Konu tekrarı için: Periyodik Fonksiyon | Fonksiyonların Dönüşümü | Trigonometrik Fonksiyon Grafikleri
Trigonometrik fonksiyonlar birer periyodik fonksiyondur ve her fonksiyon için aşağıdaki eşitlik sağlanır.
\( T \) fonksiyonun esas periyodu ve \( T \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( f(x + T) = f(x) \)
Trigonometrik fonksiyonların ve farklı dönüşümlerinin periyotları aşağıdaki formüllerle bulunabilir.
Trigonometrik fonksiyon grafikleri bölümünde gördüğümüz gibi, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının periyodu \( 2\pi \) radyandır.
\( f(x) = \sin(x) \)
\( g(x) = \cos(x) \)
\( T_f = T_g = 2\pi \)
Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının farklı dönüşümlerinin periyodu aşağıdaki formülle bulunur.
\( f(x) = a \cdot \sin^n(cx + d) + b \)
\( g(x) = a \cdot \cos^n(cx + d) + b \)
\( n \) tek sayı ise \( T_f = T_g = \dfrac{2\pi}{\abs{c}} \)
\( n \) çift sayı ise \( T_f = T_g = \dfrac{\pi}{\abs{c}} \)
\( f(x) = 2\sin^2(3x) + 1 \) ise,
\( T_f = \dfrac{\pi}{3} \)
\( g(x) = -\cos^3(5x - \frac{\pi}{3}) \) ise,
\( T_g = \dfrac{2\pi}{5} \)
Bu formüllerin mantığını şu şekilde açıklayabiliriz.
Trigonometrik fonksiyon grafikleri bölümünde gördüğümüz gibi, tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının periyodu \( \pi \) radyandır.
\( f(x) = \tan(x) \)
\( g(x) = \cot(x) \)
\( T_f = T_g = \pi \)
Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının farklı dönüşümlerinin periyodu aşağıdaki formülle bulunur.
\( f(x) = a \cdot \tan^n(cx + d) + b \)
\( g(x) = a \cdot \cot^n(cx + d) + b \)
\( T_f = T_g = \dfrac{\pi}{\abs{c}} \)
\( f(x) = -\tan^2(4x) + 1 \) ise,
\( T_f = \dfrac{\pi}{4} \)
\( g(x) = 5\cot^3(2x - \frac{\pi}{4}) \) ise,
\( T_g = \dfrac{\pi}{2} \)
Bu formüllerin mantığı hakkında yukarıda sinüs/kosinüs bölümündeki ilk 5 madde tanjant/kotanjant grafikleri için de geçerlidir.
Bu maddelere ek olarak, \( n \) değeri çift sayı olduğunda fonksiyonun negatif değerleri pozitife döner, ancak aşağıdaki şekilde gibi grafiğin \( [0, \frac{\pi}{2}] \) ve \( [\frac{\pi}{2}, \pi] \) aralıkları birbirinin tekrarı değil, dikey bir doğruya göre simetriği olur, bu yüzden grafiğin periyodu değişmez.
\( f \) ve \( g \) iki periyodik fonksiyon olmak üzere, \( f \pm g \) fonksiyonunun esas periyodu, bu fonksiyonların esas periyotlarının EKOK'una (ortak katlarının en küçüğüne) eşittir.
\( T_f = \dfrac{a}{b} \)
\( T_g = \dfrac{c}{d} \) olmak üzere,
\( T_{f \pm g} = EKOK \left( \dfrac{a}{b}, \dfrac{c}{d} \right) \) \( = \dfrac{EKOK(a, c)}{EBOB(b, d)} \)
\( T_f = \dfrac{3\pi}{4} \)
\( T_g = \dfrac{2\pi}{5} \) ise,
\( T_{f + g} = \dfrac{EKOK(3, 2)}{EBOB(4, 5)}\pi \)
\( = \dfrac{6}{1}\pi = 6\pi \)
\( f(x) = \sin(8x) + 3\cos(5x) \)
fonksiyonunun esas periyodu nedir?
Çözümü Göster\( f(x) = 5 - 4\tan{\frac{3 - 2x}{3}} \) fonksiyonunun esas periyodu kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = 6\pi - 4\cot^4(\frac{3x - 1}{m}) \)
fonksiyonunun esas periyodu \( 2\pi \) ise, \( m \)'nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = 4\sin^2(\frac{2 - x}{3}) + \sin^3(3x + 1) \)
fonksiyonunun esas periyodu nedir?
Çözümü Göster\( 0 \le x \le 2\pi \) olmak üzere,
\( \sin^2(kx) = \dfrac{7}{11} \)
denklemini sağlayan 16 tane \( x \) değeri olduğuna göre, \( k \) kaçtır?
Çözümü Göster\( \cos(\sin{x}) \) fonksiyonunun periyodu kaçtır?
Çözümü Göster