\( a \) ve \( b \) tam sayılarının tüm ortak asal çarpanları EBOB'larına dahil olduğu için, bu iki sayıyı EBOB'ları ve aralarında asal iki sayı cinsinden aşağıdaki gibi yazabiliriz.
İki sayının EKOK'u sayıların ortak çarpanları (\( d \)) ile ortak olmayan çarpanlarının (\( m \) ve \( n \)) çarpımının mutlak değerine eşittir. İki sayının EKOK'u sayıların ortak çarpanlarını bir kez içerir.
İki sayının EBOB ve EKOK'larının çarpımı sayıların çarpımının mutlak değerine eşittir.
Bu kural ikiden fazla sayı için geçerli değildir.
\( a \) ve \( b \) aralarında asal sayılar ise EBOB'ları 1'e, EKOK'ları çarpımlarının mutlak değerine eşittir.
\( b \), \( a \)'nın bir tam sayı katı ise iki sayının EBOB'ları \( a \)'nın mutlak değerine, EKOK'ları \( b \)'nin mutlak değerine eşittir.
İki ya da daha fazla sayının EBOB'u bu sayıların herhangi birinin mutlak değerinden büyük olamaz. İki ya da daha fazla sayının EKOK'u da bu sayıların herhangi birinin mutlak değerinden küçük olamaz.
SORU 1:
\( x, y, z \) asal sayılar olmak üzere,
\( a = x^4 \cdot y^2 \cdot z^3 \)
\( b = x^2 \cdot y \cdot z^2 \)
\( c = x^3 \cdot y \cdot z^2 \)
olduğuna göre, \( a, b, c \) sayılarının EKOK'unun EBOB'una oranı nedir?
Çözümü Göster
Sayıların EKOK'u asal çarpanların en yüksek dereceli kuvvetlerinden oluşur.
\( EKOK(a, b, c) = x^4 \cdot y^2 \cdot z^3 \)
Sayıların EBOB'u asal çarpanların en düşük dereceli kuvvetlerinden oluşur.
\( EBOB(a, b, c) = x^2 \cdot y \cdot z^2 \)
\( \dfrac{EKOK(a, b, c)}{EBOB(a, b, c)} = \dfrac{x^4 \cdot y^2 \cdot z^3}{x^2 \cdot y \cdot z^2} \)
\( = x^2 \cdot y \cdot z \) bulunur.
SORU 2:
\( a \) ve \( b \) doğal sayılar olmak üzere,
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{8} \)
\( EKOK(a, b) = 216 \) olduğuna göre,
\( EBOB(a, b) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( a \) ve \( b \) sayılarını aralarında asal \( m \) ve \( n \) sayıları ve EBOB'larının çarpımı şeklinde aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( EBOB(a, b) = d \) olmak üzere,
\( a = d \cdot m \)
\( b = d \cdot n \)
\( a \) ve \( b \) sayılarının oranı aralarında asal iki sayının oranı şeklinde verildiği için \( m = 3 \) ve \( n = 8 \) olur.
\( a = 3d \)
\( b = 8d \)
Yukarıdaki şekilde tanımlanmış iki sayının EKOK'unu aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( EKOK(a, b) = d \cdot m \cdot n \)
\( EKOK(a, b) = d \cdot 3 \cdot 8 \)
\( 216 = 24d \)
\( d = 9 \)
\( EBOB(a, b) = d \) olduğu için \( EBOB(a, b) = 9 \) bulunur.
SORU 3:
\( EBOB(a, b) = 3 \)
\( EKOK(a, b) = 90 \)
olduğuna göre \( a + b \)'nin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözümü Göster
\( a \) ve \( b \) sayılarını aralarında asal \( m \) ve \( n \) sayıları ve EBOB'larının çarpımı şeklinde aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( EBOB(a, b) = 3 \) olmak üzere,
\( a = 3m \)
\( b = 3n \)
İki sayının EBOB ve EKOK'larının çarpımı sayıların çarpımına eşittir.
\( EBOB(a, b) \cdot EKOK(a, b) = a \cdot b \)
\( 3 \cdot 90 = 3m \cdot 3n \)
\( mn = 30 \)
\( m \) ve \( n \) aralarında asal olduğu için, çarpımları 30 olacak şekilde alabilecekleri değerler aşağıdaki gibi olur (sayıların aralarında yer değiştirdiği durumları iki kez saymadan).
\( (m, n) = \{ (30, 1), (15, 2), (10, 3), (6, 5) \} \)
\( a + b \)'nin en küçük değeri \( (m, n) = (6, 5) \) durumunda oluşur.
\( a = 3 \cdot 6 = 18 \)
\( b = 3 \cdot 5 = 15 \)
\( a + b = 18 + 15 = 33 \) bulunur.
SORU 4:
Aralarında asal olan \( x \) ve \( y \) sayılarının çarpımı 115 olduğuna göre, \( \text{EBOB}(x, y) + \text{EKOK}(x, y) \) kaçtır?
Çözümü Göster
Aralarında asal sayıların EBOB'u 1, EKOK'u çarpımlarına eşittir.
\( \text{EBOB}(x, y) = 1 \)
\( \text{EKOK}(x, y) = x \cdot y = 115 \)
Buna göre \( \text{EBOB}(x, y) + \text{EKOK}(x, y) = 1 + 115 = 116 \) bulunur.
SORU 5:
\( x \) ve \( y \) aralarında asal sayılar olmak üzere,
\( \text{EBOB}(3x, 3y) \cdot \text{EKOK}(4x, 4y) = 180 \) olduğuna göre, \( xy \) çarpımı kaça eşittir?
Çözümü Göster
Aralarında asal sayıların EBOB'u 1, EKOK'u çarpımlarına eşittir.
\( \text{EBOB}(x, y) = 1, \quad \text{EKOK}(x, y) = xy \)
Aralarında asal iki sayının 3'er katı olan sayıların tek ortak böleni 3 olur.
\( \text{EBOB}(3x, 3y) = 3 \)
İki sayının EBOB ve EKOK'larının çarpımı sayıların çarpımına eşittir.
\( \text{EKOK}(4x, 4y) = \dfrac{4x \cdot 4y}{\text{EBOB}(4x, 4y)} \)
\( = \dfrac{4x \cdot 4y}{4} = 4xy \)
\( \text{EBOB}(3x, 3y) \cdot \text{EKOK}(4x, 4y) = 180 \)
\( 3 \cdot 4xy = 180 \)
\( xy = 15 \) bulunur.
SORU 6:
\( a \) bir pozitif tam sayı olmak üzere,
\( \text{EBOB}(3a, 4a) + \text{EKOK}(a + 1, a + 2) \) toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
(a) \( a^2 + 3a + 2 \)
(b) \( a^2 + 4a + 2 \)
(c) \( a^2 + 6a + 6 \)
(d) \( a^2 + 12a + 7 \)
(e) \( a^2 + 14 \)
Çözümü Göster
İki tam sayının \( a \) katının EBOB'u bu sayıların EBOB'unun \( a \) katına eşittir.
\( \text{EBOB}(3a, 4a) = a \cdot \text{EBOB}(3, 4) = a \)
Ardışık iki sayı aralarında asal oldukları için EKOK'ları sayıların çarpımına eşittir.
\( \text{EKOK}(a + 1, a + 2) = (a + 1)(a + 2) \)
\( \text{EBOB}(3a, 4a) + \text{EKOK}(a + 1, a + 2) \)
\( = a + (a + 1)(a + 2) \)
\( = a + a^2 + 3a + 2 \)
\( = a^2 + 4a + 2 \)
Buna göre doğru seçenek (b) olur.
SORU 7:
\( b \lt a \lt 100 \) olmak üzere,
\( \text{EBOB}(a, b) = 10 \) ve \( \text{EKOK}(a, b) = 280 \) olduğuna göre, \( a - b \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( \text{EBOB}(a, b) = 2 \cdot 5 \)
\( \text{EKOK}(a, b) = 2^3 \cdot 5 \cdot 7 \)
280'i iki sayının EBOB'u olan 10'a böldüğümüzde kalan \( 2^2 \cdot 7 \) çarpanlarını \( a \) ve \( b \) sayılarına sayılar aralarında asal olacak şekilde iki şekilde paylaştırabiliriz.
