3 Boyutlu Koordinat Sistemi
Bir noktanın bir doğru üzerindeki konumunu ifade etmek için tek bir eksenden oluşan sayı doğrusunu, bir düzlem üzerindeki konumunu ifade etmek için birbirine dik iki eksenden oluşan kartezyen düzlemini kullanabiliriz. Bir noktanın üç boyutlu uzaydaki konumunu ifade etmek için ise üç boyutlu bir koordinat sistemine ihtiyaç duyarız.
Üç boyutlu koordinat sistemi birbirine dik \( x \), \( y \) ve \( z \) eksenlerinden ve bu eksenlerin oluşturduğu koordinat uzayından oluşur. Bu sistemde her nokta \( x \), \( y \) ve \( z \) eksenlerine göre konumundan oluşan \( (x_1, y_1, z_1) \) sıralı üçlüsü ile ifade edilir.
Üç boyutlu koordinat sistemindeki tüm noktaları temsil eden sıralı üçlülerin kümesini reel sayılar kümesinin üçlü kartezyen çarpımı ile elde edebiliriz.
\( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^3 \) \( = \{ (x, y, z): x, y, z \in \mathbb{R} \} \)
Bu koordinat sisteminde \( x \) ve \( y \) eksenlerinin oluşturduğu düzleme \( xy \) düzlemi, \( x \) ve \( z \) eksenlerinin oluşturduğu düzleme \( xz \) düzlemi, \( y \) ve \( z \) eksenlerinin oluşturduğu düzleme de \( yz \) düzlemi denir. Bu üç düzlem koordinat uzayını sekiz bölgeye ayırır.
Bir noktanın \( (x, y, z) \) şeklindeki koordinatında \( x \) değeri noktanın \( yz \) düzlemine, \( y \) değeri \( xz \) düzlemine, \( z \) değeri de \( xy \) düzlemine pozitif ya da negatif uzaklığını verir. Aşağıda bir \( A \) noktasının \( xy \), \( xz \) ve \( yz \) düzlemleri ve eksenler üzerindeki izdüşümleri verilmiştir.
İki boyutlu koordinat sisteminde kullandığımız bazı formülleri üç boyutlu sisteme de uyarlayabiliriz. Buna göre, iki nokta arasındaki uzaklığı aşağıdaki formülle hesaplayabiliriz.
\( A(x_1, y_1, z_1) \) ve \( B(x_2, y_2, z_2) \) üç boyutlu koordinat sisteminde iki nokta olmak üzere,
\( \abs{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \)
\( A(-4, 5, 2) \) ve \( B(2, 3, -1) \) iki nokta olmak üzere,
\( \abs{AB} = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (3 - 5)^2 + (-1 - 2)^2} \)
\( \abs{AB} = \sqrt{36 + 4 + 9} = 7 \)
İkinci noktayı orijin olarak alırsak bir noktanın orijine uzaklığını aşağıdaki formülle hesaplayabiliriz.
\( A(x_1, y_1, z_1) \) ve \( O(0, 0, 0) \) üç boyutlu koordinat sisteminde iki nokta olmak üzere,
\( \abs{AO} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \)
Üç boyutlu koordinat sistemi ile ilgili aşağıdaki ek bilgileri verebiliriz.
- İki farklı nokta bir doğru ifade eder.
- Doğrusal olmayan üç farklı nokta bir düzlem ifade eder.
- Bir doğru ya bir düzlemin üzerindedir, ya o düzleme paraleldir, ya da o düzlemi tek bir noktada keser.
- İki farklı düzlem ya birbirine paraleldir ya da ortak noktaları bir doğru oluşturacak şekilde kesişirler.
\( x = a \) denklemi sayı doğrusu üzerinde bir nokta, iki boyutlu kartezyen düzleminde bir doğru ifade ederken, üç boyutlu koordinat sisteminde \( (a, 0, 0) \) noktasından geçen ve \( yz \) düzlemine paralel bir düzlem ifade eder.