0 ve 1 sayıları ne asaldır ne de bileşiktir. En küçük asal sayı 2, en küçük bileşik sayı 4'tür. 1'den büyük her tam sayı ya asal ya da bileşiktir.
Aşağıda bazı sayıların asal/bileşik olma durumları ve bileşik ise 1 ve kendisi dışındaki çarpanları verilmiştir:
Asal ve bileşik sayılarla ilgili diğer bazı önemli bilgiler aşağıda verilmiştir.
Sonsuz sayıda asal sayı vardır.
100'e kadar olan ilk 25 asal sayı aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiştir. Asal sayıların 1 ve kendisi dışında iki doğal sayının çarpımı şeklinde yazılamadığı, bileşik sayıların ise yazılabildiği bilgisi doğrultusunda tablodaki sayıların incelenmesinde bu önemli konuyu pekiştirmek adına fayda görüyoruz.
SORU 1:
\( a \) ve \( b \) doğal sayılar olmak üzere,
\( a^2 - b^2 = 13 \) olduğuna göre, \( a \cdot b \) kaçtır?
Çözümü Göster
Asal sayılar çarpanlarla ilgili bir konu olduğu için, bu tip sorularda ilk aklımıza gelmesi gereken konulardan biri ifadeleri çarpanlarına ayırmak olmalıdır. Bir özdeşlik olan ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( a^2 - b^2 = 13 \)
\( (a - b)(a + b) = 13 \)
\( a \) ve \( b \) birer doğal sayı olduğu için, toplamları bir doğal sayı, farkları da bir tam sayı olmak zorundadır. İki ifadenin çarpımı bir asal sayı olan 13 oluyorsa, sayıların farkları 1, toplamları da 13 olmak zorundadır (sayıların doğal sayı değil tam sayı olduğu belirtilseydi, fark ve toplam ifadelerinin ikisi de 1 ya da 13 olabilirdi).
\( a - b = 1 \)
\( a + b = 13 \)
Bu iki denklemi ortak çözersek \( a = 7 \), \( b = 6 \) ve \( a \cdot b = 42 \) buluruz.
SORU 2:
\( a \) ve \( b \) asal sayılardır.
\( a + b = 199 \) olduğuna göre, bu sayılardan büyük olan kaçtır?
Çözümü Göster
2 dışındaki tüm asal sayılar tek sayıdır, dolayısıyla iki asal sayının toplamı tek sayı ise sayılardan biri kesinlikle 2'dir.
Sayılardan biri 2 olduğuna göre diğeri (yani büyük olanı) 197 olur.
SORU 3:
\( a \), \( b \) ve \( c \) asal sayılar olmak üzere,
\( a^3 - b^3 = c \) olduğuna göre, \( c \) kaçtır?
Çözümü Göster
Soldaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( a^3 - b^3 = c \)
\( (a - b)(a^2 + ab + b^2) = c \)
\( c \) bir asal sayı olduğu için, çarpanları sadece 1 ve kendisi olabilir. Sayılar birer asal sayı (ve aynı zamanda pozitif sayı) olduğu için fark ifadesi 1 olmalıdır.
\( a - b = 1 \)
\( a \) ve \( b \) de birer asal sayı oldukları için, farkı 1 olan iki asal sayı sadece 3 ve 2 olabilir.
\( a = 3 \)
\( b = 2 \)
Buna göre \( c \) sayısını aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz.
\( c = a^3 - b^3 = 3^3 - 2^3 = 19 \)
SORU 4:
\( 236460 \) ve \( 236466 \) arasında sadece bir asal sayı olduğuna göre bu sayı kaçtır?
Çözümü Göster
Birler basamağı \( \{0, 2, 4, 6\} \) olduğunda sayı 2'ye bölünür.
Birler basamağı \( \{0, 5\} \) olduğunda sayı 5'e bölünür.
Birler basamağı \( \{3, 6\} \) olduğunda sayı 3'e bölünür.
Geriye tek bir seçenek kaldığı için, birler basamağı \( 1 \) olduğunda sayı asal olur.
SORU 5:
\( a \) ve \( b \) asal sayılardır.
\( a - b = 2999 \) olduğuna göre, \( a + b \) kaçtır?
Çözümü Göster
2 dışındaki tüm asal sayılar tek sayıdır, dolayısıyla iki asal sayının farkı tek sayı ise sayılardan biri kesinlikle 2'dir.
Buna göre \( a = 3001 \) ve \( b = 2 \) olur.
\( a + b = 3001 + 2 = 3003 \) bulunur.
