Önceki bölümde belirli bölen sayılar için tanımladığımız bölünebilme kurallarına ek olarak daha genel bir bölünebilme kuralı da tanımlayabiliriz.
Bu genel bölünebilme kuralını aşağıdaki gibi örneklendirebiliriz.
Bu genel bölünebilme kuralının mantığını açıklamaya çalışalım.
Bir \( X \) sayısının \( A = x^a \cdot y^b \cdot z^c \) şeklinde asal çarpanlarına ayrılan bir \( A \) sayısına tam bölünebilmesi için, \( X \) sayısının içinde \( x \), \( y \) ve \( z \) asal çarpanlarının tümünün en az \( A \) sayısında bulunan kuvvetlerde bulunması gerekir. \( X \) sayısı bu çarpanları en az \( A \) sayısında bulunan kuvvetlerde içeriyorsa yukarıdaki bölme işleminde paydadaki tüm çarpanlar sadeleşir ve kalansız bir bölme işlemi gerçekleşir.
\( X \) sayısının ayrı ayrı \( x^a \), \( y^b \) ve \( z^c \)'ye tam bölünebiliyor olması, \( X \) sayısının bu asal çarpanları en az \( A \) sayısındaki kuvvetlerde içerdiği anlamına gelir, bu da \( A \) sayısına tam bölünebilmesi için yeterli bir koşuldur.
SORU 1:
\( n \) bir tam sayı olmak üzere, \( n^3 - n \) sayısının 6'ya kalansız bölündüğünü gösterin.
Çözümü Göster
Verilen ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( n^3 - n = n \cdot (n^2 - 1) \) \( = (n - 1) \cdot n \cdot (n + 1) \)
Buna göre verilen ifade ardışık 3 tam sayının çarpımını ifade eder.
Ardışık 3 sayıdan biri mutlaka 3'ün katı olacağı için 3 çarpanı içerir. Benzer şekilde ardışık 3 sayıdan biri ya da ikisi çift sayı olacağı için 2 çarpanı içerir.
Buna göre verilen ifade her \( n \) tam sayısı için 2 ve 3 çarpanlarını birlikte içerdiği için 6'ya kalansız bölünür.
0'ın 6'ya bölümünden kalan 0 olduğu için bu durum \( n \in \{-1, 0, 1\} \) için de geçerli olur.
SORU 2:
\( n \) bir tek sayı olmak üzere, \( n^2 - 1 \) sayısının 8'e kalansız bölündüğünü gösterin.
Çözümü Göster
Verilen ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( n^2 - 1 = (n - 1) \cdot (n + 1) \)
\( n \) bir tek sayı olduğu için \( n - 1 \) ve \( n + 1 \) çift sayılardır.
Bu iki sayı ardışık çift sayılar oldukları için biri 2'ye diğeri 4'e kalansız bölünürler, dolayısıyla ikisi birlikte en az üç tane 2 çarpanı içerirler.
Buna göre verilen ifade her tek \( n \) tam sayısı için en az üç tane 2 çarpanı içerdiği için 8'e kalansız bölünür.
0'ın 8'e bölümünden kalan 0 olduğu için bu durum \( n \in \{-1, 1\} \) için de geçerli olur.
SORU 3:
\( A \) ve \( B \) pozitif tam sayılardır.
\( 84 \lt A \le 400 \)
\( B = \dfrac{A}{4} + \dfrac{A}{5} + \dfrac{A}{6} \) olduğuna göre,
\( A \)'nın alabileceği kaç tam sayı değeri vardır?
Çözümü Göster
Verilen ifadede paydaları eşitleyelim.
\( B = \dfrac{15A}{60} + \dfrac{12A}{60} + \dfrac{10A}{60} \)
\( B = \dfrac{37A}{60} \)
\( A \)'yı \( B \) cinsinden yazalım.
\( A = \dfrac{60B}{37} \)
Paydadaki 37 asal sayı olduğu için \( A \)'nın tam sayı olması için \( B \)'nin 37'nin bir tam sayı katı olması gerekir, dolayısıyla \( B \) 37 ile sadeleştiğinde geriye bir pozitif tam sayı kalacaktır. Bu da \( A \)'nın 60'ın bir tam sayı katı olması anlamına gelir.
\( k \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( A = \dfrac{60B}{37} = 60k \)
\( 84 \lt A \le 400 \) olmak üzere \( A \)'nın alabileceği değerler aşağıdaki gibi olur.
\( k = \{ 2, 3, 4, 5, 6 \} \) için,
\( A = \{ 120, 180, 240, 300, 360 \} \) olur.
Buna göre \( A \)'nın alabileceği 5 değer vardır.
SORU 4:
\( a \) ve \( b \) 7'ye tam bölünen tam sayılardır.
Buna göre, aşağıdaki öncüllerden hangileri kesinlikle doğrudur?
I. \( a - b \) ifadesi 7'ye tam bölünür.
II. \( a^2 - b^2 \) ifadesi 7'ye tam bölünür.
III. \( a^3 - b^2 \) ifadesi 49'a tam bölünür.
IV. \( a + 2b \) ifadesi 14'e tam bölünür.
Çözümü Göster
\( m, n \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( a \) ve \( b \) sayıları 7'ye tam bölünüyorsa sayıları aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( a = 7m, \quad b = 7n \)
I. ifade:
\( a - b = 7m - 7n = 7(m - n) \)
I. ifade 7 çarpanını içerdiği için 7'ye tam bölünür. I. ifade doğrudur.
II. ifade:
\( a^2 - b^2 = (7m)^2 - (7n)^2 = 7^2m^2 - 7^2n^2 \)
\( = 7^2(m^2 - n^2) \)
II. ifade 7 çarpanını içerdiği için 7'ye tam bölünür. II. ifade doğrudur.
III. ifade:
\( a^3 - b^2 = (7m)^3 - (7n)^2 = 7^3m^3 - 7^2n^2 \)
\( 7^2(7m^3 - n^2) \)
III. ifade 49 çarpanını içerdiği için 49'a tam bölünür. III. ifade doğrudur.
IV. ifade:
\( a + 2b = 7m + 14n = 7(m + 2n) \)
IV. ifade 7 çarpanını içerdiği için 7'ye tam bölünür, ama 14'e tam bölünüp bölünmediğinden emin olamayız.
I., II. ve III. öncüller kesinlikle doğrudur.
SORU 5:
\( 3^n \) ifadesi \(27 \cdot 37 \cdot 57 \cdot 87 \) sayısını tam böldüğüne göre, \( n \)'nin alabileceği en büyük değer nedir?
Çözümü Göster
Sayıyı asal çarpanlarına ayıralım.
\( 3^3 \cdot 37 \cdot 3 \cdot 19 \cdot 3 \cdot 29 \)
\( = 3^5 \cdot 19 \cdot 29 \cdot 37 \)
Yukarıdaki sayı 5 tane 3 çarpanı içerdiği için \( n \)'nin alabileceği en büyük değer 5'tir.
SORU 6:
\( (xx) \) ve \( (yy) \) iki basamaklı doğal sayılar ve \( x^2 + y^2 = 100 \) olduğuna göre, \( (xx)^2 + (yy)^2 \) toplamı aşağıdakilerden hangisine tam bölünmez?
(a) 15
(b) 25
(c) 50
(d) 55
(e) 121
Çözümü Göster
Verilen eşitliği sağlayan iki basamaklı sayılar 36 ve 64 olduğu için \( x \) ve \( y \) rakamları 6 ve 8 olmalıdır.
Buna göre verilen ifadeyi yazalım.
\( 66^2 + 88^2 = 11^2 \cdot 6^2 + 11^2 \cdot 8^2 \)
\( = 11^2 \cdot (6^2 + 8^2) = 11^2 \cdot 100 \)
\( = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 11^2 \)
Bu ifade \( 25 = 5^2 \), \( 50 = 2 \cdot 5^2 \), \( 55 = 5 \cdot 11 \), \( 121 = 11^2 \) sayılarının çarpanlarını içerdiği için bu sayılara tam bölünür.
Ancak ifade \( 15 = 3 \cdot 5 \) sayısının çarpanlarından 3'ü içermediği için bu sayıya bölünmez.
Doğru cevap (a) seçeneğidir.
SORU 7:
\( a \) tek ve \( b \) çift birer rakam olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle 55'e tam bölünür?
(a) \( baab \)
(b) \( baa0 \)
(c) \( baa5 \)
(d) \( bbbaa5 \)
(e) \( bbaa0 \)
Çözümü Göster
Genel bölünebilme kuralına göre, bir sayının 55'e bölünmesi için sayı hem 5'e hem de 11'e tam bölünmelidir.
Bir sayının 5'e bölünmesi için birler basamağındaki rakam 0 ya da 5 olmalıdır.
(a) seçeneğindeki sayının birler basamağında başka rakamlar da olabileceği için 5'e kesinlikle bölünür diyemeyiz. Diğer seçeneklerdeki sayılar 5'e bölünür.
Sayıların 11'e bölünebilirliğini bulmak için, sayının rakamlarının altına birler basamağından başlayarak sırayla \( +, -, +, - ... \) yazılır. Her rakam altındaki işaretle birlikte toplanır ve sonucun 11'e bölünebilirliğine bakılır.
(b) seçeneği:
\( baa0 \)
\( -+-+ \)
\( 0 - a + a - b = -b \)
Bu sayı 11'e kesinlikle bölünür diyemeyiz.
(c) seçeneği:
\( baa5 \)
\( -+-+ \)
\( 5 - a + a - b = 5 - b \)
Bu sayı 11'e kesinlikle bölünür diyemeyiz.
(d) seçeneği:
\( bbbaa5 \)
\( -+-+-+ \)
\( 5 - a + a - b + b - b = 5 - b \)
Bu sayı 11'e kesinlikle bölünür diyemeyiz.
(e) seçeneği:
\( bbaa0 \)
\( +-+-+ \)
\( 0 - a + a - b + b = 0 \)
Bu sayı 11'e tam bölünür.
Buna göre (e) seçeneğindeki sayı 5 ve 11'e bölündüğü için 55'e de bölünür.
SORU 8:
\( 23^2 - 8 \cdot 23 - 9 \) ifadesi aşağıdakilerden hangisine tam bölünmez?
(a) 7
(b) 14
(c) 24
(d) 28
(e) 36
Çözümü Göster
İfadeyi 3 terimli bir ifade gibi düşünerek çarpanlarına ayıralım.
\( 23^2 - 8 \cdot 23 - 9 = (23 - 9)(23 + 1) \)
\( = 14 \cdot 24 = 2^4 \cdot 3 \cdot 7 \)
Bu sayı ilk 4 seçenekteki sayıların tüm çarpanlarını içerdiği için bu sayılara tam bölünür.
Sayı 2 tane 3 çarpanı içermediği için \( 36 = 2^2 \cdot 3^2 \) sayısına tam bölünmez.
Doğru cevap (e) seçeneğidir.
SORU 9:
\( x = 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 \) olduğuna göre \( x - 45 \) sayısı aşağıdakilerden hangisine tam bölünmez?
(a) 3
(b) 4
(c) 5
(d) 13
(e) 19
Çözümü Göster
\( x - 45 \) sayısını asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazalım.
\( x - 45 = 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 - 5 \cdot 9 \)
\( = 5 \cdot 9 \cdot (7 \cdot 11 - 1) \)
\( = 5 \cdot 9 \cdot 76 \)
\( = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 19 \)
\( x - 45 \) sayısı 3, 4, 5, ve 19 çarpanlarını içerdiği için bu sayılara tam bölünür, ancak 13 sayısına bölünmez.
SORU 10:
\( (2a4) + 326 \) toplamının sonucu 6'ya tam bölündüğüne göre, \( a \)'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Bir sayının 6'ya bölünme kuralı o sayının hem 2'ye hem de 3'e bölünmesidir.
Hem \( (2a4) \) hem de \( 326 \) sayıları 2'ye bölündüğü için toplamları da 2'ye bölünür.
Verilen ifadenin sonucunun 3'e tam bölünüp bölünmediğini görmek için sayıların rakamlar toplamını alalım.
\( (2 + a + 4) + (3 + 2 + 6) = 17 + a \)
Buna göre ifadenin 3'e tam bölünmesi için \( a \in \{1, 4, 7\} \) olmalıdır.
\( a \)'nın alabileceği değerler toplamı \( 1 + 4 + 7 = 12 \) bulunur.
SORU 11:
3 basamaklı bir doğal sayının soluna aynı sayının yazılmasıyla elde edilen 6 basamaklı sayı aşağıdakilerden hangisine kesinlikle bölünür?
(a) 11
(b) 14
(c) 22
(d) 25
(e) 26
Çözümü Göster
3 basamaklı sayıya \( (abc) \) diyelim. Bu sayının soluna aynı sayıyı yazdığımızda \( (abcabc) \) sayısını elde ederiz.
Bu sayıyı basamak değerleri cinsinden yazalım.
\( (abcabc) = 100000a + 10000b + 1000c + 100a + 10b + c \)
\( = 100100a + 10010b + 1001c \)
\( = 11 \cdot 9100a + 11 \cdot 910b + 11 \cdot 91c \)
\( = 11 \cdot 91 \cdot 100a + 11 \cdot 91 \cdot 10b + 11 \cdot 91c \)
\( = 11 \cdot 91 \cdot (100a + 10b + c) \)
Buna göre \( (abcabc) \) sayısı verilen seçenekler içinde 11'e kesinlikle bölünür.
SORU 12:
3 basamaklı \( (xyz) \) sayısı 12'ye ve 45'e bölünmektedir.
Buna göre \( (xyz) \) sayısı ile ilgili aşağıdakilerden hangileri her zaman doğrudur?
I. 36'ya tam bölünür.
II. 15'e tam bölünür.
III. 24'e tam bölünür.
Çözümü Göster
\( (xyz) \) 12'ye ve 45'e bölünüyorsa bu iki sayının EKOK'unun bir katıdır ve EKOK'un çarpanlarını içerir.
\( 12 = 2^2 \cdot 3 \)
\( 45 = 3^2 \cdot 5 \)
\( EKOK(12, 45) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \)
\( 36 = 2^2 \cdot 3^2 \)
Sayıların EKOK'u 36'nın tüm çarpanlarını içerdiği için \( (xyz) \) 36'ya kesinlikle bölünür. I. öncül doğrudur.
\( 15 = 3 \cdot 5 \)
Sayıların EKOK'u 15'in tüm çarpanlarını içerdiği için \( (xyz) \) 15'e kesinlikle bölünür. II. öncül doğrudur.
\( 24 = 2^3 \cdot 3 \)
Sayıların EKOK'u 24'ün çarpanlarının tümünü içermediği için \( (xyz) \) 24'e bölünmeyebilir. III. öncül her zaman doğru değildir.
Buna göre I. ve II. öncüller her zaman doğrudur.
SORU 13:
Aşağıdaki sayılardan hangisi \( (xyxyxy00) \) biçimindeki sekiz basamaklı bir sayıyı her zaman tam böler?
a. 2100
b. 21000
c. 1200
d. 12000
Çözümü Göster
\( (xyxyxy00) \) sayısının çözümlemesini yapalım.
\( 10000000x + 1000000y + 100000x + 10000y + 1000x + 100y \)
\( = 10101000x + 1010100y \)
\( x \) ve \( y \) katsayıları 100 ortak çarpanı içerir.
\( = 100(101010x + 10101y) \)
\( x \) ve \( y \) katsayıları 3 ortak çarpanı içerir.
\( = 100 \cdot 3(33670x + 3367y) \)
\( x \) ve \( y \) katsayıları 7 ortak çarpanı içerir.
\( = 100 \cdot 3 \cdot 7(4810x + 481y) \)
Ayırdığımız çarpanları incelediğimizde \( 100 \cdot 3 \cdot 7 = 2100 \) olduğunu görürüz, dolayısıyla çözümlemesini yaptığımız sayı her zaman 2100'e tam bölünür.
Cevap (a) seçeneğidir.
