EBOB/EKOK Problemleri
Bu bölümde EBOB ve EKOK problemlerini farklı örnekler üzerinden inceleyeceğiz.
EBOB Problemleri
EBOB problemleri genel olarak üç tip altında gruplanabilir.
| Problem Tipi | Örnek |
|---|---|
|
Tek boyutlu ve farklı uzunluklarda \( n \) tane çubuğu eşit uzunlukta ve mümkün olan en büyük parçalara ayırmak |
Uzunlukları 16 m, 20 m ve 28 m olan üç boru, her biri eşit uzunlukta parçalara kesilecektir. Parçaların mümkün olan en büyük uzunlukta olması istendiğine göre, her parçanın uzunluğu kaç metre olmalıdır? Cevap: EBOB(16, 20, 28) = 4
|
|
İki boyutlu bir alanı (tarla, arsa, oda vb.) kare şeklinde ve mümkün olan en büyük alanlara bölmek |
Boyutları 280 m ve 175 m olan bir tarla, kare şeklinde eşit alanlara bölünecektir. Karesel alanların mümkün olan en büyük boyutta olması istendiğine göre, her bir bahçenin boyutları ne olmalıdır? Cevap: EBOB(280, 175) = 35
|
|
Üç boyutlu bir hacmi (oda, depo vb.) küp şeklinde ve mümkün olan en büyük hacimlere bölmek |
Taban ölçüleri 24 cm ve 32 cm ve yüksekliği 56 cm olan bir beyaz peynir tenekesi hiç peynir artmayacak şekilde eş küp kalıplar halinde kesilmek isteniyor. Kalıpların en büyük olduğu durumda her kalıbın bir kenar uzunluğu kaç cm olur? Cevap: EBOB(24, 32, 56) = 8
|
Özetlemek gerekirse, EBOB problemlerinde \( n \) tane farklı sayıyı aynı anda bölen sayılardan en büyüğü istenmektedir. Bu tip problemlerde sıklıkla kullanılan kelimeler "bölmek", "paylaştırmak", "en uzun/büyük/geniş" olmaktadır.
Bazı EBOB problemlerinde bir bütünü mümkün olan en büyük eş parçalara böldükten sonra oluşan parçaların sayısı sorulabilir. Parçalar en büyük olduğunda parça sayısı en küçük olacağı için, parçaların sayısının sorulduğu durumlarda "en büyük" yerine "en az sayıda" ifadesi kullanılabilmektedir.
EKOK Problemleri
EKOK problemleri genel olarak iki tip altında gruplanabilir.
| Problem Tipi | Örnek |
|---|---|
|
İki boyutlu bir nesneyi tekrar kullanarak kare şeklinde ve mümkün olan en küçük alanı oluşturmak |
Boyutları 18 cm ve 30 cm olan fayansları kullanarak oluşturulabilecek en küçük kare alanın bir kenarı kaç cm olur? Cevap: EKOK(18, 30) = 90
|
|
Üç boyutlu bir nesneyi tekrar kullanarak küp şeklinde ve mümkün olan en küçük hacmi oluşturmak |
Boyutları 32 cm, 18 cm ve 24 cm olan eş kutular yan yana ve üst üste dizilerek küp şeklinde paletler oluşturulmak isteniyor. Oluşturulabilecek en küçük palet boyutu ne olur? Cevap: EKOK(32, 18, 24) = 288
|
Özetlemek gerekirse, EKOK problemlerinde \( n \) tane farklı sayının ortak katlarından en küçüğü istenmektedir. Bu tip problemlerde sıklıkla kullanılan kelimeler "tekrarlamak", "oluşturmak", "en küçük" olmaktadır.
Son bir yorum olarak; EBOB problemlerinde büyük parçalardan küçük parçalar, EKOK problemlerinde küçük parçalardan büyük parçalar elde edilmeye çalışılır.
Eni 350 m, genişliği 600 m olan dikdörtgen biçimindeki bir arsa hiç boşluk kalmayacak şekilde eş karesel alanlara bölünecek ve hobi bahçesi olarak kiralanacaktır.
Bu karesel alanların en büyük olduğu durumda oluşan bahçe sayısı kaç olur?
Çözümü GösterArsa en büyük alanlı eş karelere bölüneceği için arsanın eninin ve genişliğinin EBOB'u oluşan bahçelerin bir kenar uzunluğunu verir.
\( EBOB(350, 600) = 50 \)
Buna göre arsanın hiç boşluk kalmayacak şekilde bölünebileceği en büyük alanlı bahçelerin bir kenar uzunluğu 50 m olur.
Arsa bu şekilde bölündüğünde arsanın eni boyunca \( 350 \div 50 = 7 \) tane, genişliği boyunca \( 600 \div 50 = 12 \) tane olmak üzere toplamda \( 7 \cdot 12 = 84 \) tane hobi bahçesi oluşur.
Alternatif bir hesaplamayla, arsanın toplam alanı \( 350 \cdot 600 \) metrekaredir. Bir karesel alan \( 50 \cdot 50 \) metrekare olduğu için oluşan toplam hobi bahçesi sayısı \( \frac{350 \cdot 600}{50 \cdot 50} = 84 \) olur.
Eni 3,5 cm, yüksekliği 5 cm olan okey taşlarından en az kaç tanesi ile bir kare yüzey oluşturulabilir?
Çözümü GösterParçalardan kare şeklinde bir bütüne ulaşmamız istendiği için EKOK kullanmamız gerekir.
Kesirli iki sayının EKOK'u, paylarının EKOK'unun paydalarının EBOB'una oranına eşittir.
\( EKOK \left( \dfrac{a}{b}, \dfrac{c}{d} \right) = \dfrac{EKOK(a, c)}{EBOB(b, d)} \)
\( EKOK \left( \dfrac{7}{2}, \dfrac{5}{1} \right) = \dfrac{EKOK(7, 5)}{EBOB(2, 1)} \)
\( = \dfrac{35}{1} = 35 \)
Buna göre oluşacak en küçük kare yüzeyin bir kenarı 35 cm olur.
Bu kare yüzey; eni boyunca \( 35 \div 3,5 = 10 \) tane, yüksekliği boyunca \( 35 \div 5 = 7 \) tane olmak üzere toplamda \( 10 \cdot 7 = 70 \) tane okey taşı ile oluşturulabilir.
Bir tiyatro topluluğunun sahneleyeceği iki oyunda, birbirinden farklı oyuncular olmak üzere sırasıyla 84 ve 112 oyuncu görev alacaktır.
Tüm oyuncular eşit sayıda oyuncudan oluşan gruplara ayrılacak ve her grup ayrı bir salonda prova yapacaktır. Tüm provalar aynı anda yapılacağına göre, provalar için en az kaç salona ihtiyaç olacaktır?
Çözümü GösterGruplar eşit sayıda oyuncudan oluşacağına göre, bir gruptaki oyuncu sayısı 84'ü ve 112'yi tam bölmelidir.
Grup (ve salon) sayısının en az olabilmesi için, her gruptaki oyuncu sayısı en büyük seçilmelidir.
Bu nedenle, bir gruptaki oyuncu sayısını bulmak için 84 ve 112 sayılarının EBOB'unu hesaplayalım.
\( 84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \)
\( 112 = 2^4 \cdot 7 \)
Sayıların EBOB'u asal çarpanların en düşük dereceli kuvvetlerinden oluşur.
\( EBOB(84, 112) = 2^2 \cdot 7 = 28 \)
Buna göre her gruptaki oyuncu sayısı 28 olduğunda toplam grup (ve salon) sayısı en az olur.
Bu durumda birinci oyunda oluşan grup sayısı \( 84 \div 28 = 3 \), ikinci oyunda oluşan grup sayısı \( 112 \div 28 = 4 \) olur.
Sonuç olarak, toplamda en az \( 3 + 4 = 7 \) salona ihtiyaç olacaktır.
Zeynep el işi ödevinde eni 63 cm ve yüksekliği 36 cm olan bir kartonu eş karelere bölecek ve her parçaya 3'er adet düğme yapıştıracaktır. Zeynep bu ödev sırasında en az kaç düğmeye ihtiyaç duyar?
Çözümü GösterEn az sayıda düğme için kare parçalar en büyük boyutta olmalıdır, bunun için 63 ve 36'nın EBOB'unu bulalım.
\( EBOB(36, 63) = EBOB(2^2 \cdot 3^2, 3^2 \cdot 7) \)
\( = 3^2 = 9 \)
Buna göre en az sayıda kare için karelerin bir kenar uzunluğu 9 cm olmalıdır.
Karton bu şekilde karelere bölününce eni boyunca \( \frac{63}{9} = 7 \) tane, yüksekliği boyunca \( \frac{36}{9} = 4 \) tane olmak üzere toplamda \( 7 \times 4 = 28 \) parça oluşur.
Her parçaya 3 düğme yapıştıracağı için Zeynep en az \( 28 \cdot 3 = 84 \) düğmeye ihtiyaç duyar.
\( 4 \times 10 \times 15 \) cm boyutlarındaki blokları kullanarak bir küp elde etmek için bu bloklardan en az kaç tane kullanılmalıdır?
Çözümü GösterVerilen bloklarla oluşturulacak küpün bir kenar uzunluğu 4, 10 ve 15'in bir tam sayı katı olmalıdır.
Bu blokların oluşturduğu en küçük küpü bulmak için 4, 10 ve 15'in EKOK'unu bulalım.
\( 4 = 2^2 \)
\( 10 = 2 \cdot 5 \)
\( 15 = 3 \cdot 5 \)
\( EKOK(4, 10, 15) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60 \)
Bir kenar uzunluğu 60 cm olan küp elde etmek için kaç adet blok kullanmamız gerektiğini küpün hacmini bir bloğun hacmine bölerek bulalım.
\( \dfrac{60^3}{4 \cdot 10 \cdot 15} = \dfrac{60^2}{10} = 360 \) tane blok kullanılmalıdır.
Bir depoda bulunan 5850 adet deterjan ve 6760 adet yumuşatıcı bir market zincirinin şubelerine, her şube aynı sayıda deterjan ve aynı sayıda yumuşatıcı alacak şekilde dağıtılacaktır.
Bu dağıtım en fazla sayıda şubeye yapılmak istendiğine göre, her şubeye gönderilen toplam ürün adedi kaç olur?
Çözümü GösterDeterjanlar ve yumuşatıcılar şubelere eşit şekilde dağıtılmak isteniyor. Bu da şube sayısının deterjan ve yumuşatıcı sayılarını ayrı ayrı tam bölmesi anlamına gelir.
5850 ve 6760'ın en büyük ortak bölenini bulalım.
\( 5850 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 13 \)
\( 6760 = 2^3 \cdot 5 \cdot 13^2 \)
\( EBOB(5850, 6760) = 2 \cdot 5 \cdot 13 = 130 \)
Buna göre deterjanlar ve yumuşatıcılar her şube her birinden aynı sayıda alacak şekilde en fazla 130 şubeye dağıtılabilir.
Bu durumda her şube \( 5850 \div 130 = 45 \) deterjan ve \( 6760 \div 130 = 52 \) yumuşatıcı olmak üzere toplamda \( 45 + 52 = 97 \) adet ürün almış olur.
Bir okulda 180 defter, 240 kurşun kalem ve 135 silginin tamamı kullanılarak kırtasiye paketleri hazırlanacaktır. Paketlerin her biri eşit sayıda ve tek bir tipte ürün içerecektir.
Buna göre paketleme işlemi sonrasında oluşan toplam paket sayısı en az kaç olabilir?
Çözümü GösterHer pakette eşit sayıda ürün olacağı için, paket başına düşen ürün sayısı toplam ürün sayılarının bir ortak böleni olmalıdır.
Toplam paket sayısının en az olması istendiği için, her paketteki ürün sayısı en büyük olmalıdır, dolayısıyla toplam ürün sayılarının en büyük ortak bölenini bulmalıyız.
180, 240 ve 135'i asal çarpanlarına ayıralım.
\( 180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \)
\( 240 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \)
\( 135 = 3^3 \cdot 5 \)
Sayıların EBOB'u asal çarpanların en düşük dereceli kuvvetlerinden oluşur.
\( EBOB(180, 240, 135) = 3 \cdot 5 = 15 \)
Buna göre her pakette 15 adet ürün olmalıdır.
