Noktanın Simetriği
Bir noktanın eksenlere, bir doğruya ya da bir noktaya göre simetriğini bulmak için o noktanın apsis ve ordinat değerlerine belirli dönüşümler uygulanır. Bir noktanın simetriğini bulurken aşağıdaki temel kurallar akılda tutulmalıdır.
\( A \) noktasının \( S \) noktasına göre simetriği \( A' \) noktası ise \( S \) noktası \( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası olur.
\( A \) noktasının \( d \) doğrusuna göre simetriği olan \( A' \) noktası için aşağıdaki iki koşul sağlanır.
- \( [AA'] \) doğru parçası \( d \) doğrusunu dik keser.
- \( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( d \) doğrusu üzerindedir. Bir diğer ifadeyle, \( A \) ve \( A' \) noktalarının \( d \) doğrusuna uzaklıkları birbirine eşittir.
Bir noktanın kendisine ya da üzerinde bulunduğu bir doğruya göre simetriği yine kendisi olur.
Bir noktanın diğer bir noktaya ya da bir doğruya göre simetriğinin aynı nokta ya da doğruya göre ikinci kez simetriği alındığında orijinal nokta elde edilir.
Bir noktanın farklı simetrileri için uygulanması gereken dönüşümler aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.
\( x \) Eksenine Göre
Bir \( A \) noktasının \( x \) eksenine göre simetriği alınırken apsis aynı kalır, ordinat işaret değiştirir.
\( A(a, b) \longmapsto A'(a, -b) \)
\( A(-8, 3) \longmapsto A'(-8, -3) \)
\( B(0, -4) \longmapsto B'(0, 4) \)
İSPATI GÖSTER
\( A \) noktasının \( d \) doğrusuna göre simetriği olan \( A' \) noktası için aşağıdaki iki koşul sağlanmalıdır.
- \( [AA'] \) doğru parçası \( d \) doğrusunu dik keser.
- \( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( d \) doğrusu üzerindedir. Bir diğer ifadeyle, \( A \) ve \( A' \) noktalarının \( d \) doğrusuna uzaklıkları birbirine eşittir.
\( A(a, b) \) noktasının \( x \) eksenine göre simetriği olan noktaya \( A'(x, y) \) diyelim.
\( x \) ekseni yatay bir doğrudur. \( [AA'] \) doğru parçasının \( x \) eksenini dik kesmesi için doğru parçası dikey olmalıdır, dolayısıyla \( A \) ve \( A' \) noktalarının apsis değerleri birbirine eşit olmalıdır.
\( A'(a, y) \)
\( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( x \) ekseni üzerinde olmalıdır, dolayısıyla orta noktanın ordinatı sıfır olmalıdır.
\( \dfrac{b + y}{2} = 0 \)
\( y = -b \)
Buna göre \( A(a, b) \) noktasının \( x \) eksenine göre simetriği \( A'(a, -b) \) noktasıdır.
\( y \) Eksenine Göre
Bir \( A \) noktasının \( y \) eksenine göre simetriği alınırken ordinat aynı kalır, apsis işaret değiştirir.
\( A(a, b) \longmapsto A'(-a, b) \)
\( A(5, -4) \longmapsto A'(-5, -4) \)
\( B(\frac{3}{2}, 0) \longmapsto B'(-\frac{3}{2}, 0) \)
İSPATI GÖSTER
\( A \) noktasının \( d \) doğrusuna göre simetriği olan \( A' \) noktası için aşağıdaki iki koşul sağlanmalıdır.
- \( [AA'] \) doğru parçası \( d \) doğrusunu dik keser.
- \( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( d \) doğrusu üzerindedir. Bir diğer ifadeyle, \( A \) ve \( A' \) noktalarının \( d \) doğrusuna uzaklıkları birbirine eşittir.
\( A(a, b) \) noktasının \( y \) eksenine göre simetriği olan noktaya \( A'(x, y) \) diyelim.
\( y \) ekseni dikey bir doğrudur. \( [AA'] \) doğru parçasının \( y \) eksenini dik kesmesi için doğru parçası yatay olmalıdır, dolayısıyla \( A \) ve \( A' \) noktalarının ordinat değerleri birbirine eşit olmalıdır.
\( A'(x, b) \)
\( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( y \) ekseni üzerinde olmalıdır, dolayısıyla orta noktanın apsisi sıfır olmalıdır.
\( \dfrac{a + x}{2} = 0 \)
\( x = -a \)
Buna göre \( A(a, b) \) noktasının \( y \) eksenine göre simetriği \( A'(-a, b) \) noktasıdır.
Orijine Göre
Bir \( A \) noktasının orijine göre simetriği alınırken apsis ve ordinat işaret değiştirir.
\( A(a, b) \longmapsto A'(-a, -b) \)
\( A(-4, 5) \longmapsto A'(4, -5) \)
\( B(3, -3) \longmapsto B'(-3, 3) \)
İSPATI GÖSTER
\( A \) noktasının \( S \) noktasına göre simetriği \( A' \) noktası ise \( S \) noktası \( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası olmalıdır.
\( A(a, b) \) noktasının orijine (\( O(0, 0) \) noktasına) göre simetriği olan noktaya \( A'(x, y) \) diyelim.
Orta noktanın apsis ve ordinat değerleri için orta nokta koordinat formüllerini kullanalım.
\( \dfrac{a + x}{2} = 0 \)
\( x = -a \)
\( \dfrac{b + y}{2} = 0 \)
\( y = -b \)
Buna göre \( A(a, b) \) noktasının orijine göre simetriği \( A'(-a, -b) \) noktasıdır.
\( y = x \) Doğrusuna Göre
Bir \( A \) noktasının \( y = x \) doğrusuna göre simetriği alınırken apsis ve ordinat yer değiştirir.
\( A(a, b) \longmapsto A'(b, a) \)
\( A(-3, 7) \longmapsto A'(7, -3) \)
\( B(6, 0) \longmapsto B'(0, 6) \)
İSPATI GÖSTER
\( A \) noktasının \( d \) doğrusuna göre simetriği olan \( A' \) noktası için aşağıdaki iki koşul sağlanmalıdır.
- \( [AA'] \) doğru parçası \( d \) doğrusunu dik keser.
- \( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( d \) doğrusu üzerindedir. Bir diğer ifadeyle, \( A \) ve \( A' \) noktalarının \( d \) doğrusuna uzaklıkları birbirine eşittir.
\( A(a, b) \) noktasının \( y = x \) doğrusuna göre simetriği olan noktaya \( A'(x, y) \) diyelim.
\( y = x \) doğrusunun eğimi \( 1 \)'dir. \( [AA'] \) doğru parçasının \( y = x \) doğrusunu dik kesmesi için eğimi \( -1 \) olmalıdır.
\( [AA'] \) doğru parçasının eğimini hesaplayalım.
\( \dfrac{y - b}{x - a} = -1 \)
\( x + y = a + b \)
\( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( y = x \) doğrusu üzerinde olmalıdır, dolayısıyla apsis ve ordinatları değerleri \( y = x \) eşitliğini sağlanmalıdır.
Orta noktanın apsis ve ordinat değerleri için orta nokta koordinat formüllerini kullanalım.
\( \dfrac{b + y}{2} = \dfrac{a + x}{2} \)
\( x - y = b - a \)
\( x \) ve \( y \) için bulduğumuz iki denklemi taraf tarafa toplayalım.
\( 2x = 2b \Longrightarrow x = b \)
\( x = b \) değerini birinci denklemde yerine koyarak \( y \) değerini bulalım.
\( b + y = a + b \Longrightarrow y = a \)
Buna göre \( A(a, b) \) noktasının \( y = x \) doğrusuna göre simetriği \( A'(b, a) \) noktasıdır.
\( y = -x \) Doğrusuna Göre
Bir \( A \) noktasının \( y = x \) doğrusuna göre simetriği alınırken apsis ve ordinat işaret ve yer değiştirir.
\( A(a, b) \longmapsto A'(-b, -a) \)
\( A(4, -6) \longmapsto A'(6, -4) \)
\( B(0, -5) \longmapsto B'(5, 0) \)
İSPATI GÖSTER
\( A \) noktasının \( d \) doğrusuna göre simetriği olan \( A' \) noktası için aşağıdaki iki koşul sağlanmalıdır.
- \( [AA'] \) doğru parçası \( d \) doğrusunu dik keser.
- \( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( d \) doğrusu üzerindedir. Bir diğer ifadeyle, \( A \) ve \( A' \) noktalarının \( d \) doğrusuna uzaklıkları birbirine eşittir.
\( A(a, b) \) noktasının \( y = -x \) doğrusuna göre simetriği olan noktaya \( A'(x, y) \) diyelim.
\( y = x \) doğrusunun eğimi \( -1 \)'dir. \( [AA'] \) doğru parçasının \( y = -x \) doğrusunu dik kesmesi için eğimi \( 1 \) olmalıdır.
\( [AA'] \) doğru parçasının eğimini hesaplayalım.
\( \dfrac{y - b}{x - a} = 1 \)
\( x - y = a - b \)
\( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( y = -x \) doğrusu üzerinde olmalıdır, dolayısıyla apsis ve ordinatları değerleri \( y = -x \) eşitliğini sağlanmalıdır.
Orta noktanın apsis ve ordinat değerleri için orta nokta koordinat formüllerini kullanalım.
\( \dfrac{b + y}{2} = -\dfrac{a + x}{2} \)
\( x + y = -a - b \)
\( x \) ve \( y \) için bulduğumuz iki denklemi taraf tarafa toplayalım.
\( 2x = -2b \Longrightarrow x = -b \)
\( x = -b \) değerini ikinci denklemde yerine koyarak \( y \) değerini bulalım.
\( -b + y = -a - b \Longrightarrow y = -a \)
Buna göre \( A(a, b) \) noktasının \( y = -x \) doğrusuna göre simetriği \( A'(-b, -a) \) noktasıdır.
Bir Noktaya Göre
Bir \( A \) noktasının \( S \) noktasına göre simetriği alındığında \( S \) noktası \( A \) ve simetriği olan \( A'\) noktalarının orta noktası olur.
Simetri noktası \( S(m, n) \) olmak üzere,
\( A(a, b) \longmapsto A'(2m - a, 2n - b) \)
\( A(3, 1) \) noktasının \( S(1, 2) \) noktasına göre simetriği:
\( A'(2(1) - 3, 2(2) - 1) = A'(-1, 3) \)
İSPATI GÖSTER
\( A \) noktasının \( S \) noktasına göre simetriği \( A' \) noktası ise \( S \) noktası \( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası olmalıdır.
\( A(a, b) \) noktasının \( S(m, n) \) noktasına göre simetriği olan noktaya \( A'(x, y) \) diyelim.
Orta noktanın apsis ve ordinat değerleri için orta nokta koordinat formüllerini kullanalım.
\( \dfrac{a + x}{2} = m \)
\( x = 2m - a \)
\( \dfrac{b + y}{2} = n \)
\( y = 2n - b \)
Buna göre \( A(a, b) \) noktasının \( S(m, n) \) noktasına göre simetriği \( A'(2m - a, 2n - b) \) noktasıdır.
\( y = n \) Doğrusuna Göre
Bir \( A \) noktasının \( y = n \) doğrusuna göre simetriği alınırken noktanın simetri doğrusu üzerinde aynı apsis değerli noktaya göre simetriği alınır.
\( A(a, b) \longmapsto A'(a, 2n - b) \)
\( A(3, 1) \) noktasının \( y = -1 \) doğrusuna göre simetriği:
\( A'(3, 2(-1) - 1) = A'(3, -3) \)
İSPATI GÖSTER
\( A \) noktasının \( d \) doğrusuna göre simetriği olan \( A' \) noktası için aşağıdaki iki koşul sağlanmalıdır.
- \( [AA'] \) doğru parçası \( d \) doğrusunu dik keser.
- \( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( d \) doğrusu üzerindedir. Bir diğer ifadeyle, \( A \) ve \( A' \) noktalarının \( d \) doğrusuna uzaklıkları birbirine eşittir.
\( A(a, b) \) noktasının \( y = n \) doğrusuna göre simetriği olan noktaya \( A'(x, y) \) diyelim.
\( y = n \) doğrusu yatay bir doğrudur. \( [AA'] \) doğru parçasının \( y = n \) doğrusunu dik kesmesi için doğru parçası dikey olmalıdır, dolayısıyla \( A \) ve \( A' \) noktalarının apsis değerleri birbirine eşit olmalıdır.
\( A'(a, y) \)
\( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( y = n \) doğrusu üzerinde olmalıdır, dolayısıyla orta noktanın ordinatı \( n \) olmalıdır.
\( \dfrac{b + y}{2} = n \)
\( y = 2n - b \)
Buna göre \( A(a, b) \) noktasının \( y = n \) doğrusuna göre simetriği \( A'(a, 2n - b) \) noktasıdır.
\( x = m \) Doğrusuna Göre
Bir \( A \) noktasının \( x = m \) doğrusuna göre simetriği alınırken noktanın simetri doğrusu üzerinde aynı ordinat değerli noktaya göre simetriği alınır.
\( A(a, b) \longmapsto A'(2m - a, b) \)
\( A(3, 1) \) noktasının \( x = 1 \) doğrusuna göre simetriği:
\( A'(2(1) - 3, 1) = A'(-1, 1) \)
İSPATI GÖSTER
\( A \) noktasının \( d \) doğrusuna göre simetriği olan \( A' \) noktası için aşağıdaki iki koşul sağlanmalıdır.
- \( [AA'] \) doğru parçası \( d \) doğrusunu dik keser.
- \( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( d \) doğrusu üzerindedir. Bir diğer ifadeyle, \( A \) ve \( A' \) noktalarının \( d \) doğrusuna uzaklıkları birbirine eşittir.
\( A(a, b) \) noktasının \( x = m \) doğrusuna göre simetriği olan noktaya \( A'(x, y) \) diyelim.
\( x = m \) doğrusu dikey bir doğrudur. \( [AA'] \) doğru parçasının \( x = m \) doğrusunu dik kesmesi için doğru parçası yatay olmalıdır, dolayısıyla \( A \) ve \( A' \) noktalarının ordinat değerleri birbirine eşit olmalıdır.
\( A'(x, b) \)
\( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( x = m \) doğrusu üzerinde olmalıdır, dolayısıyla orta noktanın ordinatı \( m \) olmalıdır.
\( \dfrac{a + x}{2} = m \)
\( x = 2m - a \)
Buna göre \( A(a, b) \) noktasının \( x = m \) doğrusuna göre simetriği \( A'(2m - a, b) \) noktasıdır.
\( ax + by + c = 0 \) Doğrusuna Göre
Bir \( A \) noktasının \( ax + by + c = 0 \) doğrusuna göre simetriği alınırken simetriği olan noktanın koordinatları aşağıdaki iki formülle belirlenir.
\( A(x_1, y_1) \longmapsto A'(x_2, y_2) \)
Simetrik noktanın koordinatları aşağıdaki iki formülle belirlenir.
\( \dfrac{x_2 - x_1}{a} = \dfrac{-2(ax_1 + by_1 + c)}{a^2 + b^2} \)
\( \dfrac{y_2 - y_1}{b} = \dfrac{-2(ax_1 + by_1 + c)}{a^2 + b^2} \)
\( A(2, 1) \) noktasının \( 2x + y + 5 = 0 \) doğrusuna göre simetriği:
\( \dfrac{x_2 - 2}{2} = \dfrac{-2(2(2) + 1(1) + 5)}{2^2 + 1^2} \)
\( \dfrac{y_2 - 1}{1} = \dfrac{-2(2(2) + 1(1) + 5)}{2^2 + 1^2} \)
\( (x_2, y_2) = (-6, -3) \)
İSPATI GÖSTER
\( A \) noktasının \( d \) doğrusuna göre simetriği olan \( A' \) noktası için aşağıdaki iki koşul sağlanmalıdır.
- \( [AA'] \) doğru parçası \( d \) doğrusunu dik keser.
- \( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( d \) doğrusu üzerindedir. Bir diğer ifadeyle, \( A \) ve \( A' \) noktalarının \( d \) doğrusuna uzaklıkları birbirine eşittir.
\( A(x_1, y_1) \) noktasının \( ax + by + c = 0 \) doğrusuna göre simetriği olan noktaya \( A'(x_2, y_2) \) diyelim.
\( ax + by + c = 0 \) doğrusunun eğimi \( -\frac{a}{b} \)'dir. \( [AA'] \) doğru parçasının \( ax + by + c = 0 \) doğrusunu dik kesmesi için eğimi \( \frac{b}{a} \) olmalıdır.
\( [AA'] \) doğru parçasının eğimini hesaplayalım.
\( \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{b}{a} \)
\( ay_2 - ay_1 = bx_2 - bx_1 \)
\( bx_2 - ay_2 = bx_1 - ay_1 \)
\( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( ax + by + c = 0 \) doğrusu üzerinde olmalıdır, dolayısıyla apsis ve ordinatları değerleri \( ax + by + c = 0 \) eşitliğini sağlanmalıdır.
\( ax + by + c = 0 \)
Orta noktanın apsis ve ordinat değerleri için orta nokta koordinat formüllerini kullanalım.
\( a\left( \dfrac{x_1 + x_2}{2} \right) + b\left( \dfrac{y_1 + y_2}{2} \right) + c = 0 \)
\( ax_1 + ax_2 + by_1 + by_2 + 2c = 0 \)
\( ax_2 + by_2 = -ax_1 - by_1 - 2c \)
\( x_2 \) ve \( y_2 \) için bulduğumuz iki denklemden birincisinin taraflarını \( b \) ile, ikincisinin taraflarını \( a \) ile çarpalım.
\( b^2x_2 - aby_2 = b^2x_1 - aby_1 \)
\( a^2x_2 + aby_2 = -a^2x_1 - aby_1 - 2ac \)
İki eşitliği taraf tarafa toplayalım.
\( a^2x_2 + b^2x_2 = b^2x_1 - a^2x_1 - 2aby_1 - 2ac \)
Eşitliğin sağ tarafına \( a^2x_1 \) ekleyip çıkaralım.
\( (a^2 + b^2)x_2 = a^2x_1 + b^2x_1 - 2a^2x_1 - 2aby_1 - 2ac \)
\( (a^2 + b^2)x_2 = (a^2 + b^2)x_1 - 2a(ax_1 + by_1 + c) \)
\( (a^2 + b^2)x_2 - (a^2 + b^2)x_1 = -2a(ax_1 + by_1 + c) \)
\( (a^2 + b^2)(x_2 - x_1) = -2a(ax_1 + by_1 + c) \)
\( \dfrac{x_2 - x_1}{a} = \dfrac{-2(ax_1 + by_1 + c)}{a^2 + b^2} \)
Şimdi de \( x_2 \) ve \( y_2 \) için bulduğumuz iki denklemden birincisinin taraflarını \( -a \) ile, ikincisinin taraflarını \( b \) ile çarpalım.
\( -abx_2 + a^2y_2 = -abx_1 + a^2y_1 \)
\( abx_2 + b^2y_2 = -abx_1 - b^2y_1 - 2bc \)
İki eşitliği taraf tarafa toplayalım.
\( (a^2 + b^2)y_2 = a^2y_1 - 2abx_1 - b^2y_1 - 2bc \)
Eşitliğin sağ tarafına \( b^2y_1 \) ekleyip çıkaralım.
\( (a^2 + b^2)y_2 = a^2y_1 + b^2y_1 - 2abx_1 - 2b^2y_1 - 2bc \)
\( (a^2 + b^2)y_2 = (a^2 + b^2)y_1 - 2b(ax_1 + by_1 + c) \)
\( (a^2 + b^2)y_2 - (a^2 + b^2)y_1 = -2b(ax_1 + by_1 + c) \)
\( (a^2 + b^2)(y_2 - y_1) = -2b(ax_1 + by_1 + c) \)
\( \dfrac{y_2 - y_1}{b} = \dfrac{-2(ax_1 + by_1 + c)}{a^2 + b^2} \)
\( A(2, -3) \) noktasının aşağıdaki eksen, doğru ve noktalara göre simetriğini bulunuz.
(a) \( x \) eksenine göre
(b) \( y \) eksenine göre
(c) orijine göre
(d) \( y = x \) doğrusuna göre
(e) \( y = -x \) doğrusuna göre
(f) \( S(-4, 1) \) noktasına göre
(g) \( y = 3 \) doğrusuna göre
(h) \( x = -7 \) doğrusuna göre
Çözümü Göster(a) seçeneği:
Bir noktanın \( x \) eksenine göre simetriğinde apsis aynı kalır, ordinat işaret değiştirir.
\( A(2, -3) \longmapsto A'(2, 3) \)
(b) seçeneği:
Bir noktanın \( y \) eksenine göre simetriğinde ordinat aynı kalır, apsis işaret değiştirir.
\( A(2, -3) \longmapsto A'(-2, -3) \)
(c) seçeneği:
Bir noktanın orijine göre simetriğinde apsis ve ordinat işaret değiştirir.
\( A(2, -3) \longmapsto A'(-2, 3) \)
(d) seçeneği:
Bir noktanın \( y = x \) doğrusuna göre simetriğinde apsis ve ordinat yer değiştirir.
\( A(2, -3) \longmapsto A'(-3, 2) \)
(e) seçeneği:
Bir noktanın \( y = -x \) doğrusuna göre simetriğinde apsis ve ordinat işaret ve yer değiştirir.
\( A(2, -3) \longmapsto A'(3, -2) \)
(f) seçeneği:
Bir noktanın \( S(m, n) \) noktasına göre simetriğinde aşağıdaki dönüşüm uygulanır.
\( A(a, b) \longmapsto A'(2m - a, 2n - b) \)
Simetri noktası \( S(-4, 1) \) olmak üzere,
\( A(2, -3) \longmapsto A'(2(-4) - 2, 2(1) - (-3)) \)
\( = A'(-10, 5) \)
(g) seçeneği:
Bir noktanın \( y = n \) doğrusuna göre simetriğinde aşağıdaki dönüşüm uygulanır.
\( A(a, b) \longmapsto A'(a, 2n - b) \)
Simetri doğrusu \( y = 3 \) olmak üzere,
\( A(2, -3) \longmapsto A'(2, 2(3) - (-3)) \)
\( = A'(2, 9) \)
(h) seçeneği:
Bir noktanın \( x = m \) doğrusuna göre simetriğinde aşağıdaki dönüşüm uygulanır.
\( A(a, b) \longmapsto A'(2m - a, b) \)
Simetri doğrusu \( x = -7 \) olmak üzere,
\( A(2, -3) \longmapsto A'(2(-7) - 2, -3) \)
\( = A'(-16, -3) \)
\( A(3a, 6) \) noktasının orijine göre simetriği olan nokta \( A'(-12, 2b) \) olduğuna göre, \( ab \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( A(3a, 6) \) noktasının orijine göre simetriği \( A'(-3a, -6) \) noktasıdır.
\( A'(-3a, -6) = A'(-12, 2b) \)
\( -3a = -12 \Longrightarrow a = 4 \)
\( -6 = 2b \Longrightarrow b = -3 \)
\( ab = 4(-3) = -12 \) bulunur.
\( A(3, 4) \) noktasının \( x \) eksenine göre yansıması \( A' \) noktası, \( B(4, 3) \) noktasının \( y \) eksenine göre yansıması \( B' \) noktası olduğuna göre, \( \abs{A'B'} \) uzaklığı kaç birimdir?
Çözümü Göster\( A(3, 4) \) noktasının \( x \) eksenine göre yansıması \( A'(3, -4) \) noktasıdır.
\( B(4, 3) \) noktasının \( y \) eksenine göre yansıması \( B'(-4, 3) \) noktasıdır.
\( \abs{A'B'} \) değerini iki nokta arasındaki uzaklık formülü ile bulalım.
\( \abs{A'B'} = \sqrt{(3 - (-4))^2 + (-4 - 3)^2} \)
\( = \sqrt{7^2 + (-7)^2} \)
\( = 7\sqrt{2} \) bulunur.
\( A(n, 4) \) noktasının \( 3x + y - 8 = 0 \) doğrusuna göre simetriği yine kendisi olduğuna göre, \( n \) kaçtır?
Çözümü GösterBir noktanın bir doğruya göre simetriği noktanın kendisi ise nokta o doğrunun üzerindedir.
\( A(n, 4) \) noktası \( 3x + y - 8 = 0 \) doğrusunun üzerinde ise koordinatları doğru denklemini sağlar.
\( 3n + 4 - 8 = 0 \)
\( n = \dfrac{4}{3} \) bulunur.
Dik koordinat düzlemindeki \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları \( A(2, 5) \) noktasında dik kesişmektedir.
Düzlemdeki \( B \) noktasının \( d_1 \) doğrusuna göre yansıması ile \( C \) noktası, \( d_2 \) doğrusuna göre yansıması ile \( D \) noktası elde edildiğine göre, \( C \) ve \( D \) noktalarının koordinatları toplamı kaçtır?
Çözümü GösterBir noktanın birbirini dik kesen iki doğruya göre yansımaları ile elde edilen iki nokta, birbirinin doğruların kesişim noktasına göre yansıması olur.
Bu nedenle \( [CD] \) doğru parçasının orta noktası, \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının kesişim noktası olan \( A(2, 5) \) olur.
\( C \) noktasının koordinatlarına \( C(x_c, y_c) \), D noktasının koordinatlarına \( D(x_d, y_d) \) diyelim.
\( A(2, 5) = \left( \dfrac{x_c + x_d}{2}, \dfrac{y_c + y_d}{2} \right) \)
\( \dfrac{x_c + x_d}{2} = 2 \)
\( x_c + x_d = 4 \)
\( \dfrac{y_c + y_d}{2} = 5 \)
\( y_c + y_d = 10 \)
\( C \) ve \( D \) noktalarının koordinatları toplamı \( x_c + x_d + y_c + y_d = 4 + 10 = 14 \) olarak bulunur.
Koordinat düzleminde \( A \) noktasının \( y = 2 \) doğrusuna göre simetriği \( B \) noktası, \( B \) noktasının \( x = 1 \) doğrusuna göre simetriği \( C \) noktası, \( C \) noktasının \( y = -x \) doğrusuna göre simetriği \( D(-8, 1) \) noktası olduğuna göre, \( A \) noktasının koordinatları çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) noktasının koordinatlarını bulmak için \( D \) noktasından başlayarak yansıma işlemlerini geriye doğru uygulayalım.
Bir noktanın \( y = -x \) doğrusuna göre yansımasında apsis ve ordinat işaret ve yer değiştirir.
\( D(-8, 1) \longmapsto C(-1, 8) \)
Bir noktanın \( x = m \) doğrusuna göre simetriğinde aşağıdaki dönüşüm uygulanır.
\( (a, b) \longmapsto (2m - a, b) \)
Simetri doğrusu \( x = 1 \) olmak üzere,
\( C(-1, 8) \longmapsto B(2(1) - (-1), 8) \)
\( = B(3, 8) \)
Bir noktanın \( y = n \) doğrusuna göre simetriğinde aşağıdaki dönüşüm uygulanır.
\( (a, b) \longmapsto (a, 2n - b) \)
Simetri doğrusu \( y = 2 \) olmak üzere,
\( B(3, 8) \longmapsto A(3, 2(2) - 8) \)
\( = A(3, -4) \)
\( A \) noktasının koordinatları çarpımı \( 3 \cdot (-4) = -12 \) olarak bulunur.
\( K(2, 1) \) noktasının \( L \) noktasına göre simetriği ile \( P(2, 5) \) noktasının \( x = 4 \) doğrusuna göre simetriği aynı nokta olduğuna göre, \( L \) noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( L \) noktasının koordinatlarına \( L(m, n) \) diyelim.
\( K \) noktasının \( L \) noktasına göre simetriğine \( R \) diyelim.
\( A(a, b) \) noktasının \( S(m, n) \) noktasına göre simetriğinde aşağıdaki dönüşüm uygulanır.
\( A(a, b) \longmapsto A'(2m - a, 2n - b) \)
\( K(2, 1) \) noktasının \( L(m, n) \) noktasına göre simetriğini bulalım.
\( K(2, 1) \longmapsto R(2m - 2, 2n - 1) \)
\( P \) noktasının \( x = 4 \) doğrusuna göre simetriği de \( R \) noktasıdır.
Bir noktanın \( x = m \) doğrusuna göre simetriğinde aşağıdaki dönüşüm uygulanır.
\( A(a, b) \longmapsto A'(2m - a, b) \)
Simetri doğrusu \( x = 4 \) olmak üzere,
\( P(2, 5) \longmapsto R(2(4) - 2, 5) \)
\( = R(6, 5) \)
\( R \) noktası için iki durumda bulduğumuz koordinatları birbirine eşitleyelim.
\( R(2m - 2, 2n - 1) = R(6, 5) \)
\( 2m - 2 = 6 \Longrightarrow m = 4 \)
\( 2n - 1 = 5 \Longrightarrow n = 3 \)
\( L(m, n) = L(4, 3) \)
\( L \) noktasının koordinatları toplamı \( 4 + 3 = 7 \) olarak bulunur.
Koordinat düzlemindeki \( A(-2, 5) \) noktasının \( y \) eksenine göre yansıması ile \( B \) noktası, \( B \) noktasının \( y = x \) doğrusuna göre yansıması ile \( C \) noktası, \( C \) noktasının da \( x \) eksenine göre yansıması ile \( D \) noktası elde ediliyor.
Bu noktaların oluşturduğu \( ABCD \) dörtgeninin alanı kaçtır?
Çözümü GösterBir noktanın \( y \) eksenine göre simetriğinde ordinat aynı kalır, apsis işaret değiştirir.
\( A(-2, 5) \longmapsto B(2, 5) \)
Bir noktanın \( y = x \) doğrusuna göre simetriğinde apsis ve ordinat yer değiştirir.
\( B(2, 5) \longmapsto C(5, 2) \)
Bir noktanın \( x \) eksenine göre simetriğinde apsis aynı kalır, ordinat işaret değiştirir.
\( C(5, 2) \longmapsto D(5, -2) \)
Tüm bu noktaları koordinat düzleminde gösterelim.
Alan hesaplamasında kullanmak için \( E(5, 5) \) noktasını işaretleyelim.
\( ABCD \) dörtgeninin alanını bulmak için büyük üçgenin alanından küçük üçgenin alanını çıkartabiliriz.
\( A(ABCD) = A(AED) - A(BEC) \)
\( A(AED) = \dfrac{\abs{AE} \cdot \abs{ED}}{2} \)
\( = \dfrac{7 \cdot 7}{2} = \dfrac{49}{2} \)
\( A(BEC) = \dfrac{\abs{BE} \cdot \abs{EC}}{2} \)
\( = \dfrac{3 \cdot 3}{2} = \dfrac{9}{2} \)
Bulduğumuz alan değerlerini denklemde yerine koyalım.
\( A(ABCD) = A(AED) - A(BEC) \)
\( = \dfrac{49}{2} - \dfrac{9}{2} \)
\( = 20 \) bulunur.