Bu bölümde tam sayıların diğer tam sayılara kalanlı ve kalansız bölünebilme özelliklerini inceleyeceğiz.
Yukarıdaki gibi bir bölme işleminin terimleri arasında aşağıdaki matematiksel ilişki vardır.
\( A, B, C, K \in \mathbb{N}, \quad B \ne 0 \) olmak üzere,
\( A = B \cdot C + K \)
123'ün 12'ye bölümünde bölüm 10, kalan 3'tür.
\( 123 = 12 \cdot 10 + 3 \)
Bölme işleminin paylaştırma/gruplara ayırma anlamı olduğu için bu işlemi aşağıdaki basit problemler üzerinden ifade edebiliriz.
Kalan bir bölme işlemi sonucunda paylaştırılamayan/gruplara ayrılamayan miktar anlamına gelir. Kalanın bölene eşit ya da bölenden büyük olması durumunda bu kalan nesnelerin en az bir kez daha paylaştırılması/gruplara ayrılması mümkün olacağı için, bir bölme işleminde kalan bölenden küçük olmak zorundadır.
\( 0 \le K \lt B \)
Bölme işleminde kalan bölümden küçük ise kalan değişmeden bölen ve bölüm aralarında yer değiştirebilirler. Kalanın bölüme eşit ya da bölümden büyük olması durumunda bölen ve bölümün aralarında yer değiştirmesi kalanı da değiştirir.
Bu iki duruma aşağıdaki gibi birer örnek verebiliriz:
Bir bölme işleminde kalan sıfır ise bölünen sayı bölen sayıya tam (kalansız) bölünüyor demektir. Bir diğer ifadeyle, bölünen sayı bölen sayının bir tam sayı katıdır.
\( K = 0 \) ise,
\( A = B \cdot C \)