Faktöriyel Uygulamaları

Bir Faktöriyelin Sonundaki Sıfır Sayısı

1-100 Arası Faktöriyel Tablosu sayfasında verilen faktöriyel değerlerini incelediğimizde ilk bakışta birkaç nokta dikkatimizi çekecektir.

• 5 ve daha büyük sayıların tümünün faktöriyelleri sıfırla bitmektedir.
• Sayılar büyüdükçe son basamaklardaki sıfır sayısı da artmaktadır.

Hemen dikkatimizi çekmeyebilecek diğer birkaç nokta ise şunlardır.

• Her 5 sayıda bir faktöriyel değerinin sonuna bir sıfır eklenmektedir (5!, 10!, 15!, 20!, ...).
• Her 25 sayıda bir faktöriyel değerinin sonuna iki sıfır eklenmektedir (25!, 50!, 75!, 100!, ...).
• Tablo o sayılara çıkmasa da her 125 sayıda bir faktöriyel değerinin sonuna üç sıfır eklenmektedir (125!, 250!, 375!, 500!, ...).

Bunun sebebini şu şekilde açıklayabiliriz: Bir sayının sonuna sıfır eklenmesi için o sayıyı 10 ile çarpmamız gerekir. 10 sayısı 2 ve 5 asal çarpanlarından oluştuğu için bir sayının asal çarpan listesine eklenecek her ek 2 ve 5 çarpanı ile sayının sonuna yeni bir sıfır eklenir.

Buna göre, bir faktöriyelin içinde 2 ve 5 asal çarpanlarından hangisi daha az sayıda bulunuyorsa sayı o kadar 10 çarpanı içerir, dolayısıyla sonunda o kadar sıfır bulunur. Önceki bölümde gördüğümüz asal çarpanların kuvvetleri kuralına göre, bir sayının faktöriyeli içinde 5 çarpanı 2 çarpanından daha az ya da ona eşit sayıda bulunur. Bu yüzden bir faktöriyelin sonundaki sıfır sayısı o faktöriyelin içindeki 5 çarpanı sayısına eşittir.

Bir faktöriyelin içinde bulunan 5 çarpanı sayısını bulmak için önceki Bir Faktöriyelde Bulunan Çarpan Sayısı bölümünde öğrendiğimiz yöntemi kullanabiliriz.

\( A! - 1 \) Şeklindeki İfadelerin Sonundaki Dokuz Sayısı

Benzer bir soru bir faktöriyelin bir eksiğinin sondan kaç basamağının dokuz olduğu şeklinde karşımıza çıkabilir.

Aşağıdaki şekilde görebileceğimiz gibi, \( 50! \) sayısının sonundaki sıfır sayısı \( 50! - 1 \) sayısının sonundaki dokuz sayısına eşittir. Dolayısıyla bir faktöriyelin bir eksiğinin sonundaki dokuz sayısını bulmak için o faktöriyelin sonundaki sıfır sayısını bulmak için kullandığımız yöntemi kullanabiliriz.