\( 2^2 \cdot 7 \) ve \( 1 \): Bu durumda 10 çarpanını da düşündüğümüzde \( a \) sayısı 100'den büyük olacağı için bu geçerli bir çözüm olmaz.
\( 2^2 \) ve \( 7 \): Bu durumda \( a = 7 \cdot 10 = 70 \) ve \( b = 2^2 \cdot 10 = 40 \) olur ve soruda verilen eşitsizlik koşulu sağlanır.
Buna göre \( a - b = 70 - 40 = 30 \) bulunur.
SORU 8:
\( \text{EBOB}(a, b) = 15 \) ve \( a^2 - b^2 = 675 \) olduğuna göre, \( \text{EKOK}(a, b) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( \text{EBOB}(a, b) = 15 \) ise \( a \) ve \( b \) sayılarını EBOB'ları ve aralarında asal \( m \) ve \( n \) sayıları cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( a = 15m \)
\( b = 15n \)
\( a^2 - b^2 = 675 \)
\( (a - b)(a + b) = 675 \)
\( (15m - 15n)(15m + 15n) = 675 \)
\( 225(m - n)(m + n) = 675 \)
\( (m - n)(m + n) = 3 \)
\( m \) ve \( n \) aralarında asal oldukları için \( m = 2 \) ve \( n = 1 \) olur.
\( a = 15m = 15 \cdot 2 = 30 \)
\( b = 15n = 15 \cdot 1 = 15 \)
\( \text{EKOK}(a, b) = \text{EKOK}(30, 15) = 30 \) bulunur.
SORU 9:
\( \text{EBOB}(45, 60, x) = 15 \)
\( \text{EKOK}(45, 60, x) = 900 \) olduğuna göre, \( x \)'in alabileceği en büyük değerin en küçük değere oranı kaçtır?
Çözümü Göster
\( 45 = 3^2 \cdot 5^1 \)
\( 60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \)
\( x = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \)
\( \text{EBOB}(45, 60, x) = 15 = 3 \cdot 5 \)
\( \text{EKOK}(45, 60, x) = 900 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \)
3 sayının EBOB'u sayıların asal çarpanlarının en küçük kuvvetlerinden, EKOK'u da en büyük kuvvetlerinden oluşur.
Buna göre \( x \) sayısı 2 çarpanını 0, 1 ya da 2 adet içerebilir, 3 çarpanını 1 ya da 2 adet içerebilir, 5 çarpanını da 2 adet içerebilir.
\( x \) sayısının en küçük değeri:
\( x = 2^0 \cdot 3^1 \cdot 5^2 = 75 \)
\( x \) sayısının en büyük değeri:
\( x = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 900 \)
Buna göre \( x \)'in alabileceği en büyük değerin en küçük değere oranı \( \frac{900}{75} = 12 \) olur.
SORU 10:
\( a \) ve \( b \) birbirinden farklı asal sayılar olduğuna göre aşağıdakilerden hangileri doğrudur?
I. \( \text{EKOK}(a, b) = a \cdot b \)
II. \( \text{EBOB}(a^2, b^2) = 1 \)
III. \( \text{EKOK}(ab, a + b) = a^2 \cdot b + a \cdot b^2 \)
Çözümü Göster
Birbirinden farklı iki asal sayı 1 dışında ortak bölenleri olmadığı için aynı zamanda aralarında asaldır.
I. öncül: Aralarında asal sayıların EKOK'u sayıların çarpımına eşittir. I. öncül doğrudur.
II. öncül: Aralarında asal sayıların karelerinin de 1 dışında ortak böleni olmayacağı için kareleri de aralarında asal olur. II. öncül doğrudur.
\( a^2 \cdot b + a \cdot b^2 \) \( = ab(a + b) \)
III. öncül: Aralarında asal sayıların toplamları (\( a + b \)) ve çarpımları (\( ab \)) olan sayılar da aralarında asaldır, dolayısıyla bu iki sayının EKOK'ları toplamları ve çarpımlarının çarpımına eşit olur. III. öncül doğrudur.
Buna göre 3 öncül de doğrudur.
SORU 11:
\( \text{EKOK}(a, b, c) = 30 \) olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri doğrudur?
I. \( a + b + c \) toplamı en çok 90'dır.
II. \( a, b, c \) farklı sayılar ise \( a + b + c \) toplamı en çok 55'tir.
III. \( \text{EBOB}(a, b, c) = 2 \) ise \( a + b + c \) toplamı en az 20'dir
Çözümü Göster
I. öncül: EKOK'ları 30 olan sayılar en çok 30 olabilir. I. öncül doğrudur.
II. öncül: Sayılar farklı ise en büyük sayı yine 30 olabilir. Sonraki en büyük sayı 30'un en küçük bölenine bölümüne, yani \( \frac{30}{2} = 15 \)'e eşit olur. Bir sonraki en büyük sayı 30'un sonraki en küçük bölenine bölümüne, yani \( \frac{30}{3} = 10 \)'a eşit olur. Bu üç sayının toplamı 55 olur. II. öncül doğrudur.
III. öncül: Bu durumda her sayının içindeki tek ortak bölen 2 olmalıdır. Buna göre örneğin \( a = 2 \), \( b = 6 \) ve \( c = 10 \) olabilir. III. öncül yanlıştır.
Buna göre I. ve II. öncüller doğrudur.
SORU 12:
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( EKOK(a, b) = 2 \cdot EBOB(a, b) + 18 \) eşitliğini sağlayan kaç farklı \( (a, b) \) sıralı ikilisi yazılabilir?
Çözümü Göster
İki sayının EBOB'una \( k \) diyelim.
\( EBOB(a, b) = k \)
\( m \) ve \( n \) aralarında asal sayılar olmak üzere, \( a \) ve \( b \) sayılarını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( a = k \cdot m \)
\( b = k \cdot n \)
\( EKOK(a, b) = m \cdot n \cdot k \)
Soruda verilen eşitliği bu değişkenler cinsinden yazalım.
\( m \cdot n \cdot k = 2 \cdot k + 18 \)
\( k \cdot (m \cdot n - 2) = 18 \)
\( k \), \( m \) ve \( n \) birer tam sayı olduğu için \( k \)'nın alabileceği tüm pozitif tam sayı değerleri için \( (m, n) \) sıralı ikililerini bulalım.
\( m \) ve \( n \) sayılarının aralarında asal iki sayı olduğunu unutmayalım.
\( k = 1 \) olduğunda yazılabilecek sıralı ikililer:
\( (4, 5), (5, 4), (1, 20), (20, 1) \)
\( k = 2 \) olduğunda yazılabilecek sıralı ikililer:
\( (1, 11), (11, 1) \)
\( k = 3 \) olduğunda yazılabilecek sıralı ikililer:
\( (1, 8), (8, 1) \)
\( k = 6 \) olduğunda yazılabilecek sıralı ikililer:
\( (1, 5), (5, 1) \)
\( k = 9 \) olduğunda yazılabilecek sıralı ikililer:
\( (1, 4), (4, 1) \)
\( k = 18 \) olduğunda yazılabilecek sıralı ikililer:
\( (1, 3), (3, 1) \)
Bu 14 \( (m, n) \) sıralı ikilisinin her birinin bileşenlerini \( k \) ile çarptığımızda ayrı birer \( (a, b) \) sıralı ikilisi elde ederiz.
Dolayısıyla 14 farklı \( (a, b) \) sıralı ikilisi yazılabilir.
SORU 13:
\( A \) ve \( B \) sayılarının toplamlarının EKOK'larına oranı \( \frac{8}{15} \)'tir. \( EBOB(A, B) = 6 \) olduğuna göre, büyük olan sayı kaçtır?
Çözümü Göster
Sayıların EBOB'u 6 ise sayıları aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( m, n \) aralarında asal sayılar olmak üzere,
\( A = 6m \)
\( B = 6n \)
\( EKOK(A, B) = 6mn \)
\( \dfrac{A + B}{EKOK(A, B)} = \dfrac{8}{15} \)
\( \dfrac{6m + 6n}{6mn} = \dfrac{8}{15} \)
\( \dfrac{m + n}{mn} = \dfrac{8}{15} \)
Toplamları 8 ve çarpımları 15 olan aralarında asal iki sayı 5 ve 3'tür.
\( A \)'yı büyük sayı olarak kabul edelim.
\( m = 5, \quad n = 3 \)
\( A = 6m = 30 \) olarak bulunur.