Genel Bölünebilme Kuralı
Önceki bölümde belirli bölen sayılar için tanımladığımız bölünebilme kurallarına ek olarak daha genel bir bölünebilme kuralı da tanımlayabiliriz.
Bir \( A \) doğal sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli aşağıdaki gibi olsun.
\( A = x^a \cdot y^b \cdot z^c \)
Bir \( X \) sayısının \( A \) sayısına bölünebilme kuralı, \( X \)'in \( x^a \), \( y^b \) ve \( z^c \) sayılarına ayrı ayrı tam bölünebilmesidir.
Bu genel bölünebilme kuralını aşağıdaki gibi örneklendirebiliriz.
| Sayı | Asal Çarpanlar | Bölünebilme Kuralı |
|---|---|---|
| \( 6 \) | \( 6 = 2^1 \cdot 3^1 \) | Bir sayının 6 ile tam bölünebilme kuralı \( 2^1 = 2 \) ve \( 3^1 = 3 \) ile tam bölünebilmesidir. |
| \( 24 \) | \( 24 = 2^3 \cdot 3^1 \) | Bir sayının 24 ile tam bölünebilme kuralı \( 2^3 = 8 \) ve \( 3^1 = 3 \) ile tam bölünebilmesidir. Burada dikkat etmemiz gereken husus, bir sayının 24'e bölünebilmesi için 3'e ek olarak 2'ye ya da 4'e bölünmesi yeterli değildir, 24'ün asal çarpanlarına ayrılmış şeklindeki kuvvetiyle, yani \( 2^3 = 8 \)'e tam bölünmelidir. |
| \( 90 \) | \( 90 = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \) | Bir sayının 90 ile tam bölünebilme kuralı \( 2^1 = 2 \), \( 3^2 = 9 \) ve \( 5^1 = 5 \) ile tam bölünebilmesidir. |
| \( 99 \) | \( 99 = 3^2 \cdot 11^1 \) | Bir sayının 99 ile tam bölünebilme kuralı \( 3^2 = 9 \) ve \( 11^1 = 11 \) ile tam bölünebilmesidir. |
| \( 180 \) | \( 180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \) | Bir sayının 180 ile tam bölünebilme kuralı \( 2^2 = 4 \), \( 3^2 = 9 \) ve \( 5^1 = 5 \) ile tam bölünebilmesidir. |
Bu genel bölünebilme kuralının mantığını açıklamaya çalışalım.
Bir \( X \) sayısının \( A = x^a \cdot y^b \cdot z^c \) şeklinde asal çarpanlarına ayrılan bir \( A \) sayısına tam bölünebilmesi için, \( X \) sayısının içinde \( x \), \( y \) ve \( z \) asal çarpanlarının tümünün en az \( A \) sayısında bulunan kuvvetlerde bulunması gerekir. \( X \) sayısı bu çarpanları en az \( A \) sayısında bulunan kuvvetlerde içeriyorsa yukarıdaki bölme işleminde paydadaki tüm çarpanlar sadeleşir ve kalansız bir bölme işlemi gerçekleşir.
\( X \) sayısının ayrı ayrı \( x^a \), \( y^b \) ve \( z^c \)'ye tam bölünebiliyor olması, \( X \) sayısının bu asal çarpanları en az \( A \) sayısındaki kuvvetlerde içerdiği anlamına gelir, bu da \( A \) sayısına tam bölünebilmesi için yeterli bir koşuldur.
\( 180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \)
180 aşağıdaki sayıların asal çarpanlarının tümünü içerdiği için bu sayılara tam bölünür.
\( 9 = 3^2 \)
\( 10 = 2^1 \cdot 5^1 \)
180 aşağıdaki sayıların asal çarpanlarının tümünü içermediği için bu sayılara tam bölünmez.
\( 8 = 2^3 \)
\( 27 = 3^3 \)
\( 50 = 2^1 \cdot 5^2 \)
\( 3^n \) ifadesi \( A = 27 \cdot 37 \cdot 57 \cdot 87 \) sayısını tam böldüğüne göre, \( n \)'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
\( A = 3^3 \cdot 37 \cdot 3 \cdot 19 \cdot 3 \cdot 29 \)
\( = 3^5 \cdot 19 \cdot 29 \cdot 37 \)
\( A \) sayısı 5 tane 3 çarpanı içerdiği için \( n \)'nin alabileceği en büyük değer 5'tir.
\( A \) ve \( B \) pozitif tam sayılardır.
\( 84 \lt A \le 400 \)
\( B = \dfrac{A}{4} + \dfrac{A}{5} + \dfrac{A}{6} \) olduğuna göre,
\( A \)'nın alabileceği kaç değer vardır?
Çözümü GösterVerilen ifadede paydaları eşitleyelim.
\( B = \dfrac{15A}{60} + \dfrac{12A}{60} + \dfrac{10A}{60} \)
\( B = \dfrac{37A}{60} \)
\( A \)'yı \( B \) cinsinden yazalım.
\( A = \dfrac{60B}{37} \)
37 asal sayı olduğu için \( A \)'nın tam sayı olması için \( B \) 37'nin bir tam sayı katı olmalıdır, bu şekilde \( B \) 37 ile sadeleştiğinde geriye bir pozitif tam sayı kalır. Bu da \( A \)'nın 60'ın bir tam sayı katı olması anlamına gelir.
\( k \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( A = \dfrac{60B}{37} = 60k \)
\( 84 \lt A \le 400 \) aralığında \( A \)'nın alabileceği değerler aşağıdaki gibi olur.
\( k = \{ 2, 3, 4, 5, 6 \} \) için,
\( A = \{ 120, 180, 240, 300, 360 \} \)
Buna göre \( A \)'nın alabileceği 5 değer vardır.
Beş basamaklı \( (35a6b) \) doğal sayısı 36 ile tam bölünebildiğine göre, \( ab \) çarpımı kaç farklı değer alabilir?
Çözümü Göster\( 36 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 \)
Genel bölünebilme kuralına göre, bir sayının 36'ya bölünmesi için sayı hem 4'e hem de 9'a tam bölünmelidir.
Son iki basamağı 00 olan ya da 4'e tam bölünen sayılar 4'e tam bölünür.
Rakamlarının toplamı 9 ya da 9'un katı olan sayılar 9'a tam bölünür.
O halde \( (35a6b) \) sayısının son iki basamağı 4'e bölünebilecek şekilde \( b \)'nin alabileceği değerler 0, 4 ve 8'dir.
\( b \) sayısının bu üç değeri için \( a \) sayısının alabileceği değerleri bulalım.
Durum 1: \( b = 0 \)
\( (35a60) \)
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 3 + 5 + a + 6 + 0 = 9k \)
\( 14 + a = 9k \)
\( b = 0 \) için \( a \) tek değer alabilir.
\( (a, b): (4, 0) \)
Durum 2: \( b = 4 \)
\( (35a64) \)
\( 3 + 5 + a + 6 + 4 = 9k \)
\( 18 + a = 9k \)
\( b = 4 \) için \( a \) iki değer alabilir.
\( (a, b): (0, 4), (9, 4) \)
Durum 3: \( b = 8 \)
\( (35a68) \)
\( 3 + 5 + a + 6 + 8 = 9k \)
\( 22 + a = 9k \)
\( b = 8 \) için \( a \) tek değer alabilir.
\( (a, b): (5, 8) \)
Bulduğumuz \( (a, b) \) ikilileri için \( ab \) çarpımının kaç farklı değer alabileceğini bulalım.
\( 4 \cdot 0 = 0 \)
\( 0 \cdot 4 = 0 \)
\( 9 \cdot 4 = 36 \)
\( 5 \cdot 8 = 40 \)
\( ab \) çarpımı 3 farklı değer alabilir.
\( (xx) \) ve \( (yy) \) iki basamaklı doğal sayılar ve \( x^2 + y^2 = 100 \) olduğuna göre,
\( (xx)^2 + (yy)^2 \) toplamı aşağıdakilerden hangisine tam bölünmez?
(a) 15
(b) 25
(c) 50
(d) 55
(e) 242
Çözümü GösterVerilen eşitliği sağlayan iki basamaklı sayılar sadece 36 ve 64 olabileceği için \( x \) ve \( y \) rakamları (herhangi bir sırada) 6 ve 8 olmalıdır.
Buna göre verilen ifadeyi yazalım.
