. Bu bölümdeki amacımız bu tip problemleri çözmekten ziyade, her tipteki problemlere birkaç örnek vererek problemler arası ortak noktaları göstermek ve bir problemle karşılaştığımızda hangi yöntemle çözebileceğimize bu ipuçları üzerinden daha kolay karar verebilmek olacaktır.

EBOB Problemleri

Uzunlukları 16 m, 20 m ve 28 m olan üç boru, her biri eşit uzunlukta parçalara kesilecektir. Parçaların mümkün olan en büyük uzunlukta kesilmesi istendiğine göre her parçanın uzunluğu kaç m olmalıdır (ya da borular toplamda kaç parçaya ayrılacaktır)?
Kenar uzunlukları 75 cm ve 90 cm olan dikdörtgen şeklinde bir kartondan eş kareler kesilecektir. Bu karelerin bir kenarı en çok kaç cm olabilir (ya da kare sayısı en az kaç olabilir)?
Boyutları 280 m ve 175 m olan bir tarla, kare şeklinde eşit alanlara ayrılıp hobi bahçesi olarak kiralanacaktır. Karesel alanların mümkün olan en büyük boyutta olması istendiğine göre, her bir bahçenin boyutları ne olmalıdır (ya da bu tarladan toplamda kaç hobi bahçesi çıkacaktır)?
Taban ölçüleri 24 cm ve 32 cm ve yüksekliği 54 cm olan bir beyaz peynir tenekesi hiç peynir artmayacak şekilde eş küp kalıplar halinde kesilmek isteniyor. Kalıpların en büyük olacağı durumda her kalıbın bir kenar uzunluğu kaç cm olur (ya da bu durumda bir tenekeden kaç kalıp peynir çıkar)?
Uzunluğu 24 m, genişliği 20 m ve yüksekliği 6 m olan bir depoya özdeş küp şeklinde koliler yerleştirilecektir. Hiç boşluk kalmayacak şekilde kullanılabilecek en büyük kolinin boyutları nedir (ya da bu durumda depo kaç koli alır)?

Bu problemleri genel hatlarıyla aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz.

Tek boyutlu farklı uzunluklarda \( n \) tane çubuğu eşit uzunlukta ve mümkün olan en büyük parçalara ayırmak.
İki boyutlu bir alanı (tarla, arsa, oda vb.) kare şeklinde ve mümkün olan en büyük alanlara bölmek.
Üç boyutlu bir hacmi (oda, depo vb.) küp şeklinde ve mümkün olan en büyük hacimlere bölmek.

Görebileceğimiz gibi, tüm bu problemler bizden \( n \) tane farklı sayıyı aynı anda bölen sayılardan en büyüğünü bulmamızı istemektedir. Bu tip sorularda sıklıkla karşımıza çıkabilecek kelimeler "bölmek", "paylaştırmak", "mümkün olan en uzun/büyük/geniş şekilde" olmaktadır.

Burada dikkat etmemiz gereken bir nokta, bazı durumlarda mümkün olan en büyük şekilde bir bütünü böldükten sonra, oluşan parçaların sayısının sorulduğu durumlardır. Mümkün olan en büyük parçalar oluştuğunda, en küçük sayıda parça oluşacağı için, soruda oluşan alanların boyutu değil de, oluşan parça sayısı sorulduğu durumlarda, "en büyük" ifadesi "en az sayıda" şekline dönüşebilecektir.

EKOK Problemleri

Boyutları 18 cm ve 30 cm olan fayansları kullanarak oluşturulabilecek en küçük kare alanın bir kenarı kaç cm olur (ya da bu alanı oluşturmak için kaç fayans kullanılır)?
Markette karton bardaklar 24'erli paketlerde, bardakların kapakları da 40'arlı paketler halinde satılmaktadır. Aynı sayıda bardak ve kapak almak isteyen Eda, en az kaç paket bardak ve kapak almalıdır?
Her birinin boyutları 32 cm, 18 cm ve 16 cm olan ayakkabı kutuları yan yana ve üst üste dizilerek küp şeklinde paletler oluşturulmak isteniyor. Oluşturulabilecek en küçük palet boyutu ne olur (ya da en küçük palete kaç ayakkabı kutusu sığar)?

Bu problemleri genel hatlarıyla aşağıdaki kategorilere ayırabiliriz.

İki boyutlu bir nesneyi tekrar kullanarak kare şeklinde ve mümkün olan en küçük alanı oluşturmak.
Üç boyutlu bir nesneyi tekrar kullanarak küp şeklinde ve mümkün olan en küçük hacmi oluşturmak.

Görebileceğimiz gibi, tüm bu problemler bizden iki ya da üç boyutlu nesneleri tekrarlayarak bu sayıların katlarından en küçüğünü bulmamız istemektedir. Bu tip sorularda sıklıkla karşımıza çıkabilecek kelimeler "tekrarlamak", "oluşturmak", "mümkün olan en küçük şekilde" olmaktadır.

Yukarıdaki yorumlarımızı kısaca özetlemek gerekirse, büyük parçalardan küçük parçalar elde etmemiz isteniyorsa EBOB, küçük parçalardan büyük parçalar elde etmemiz isteniyorsa EKOK kullanırız.

Periyodik Olaylar

EKOK problemlerinin bir diğer tipi ise periyodik olaylar şeklinde karşımıza çıkabilecek sorulardır. Bu tip olaylarda, saniye, dakika, saat, gün, yıl gibi zaman birimlerinde tekrarlayan iki ya da daha fazla olayın, hangi periyotlarda aynı anda gerçekleşeceği istenmektedir. Bu tip sorularda, verilen olayların tekrarlama periyotları belirlenip, bu periyotların EKOK'unu bularak aynı anda gerçekleşme periyodunu bulabiliriz.

Bu tip sorulara da aşağıdaki gibi örnekler verebiliriz.

Bir mağazanın vitrinindeki üç LED ışık sırasıyla 12, 15 ve 24 sn'de bir yanmaktadır. Buna göre, bu ışıklar kaç saniyede bir aynı anda yanmaktadır?
Üç arkadaş spor salonuna sırasıyla 2, 4 ve 5'er günde bir aynı saatte gidiyorlar. Bugün spor salonunda karşılaştıklarına göre, bundan sonra ilk kez kaç gün sonra karşılaşırlar?
Üç koşucu dairesel bir koşu parkurunu sırasıyla 5 dk, 8 dk ve 10 dk'da koşabiliyorlar. Buna göre bu üç koşucu koşmaya başladıktan kaç dk sonra tekrar başlangıç noktasında üçü birden karşılaşırlar?
Dolunayın 30 günde bir gerçekleştiğini varsayarsak, dolunay bir Çarşamba gününe denk geldikten kaç gün sonra ilk kez tekrar bir Çarşamba gününe denk gelir?

SORU 1:

Eni 35 m, genişliği 60 m olan dikdörtgen biçimindeki bir arsa hiç boşluk kalmayacak şekilde en büyük alanlı eş karelere ayrılacaktır.

Bu şekilde bölünen arsada kaç tane karesel bölge oluşur?