Dahil Etme - Hariç Tutma Prensibi

Dahil etme - hariç tutma prensibi (bir diğer adıyla içerme - dışlama prensibi), \( n \) tane kümenin birleşim kümesinin eleman sayısını bulurken bu kümelerin kesişim kümelerindeki elemanların birden fazla kez sayılmasının önüne geçen bir sayma yöntemidir.

İki Kümeli Durum

Dahil etme-hariç tutma prensibinin nasıl çalıştığını en basit haliyle iki kümenin kesişimi üzerinden anlatabiliriz.

İki kümenin birleşim kümesinin eleman sayısını bulma

Yukarıdaki gibi ayrık olmayan iki kümenin birleşim kümesinin eleman sayısı aşağıdaki formülle hesaplanır.

\( s(A \cup B) = s(A) + s(B) \textcolor{red}{- s(A \cap B)} \)

ÖRNEK:

\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \)

\( B = \{ 5, 6, 7, 8, 9 \} \)

\( A \cap B = \{ 5, 6 \} \)

\( A \cup B = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} \)

\( s(A) = 6, \quad s(B) = 5 \)

\( s(A \cap B) = 2 \)

\( s(A \cup B) = 6 + 5 \textcolor{red}{- 2} = 9 \)

Bu formülde kümelerin eleman sayılarının toplamından kesişim kümesinin eleman sayısını çıkarmamızın sebebi, iki kümenin de kesişim kümesindeki (mavi bölgedeki) elemanları içermesidir. Bu yüzden bu çıkarma işlemi ile toplama iki kez dahil olan kesişim kümesini toplamdan bir kez çıkarırız.

SORU 1:

\( A = \{1, 2, 3 , \ldots, 155\} \) olmak üzere,

\( A \) kümesinin elemanlarından kaçı 2 ve 3 sayılarından hiçbirine tam bölünmez?

Çözümü Göster

Üç Kümeli Durum

Üç kümenin birleşim kümesinin eleman sayısını bulma

Yukarıdaki gibi ayrık olmayan üç kümenin birleşim kümesinin eleman sayısı aşağıdaki formülle hesaplanır.

\( s(A \cup B \cup C) \) \( = s(A) + s(B) + s(C) \) \( \textcolor{red}{- s(A \cap B) - s(A \cap C) - s(B \cap C)} \) \( \textcolor{blue}{+ s(A \cap B \cap C)} \)

ÖRNEK:

\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \} \)

\( B = \{ 3, 4, 7, 8, 9, 0 \} \)

\( C = \{ 5, 6, 7, 8, 0 \} \)

\( A \cap B = \{ 3, 4, 7, 8 \} \)

\( A \cap C = \{ 5, 6, 7, 8 \} \)

\( B \cap C = \{ 7, 8, 0 \} \)

\( A \cap B \cap C = \{ 7, 8 \} \)

\( A \cup B = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} \)

\( s(A) = 8, \quad s(B) = 6, \quad \) \( s(C) = 5 \)

\( s(A \cap B) = 4, \quad s(A \cap C) = 4, \quad \) \( s(B \cap C) = 3 \)

\( s(A \cap B \cap C) = 2 \)

\( s(A \cup B \cup C) = 8 + 6 + 5 \textcolor{red}{- 4 - 4 - 3} \textcolor{blue}{+ 2} \) \( = 10 \)

Üç kümeli durumda da kümelerin eleman sayılarının toplamından ikili kesişim kümelerinin eleman sayıları çıkarılır, ancak üçlü kesişim kümesinin eleman sayısı en sonda işleme tekrar eklenir. Bunun sebebini aşağıdaki gibi açıklayabiliriz.

İşlemin ilk kısmında üç kümenin eleman sayılarını topladığımızda yeşil bölgeleri ikişer kez, mavi bölgeyi üç kez toplama dahil etmiş oluruz. İkili kesişim kümelerini bu toplamdan birer kez çıkardığımızda yeşil bölgelerin eleman sayısını formüle doğru yansıtmış oluruz, ancak mavi bölgeyi formülden üç kez çıkarmış oluruz, dolayısıyla mavi bölge toplama hiç yansımamış olur. Bu yüzden işlemin en sonunda mavi bölgeye karşılık gelen üçlü kesişim kümesini formüle tekrar eklememiz gerekir.

SORU 2:

Futbol, voleybol ve tenis oyunlarının bulunduğu bir sporcu grubunda futbol oynayan 18, voleybol oynayan 13, tenis oynayan 10 kişi vardır.

Grupta futbol ve voleybol oynayan 7, voleybol ve tenis oynayan 5, futbol ve tenis oynayan 4 ve bu üç sporu da yapan 2 kişi olduğuna göre, bu grup kaç kişiden oluşmaktadır?

Çözümü Göster

SORU 3:

Türk alfabesindeki 29 harfin tamamının yan yana yazılmasıyla oluşan tüm dizilişlerde, KALEM, OMUZ, SIR kelimelerinin hiçbirinin bulunmadığı diziliş sayısı kaçtır?

Çözümü Göster

Bir \( A \) kümesinin elemanlarının bir sıra gözetilerek farklı dizilişlerinin her birine \( A \) kümesinin bir permütasyonu denir.

\( n \) elemanlı \( A \) kümesinin permütasyonlarının sayısı \( n! \) formülü ile hesaplanır.

Aşağıdaki dört kümeyi tanımlayalım.

\( E \): 29 harf için tüm dizilişlerin kümesi

\( K \): İçinde KALEM geçen dizilişlerin kümesi

\( O \): İçinde OMUZ geçen dizilişlerin kümesi

\( S \): İçinde SIR geçen dizilişlerin kümesi

Sorudaki amacımız \( E \) kümesinin elemanı olup \( K \), \( O \) veya \( S \) kümelerinin elemanı olmayan dizilişlerin sayısını bulmaktır (turuncu taralı alan).

Bu amaçla önce üç kümenin birleşim kümesinin eleman sayısını bulalım.

İçinde KALEM kelimesinin geçtiği diziliş sayısını bulalım.

5 harfli KALEM kelimesini tek bir harf olarak düşünelim. Buna göre geriye kalan 24 harf ve KALEM kelimesi için \( 29 - 5 + 1 = 25! \) farklı diziliş vardır.

\( s(K) = 25! \)

Benzer yaklaşımla 4 harfli OMUZ kelimesi için \( 29 - 4 + 1 = 26! \) ve 3 harfli SIR kelimesi için \( 29 - 3 + 1 = 27! \) farklı diziliş vardır.

\( s(O) = 26! \)

\( s(S) = 27! \)

Yukarıda hesapladığımız dizilişlerin bir kısmı kelimeleri birlikte içerdiği için bazı dizilişleri birden fazla kez saymış olduk.

Şimdi bu kelimelerin ikişerli bulunma durumlarına bakalım.

İçinde KALEM ve OMUZ kelimelerinin geçtiği diziliş sayısını bulalım.

Bu iki kelimede "M" harfi ortak olduğu için hiçbir durumda bir dizilişte birlikte yer almazlar.

\( s(K \cap O) = 0 \)

İçinde OMUZ ve SIR kelimelerinin geçtiği diziliş sayısını bulalım.

4 harfli OMUZ ve 3 harfli SIR kelimelerini birer harf olarak düşünelim. Buna göre geriye kalan 22 harf ve bu iki kelime için \( 29 - (4 + 3) + 1 + 1 = 24! \) farklı diziliş vardır.

\( s(O \cap S) = 24! \)

İçinde KALEM ve SIR kelimelerinin geçtiği diziliş sayısını bulalım.

5 harfli KALEM ve 3 harfli SIR kelimelerini birer harf olarak düşünelim. Buna göre geriye kalan 21 harf ve bu iki kelime için \( 29 - (5 + 3) + 1 + 1 = 23! \) farklı diziliş vardır.

\( s(K \cap S) = 23! \)

Şimdi bu kelimelerin üçerli bulunma durumlarına bakalım.

KALEM ve OMUZ kelimelerinde "M" harfi ortak olduğu için bu üç kelime hiçbir durumda bir dizilişte birlikte yer almazlar.

\( s(K \cap O \cap S) = 0 \)

KALEM, OMUZ, SIR kelimelerinin en az birinin bulunduğu diziliş sayısını bulmak için dahil etme - hariç bırakma yöntemini kullanarak üç kümenin birleşim kümesinin eleman sayısını bulalım.

\( s(K \cup O \cup S) = s(K) + s(O) + s(S) \) \( \color{red}{- s(K \cap O) - s(O \cap S) - s(K \cap S)} \) \( \color{blue}{+ s(K \cap O \cap S)} \)

\( = 25! + 26! + 27! \color{red}{- 0 - 24! - 23!} \color{blue}{+ 0} \)

\( = 25! + 26! + 27! - 24! - 23! \)

Tüm dizilişlerden bu sayıyı çıkarırsak bu üç kelimenin hiçbirinin bulunmadığı diziliş sayısını buluruz.

29 harfin tamamının yan yana yazılmasıyla oluşan farklı dizilişlerin sayısı \( 29! \) olur.

\( s(E) = 29! \)

KALEM, OMUZ, SIR kelimelerinin hiçbirinin bulunmadığı diziliş sayısı:

\( = s(E) - s(K \cup O \cup S) \)

\( = 29! - (25! + 26! + 27! - 24! - 23!) \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 4:

Bir müzik festivalinde A, B, C, D ve E sanatçıları farklı zamanlarda konser verecektir.

Festivalde en az iki konseri izleyen 900 kişi, en az üç konseri izleyen 760 kişi, en az dört konseri izleyen 500 kişi, beş konseri de izleyen ise 400 kişi vardır. Konserlerin tümü toplamda 4000 kez izlenmiştir.

Festivale katılıp hiçbir konseri izlemeyen 160 kişi olduğuna göre, festivalde kaç kişi vardır?

Çözümü Göster

n Kümeli Durum

Bu yöntemi \( n \) kümeli duruma aşağıdaki adımları takip ederek uygulayabiliriz.

\( (+) \) Kümelerin eleman sayılarını topla (dahil et).
\( (-) \) İkili kesişim kümelerini çıkar (hariç tut).
\( (+) \) Üçlü kesişim kümelerini topla (dahil et).
\( (-) \) Dörtlü kesişim kümelerini çıkar (hariç tut).
\( (+) \) Beşli kesişim kümelerini topla (dahil et).
\( (\pm) \) Bu işlemi kümelerin \( n \)'li kesişimine kadar tekrarla.

Yöntemi özetlemek gerekirse, \( n \) tane kümenin birleşim kümesinin eleman sayısını bulmak için kümelerin eleman sayılarının toplamına tek sayıda kümeden oluşan kesişim kümelerinin eleman sayıları eklenir, çift sayıda kümeden oluşan kesişim kümelerinin eleman sayıları çıkarılır.

Bu yöntemin \( n \) küme için genel formülü aşağıdaki gibidir.

\( A_1, A_2, \ldots, A_n \) birer küme,

\( J \) kümesi \( \{ 1, 2, 3, \ldots, n \} \) kümesinin boş küme dışındaki herhangi bir alt kümesi olmak üzere,

\( s(\bigcup\limits_{i=1}^{n} A_i) \) \( = \sum_{J} (-1)^{s(J) + 1} \) \( \cdot s(\bigcap\limits_{j \in J} A_j) \)

Dahil Etme - Hariç Tutma Prensibinin Uygulamaları

Bu bölümde bu prensibin üç uygulamasını birer örnek üzerinden inceleyeceğiz.

Birleşim Kümesinin Eleman Sayısı

ÖRNEK 1:

Her öğrencinin en azından bir yabancı dil konuştuğu bir sınıfta İngilizce bilen öğrencilerin sayısı 25, Almanca bilen öğrencilerin sayısı 16, her iki dili de bilen öğrencilerin sayısı da 9 ise sınıfta öğrenci vardır?

Dahil etme - hariç tutma prensibini 2 kümeli duruma uygulayarak soruyu çözebiliriz.

\( I \): İngilizce konuşan öğrencilerin kümesi

\( A \): Almanca konuşan öğrencilerin kümesi

\( s(I) = 25 \)

\( s(A) = 16 \)

\( s(I \cap A) = 9 \)

Bu bilgileri 2 kümeli durum için olan formülde yerine koyalım.

\( s(I \cup A) = s(I) + s(A) \) \( - s(I \cap A) \)

\( = 25 + 16 - 9 = 32 \) bulunur.

Bölünebilme Problemleri

ÖRNEK 2:

1-1000 arasındaki pozitif tam sayılar içinde 2'ye, 3'e veya 5'e tam bölünen kaç sayı vardır?

Dahil etme - hariç tutma prensibini 3 kümeli duruma uygulayarak soruyu çözebiliriz.

2'ye, 3'e ve 5'e tam bölünen sayıları birer küme olarak tanımlayalım.

\( E \): 1-1000 arasındaki pozitif tam sayılar (1-1000)

\( A_2 \): 2'ye tam bölünen sayılar kümesi

\( A_3 \): 3'e tam bölünen sayılar kümesi

\( A_5 \): 5'e tam bölünen sayılar kümesi

\( A_2 \cap A_3 \): 2'ye VE 3'e tam bölünen sayılar (5'e bölünebilmesinden bağımsız)

\( A_2 \cap A_5 \): 2'ye VE 5'e tam bölünen sayılar (3'e bölünebilmesinden bağımsız)

\( A_3 \cap A_5 \): 3'e VE 5'e tam bölünen sayılar (2'ye bölünebilmesinden bağımsız)

\( A_2 \cap A_3 \cap A_5 \): 2'ye VE 3'e VE 5'e tam bölünen sayılar

1-1000 arasında 2'ye bölünen 500 sayı vardır.

\( s(A_2) = 500 \)

1-1000 arasında 3'e bölünen 333 sayı vardır.

\( s(A_3) = 333 \)

1-1000 arasında 5'e bölünen 200 sayı vardır.

\( s(A_5) = 200 \)

2'ye ve 3'e birlikte bölünen sayılar \( \text{EKOK}(2, 3) = 6 \)'ya da bölünür. 1-1000 arasında 6'ya tam bölünen 166 sayı vardır.

\( s(A_2 \cap A_3) = 166 \)

2'ye ve 5'e birlikte bölünen sayılar \( \text{EKOK}(2, 5) = 10 \)'a da bölünür. 1-1000 arasında 10'a tam bölünen 100 sayı vardır.

\( s(A_2 \cap A_5) = 100 \)

3'e ve 5'e birlikte bölünen sayılar \( \text{EKOK}(3, 5) = 15 \)'e de bölünür. 1-1000 arasında 15'e tam bölünen 66 sayı vardır.

\( s(A_3 \cap A_5) = 66 \)

2'ye, 3'e ve 5'e birlikte bölünen sayılar \( \text{EKOK}(2, 3, 5) = 30 \)'a da bölünür. 1-1000 arasında 30'a tam bölünen 33 sayı vardır.

\( s(A_2 \cap A_3 \cap A_5) = 33 \)

Bu değerleri 3 kümeli durum için olan formülde yerine koyalım.

\( s(A_2 \cup A_3 \cup A_5) \) \( = s(A_2) + s(A_3) + s(A_5) \) \( - s(A_2 \cap A_3) \) \( - s(A_2 \cap A_5) \) \( - s(A_3 \cap A_5) \) \( + s(A_2 \cap A_3 \cap A_5) \)

\( = 500 + 333 + 200 \) \( - 166 - 100 \) \( - 66 + 33 = 734 \) bulunur.

Örten Fonksiyon Sayısı

İki küme arasında tanımlanabilecek örten fonksiyon sayısını dahil etme - hariç tutma prensibi ile nasıl hesaplayabileceğimizi önümüzdeki bölümde inceleyeceğiz.

SORU 5:

\( x \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,

0 ile 1 açık aralığında ve en sade hali \( \frac{x}{2023} \) formunda olan kaç farklı kesir vardır?

Çözümü Göster