Faktöriyel

\( n \in \mathbb{N} \) olmak üzere, \( 1 \)'den \( n \)'ye kadar olan doğal sayıların çarpımına \( n \)'nin faktöriyeli ya da \( n \) faktöriyel denir ve \( n! \) şeklinde gösterilir.

Kesirli ve negatif sayıların faktöriyeli olmaz.

Sıfır faktöriyel tanım gereği 1 olarak kabul edilir. Bu genel kabulün farklı sebepleri olsa da, önemli bir tanesi faktöriyelin önemli kullanım alanlarından biri olan permütasyonda "sıfır" nesnenin tek "bir" farklı permütasyon oluşturmasıdır.

İki sayının faktöriyelleri birbirine eşitse bu iki sayı birbirine eşittir. Bunun tek istisnası faktöriyelleri bire eşit olan 0 ve 1 sayılarıdır.

Bir sayının faktöriyeli kendisinden daha küçük sayıların faktöriyeline indirgenebilir.

Bazı Kurallar

\( n \) bir asal sayı olmak üzere, \( (n - 1)! \)'in \( n \) ile bölümünden kalan \( n - 1 \)'dir.

Çift Faktöriyel

Çok sık kullanılmasa da bilgi olarak çift faktöriyel kavramından kısaca bahsedelim.

Çift faktöriyel normal faktöriyele benzer şekilde 1'den o sayıya kadarki sayıların çarpımına eşittir. Çift faktöriyelin normal faktöriyelden farkı sadece teklik/çiftlik durumu faktöriyeli alınan sayı ile aynı olan sayıların çarpıma dahil edilmesidir.

Bir sayının çift faktöriyeli iki ünlem işareti ile \( n!! \) şeklinde gösterilir.

Bir tam sayının faktöriyelini aşağıdaki gibi iki çift faktöriyelin çarpımı şeklinde yazabiliriz.

Faktöriyel Kullanım Alanları

Faktöriyel matematikte karşımıza aşağıdaki konularda sıklıkla çıkmaktadır:

  • \( n \) nesnenin farklı diziliş sayısı (permütasyon)
  • \( n \) nesne içinden \( k \) nesnenin farklı seçim sayısı (kombinasyon)
  • \( n \) elemanlı bir kümenin \( k \) elemanlı alt kümelerinin sayısı
  • \( n \). dereceden bir binom ifadenin \( k \). teriminin katsayısı
SORU:

\( 10! = A \) ise \( 12! - 11! \) sayısının \( A \) cinsinden eşiti nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( 0! + 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + \ldots + 32! \)

sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( x \) ve \( y \) birer doğal sayıdır.

\( x! = 24 \cdot y! \) ise \( y \) kaç farklı değer alabilir?

Çözümü Göster


SORU:

\( 20 \cdot 22 \cdot 24 \cdot \ldots \cdot 58 \cdot 60 \) çarpımının eşiti nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( \dfrac{1}{A} \div (\dfrac{3}{4!} - \dfrac{2}{5!} + \dfrac{2}{6!}) \)

ifadesinin tam sayı olması için \( A \)'nın en büyük pozitif tam sayı değeri kaçtır?

Çözümü Göster


« Önceki
EBOB/EKOK Problemleri
Sonraki »
Bir Faktöriyelde Bulunan Çarpan Sayısı


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır