Geometrik Dizi

Ardışık terimleri arasındaki oran sabit olan dizilere geometrik dizi denir. Geometrik dizilerde ardışık terimler arasındaki sabit orana ortak oran ya da ortak çarpan denir ve \( r \) ile gösterilir.

\( n \in \mathbb{Z^+} \) ve \( r \in \mathbb{R} \) olmak üzere, her \( n \) için,

\( \dfrac{a_{n + 1}}{a_n} = r \) ise bu dizi bir geometrik dizidir.

Geometrik dizilerin genel terimi aşağıdaki gibidir.

\( (a_n) = a_1 \cdot r^{n - 1} \)

\( (a_n) = (a_1, a_1 \cdot r, a_1 \cdot r^2, a_1 \cdot r^3, \ldots) \)

ÖRNEK:

\( (a_n) = 5 \cdot 2^n \)

Aşağıda genel terimleri verilen bazı dizilerin birer geometrik dizi olup olmadığı belirtilmiştir.

Genel Terim	Terimler	Açıklama
\( (a_n) = 3^n \)	\( (3, 9, 27, 81, \ldots) \)	Geometrik dizi (\( r = 3 \))
\( (a_n) = 3 \cdot 2^n \)	\( (6, 12, 24, 48, \ldots) \)	Geometrik dizi (\( r = 2 \))
\( (a_n) = {\left( \frac{2}{3} \right)}^{n - 1} \)	\( (1, \frac{2}{3}, \frac{4}{9}, \frac{8}{27}, \ldots) \)	Geometrik dizi (\( r = \frac{2}{3} \))
\( (a_n) = 5 \)	\( (5, 5, 5, 5, \ldots) \)	Geometrik dizi (\( r = 1 \))
\( (a_n) = n^2 \)	\( (1, 4, 9, 16, \ldots) \)	Geometrik dizi değil
\( (a_n) = 2^n - 1 \)	\( (1, 3, 7, 15, \ldots) \)	Geometrik dizi değil
\( (a_n) = \dfrac{n + 1}{n + 2} \)	\( (\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots) \)	Geometrik dizi değil

Geometrik dizilerin genel terimlerini \( x \)'in tabanının ortak orana eşit olduğu bir üstel fonksiyona benzetebiliriz (\( f(x) = k \cdot a^x \)). Buna göre, bir geometrik dizinin genel teriminde \( n \) bir reel sayının kuvveti olmalıdır ve ifade bunun dışında bir terim içermemelidir.

Bir geometrik dizinin artan/azalan/sabit dizi olması ortak oranının değerine göre değişir.

\( r \gt 1 \): Artan dizi

\( r = 1 \): Sabit dizi

\( 0 \lt r \lt 1 \): Azalan dizi

Geometrik diziler indirgemeli dizi olarak aşağıdaki şekilde ifade edilebilirler.

\( a_n = a_{n - 1} \cdot n \)

ÖRNEK:

Ortak oranı 2 olan bir geometrik dizinin indirgemeli dizi olarak tanımı:

\( a_n = a_{n - 1} \cdot 2 \)

Bir geometrik dizide n. terim, birinci ya da herhangi diğer bir terim cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:

Geometrik dizide terimlerin birbiri cinsinden ifadesi

\( a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} \)

\( a_n = a_p \cdot r^{n - p} \)

ÖRNEK:

1. terimi 3 ve ortak oranı 2 olan bir geometrik dizinin 8. terimi:

\( a_8 = 3 \cdot 2^{8 - 1} = 384 \)

5. terimi 243 ve ortak oranı \( \frac{1}{3} \) olan bir geometrik dizinin 12. terimi:

\( a_{12} = 243 \cdot (\frac{1}{3})^{12 - 5} = 3^5 \cdot \dfrac{1}{3^7} = \dfrac{1}{9} \)

Yukarıdaki formülü \( p. \) ve \( q. \) terimler cinsinden yazıp ortak oranı yalnız bırakırsak, ortak oranın dizinin herhangi iki teriminin oranının bu iki terimin indislerinin farkı derecesinde köküne eşit olduğunu buluruz.

\( q \gt p \) olmak üzere,

\( a_q = a_p \cdot r^{q - p} \)

Terimler ardışık ise,

\( r = \dfrac{a_q}{a_p} \)

Terimler ardışık değilse,

\( r = \sqrt[q - p]{\dfrac{a_q}{a_p}} \)

ÖRNEK:

5. terimi 3 ve 14. terimi 1536 olan bir geometrik dizinin ortak oranı:

\( r = \sqrt[14 - 5]{\dfrac{1536}{3}} \)

\( = \sqrt[9]{512} = 2 \)

Bir geometrik dizide bir terim, kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına (çarpımının kareköküne) eşittir. Bunun bir sonucu olarak, bir terimden eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı birbirine eşittir.

Geometrik dizide bir terimden eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı

\( a_n = \sqrt{a_{n - p} \cdot a_{n + p}} = \sqrt{a_{n - q} \cdot a_{n + q}} \)

\( {a_n}^2 = a_{n - p} \cdot a_{n + p} = a_{n - q} \cdot a_{n + q} \)

ÖRNEK:

\( (a_n) = 2^n \) olmak üzere,

\( a_{10} = 2^{10} \)

10. terime 2 terim uzaklıktaki iki terimin çarpımı:

\( a_{8} \cdot a_{12} = 2^8 \cdot 2^{12} = a_{10}^2 = 2^{20} \)

10. terime 5 terim uzaklıktaki iki terimin çarpımı:

\( a_{5} \cdot a_{15} = 2^5 \cdot 2^{15} = a_{10}^2 = 2^{20} \)

Yukarıdaki kuralın bir diğer sonucu olarak, bir geometrik dizinin ardışık üç teriminde ortadaki terim diğer iki terimin geometrik ortalamasına eşittir.

\( a_n = \sqrt{a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}} \)

Aynı kuralın bir diğer sonucu olarak, sonlu bir geometrik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan terimlerin çarpımı birbirine eşittir.

Yukarıdaki kuralı diğer bir şekilde ifade edersek, bir geometrik dizide indisleri toplamı birbirine eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir.

\( p + q = r + s \) ise,

\( a_p \cdot a_q = a_r \cdot a_s \)

ÖRNEK:

\( a_7 \cdot a_8 = a_1 \cdot a_{14} \)

\( a \) ve \( b \) sayılarının arasına \( n \) tane terim yerleştirerek oluşturulan bir geometrik dizinin ortak çarpanını aşağıdaki formülle bulabiliriz.

İki sayı arasında n terimle oluşturulan geometrik dizi

\( n \gt 0 \) olmak üzere,

\( r = \sqrt[n + 1]{\dfrac{b}{a}} \)

ÖRNEK:

128 ve 8 sayıları arasına 3 terim ekleyerek oluşturulan geometrik dizinin ortak oranı:

\( r = \sqrt[3 + 1]{\dfrac{8}{128}} = \dfrac{1}{2} \)

\( (a_n) = (128, 64, 32, 16, 8) \)

Geometrik dizilerde ilk n terimin toplamı \( S_n \) ile gösterilir ve aşağıdaki formülle hesaplanır:

\( r \ne 1 \) ve

\( S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n \) olmak üzere,

\( S_n = a_1 \cdot \dfrac{1 - r^n}{1 - r} \)

ÖRNEK:

1. terimi 3 ve ortak oranı 2 olan bir geometrik dizinin ilk 10 teriminin toplamı:

\( S_n = 3 \cdot \dfrac{1 - 2^{10}}{1 - 2} \)

\( = 3 \cdot 1023 = 3069 \)

İSPATI GÖSTER

Bir dizi hem aritmetik hem de geometrik dizi ise bu dizi sabit dizidir. Sabit bir dizinin aritmetik dizi olarak ortak farkı 0, geometrik dizi olarak ortak çarpanı 1'dir.

SORU 1:

Bir ortamdaki negatif iyonların sayısı her 20 dakikada bir üçte birine inmektedir. Başlangıçta ortamda \( 9^{40} \) negatif iyon olduğuna göre, 7. saatin sonunda ortamdaki negatif iyon sayısı kaçtır?