\( n \in \mathbb{N} \) olmak üzere, \( 1 \)'den \( n \)'ye kadar olan doğal sayıların çarpımına \( n \)'nin faktöriyeli ya da \( n \) faktöriyel denir ve \( n! \) şeklinde gösterilir.
Kesirli ve negatif sayıların faktöriyeli olmaz.
Sıfır faktöriyel tanım gereği 1 olarak kabul edilir. Bu genel kabulün farklı sebepleri olsa da, önemli bir tanesi faktöriyelin önemli kullanım alanlarından biri olan permütasyonda "sıfır" nesnenin tek "bir" farklı permütasyon oluşturmasıdır.
İki sayının faktöriyelleri birbirine eşitse bu iki sayı birbirine eşittir. Bunun tek istisnası faktöriyelleri bire eşit olan 0 ve 1 sayılarıdır.
Bir sayının faktöriyeli kendisinden daha küçük sayıların faktöriyeli cinsinden yazılabilir.
Çok sık kullanılmasa da bilgi olarak çift faktöriyel kavramından kısaca bahsedelim.
Çift faktöriyel normal faktöriyele benzer şekilde 1'den o sayıya kadarki sayıların çarpımına eşittir. Çift faktöriyelin normal faktöriyelden farkı sadece teklik/çiftlik durumu faktöriyeli alınan sayı ile aynı olan sayıların çarpıma dahil edilmesidir.
Bir sayının çift faktöriyeli iki ünlem işareti ile \( n!! \) şeklinde gösterilir.
Bir tam sayının faktöriyelini aşağıdaki gibi iki çift faktöriyelin çarpımı şeklinde yazabiliriz.
Faktöriyel matematikte karşımıza aşağıdaki konularda sıklıkla çıkmaktadır.
SORU 1:
\( 10! = A \) ise \( 12! - 11! \) sayısının \( A \) cinsinden eşiti nedir?
Çözümü Göster
Verilen işlemi \( 10! \) cinsinden yazalım.
\( 12! - 11! = 10! \cdot 11 \cdot 12 - 10! \cdot 11 \)
\( = 10! \cdot 11 \cdot (12 - 1) \)
\( = 10! \cdot 11 \cdot 11 \)
\( = 121 \cdot A \) bulunur.
SORU 2:
\( \dfrac{(5!)!}{(11^2)!} \) ifadesinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
İlk önce parantez içindeki işlemleri yapalım.
\( \dfrac{(5!)!}{(11^2)!} = \dfrac{(120)!}{(121)!} \)
\( = \dfrac{120!}{121 \cdot 120!} \)
\( = \dfrac{1}{121} \) bulunur.
SORU 3:
\( 0! + 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + \ldots + 32! \)
sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?
Çözümü Göster
\( 5! = 120 \) olduğu için 5'ten büyük tüm sayıların faktöriyellerinin birler basamağı da sıfır olur.
Dolayısıyla verilen toplamın sonucunun birler basamağı \( 0! + 1! + 2! + 3! + 4! \) toplamının birler basamağına eşittir.
\( 0! + 1! + 2! + 3! + 4! \) \( = 1 + 1 + 2 + 6 + 24 = 34 \)
Buna göre ifadenin birler basamağındaki rakam 4 olur.
SORU 4:
\( x \) ve \( y \) birer doğal sayıdır.
\( x! = 24 \cdot y! \) ise \( y \) kaç farklı değer alabilir?
Çözümü Göster
\( x = 24 \) ve \( y = 23 \) olabilir.
\( 24! = 24 \cdot 23! \)
\( x = 4 \) ve \( y = 1 \) olabilir.
\( 4! = 24 \cdot 1! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1! \)
\( x = 4 \) ve \( y = 0 \) olabilir.
\( 4! = 24 \cdot 0! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0! \)
O halde, \( y \) 0, 1 ve 23 olmak üzere üç farklı değer alabilir.
SORU 5:
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( 6! \cdot 11! = 60 \cdot n! \) eşitliğinde \( n \) kaçtır?
Çözümü Göster
Eşitliğin sol tarafını sağ tarafına benzetmeye çalışalım.
\( 6! \cdot 11! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 11! \)
\( = (6 \cdot 5 \cdot 2) \cdot (4 \cdot 3) \cdot 11! \)
\( = 60 \cdot 12 \cdot 11! \)
\( = 60 \cdot 12! \)
\( n = 12 \) bulunur.
SORU 6:
\( 72 \cdot x! = y! \) eşitliğinde \( x \)'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Bu eşitlik iki şekilde sağlanır.
Çözüm 1:
\( 72 \cdot 71! = 72! \)
\( x = 71, \quad y = 72 \)
Çözüm 2:
\( 9 \cdot 8 \cdot x! = y! \)
\( 9 \cdot 8 \cdot 7! = 9! \)
\( x = 7, \quad y = 9 \)
\( x \)'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı \( 71 + 7 = 78 \) olarak bulunur.
SORU 7:
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (2n)! + (2n - 1)! = (2n - 2)! \cdot 15 \)
eşitliğini sağlayan \( n \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Tüm terimleri \( (2n - 2)! \) cinsinden yazalım.
\( (2n - 2)! \cdot (2n - 1) \cdot 2n + (2n - 2)! \cdot (2n - 1) = (2n - 2)! \cdot 15 \)
Eşitliğin sol tarafını \( (2n - 2)! \cdot (2n - 1) \) parantezine alalım.
\( (2n - 2)! \cdot (2n - 1) \cdot (2n + 1) = (2n - 2)! \cdot 15 \)
\( (2n - 2)! \ne 0 \) olduğu için \( (2n - 2)! \) çarpanları sadeleşebilir.
\( (2n - 1)(2n + 1) = 15 \)
\( 4n^2 - 1 = 15 \)
\( n^2 = 4 \)
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olduğu için \( n = 2 \) bulunur.
SORU 8:
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (n + 1)! + (n + 2)! = 195 \cdot n! \) eşitliği veriliyor.
Buna göre, \( n \) tam sayısı kaça eşittir?
Çözümü Göster
\( (n + 1)! + (n + 2)! \) ifadesini \( n! \) cinsinden yazalım.
\( (n + 1)! + (n + 2)! = 195 \cdot n! \)
\( (n + 1)n! + (n + 2)(n + 1)n! = 195 \cdot n! \)
\( n!((n + 1) + (n + 2)(n + 1)) = 195 \cdot n! \)
\( (n + 1) + (n + 2)(n + 1) = 195 \)
\( n + 1 + n^2 + 3n + 2 = 195 \)
\( n^2 + 4n - 192 = 0 \)
İkinci dereceden denklemlerin kök formülü ile kökleri bulalım.
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784 \)
\( n_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( = \dfrac{-4 \pm \sqrt{784}}{2} \)
\( = \dfrac{-4 \pm 28}{2} \)
\( = -2 \pm 14 \)
\( n = 12 \) veya \( n = -16 \)
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olduğu için \( n = 12 \) bulunur.
SORU 9:
\( 20 \cdot 22 \cdot 24 \cdot \ldots \cdot 58 \cdot 60 \) çarpımının eşiti nedir?
Çözümü Göster
20-60 arası ardışık çift sayıların terim sayısını bulalım.
\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Ortak fark}} + 1 \)
\( = \dfrac{60 - 20}{2} + 1 = 21 \)
Bu 21 çarpanın tümünün içindeki birer tane 2 çarpanını ayırırsak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz.
\( 2^{21} \cdot (10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot \ldots \cdot 30) \)
Parantez içindeki ifadeyi faktöriyel şeklinde yazalım.
\( = 2^{21} \cdot \dfrac{30!}{9!} \) bulunur.
SORU 10:
\( \dfrac{1}{A} \div (\dfrac{3}{4!} - \dfrac{2}{5!} + \dfrac{2}{6!}) \)
ifadesinin tam sayı olması için \( A \)'nın en büyük pozitif tam sayı değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Paydaları eşitleyelim.
\( \dfrac{1}{A} \div (\dfrac{3 \cdot 5 \cdot 6}{6!} - \dfrac{2 \cdot 6}{6!} + \dfrac{2}{6!}) \)
\( = \dfrac{1}{A} \div (\dfrac{90 - 12 + 2}{6!}) \)
\( = \dfrac{1}{A} \cdot \dfrac{6!}{80} \)
\( = \dfrac{1}{A} \cdot \dfrac{720}{80} = \dfrac{9}{A} \)
İfadenin tam sayı olabilmesi için \( A \)'nın en büyük pozitif tam sayı değeri 9 olur.
SORU 11:
\( 21! + 7 \lt x \lt 21! + 18 \)
aralığında bulunan \( x \) tam sayılarından kaçı asal sayıdır?
Çözümü Göster
Asal sayılar sadece kendisine ve 1'e kalansız bölünebilen 1'den büyük pozitif tam sayılardır.
Verilen aralıktaki tam sayıları incelediğimizde, sayıların tümü ortak çarpan parantezine alınabilir durumdadır, dolayısıyla hiçbiri asal değildir.
Örneğin \( 21! + 7 \) ifadesi 7 parantezine, \( 21! + 18 \) ifadesi de 18 parantezine alınabilir.
Bu nedenle cevap 0'dır.
SORU 12:
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( 3^n \) ifadesinin \( 28! + 29! + 30! \) toplamının bir çarpanı olması için \( n \) en büyük kaç olabilir?
Çözümü Göster
\( 28! + 29! + 30! \) ifadesinde kaç tane 3 çarpanı olduğunu bulalım.
\( 28! + 29! + 30! = 28! + 28! \cdot 29 + 28! \cdot 29 \cdot 30 \)
\( = 28! + 28! \cdot 29 + 28! \cdot 870 \)
Terimleri \( 28! \) parantezine alalım.
\( = 28! \cdot (1 + 29 + 870) \)
\( = 28! \cdot 900 = 28! \cdot 3^2 \cdot 10^2 \)
\( 28! \) ifadesinde kaç tane 3 çarpanı olduğunu bulalım.
\( 28! \) sayısının içinde:
3'ün her katı için \( \floor{28 / 3} = 9 \) tane
9'un her katı için \( \floor{9 / 3} = 3 \) tane daha
27'nin her katı için \( \floor{3 / 3} = 1 \) tane daha
Toplamda \( 9 + 3 + 1 = 13 \) tane 3 çarpanı vardır.
\( 3^2 \) ifadesinde de 2 tane 3 çarpanı bulunduğu için \( 28! \cdot 3^2 \cdot 10^2 \) ifadesinde toplam \( 13 + 2 = 15 \) tane 3 çarpanı bulunur.
Buna göre \( n \) en büyük 15 olabilir.