En Büyük Ortak Bölen (EBOB)

Tümü birlikte sıfır olmamak koşuluyla, iki ya da daha fazla tam sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne en büyük ortak bölen (EBOB) ya da ortak bölenlerin en büyüğü (OBEB) denir.

Tam sayıların her pozitif böleni için bir negatif böleni vardır. EBOB için ortak bölenlerin en büyüğünü bulmamız gerektiği için sayıların sadece pozitif bölenlerini dikkate almamız yeterlidir.

Buna göre, aşağıda sayıların EBOB'ları aynıdır.

EBOB'un birkaç kullanım alanı aşağıdaki gibidir:

  • Bir kesirin pay ve paydası bu iki sayının EBOB'una bölünerek tek adımda sadeleştirilebilir.
  • Çok terimli cebirsel ifadelerin terimleri katsayılarının EBOB'u parantezine alınabilir.

Sayıların EBOB'unu Bulma

İki ya da daha fazla sayının EBOB'unu üç farklı yöntemle bulabiliriz.

Bölen Listesi Yöntemi

Bir sayıyı bölen listesi yöntemi ile asal çarpanlarına nasıl ayırabileceğimizi önceki bölümde görmüştük. İki ya da daha fazla sayının EBOB'unu da benzer bir yöntemle bulabiliriz.

  1. Önce EBOB'unu bulmak istediğimiz sayıları ilk satıra iki sütun halinde yazarak sağına dikey bir çizgi çizeriz.
  2. Denemeye en küçük asal sayı olan 2'den başlayarak, bu asal sayının bu iki sayıdan en az birini kalansız bölüp bölmediğini kontrol ederiz.
  3. Eğer denediğimiz asal sayı bu iki sayıdan en az birini kalansız bölüyorsa bu asal sayıyı dikey çizginin sağındaki sütuna yazarız. Eğer bu asal sayı o satırdaki tüm sayıları aynı anda kalansız bölüyorsa yanına bir yıldız koyarız.
  4. Birinci sütundaki sayının bu asal sayıya kalansız bölünüp bölünmediğine bakarız. Eğer kalansız bölünüyorsa bölümü aynı sütunda sayının altına yeni bir satıra yazarız. Eğer kalansız bölünmüyorsa sayıyı bölme işlemi yapmadan olduğu gibi alt satıra taşırız. Aynı işlemi ikinci sütundaki sayı için de yaparız.
  5. Her yeni satır için 2., 3. ve 4. adımları tekrarlarız. Denemeye her yeni satırda bir önceki satırda kullandığımız asal sayı ile devam ederiz. Eğer son satırda kullandığımız asal sayı bu satırdaki sayılardan en az birini kalansız bölmüyorsa bu sayıdan büyük bir sonraki asal sayıyı deneyerek devam ederiz.
  6. Herhangi bir sütunda 1 sayısına ulaştığımızda o sütun için bölme işlemleri tamamlanmıştır. Çizginin solundaki sayıların tümü 1 olduğunda EBOB bulma işlemi tamamlanmıştır.
  7. Çizginin sağındaki sütundaki sayılardan yanlarında yıldız olanlar bulmak istediğimiz EBOB değerinin asal çarpanlarıdır. Bu sayıları çarptığımızda sayıların EBOB'unu bulmuş oluruz.

Bu yöntemi kullanarak 84 ve 120 sayılarının EBOB'unu aşağıdaki şekilde bulabiliriz.

Bölen listesi ile EBOB bulma
Bölen listesi ile EBOB bulma

Asal Çarpan Listesi Yöntemi

Kullanabileceğimiz ikinci yöntem aşağıdaki gibidir.

  1. EBOB'un bulmak istediğimiz sayıları önce ayrı ayrı asal çarpanlarına ayırırız ve alt alta asal çarpan listesi şeklinde yazarız.
  2. Daha sonra her asal çarpan için sayıların asal çarpan listelerindeki en küçük kuvveti alırız.
  3. Tüm asal çarpanların elde ettiğimiz bu en küçük kuvvetlerle asal çarpan listesi şeklinde yazılışı bulmak istediğimiz EBOB değerinin asal çarpanlarıdır. Bu sayıları çarptığımızda sayıların EBOB'unu bulmuş oluruz.

Aşağıda bu yöntem aynı 84 ve 120 sayıları için gösterilmiştir. Burada 2 ve 5 asal çarpanlarının daha küçük kuvvetleri 84 sayısından, 7 asal çarpanının daha küçük kuvveti 120 sayısından gelmektedir. 3 asal çarpanının kuvveti her iki sayıda da aynı olduğu için küçük kuvvet iki sayıdan da gelmektedir.

Asal çarpan listesi ile EBOB bulma
Asal çarpan listesi ile EBOB bulma

84 ve 120’nin ortak bölenleri ve en büyük ortak böleni (EBOB) aşağıda gösterilmiştir. Görülebileceği gibi, iki sayının toplam 6 ortak böleni vardır (1, 2, 3, 4, 6, 12) ve bunların en büyüğü (EBOB) yukarıdaki iki yöntemde de bulduğumuz gibi 12'dir.

