Genel Bölünebilme Kuralı
Önceki bölümde belirli sayılar için tanımladığımız bölünebilme kurallarına ek olarak daha genel bir bölünebilme kuralı da tanımlayabiliriz.
Bir \( A \) doğal sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdaki gibi olmak üzere,
\( A = x^a \cdot y^b \cdot z^c \)
Bir \( X \) sayısının \( A \) sayısına bölünebilme kuralı, \( X \)'in \( x^a \), \( y^b \) ve \( z^c \) sayılarına ayrı ayrı tam bölünebilmesidir.
Bu genel bölünebilme kuralını aşağıdaki gibi örneklendirebiliriz.
| Sayı | Asal Çarpanlar | Bölünebilme Kuralı |
|---|---|---|
| \( 6 \) | \( 6 = 2^1 \cdot 3^1 \) | Bir sayının 6 ile tam bölünebilme kuralı hem \( 2^1 = 2 \) ile, hem de \( 3^1 = 3 \) ile tam bölünebilmesidir. |
| \( 24 \) | \( 24 = 2^3 \cdot 3^1 \) | Bir sayının 24 ile tam bölünebilme kuralı hem \( 2^3 = 8 \) ile, hem de \( 3^1 = 3 \) ile tam bölünebilmesidir. Burada dikkat edilmesi gereken husus, bir sayının 24'e bölünebilmesi için 3'e ek olarak 2'ye ya da 4'e bölünmesi yeterli değildir, 24'ün asal çarpanların ayrılmış halinde olduğu şekliyle, \( 2^3 = 8 \)'e tam bölünmelidir. |
| \( 90 \) | \( 90 = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \) | Bir sayının 90 ile tam bölünebilme kuralı hem \( 2^1 = 2 \) ile, hem \( 3^2 = 9 \), hem de \( 5^1 = 5 \) ile tam bölünebilmesidir. |
| \( 99 \) | \( 99 = 3^2 \cdot 11^1 \) | Bir sayının 99 ile tam bölünebilme kuralı hem \( 3^2 = 9 \) ile, hem de \( 11^1 = 11 \) ile tam bölünebilmesidir. |
| \( 180 \) | \( 180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \) | Bir sayının 180 ile tam bölünebilme kuralı hem \( 2^2 = 4 \) ile, hem \( 3^2 = 9 \) ile, hem de \( 5^1 = 5 \) ile tam bölünebilmesidir. |
Bu genel bölünebilme kuralının mantığını aşağıda açıklamaya çalışalım.
Bir \( X \) sayısının \( A = x^a \cdot y^b \cdot z^c \) şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış bir \( A \) sayısına tam bölünebilmesi için, \( X \) sayısının içinde \( x \), \( y \) ve \( z \) asal çarpanlarının tümünün en az \( A \) sayısında bulunan kuvvetlerde bulunması gerekir. \( X \) sayısı bu çarpanları en az \( A \) sayısında bulunan kuvvetlerde içeriyorsa yukarıdaki bölme işleminde paydadaki tüm çarpanlar sadeleşecek ve kalansız bir bölme işlemi gerçekleşecektir.
\( X \) sayısının ayrı ayrı \( x^a \), \( y^b \) ve \( z^c \)'ye tam bölünebiliyor olması, \( X \) sayısının asal çarpanlarına ayrılmış halinin tüm bu asal çarpanları en az \( A \) sayısındaki kuvvetlerde içerdiği anlamına gelir, bu da \( A \) sayısına tam bölünebilmesi için yeterli bir koşuldur.
\( 180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \)
180 sayısı aşağıdaki sayıların asal çarpanlarının tümünü içerdiği için bu sayılara tam bölünür.
\( 9 = 3^2 \)
\( 10 = 2^1 \cdot 5^1 \)
180 sayısı aşağıdaki sayıların asal çarpanlarının tümünü içermediği için bu sayılara tam bölünmez.
\( 8 = 2^3 \)
\( 27 = 3^3 \)
\( A \) ve \( B \) pozitif tam sayılardır.
\( 84 \lt A \le 400 \)
\( B = \dfrac{A}{4} + \dfrac{A}{5} + \dfrac{A}{6} \) olduğuna göre,
\( A \)'nın alabileceği kaç tam sayı değeri vardır?
Çözümü Göster