Noktanın Simetriği
Bir noktanın eksenlere, bir doğruya ya da bir noktaya göre simetriğini bulmak için o noktanın apsis ve ordinat değerlerine belirli dönüşümler uygulanır. Bir noktanın simetriğini bulurken aşağıdaki temel kurallar akılda tutulmalıdır.
\( A \) noktasının \( S \) noktasına göre simetriği \( A' \) ise \( S \) noktası \( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası olur.
\( A \) noktasının \( d \) doğrusuna göre simetriği olan \( A' \) noktası için aşağıdaki iki koşul sağlanır.
- \( [AA'] \) doğru parçası \( d \) doğrusunu dik keser, bu da bu kesişim noktasının \( d \) doğrusu üzerindeki \( A \) ve \( A' \) noktalarına en yakın nokta olmasını gerektirir.
- \( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( d \) doğrusunu kestiği noktadır.
Bir noktanın bir doğruya ya da noktaya göre simetriğinin aynı doğru ya da noktaya göre simetriği yine kendisi olur.
Bir noktanın farklı simetrileri için uygulanması gereken dönüşümler aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.
| Grafik | Simetri |
|---|---|
|
\( x \) eksenine göre: \( A(a, b) \longmapsto A'(a, -b) \) Apsis aynı kalır, ordinat işaret değiştirir. |
|
\( y \) eksenine göre: \( A(a, b) \longmapsto A'(-a, b) \) Ordinat aynı kalır, apsis işaret değiştirir. |
|
Orijine göre: \( A(a, b) \longmapsto A'(-a, -b) \) Apsis ve ordinat işaret değiştirir. |
|
\( y = x \) doğrusuna göre: \( A(a, b) \longmapsto A'(b, a) \) Apsis ve ordinat yer değiştirir. |
|
\( y = -x \) doğrusuna göre: \( A(a, b) \longmapsto A'(-b, -a) \) Apsis ve ordinat işaret ve yer değiştirir. |
|
Bir noktaya göre: Simetri noktası \( S(m, n) \) olmak üzere, \( A(a, b) \longmapsto A'(2m - a, 2n - b) \) Simetri noktası \( A \) ve \( A' \) noktalarının orta noktası olur. Örnek: \( A(3, 1) \) noktasının \( S(1, 2) \) noktasına göre simetriği: \( A'(2(1) - 3, 2(2) - 1) = A'(-1, 3) \) |
|
\( y = n \) doğrusuna göre: \( A(a, b) \longmapsto A'(a, 2n - b) \) Noktanın simetri doğrusu üzerinde aynı apsis değerli noktaya göre simetriği alınır. Örnek: \( A(3, 1) \) noktasının \( y = -1 \) doğrusuna göre simetriği: \( A'(3, 2(-1) - 1) = A'(3, -3) \) |
|
\( x = m \) doğrusuna göre: \( A(a, b) \longmapsto A'(2m - a, b) \) Noktanın simetri doğrusu üzerinde aynı ordinat değerli noktaya göre simetriği alınır. Örnek: \( A(3, 1) \) noktasının \( x = 1 \) doğrusuna göre simetriği: \( A'(2(1) - 3, 1) = A'(-1, 1) \) |
|
\( ax + by + c = 0 \) doğrusuna göre: \( A(x_1, y_1) \longmapsto A'(x_2, y_2) \) Simetrik noktanın koordinatları aşağıdaki iki formülle belirlenir. \( \dfrac{x_2 - x_1}{a} = \dfrac{-2(ax_1 + by_1 + c)}{a^2 + b^2} \) \( \dfrac{y_2 - y_1}{b} = \dfrac{-2(ax_1 + by_1 + c)}{a^2 + b^2} \) Örnek: \( A(2, 1) \) noktasının \( 2x + y + 5 = 0 \) doğrusuna göre simetriği: \( \dfrac{x_2 - 2}{2} = \dfrac{-2(2(2) + 1(1) + 5)}{2^2 + 1^2} \) \( \dfrac{y_2 - 1}{1} = \dfrac{-2(2(2) + 1(1) + 5)}{2^2 + 1^2} \) \( (x_2, y_2) = (-6, -3) \) |
\( A(3a, 6) \) noktasının orijine göre simetriği olan nokta \( A'(-12, 2b) \) olduğuna göre \( a \cdot b \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( A(3, 4) \) noktasının \( x \) eksenine göre yansıması \( A' \) noktası, \( B(4, 3) \) noktasının \( y \) eksenine göre yansıması \( B' \) noktası olduğuna göre, \( \abs{A'B'} \) uzaklığı kaç birimdir?
Çözümü Göster\( A(-2, n) \) noktasının \( x = m \) doğrusuna göre simetriği \( B(3n, 6) \) noktası olduğuna göre, \( m + n \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster