Geometrik Dizi

Ardışık terimleri arasındaki oran sabit olan dizilere geometrik dizi denir. Geometrik dizilerde ardışık terimler arasındaki sabit orana ortak oran ya da ortak çarpan denir ve \( r \) ile gösterilir.

Geometrik dizi
Geometrik dizi

Geometrik dizilerin genel terimi aşağıdaki gibidir.

Aşağıda genel terimleri verilen bazı dizilerin birer geometrik dizi olup olmadığı belirtilmiştir.

Genel Terim Terimler Açıklama
\( (a_n) = 3^n \) \( (3, 9, 27, 81, \ldots) \) Geometrik dizi (\( r = 3 \))
\( (a_n) = 3 \cdot 2^n \) \( (6, 12, 24, 48, \ldots) \) Geometrik dizi (\( r = 2 \))
\( (a_n) = {\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{n - 1} \) \( (1, \frac{2}{3}, \frac{4}{9}, \frac{8}{27}, \ldots) \) Geometrik dizi (\( r = \dfrac{2}{3} \))
\( (a_n) = 5 \) \( (5, 5, 5, 5, \ldots) \) Geometrik dizi (\( r = 1 \))
\( (a_n) = n^2 \) \( (1, 4, 9, 16, \ldots) \) Geometrik dizi değil
\( (a_n) = 2^n - 1 \) \( (1, 3, 7, 15, \ldots) \) Geometrik dizi değil
\( (a_n) = \dfrac{n + 1}{n + 2} \) \( (\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots) \) Geometrik dizi değil

Geometrik dizilerin genel terimlerini \( x \)'in tabanının ortak orana eşit olduğu bir üstel fonksiyona benzetebiliriz (\( f(x) = k \cdot a^x \)). Buna göre, bir geometrik dizinin genel teriminde \( n \) bir reel sayının kuvveti olmalıdır ve ifade bunun dışında bir terim içermemelidir.

Bir geometrik dizinin artan/azalan/sabit dizi olması ortak oranının değerine göre değişir.

Geometrik diziler indirgemeli dizi olarak aşağıdaki şekilde ifade edilebilirler.

Bir geometrik dizide n. terim, birinci ya da herhangi diğer bir terim cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:

Geometrik dizide terimlerin birbiri cinsinden ifadesi
Geometrik dizide terimlerin birbiri cinsinden ifadesi

Yukarıdaki formülü \( p. \) ve \( q. \) terimler cinsinden yazıp ortak oranı yalnız bırakırsak, ortak oranın dizinin herhangi iki teriminin oranının bu iki terimin indislerinin farkı derecesinde köküne eşit olduğunu buluruz.

Bir geometrik dizide bir terim, kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına (çarpımının kareköküne) eşittir. Bunun bir sonucu olarak, bir terimden eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı birbirine eşittir.

Geometrik dizide bir terimden eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı
Geometrik dizide bir terimden eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı

Yukarıdaki kuralın bir diğer sonucu olarak, sonlu bir geometrik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan terimlerin çarpımı birbirine eşittir.

Yukarıdaki kuralı diğer bir şekilde ifade edersek, bir geometrik dizide indisleri toplamı birbirine eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir.

\( a \) ve \( b \) sayılarının arasına \( n \) tane terim yerleştirerek oluşturulan bir geometrik dizinin ortak çarpanını aşağıdaki formülle bulabiliriz.

İki sayı arasında n terimle oluşturulan geometrik dizi
İki sayı arasında n terimle oluşturulan geometrik dizi

Geometrik dizilerde ilk n terimin toplamı \( S_n \) ile gösterilir ve aşağıdaki formülle hesaplanır:

Bir dizi hem aritmetik hem de geometrik dizi ise bu dizi sabit dizidir. Sabit bir dizinin aritmetik dizi olarak ortak farkı 0, geometrik dizi olarak ortak çarpanı 1'dir.

SORU:

Bir ortamdaki negatif iyonların sayısı her 20 dakikada bir üçte birine inmektedir. Başlangıçta ortamda \( 9^{40} \) negatif iyon olduğuna göre, 7. saatin sonunda ortamdaki negatif iyon sayısını bulalım.

Çözümü Göster


« Önceki
Aritmetik Dizi
Sonraki »
Diğer Diziler


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır