Fonksiyonların Dönüşümü
Bir fonksiyonun tanımında yapılan belirli değişiklikler sonucunda fonksiyon grafiğinde meydana gelen konum ve şekil değişikliklerine dönüşüm denir.
Hatırlatma olarak, bir fonksiyonda \( x \) değerleri fonksiyonun tanım kümesini ve girdi değerlerini, \( f(x) \) değerleri de fonksiyonun görüntü kümesini ve çıktı değerlerini temsil eder.
Dönüşüm Tipleri
Dönüşümleri üç başlık altında inceleyebiliriz.
Dikey Dönüşümler
Dikey (çıktıdaki) dönüşümler \( f(x) \) ifadesinin bütününe uygulanan ve fonksiyonun çıktısı olan \( y = f(x) \) değerinde değişikliğe yol açan dönüşümlerdir. Bu dönüşümler fonksiyon grafiğinde \( y \) ekseni boyunca (dikey yönde) konum ve şekil değişimlerine yol açar.
Bir fonksiyona aşağıdaki şekildeki işlemleri kullanarak öteleme, daralma/genişleme, yansıma ve mutlak değer olmak üzere dört dikey dönüşüm uygulayabiliriz. Bu dönüşümlerin her birini önümüzdeki bölümlerde inceleyeceğiz.
\( f(x) = x^2 \) olmak üzere,
\( g(x) = -3f(x) + 2 \) \( = -3x^2 + 2 \)
Yatay Dönüşümler
Yatay (girdideki) dönüşümler \( f(x) \) ifadesinde parantezin içine uygulanan ve fonksiyonun girdisi olan \( x \) değerinde değişikliğe yol açan dönüşümlerdir. Bu dönüşümler fonksiyon grafiğinde \( x \) ekseni boyunca (yatay yönde) konum ve şekil değişimlerine yol açar.
Bir fonksiyona aşağıdaki şekildeki işlemleri kullanarak öteleme, daralma/genişleme, yansıma ve mutlak değer olmak üzere dört yatay dönüşüm uygulayabiliriz. Bu dönüşümlerin her birini önümüzdeki bölümlerde inceleyeceğiz.
\( f(x) = x^2 \) olmak üzere,
\( g(x) = f(-2(x + 1)) \) \( = (-2(x + 1))^2 \)
Aşağıdaki örnekte dikey ve yatay dönüşümlerin fonksiyon değerlerine olan etkisini görebiliriz.
| \( x \) | \( f(x) = x^2 \) | \( g(x) = f(x) + 2 \) | \( h(x) = f(x + 2) \) |
|---|---|---|---|
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 2 \) | \( 4 \) |
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 3 \) | \( 9 \) |
| \( 2 \) | \( 4 \) | \( 6 \) | \( 16 \) |
| \( 3 \) | \( 9 \) | \( 11 \) | \( 25 \) |
| \( 4 \) | \( 16 \) | \( 18 \) | \( 36 \) |
| \( 5 \) | \( 25 \) | \( 27 \) | \( 49 \) |
| \( 6 \) | \( 36 \) | \( 38 \) | \( 64 \) |
Bu tablodan yapabileceğimiz iki çıkarım aşağıdaki gibidir.
- Dikey (çıktıdaki) bir dönüşüm sonucunda fonksiyon aynı \( x \) değeri için yeni bir \( y \) değeri üretmektedir, bu da fonksiyon grafiğinde \( y \) ekseni boyunca (dikey) bir değişime yol açmaktadır.
- Yatay (girdideki) bir dönüşüm sonucunda (renkli kodlamalarda görülebileceği gibi) fonksiyon aynı \( y \) değerini farklı bir \( x \) değeriyle üretmektedir, bu da fonksiyon grafiğinde \( x \) ekseni boyunca (yatay) bir değişime yol açmaktadır.
