Fonksiyonların Dönüşümü

Bir fonksiyonun tanımında yapılan belirli değişiklikler sonucunda fonksiyon grafiğinde meydana gelen konum ve şekil değişikliklerine dönüşüm denir.

Hatırlatma olarak, bir fonksiyonda \( x \) değerleri fonksiyonun tanım kümesini ve girdi değerlerini, \( f(x) \) değerleri de fonksiyonun görüntü kümesini ve çıktı değerlerini temsil eder.

Girdi ve çıktı olarak tanım ve görüntü kümeleri
Girdi ve çıktı olarak tanım ve görüntü kümeleri

Dönüşüm Tipleri

Dönüşümleri üç başlık altında inceleyebiliriz.

Dikey Dönüşümler

Dikey (çıktıdaki) dönüşümler \( f(x) \) ifadesinin bütününe uygulanan ve fonksiyonun çıktısı olan \( y = f(x) \) değerinde değişikliğe yol açan dönüşümlerdir. Bu dönüşümler fonksiyon grafiğinde \( y \) ekseni boyunca (dikey yönde) konum ve şekil değişimlerine yol açar.

Bir fonksiyona aşağıdaki şekildeki işlemleri kullanarak öteleme, daralma/genişleme, yansıma ve mutlak değer olmak üzere dört dikey dönüşüm uygulayabiliriz. Bu dönüşümlerin her birini önümüzdeki bölümlerde inceleyeceğiz.

Dikey (girdideki) dönüşümler
Dikey (girdideki) dönüşümler

Yatay Dönüşümler

Yatay (girdideki) dönüşümler \( f(x) \) ifadesinde parantezin içine uygulanan ve fonksiyonun girdisi olan \( x \) değerinde değişikliğe yol açan dönüşümlerdir. Bu dönüşümler fonksiyon grafiğinde \( x \) ekseni boyunca (yatay yönde) konum ve şekil değişimlerine yol açar.

Bir fonksiyona aşağıdaki şekildeki işlemleri kullanarak öteleme, daralma/genişleme, yansıma ve mutlak değer olmak üzere dört yatay dönüşüm uygulayabiliriz. Bu dönüşümlerin her birini önümüzdeki bölümlerde inceleyeceğiz.

Yatay (çıktıdaki) dönüşümler
Yatay (çıktıdaki) dönüşümler

Aşağıdaki örnekte dikey ve yatay dönüşümlerin fonksiyon değerlerine olan etkisini görebiliriz.

\( x \) \( f(x) = x^2 \) \( g(x) = f(x) + 2 \) \( h(x) = f(x + 2) \)
\( 0 \) \( 0 \) \( 2 \) \( 4 \)
\( 1 \) \( 1 \) \( 3 \) \( 9 \)
\( 2 \) \( 4 \) \( 6 \) \( 16 \)
\( 3 \) \( 9 \) \( 11 \) \( 25 \)
\( 4 \) \( 16 \) \( 18 \) \( 36 \)
\( 5 \) \( 25 \) \( 27 \) \( 49 \)
\( 6 \) \( 36 \) \( 38 \) \( 64 \)

Bu tablodan yapabileceğimiz iki çıkarım aşağıdaki gibidir.

  • Dikey (çıktıdaki) bir dönüşüm sonucunda fonksiyon aynı \( x \) değeri için yeni bir \( y \) değeri üretmektedir, bu da fonksiyon grafiğinde \( y \) ekseni boyunca (dikey) bir değişime yol açmaktadır.
  • Yatay (girdideki) bir dönüşüm sonucunda (renkli kodlamalarda görülebileceği gibi) fonksiyon aynı \( y \) değerini farklı bir \( x \) değeriyle üretmektedir, bu da fonksiyon grafiğinde \( x \) ekseni boyunca (yatay) bir değişime yol açmaktadır.

Döndürme

Bu dönüşümler fonksiyon grafiğini orijin etrafında belirli açılarda döndüren dönüşümlerdir.

Dikey ve Yatay Dönüşüm Tipleri

Dikey ve yatay dönüşümleri fonksiyon grafiğinin şekil ve konumunda oluşturdukları değişim açısından dört başlık altında inceleyebiliriz.

Dönüşüm Tipi Dikey Dönüşüm Yatay Dönüşüm
Ötemele \( f(x) + k \) \( f(x + c) \)
Daralma/Genişleme \( a \cdot f(x) \) \( f(bx) \)
Yansıma (Simetri) \( -f(x) \) \( f(-x) \)
Mutlak Değer \( \abs{f(x)} \) \( f(\abs{x}) \)

Bir fonksiyona uygulanabilecek dikey ve yatay dönüşümler (mutlak değer dönüşümü dışında) aşağıdaki şekilde özetlenmiştir. Görülebileceği gibi, dikey dönüşümler parantezin dışına, yani fonksiyonun çıktısına, yatay dönüşümler de parantezin içine, yani fonksiyonun girdisine uygulanmaktadır.

Dikey ve yatay dönüşümler
Dikey ve yatay dönüşümler

Farklı \( f(x) \) fonksiyonlarına \( g(x) = -3f(2(x + 1)) - 4 \) dönüşümü uygulandığında oluşan yeni fonksiyonlar aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Fonksiyon Dönüşüm
\( f(x) = x \) \( g(x) = -3(2(x + 1)) - 4 \)
\( f(x) = x^2 \) \( g(x) = -3(2(x + 1))^2 - 4 \)
\( f(x) = \sqrt{x} \) \( g(x) = -3\sqrt{2(x + 1)} - 4 \)
\( f(x) = \sin{x} \) \( g(x) = -3\sin(2(x + 1)) - 4 \)
\( f(x) = 2^x \) \( g(x) = -3 \cdot 2^{2(x + 1)} - 4 \)
\( f(x) = \log{x} \) \( g(x) = -3\log(2(x + 1)) - 4 \)
\( f(x) = \abs{x} \) \( g(x) = -3\abs{2(x + 1)} - 4 \)
SORU:

\( f(x) = (x - 1)^2 \) fonksiyonu \( a \) birim sağa \( b \) birim yukarı ötelendiğinde \( g(x) = (x - 4)^2 + 2 \) fonksiyonu elde edildiğine göre \( a + b \) kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( f(x) = 2 - e^{3x + 4} \) fonksiyonu önce 3 birim sağa ötelenirse, sonra \( x \) eksenine göre simetriği alınıp 1 birim yukarı ötelenirse elde edilen yeni fonksiyon ne olur?

Çözümü Göster


SORU:

Tepe noktasının koordinatları \( (3, -1) \) olan \( f(x) \) parabolünün \( -f(-x + 3) - 2 \) dönüşümünden sonraki tepe noktasının koordinatları nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( f(x) = \dfrac{1}{2x + 6} - 4 \) eğrisine hangi ötelemeler yapılırsa \( f(x) = \dfrac{1}{2x} \) fonksiyonu elde edilir?

Çözümü Göster


« Önceki
Sürekli ve Süreksiz Fonksiyonlar
Sonraki »
Öteleme


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır