Bölünebilme

Bu bölümde tam sayıların diğer tam sayılara kalanlı ve kalansız bölünebilme özelliklerini inceleyeceğiz.

Kalanlı Bölme İşlemi

Yukarıdaki gibi bir bölme işleminin terimleri arasında aşağıdaki matematiksel ilişki vardır.

Bölme işleminin paylaştırma/gruplara ayırma anlamı olduğu için bu işlemi aşağıdaki basit problemler üzerinden ifade edebiliriz.

• \( A \) tane cevizi \( B \) kişi arasında paylaştırırsak her kişiye \( C \) ceviz düşer ve \( K \) ceviz artar.
• \( A \) sayıda öğrenci her sırada \( B \) sayıda öğrenci olacak şekilde sıraya girerse toplam \( C \) tam sıra oluşur ve son sırada \( K \) sayıda öğrenci kalır.
• \( A \) tane elmayı her birinde \( B \) adet olacak şekilde kasalara koyarsak toplam \( C \) kasa olur ve \( K \) elma artar.

Kalan bir bölme işlemi sonucunda paylaştırılamayan/gruplara ayrılamayan miktar anlamına gelir. Kalanın bölene eşit ya da bölenden büyük olması durumunda bu kalan nesnelerin en az bir kez daha paylaştırılması/gruplara ayrılması mümkün olacağı için, bir bölme işleminde kalan bölenden küçük olmak zorundadır.

Bölme işleminde kalan bölümden küçük ise kalan değişmeden bölen ve bölüm aralarında yer değiştirebilirler. Kalanın bölüme eşit ya da bölümden büyük olması durumunda bölen ve bölümün aralarında yer değiştirmesi kalanı da değiştirir.

Bu iki duruma aşağıdaki gibi birer örnek verebiliriz:

• 250 TL'yi 12 kişi arasında paylaştırırsak her kişiye 20 TL düşer ve 10 TL artar (\( 250 = 12 \times 20 + 10 \)). Bu örnekte kalan bölümden küçük olduğu için (\( 10 \lt 20 \)) dağıtım işlemini tersine çevirdiğimizde de kalan aynı olacaktır, yani aynı 250 TL'yi 20 kişi arasında paylaştırırsak kişi başına 12 TL düşecektir ve kalan yine 10 TL olacaktır.
• 250 TL'yi bu sefer 30 kişi arasında paylaştırırsak her kişiye 8 TL düşer ve yine 10 TL artar (\( 250 = 30 \times 8 + 10 \)). Bu örnekte kalan bölümden büyük olduğu için (\( 10 \gt 8 \)) dağıtım işlemini tersine çevirdiğimizde kalan değişecektir, yani 250 TL'yi 8 kişi arasında paylaştırırsak kişi başına bu sefer 30 değil 31 TL düşecektir ve kalan 2 TL olacaktır (\( 250 = 8 \times 31 + 2 \)).

Kalansız Bölme İşlemi

Bir bölme işleminde kalan sıfır ise bölünen sayı bölen sayıya tam (kalansız) bölünüyor demektir. Bir diğer ifadeyle, bölünen sayı bölen sayının bir tam sayı katıdır.