\( 66^2 + 88^2 = 11^2 \cdot 6^2 + 11^2 \cdot 8^2 \)
\( = 11^2(6^2 + 8^2) \)
\( = 11^2 \cdot 100 \)
\( = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 11^2 \)
Bu sayı \( 25 = 5^2 \), \( 50 = 2 \cdot 5^2 \), \( 55 = 5 \cdot 11 \) ve \( 242 = 2 \cdot 11^2 \) sayılarının çarpanlarını içerdiği için bu sayılara tam bölünür.
Ancak ifade \( 15 = 3 \cdot 5 \) sayısının çarpanlarından 3'ü içermediği için bu sayıya tam bölünmez.
Doğru cevap (a) seçeneğidir.
\( a \) tek, \( b \) çift sayı rakamlardır.
Buna göre aşağıdakilerden hangisi 55'e kesinlikle tam bölünür?
(a) \( (baab) \)
(b) \( (baa0) \)
(c) \( (baa5) \)
(d) \( (bbbaa5) \)
(e) \( (bbaa0) \)
Çözümü GösterGenel bölünebilme kuralına göre, bir sayının 55'e bölünmesi için sayı hem 5'e hem de 11'e tam bölünmelidir.
Bir sayının 5'e bölünmesi için birler basamağındaki rakam 0 ya da 5 olmalıdır.
(a) seçeneğindeki sayının birler basamağında başka rakamlar da olabileceği için 5'e kesinlikle bölünür diyemeyiz. Diğer seçeneklerdeki sayılar 5'e bölünür.
Sayıların 11'e bölünebilirliğini bulmak için, sayının rakamlarının altına birler basamağından başlayarak sırayla \( +, -, +, - ... \) yazılır. Her rakam altındaki işaretle birlikte toplanır ve sonucun 11'e bölünebilirliğine bakılır.
(b) seçeneği:
\( (baa0) \)
\( -+-+ \)
\( 0 - a + a - b = -b \)
Bu sayı 11'e kesinlikle bölünür diyemeyiz.
(c) seçeneği:
\( (baa5) \)
\( -+-+ \)
\( 5 - a + a - b = 5 - b \)
Bu sayı 11'e kesinlikle bölünür diyemeyiz.
(d) seçeneği:
\( (bbbaa5) \)
\( -+-+-+ \)
\( 5 - a + a - b + b - b = 5 - b \)
Bu sayı 11'e kesinlikle bölünür diyemeyiz.
(e) seçeneği:
\( (bbaa0) \)
\( +-+-+ \)
\( 0 - a + a - b + b = 0 \)
Bu sayı 11'e tam bölünür.
Buna göre (e) seçeneğindeki sayı 5 ve 11'e bölündüğü için 55'e de bölünür.
\( 23^2 - 8 \cdot 23 - 9 \) sayısı aşağıdakilerden hangisine tam bölünmez?
(a) 7
(b) 14
(c) 24
(d) 36
(e) 48
Çözümü Gösterİfadeyi 3 terimli bir ifade gibi düşünerek çarpanlarına ayıralım.
\( 23^2 - 8 \cdot 23 - 9 = (23 - 9)(23 + 1) \)
\( = 14 \cdot 24 = 2^4 \cdot 3 \cdot 7 \)
Bu sayı seçeneklerdeki 36 dışındaki sayıların tüm çarpanlarını içerdiği için bu sayılara tam bölünür.
Sayı sadece bir tane 3 çarpanı içerdiği için \( 36 = 2^2 \cdot 3^2 \) sayısına tam bölünmez.
Doğru cevap (d) seçeneğidir.
\( x = 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 \) olduğuna göre, \( x - 45 \) sayısı aşağıdakilerden hangisine tam bölünmez?
(a) 3
(b) 4
(c) 5
(d) 13
(e) 19
Çözümü Göster\( x - 45 \) sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
\( x - 45 = 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 - 5 \cdot 9 \)
\( = 5 \cdot 9 \cdot (7 \cdot 11 - 1) \)
\( = 5 \cdot 9 \cdot 76 \)
\( = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 19 \)
\( x - 45 \) sayısı 3, 4, 5, ve 19 çarpanlarını içerdiği için bu sayılara tam bölünür, ancak 13 sayısına bölünmez.