SORU 6:
\( x \) bir asal sayı olmak üzere,
\( \dfrac{222^2 + 333^2}{x} \) kesrini tam sayı yapan farklı \( x \) sayılarının toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
\( \dfrac{222^2 + 333^2}{x} \) \( = \dfrac{(2 \cdot 111)^2 + (3 \cdot 111)^2}{x} \)
\( = \dfrac{4 \cdot 111^2 + 9 \cdot 111^2}{x} \)
\( = \dfrac{13 \cdot 111^2}{x} = \dfrac{13 \cdot 3^2 \cdot 37^2}{x} \)
Buna göre verilen kesrin bir tam sayı olması için \( x \in \{3, 13, 37\} \) asal sayı değerlerini alabilir.
\( 3 + 13 + 37 = 53 \) bulunur.
SORU 7:
\( a \) bir asal sayı olmak üzere,
\( \dfrac{3a + 369}{a} \) ifadesinin sonucu bir tam sayı olduğuna göre, \( a \)'nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
\( \dfrac{3a + 369}{a} = \dfrac{3a}{a} + \dfrac{369}{a} \)
İlk terim bir tam sayı olan 3 olduğu için ikinci terimi tam sayı yapan \( a \) değerlerini bulalım.
\( \dfrac{369}{a} = \dfrac{3^2 \cdot 41}{a} \)
\( a \) bir asal sayı olduğu için, alabileceği değerler paydaki ifadenin asal çarpanları olan \( \{3, 41\} \) değerleridir.
\( 3 + 41 = 44 \) bulunur.
SORU 8:
\( p \) ve \( q \) asal sayılar olmak üzere,
\( p^2 \cdot q = p \cdot q^2 - 520 \) olduğuna göre, \( q \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( p^2 \cdot q = p \cdot q^2 - 520 \)
\( p \cdot q^2 - p^2 \cdot q = 520 \)
\( p \cdot q \cdot (q - p) = 2^3 \cdot 5 \cdot 13 \)
\( 2^3 + 5 = 13 \) eşitliğini kullanırsak verilen eşitliği sağlayan \( q \) değeri \( q = 13 \) olur.
SORU 9:
\( x, y, z \) asal sayılar olmak üzere,
\( x = (y - z)(y^2 + z^2) \) olduğuna göre, \( x + y + z\) kaçtır?
Çözümü Göster
\( x \)'in asal sayı olabilmesi için verilen eşitlikteki çarpanlardan biri 1 olmalıdır, aksi takdirde \( x \) 1'den farklı iki sayının çarpımı olacağı için bir bileşik sayı olur.
\( y^2 + z^2 \) ifadesi 1'den büyük olacağı için \( y - z = 1 \) olur.
2 dışındaki tüm asal sayılar tek sayıdır, dolayısıyla iki asal sayının farkı tek sayı ise sayılardan biri kesinlikle 2'dir.
Buna göre \( z = 2 \) ve \( y = 3 \) olmak zorundadır.
\( x = (y - z)(y^2 + z^2) \)
\( x = (3 - 2)(3^2 + 2^2) = 13 \)
\( x + y + z = 13 + 3 + 2 = 18 \) bulunur.
SORU 10:
\( \dfrac{x}{3} \), \( \dfrac{y}{3} \) ve \( \dfrac{x + y}{3} \) asal sayılar olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri her zaman doğrudur?
I. \( x \cdot y \) asal sayı değildir.
II. \( \dfrac{x^2 + y^2}{9} \) asal sayıdır.
III. \( \dfrac{x - y}{3} \) asal sayıdır.
Çözümü Göster
I. öncül: \( x \) ve \( y \) sayıları birer asal sayı ile 3'ün çarpımına eşittir. Buna göre \( x \cdot y \) iki asal sayı ile 9'un çarpımına eşit olur. 9 çarpanı 3'e bölündüğü için \( x \cdot y \) asal olamaz. I. öncül doğrudur.
II. öncül: \( \dfrac{x^2 + y^2}{9} \) ifadesi \( \dfrac{x}{3} \) ve \( \dfrac{y}{3} \) sayılarının kareleri toplamına eşittir. 2 dışındaki tüm asal sayılar tek sayıdır ve kareleri de tektir. Buna göre sayılardan biri 2 olmadığı sürece iki asal sayının kareleri toplamı çift sayı olur ve asal olmaz. II. öncül her zaman doğru değildir.
III. öncül: İki asal sayının farkı asal sayı olmak zorunda değildir. III. öncül yanlıştır.
Buna göre sadece I. öncül her zaman doğrudur.
SORU 11:
\( a \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2a^2 + 17a + 21 = b \)
\( b \) bir asal sayı olduğuna göre, \( a \)'nın alabileceği değerler çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( (2a + 3)(a + 7) = b \)
\( a \) tam sayı olduğu için eşitliğin solundaki iki çarpan da tam sayı olur. İki tam sayının çarpımının asal sayı olduğu dört durum vardır.
1. durum: \( 1 \cdot b = b \)
\( 2a + 3 = 1 \Longrightarrow a = -1 \)
\( a + 7 = -1 + 7 = 6 = b \)
Bulduğumuz \( b = 6 \) değeri asal sayı olmadığı için \( a = -1 \) geçerli bir çözüm değildir.
2. durum: \( -1 \cdot (-b) = b \)
\( 2a + 3 = -1 \Longrightarrow a = -2 \)
\( a + 7 = -2 + 7 = 5 = -b \)
Bulduğumuz \( b = -5 \) değeri asal sayı olmadığı için \( a = -2 \) geçerli bir çözüm değildir.
3. durum: \( b \cdot 1 = b \)
\( a + 7 = 1 \Longrightarrow a = -6 \)
\( 2a + 3 = -12 + 3 = -9 = b \)
Bulduğumuz \( b = -9 \) değeri asal sayı olmadığı için \( a = -6 \) geçerli bir çözüm değildir.
4. durum: \( -b \cdot (-1) = b \)
\( a + 7 = -1 \Longrightarrow a = -8 \)
\( 2a + 3 = -16 + 3 = -13 = -b \)
Bulduğumuz \( b = 13 \) değeri asal sayı olduğu için \( a = -8 \) geçerli bir çözümdür.
Buna göre \( a \)'nın alabileceği tek değer \( -8 \)'dir.
SORU 12:
\( m \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( m^6 + 10m^3 + 9 \) ifadesinin tek/çift olma ve asal olup olmama durumlarını inceleyin.
Çözümü Göster
İfadenin tek/çift olma durumunu inceleyelim.
\( m \)'nin tek sayı değerleri için \( m^6 \) tek, \( 10m^3 \) çift olur, dolayısıyla \( m^6 + 10m^3 + 9 \) ifadesi çift olur.
\( m \)'nin çift sayı değerleri için \( m^6 \) ve \( 10m^3 \) çift olur, dolayısıyla \( m^6 + 10m^3 + 9 \) ifadesi tek olur.
\( m \)'nin tek/çift olma durumuna göre verilen ifadenin tek/çift olma durumu değişeceği için ifadenin tek mi çift mi olduğunu kesin olarak söyleyemeyiz.
İfadenin asal olup olmama durumunu inceleyelim.
İfadeyi tam kare haline getirmek için 16 ekleyelim ve çıkaralım.
\( m^6 + 10m^3 + 9 + 16 - 16 = m^6 + 10m^3 + 25 - 16 \)
\( = (m^3 + 5)^2 - 16 = (m^3 + 5)^2 - 4^2 \)
Kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = (m^3 + 5 - 4)(m^3 + 5 + 4) \)
\( = (m^3 + 1)(m^3 + 9) \)
Verilen ifadeyi iki farklı ifadenin çarpımı şeklinde yazabildiğimiz için ifade kesinlikle asal değildir. \( m = 0 \) olduğu durumda ikinci çarpan olan 9 asal olmadığı için \( m = 0 \) için de bu sonuç geçerlidir.
SORU 13:
Güney aklından bir sayı tutuyor. Arkadaşı Burak hangi sayıyı tuttuğunu sorunca Güney aşağıdaki bilgiyi veriyor.
"Tuttuğum sayı 0'dan büyük 30'dan küçük ve iki farklı asal sayının çarpımından oluşuyor."
Buna göre Güney'in aklından tuttuğu sayının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
20'den küçük asal sayılar aşağıdaki gibidir.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
0 ve 30 arasında ve bu listedeki iki sayının çarpımına eşit olan sayılar aşağıdaki gibidir.
\( 2 \cdot 3 = 6 \)
\( 2 \cdot 5 = 10 \)
\( 2 \cdot 7 = 14 \)
\( 2 \cdot 11 = 22 \)
\( 2 \cdot 13 = 26 \)
\( 3 \cdot 5 = 15 \)
\( 3 \cdot 7 = 21 \)
Bu sayıların toplamı 114 olur.
SORU 14:
Aynı ya da farklı iki tane asal sayının çarpımı şeklinde yazılabilen pozitif tam sayılara yarı asal sayı denir.
Yukarıda verilen tanıma göre 30'dan küçük kaç tane yarı asal sayı vardır?
Çözümü Göster
İlk birkaç asal sayıyı listeleyelim.
\( 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... \)
Verilen tanımı sağlayan 10 tane yarı asal sayı vardır.
\( 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26 \)