Bu durumda defter içeren \( 180 \div 15 = 12 \) paket, kalem içeren \( 240 \div 15 = 16 \) paket, silgi içeren \( 135 \div 15 = 9 \) paket olmak üzere, toplamda \( 12 + 16 + 9 = 37 \) paket oluşur.
Bir hafta sürecek bir yürüyüş turunda rehber, katılımcılara yürüyüş sırasında yemeleri için enerji barları dağıtacaktır.
Tura katılacak katılımcı sayısının 25, 30, 36 ya da 45 olacağını düşünen rehber, her katılımcıya eşit sayıda enerji barı dağıtmak istemektedir.
Buna göre rehberin yanında bulundurması gereken enerji barı sayısı en az kaç olmalıdır?
Çözümü GösterEnerji barlarının eşit sayıda dağıtılıp hiç artmaması istendiğinden bar sayısı 25, 30, 36 ve 45 sayılarının bir ortak katı olmalıdır.
Bu ortak katlardan en küçüğü sayıların EKOK'una eşittir.
\( 25 = 5^2 \)
\( 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \)
\( 36 = 2^2 \cdot 3^2 \)
\( 45 = 3^2 \cdot 5 \)
Sayıların EKOK'u asal çarpanların en yüksek dereceli kuvvetlerinden oluşur.
\( EKOK(25, 30, 36, 45) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 900 \)
Buna göre rehberin yanında bulundurması gereken enerji barı sayısı en az 900 olmalıdır.
Bir mobilya atölyesinde usta, 150 cm ve 210 cm uzunluğunda iki ahşap sütunu 12 cm'den kısa olmamak üzere eşit uzunlukta parçalara ayırmak istiyor.
Her bir kesim işlemi 9 saniye sürdüğüne göre, ustanın bu iki sütunu parçalara ayırma işlemi en fazla kaç saniye sürer?
Çözümü Gösterİki sütunun bölüneceği eşit uzunluktaki parçaların uzunluğu, 150 ve 210'un bir ortak böleni olmalıdır.
İki sayının ortak bölenleri EBOB'larının bölenlerinden oluşur.
150 ve 210'u asal çarpanlarına ayıralım.
\( 150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2 \)
\( 210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \)
Sayıların EBOB'u asal çarpanların en düşük dereceli kuvvetlerinden oluşur.
\( EBOB(150, 210) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 \)
Buna göre 150 ve 210'un ortak bölenleri, 30'un bölenleridir.
30'un pozitif bölenleri: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Eşit parçaların uzunluğu 12 cm'den kısa olmayacağı için, uygun parça uzunlukları sadece 15 cm ve 30 cm olabilir.
Kesim süresinin en fazla olması için parça sayısı en fazla, parça uzunluğu en kısa olmalıdır, dolayısıyla parça uzunluğunu 15 cm olarak seçmeliyiz.
150 cm'lik sütundan \( 150 \div 15 = 10 \) adet parça, 210 cm'lik sütundan \( 210 \div 15 = 14 \) adet parça elde edilir.
Bir sütunu \( n \) parçaya bölmek için \( n - 1 \) kesme işlemi yapılır.
150 cm'lik sütun için kesim sayısı \( 10 - 1 = 9 \), 210 cm'lik çıta için kesim sayısı \( 14 - 1 = 13 \) adet olur.
Toplam kesim sayısı \( 9 + 13 = 22 \) olup, toplam kesim süresi \( 22 \cdot 9 = 198 \) saniye olarak bulunur.
Kısa kenarı uzun kenarından 6 m kısa olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin çevresine eşit aralıklarla fidan dikilecektir. Bahçenin köşegen uzunluğu \( 3\sqrt{34} \) m olduğuna göre, köşelerde birer fidan olacak şekilde en az kaç fidan dikilebilir?
Çözümü GösterBahçenin kısa kenarına \( x \) metre diyelim. Bu durumda uzun kenar \( x + 6 \) metre olur.
Kenar uzunluklarını bulmak için Pisagor teoremini kullanalım.
\( x^2 + (x + 6)^2 = (3\sqrt{34})^2 \)
\( 2x^2 + 12x + 36 = 306 \)
\( 2x^2 + 12x - 270 = 0 \)
\( 2(x + 15)(x - 9) = 0 \)
Uzunluk negatif olamayacağı için \( x = 9 \) m olur.
Buna göre bahçenin kısa kenarı 9 m, uzun kenarı 15 m'dir.
Kenar uzunluklarını bulduktan sonra dikilmesi gereken fidan sayısını bulalım.
Köşelerde birer fidan olacak şekilde fidan sayısının en az olması için fidanlar arasındaki mesafe en büyük değerini almalıdır, bu da 9 ve 15 sayılarının EBOB'una eşittir.
\( EBOB(9, 15) = 3 \)
Buna göre her 3 m'de bir fidan dikilmelidir.
Bahçenin çevresi \( 2(9 + 15) = 48 \) metredir.
Buna göre bahçenin çevresine dikilebilecek en az sayıda fidan \( \frac{48}{3} = 16 \) adet olur.
Ömer dikdörtgen şeklindeki tarlasının çevresine 5 metre aralıklarla ağaç dikecektir. Tarlanın uzun kenarlarına köşeler dahil dikilen ağaç sayısı, kısa kenarlarına köşeler dahil dikilen ağaç sayısının 3 katıdır.
Ömer toplam 60 tane ağaç diktiğine göre, tarlanın alanı kaç metrekaredir?
Çözümü GösterBahçenin kısa kenar uzunluğuna \( a \), uzun kenar uzunluğuna \( b \) diyelim.
5 metre aralıklarla ağaç dikildiğinde bir kısa kenar üzerinde köşeler dahil \( \frac{a}{5} + 1 \), bir uzun kenar üzerinde köşeler dahil \( \frac{b}{5} + 1 \) ağaç olur.
Tarlanın uzun kenarlarına köşeler dahil dikilen ağaç sayısı, kısa kenarlarına köşeler dahil dikilen ağaç sayısının 3 katıdır.
\( 2\left( \dfrac{b}{5} + 1 \right) = 3 \cdot 2\left( \dfrac{a}{5} + 1 \right) \)
\( b + 5 = 3a + 15 \)
\( 3a - b = -10 \)
Toplam dikilen ağaç sayısı 60'tır. 5 metre aralıklarla ağaç dikildiği için toplam ağaç sayısı tarlanın çevre uzunluğunun 5'te biri olur.
\( \dfrac{2(a + b)}{5} = 60 \)
\( a + b = 150 \)
İki denklemi taraf tarafa toplayalım.
\( 4a = 140 \)
\( a = 35 \)
\( a + b = 150 \Longrightarrow b = 115 \)
Tarlanın alanı iki kenar uzunluğunun çarpımına eşittir.
Alan \( = 35 \cdot 115 = 4025 \) metrekare bulunur.
Bir miktar kalem 8'erli paketlendiğinde 4, 10'arlı paketlendiğinde 6, 12'şerli paketlendiğinde 8 kalem artıyor. Kalemlerin sayısı 3 basamaklı olduğuna göre, kalem sayısının alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterKalem sayısına \( x \) dersek soruda verilen ilişkileri aşağıdaki gibi ifade edebiliriz.
\( x, a, b, c \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( x = 8a + 4 = 10b + 6 = 12c + 8 \)
\( x \) sayısını 8, 10 ve 12'nin bir ortak katı cinsinden ifade edebilmek için eşitliğin taraflarına 4 ekleyelim.
\( x + 4 = 8a + 8 = 10b + 10 = 12c + 12 \)
\( = 8(a + 1) = 10(b + 1) = 12(c + 1) \)
Buna göre kalem sayısının 4 fazlası (\( x + 4 \)); 8, 10 ve 12 sayılarının bir ortak katıdır, dolayısıyla bu sayıların EKOK'unun da bir katıdır.
Bu üç sayının EKOK'unu bulalım.
\( \text{EKOK}(8, 10, 12) = \text{EKOK}(2^3, 2 \cdot 5, 2^2 \cdot 3) \)
\( = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120 \)
120'nin 3 basamaklı en küçük katı 120, en büyük katı 960'tır.
Bulduğumuz sayılar \( x + 4 \) değerleri olduğu için, \( x \)'in 3 basamaklı en küçük değeri \( 120 - 4 = 116 \), 3 basamaklı en büyük değeri \( 960 - 4 = 956 \) olur.
Bu iki değerin toplamı \( 116 + 956 = 1072 \) olarak bulunur.