\( (2a4) + 326 \) toplamının sonucu 6'ya tam bölündüğüne göre, \( a \)'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü GösterBir sayının 6'ya bölünme kuralı o sayının hem 2'ye hem de 3'e bölünmesidir.
Hem \( (2a4) \) hem de \( 326 \) sayıları 2'ye bölündüğü için toplamları da 2'ye bölünür.
Verilen ifadenin sonucunun 3'e tam bölünüp bölünmediğini görmek için sayıların rakamlar toplamını alalım.
\( (2 + a + 4) + (3 + 2 + 6) = 17 + a \)
Buna göre ifadenin 3'e tam bölünmesi için \( a \in \{1, 4, 7\} \) olmalıdır.
\( a \)'nın alabileceği değerler toplamı \( 1 + 4 + 7 = 12 \) bulunur.
\( a \) ve \( b \) 7'ye tam bölündüğüne göre, aşağıdaki öncüllerden hangileri kesinlikle doğrudur?
I. \( a - b \) ifadesi 7'ye tam bölünür.
II. \( a^2 - b^2 \) ifadesi 7'ye tam bölünür.
III. \( a^3 - b^2 \) ifadesi 49'a tam bölünür.
IV. \( 7a + 2b \) ifadesi 14'e tam bölünür.
Çözümü Göster\( m, n \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( a \) ve \( b \) sayıları 7'ye tam bölünüyorsa sayıları aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( a = 7m, \quad b = 7n \)
I. öncül:
\( a - b = 7m - 7n \)
\( = 7(m - n) \)
I. öncül 7 çarpanını içerdiği için 7'ye tam bölünür. I. öncül doğrudur.
II. öncül:
\( a^2 - b^2 = (7m)^2 - (7n)^2 \)
\( = 7^2m^2 - 7^2n^2 \)
\( = 7^2(m^2 - n^2) \)
II. öncül 7 çarpanını içerdiği için 7'ye tam bölünür. II. öncül doğrudur.
III. öncül:
\( a^3 - b^2 = (7m)^3 - (7n)^2 \)
\( = 7^3m^3 - 7^2n^2 \)
\( = 7^2(7m^3 - n^2) \)
III. öncül 49 çarpanını içerdiği için 49'a tam bölünür. III. öncül doğrudur.
IV. öncül:
\( 7a + 2b = 7(7m) + 2(7n) \)
\( = 49m + 14n \)
\( = 7(7m + 2n) \)
IV. öncül 7 çarpanını içerdiği için 7'ye tam bölünür, ama 14'e tam bölünüp bölünmediğinden emin olamayız.
Buna göre I., II. ve III. öncüller kesinlikle doğrudur.
\( n \) bir tam sayı olmak üzere, \( n^3 - n \) sayısının 6'ya kalansız bölündüğünü gösterin.
Çözümü GösterVerilen ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( n^3 - n = n(n^2 - 1) \)
\( = (n - 1)n(n + 1) \)
Buna göre verilen ifade ardışık 3 tam sayının çarpımını ifade eder.
Ardışık 3 sayıdan biri mutlaka 3'ün katı olacağı için 3 çarpanı içerir. Benzer şekilde ardışık 3 sayıdan biri ya da ikisi çift sayı olacağı için en az bir 2 çarpanı içerir.
Buna göre verilen ifade her \( n \) tam sayısı için en az birer tane 2 ve 3 çarpanı içerdiği için \( 2 \cdot 3 = 6 \)'ya kalansız bölünür.
0'ın 6'ya bölümünden kalan 0 olduğu için bu durum \( n \in \{-1, 0, 1\} \) için de geçerli olur.
\( n \) bir tek sayı olmak üzere, \( n^2 - 1 \) sayısının 8'e kalansız bölündüğünü gösterin.
Çözümü GösterVerilen ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1) \)
\( n \) bir tek sayı olduğu için \( n - 1 \) ve \( n + 1 \) ardışık çift sayılardır.
Ardışık çift sayılardan biri 2'ye diğeri 4'e kalansız bölünür, dolayısıyla ikisi birlikte en az üç tane 2 çarpanı içerir.
Buna göre verilen ifade her tek \( n \) tam sayısı için en az üç tane 2 çarpanı içerdiği için \( 2^3 = 8 \)'e kalansız bölünür.
0'ın 8'e bölümünden kalan 0 olduğu için bu durum \( n \in \{-1, 1\} \) için de geçerli olur.
3 basamaklı \( (xyz) \) sayısı 12'ye ve 45'e bölünmektedir.
Buna göre \( (xyz) \) sayısı ile ilgili aşağıdakilerden hangileri her zaman doğrudur?
I. 36'ya tam bölünür.
II. 15'e tam bölünür.
III. 24'e tam bölünür.
Çözümü Göster\( (xyz) \) sayısı 12'ye ve 45'e bölünüyorsa bu iki sayının EKOK'unun bir katıdır ve EKOK'un tüm çarpanlarını içerir.
\( 12 = 2^2 \cdot 3 \)
\( 45 = 3^2 \cdot 5 \)
\( EKOK(12, 45) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \)
Verilen öncülleri inceleyelim.
I. öncül:
\( 36 = 2^2 \cdot 3^2 \)
Sayıların EKOK'u 36'nın tüm çarpanlarını içerdiği için \( (xyz) \) 36'ya kesinlikle bölünür.
I. öncül her zaman doğrudur.
II. öncül:
\( 15 = 3 \cdot 5 \)
Sayıların EKOK'u 15'in tüm çarpanlarını içerdiği için \( (xyz) \) 15'e kesinlikle bölünür.
II. öncül her zaman doğrudur.
III. öncül:
\( 24 = 2^3 \cdot 3 \)
Sayıların EKOK'u 24'ün içindeki üçüncü 2 çarpanını içermediği için \( (xyz) \) 24'e tam bölünmeyebilir.
III. öncül her zaman doğru değildir.
Buna göre I. ve II. öncüller her zaman doğrudur.
3 basamaklı bir doğal sayının soluna aynı sayının yazılmasıyla elde edilen 6 basamaklı sayı aşağıdakilerden hangisine kesinlikle bölünür?
(a) 11
(b) 14
(c) 22
(d) 25
(e) 26
Çözümü Göster3 basamaklı sayıya \( (abc) \) diyelim. Bu sayının soluna aynı sayıyı yazdığımızda \( (abcabc) \) sayısını elde ederiz.
Bu sayının çözümlemesini yapalım.
\( (abcabc) = 100000a + 10000b + 1000c + 100a + 10b + c \)
\( = 100100a + 10010b + 1001c \)
\( = 11 \cdot 9100a + 11 \cdot 910b + 11 \cdot 91c \)
\( = 11 \cdot 91 \cdot 100a + 11 \cdot 91 \cdot 10b + 11 \cdot 91c \)
\( = 11 \cdot 91 \cdot (100a + 10b + c) \)
Buna göre \( (abcabc) \) sayısı verilen seçenekler içinde 11'e kesinlikle bölünür.
Aşağıdaki sayılardan hangisi \( (xyxyxy00) \) biçimindeki sekiz basamaklı bir sayıyı her zaman tam böler?
(a) 1200
(b) 2100
(c) 6300
(d) 7700
(e) 14700
Çözümü Göster\( (xyxyxy00) \) sayısının çözümlemesini yapalım.
\( 10000000x + 1000000y + 100000x + 10000y + 1000x + 100y \)
\( = 10101000x + 1010100y \)
\( x \) ve \( y \) katsayıları 100 ortak çarpanı içerir.
\( = 100 \cdot (101010x + 10101y) \)
\( x \) ve \( y \) katsayıları 3 ortak çarpanı içerir.
\( = 100 \cdot 3 \cdot (33670x + 3367y) \)
\( x \) ve \( y \) katsayıları 7 ortak çarpanı içerir.
\( = 100 \cdot 3 \cdot 7 \cdot (4810x + 481y) \)
\( x \) ve \( y \) katsayıları 13 ortak çarpanı içerir.
\( = 100 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot (370x + 37y) \)
\( x \) ve \( y \) katsayıları 37 ortak çarpanı içerir.
\( = 100 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 37 \cdot (10x + y) \)
Bulduğumuz çarpanları incelediğimizde \( 100 \cdot 3 \cdot 7 = 2100 \) olduğunu görürüz, dolayısıyla çözümlemesini yaptığımız sayı \( x \) ve \( y \) rakamlarından bağımsız olarak 2100'e tam bölünür.
Doğru cevap (b) seçeneğidir.