Döndürme
Bu dönüşümler fonksiyon grafiğini orijin etrafında belirli açılarda döndüren dönüşümlerdir.
Dikey ve Yatay Dönüşüm Tipleri
Dikey ve yatay dönüşümleri fonksiyon grafiğinin şekil ve konumunda oluşturdukları değişim açısından dört başlık altında inceleyebiliriz.
| Dönüşüm Tipi | Dikey Dönüşüm | Yatay Dönüşüm |
|---|---|---|
| Ötemele | \( f(x) + k \) | \( f(x + c) \) |
| Daralma/Genişleme | \( a \cdot f(x) \) | \( f(bx) \) |
| Yansıma (Simetri) | \( -f(x) \) | \( f(-x) \) |
| Mutlak Değer | \( \abs{f(x)} \) | \( f(\abs{x}) \) |
Bir fonksiyona uygulanabilecek dikey ve yatay dönüşümler (mutlak değer dönüşümü dışında) aşağıdaki şekilde özetlenmiştir. Görülebileceği gibi, dikey dönüşümler parantezin dışına, yani fonksiyonun çıktısına, yatay dönüşümler de parantezin içine, yani fonksiyonun girdisine uygulanmaktadır.
Farklı \( f(x) \) fonksiyonlarına \( g(x) = -3f(2(x + 1)) - 4 \) dönüşümü uygulandığında oluşan yeni fonksiyonlar aşağıdaki tabloda verilmiştir.
| Fonksiyon | Dönüşüm |
|---|---|
| \( f(x) = x \) | \( g(x) = -3(2(x + 1)) - 4 \) |
| \( f(x) = x^2 \) | \( g(x) = -3(2(x + 1))^2 - 4 \) |
| \( f(x) = \sqrt{x} \) | \( g(x) = -3\sqrt{2(x + 1)} - 4 \) |
| \( f(x) = \sin{x} \) | \( g(x) = -3\sin(2(x + 1)) - 4 \) |
| \( f(x) = 2^x \) | \( g(x) = -3 \cdot 2^{2(x + 1)} - 4 \) |
| \( f(x) = \log{x} \) | \( g(x) = -3\log(2(x + 1)) - 4 \) |
| \( f(x) = \abs{x} \) | \( g(x) = -3\abs{2(x + 1)} - 4 \) |
\( f(x) = (x - 1)^2 \) fonksiyonu \( a \) birim sağa \( b \) birim yukarı ötelendiğinde \( g(x) = (x - 4)^2 + 2 \) fonksiyonu elde edildiğine göre \( a + b \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = 2 - e^{3x + 4} \) fonksiyonu önce 3 birim sağa ötelenirse, sonra \( x \) eksenine göre simetriği alınıp 1 birim yukarı ötelenirse elde edilen yeni fonksiyon ne olur?
Çözümü GösterTepe noktasının koordinatları \( (3, -1) \) olan \( f(x) \) parabolünün \( -f(-x + 3) - 2 \) dönüşümünden sonraki tepe noktasının koordinatları nedir?
Çözümü Göster\( f(x) = \dfrac{1}{2x + 6} - 4 \) eğrisine hangi ötelemeler yapılırsa \( f(x) = \dfrac{1}{2x} \) fonksiyonu elde edilir?
Çözümü Göster\( f(x) = 5^{x^2} \) ve \( g(x) = 5^{x^2 - 6x + 7} \) fonksiyonları veriliyor.
Buna göre \( g(x) \) fonksiyonunu \( f(x) \) cinsinden yazınız.
Çözümü Göster
Verilen grafik \( y = f(x + 1) \) fonksiyonuna ait olduğuna göre \( f(2x + 7) \) fonksiyonunun kökler toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = x^2 - 5x + 1 \) fonksiyonunun grafiği 3 birim sağa ve 5 birim yukarı ötelendiğinde elde edilen grafiğin \( x \) eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamı kaçtır?
Çözümü Göster