Ortak bölenler
Ortak bölenler

İki sayının tüm ortak bölenleri aynı zamanda iki sayının EBOB'unun da birer bölenidir. Dolayısıyla, iki sayının tüm ortak bölenlerini bulmak için bu iki sayının EBOB'unun bölenlerini bulabiliriz.

Öklid Algoritması

İki sayının EBOB'unu bulmak için kullanabileceğimiz oldukça hızlı bir yöntem de Öklid algoritmasıdır. Bu yöntemin işleyişini yine 84 ve 120 sayıları üzerinden anlatalım.

  1. Büyük olan 120 sayısını küçük olan 84'e bölelim. Kalan 36 olacaktır (\( 120 = 1 \cdot 84 + 36 \)).
  2. Bir önceki adımdaki bölen (84) ve kalan (36) sayılar arasında aynı işlemi tekrarlayalım. 84'ü 36'ya böldüğümüzde kalan 12 olacaktır (\( 84 = 2 \cdot 36 + 12 \)).
  3. Bir önceki adımdaki bölen (36) ve kalan (12) sayılar arasında aynı işlemi tekrarlayalım. 36'yı 12'ye böldüğümüzde kalan sıfır olacaktır (\( 36 = 3 \cdot 12 + 0 \)). Sıfıra ulaştığımız için bu adımdaki bölen sayı bulmak istediğimiz EBOB değeridir.

Gördüğümüz gibi, oldukça hızlı bir şekilde yukarıdaki yöntemlerle bulduğumuz aynı 12 cevabına ulaşmış olduk.

Öklid algoritması diğer iki yöntemden farklı olarak sadece iki sayı arasında uygulanabilir, ancak aşağıda göreceğimiz üzere EBOB işleminin birleşme özelliği vardır ve Öklid algoritmasını önce iki sayı arasında, daha sonra bulduğumuz EBOB değeri ve bir üçüncü sayı arasında uygulayarak üç sayının EBOB değerini bulabiliriz. Bu yöntemi üçten daha fazla sayıya da uygulayabiliriz.

SORU:

360, 378 ve 660 sayılarının EBOB'unu Öklid algoritması ile bulalım.

Çözümü Göster

EBOB İşlem Özellikleri

EBOB işleminin değişme özelliği vardır:

EBOB işleminin birleşme özelliği vardır. Buna göre, üç sayının EBOB'u herhangi iki sayının EBOB'unun üçüncü sayı ile EBOB'una eşittir.

EBOB İşlem Kuralları

Tüm sayıların \( 1 \) ve \( -1 \) ile EBOB'u 1'dir.

Tüm sayıların \( 0 \) ile EBOB'u sayının mutlak değerine eşittir.

Bir sayının kendisi ya da ters işaretlisi ile EBOB'u sayının mutlak değerine eşittir.

Aralarında asal sayıların ortak bölenleri olmadığı için, EBOB'ları 1'e eşittir. Bu ifadenin karşıtı da doğrudur, yani iki ya da daha fazla sayının EBOB'ları 1 ise bu sayılar aralarında asaldır.

Ardışık iki pozitif tam sayı her zaman aralarında asal oldukları için, EBOB'ları \( 1 \)'dir.

Ardışık iki pozitif tek sayı her zaman aralarında asal oldukları için, EBOB'ları \( 1 \)'dir.

Ardışık iki pozitif çift sayının en büyük ortak böleni sayıların arasındaki fark olan 2 olacağı için, EBOB'ları \( 2 \)'dir.

\( a \) sayısı \( b \) sayısının bir böleni ise bu iki sayının EBOB'ları \( a \)'nın mutlak değerine eşittir.

İki ya da daha fazla sayının bir tam sayı \( k \) katının EBOB'u, bu sayıların EBOB'unun \( \abs{k} \) katına eşittir. Bunun sebebi, tüm sayıları \( k \) ile çarparsak, sayıların tüm bölenleri de \( k \) ile çarpılmış olacaktır.

\( k \) sayısı, \( a \) ve \( b \) sayılarının bir ortak böleni olmak üzere, bu iki sayının \( k \)'ya bölümlerinin EBOB'u, bu sayıların EBOB'unun \( \abs{k} \)'ya bölümüne eşittir. Bunun sebebi, tüm sayıları \( k \)'ya bölersek, sayıların tüm bölenleri de \( k \)'ya bölünmüş olacaktır.

Yukarıda bahsettiğimiz Öklid algoritmasının bir uzantısı olarak, \( a \) sayısı ile \( b \) sayısının bir tam sayı katını toplarsak, \( a \) ve \( b \) sayılarının EBOB'u değişmez.

Kesirli Sayıların EBOB'u

Kesirli sayıların EBOB'u kesirlerin paylarındaki sayıların EBOB'unun paydalarındaki sayıların EKOK'una oranına eşittir.

SORU:

\( a^2 - b^2 = 891 \)

koşulunu sağlayan \( a \) ve \( b \) doğal sayıları için \( EBOB(a, b) = 9 \) olduğuna göre \( b \) sayısı kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( x \) ve \( y \) doğal sayılar ve \( x \lt y \) olmak üzere,

\( EBOB(x, y) = 15 \)

\( x \cdot y = 2250 \) olduğuna göre,

\( y \)'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Çözümü Göster


« Önceki
Ortak Bölenler ve Katlar
Sonraki »
En Küçük Ortak Kat (EKOK)


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır