Kosinüs ve Sinüs Teoremleri üçgenlerde köşe açıları ve kenar uzunlukları arasında ilişki kurmamızı sağlayan iki teoremdir. Bu iki teoremin kullanımı dik üçgenlerle sınırlı olmayıp tüm üçgenlerde kullanılabilir.
Bir üçgenin iki kenarının uzunluğunu biliyorsak Kosinüs Teoremi ile ya bu iki kenarın arasındaki açının kosinüs değerini kullanarak üçüncü kenarın uzunluğunu bulabiliriz, ya da üçüncü kenarın uzunluğunu kullanarak iki kenarın arasındaki açının kosinüs değerini bulabiliriz.
Kosinüs Teoremi formülleri aşağıdaki gibidir.
\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\hat{A}) \)
\( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos(\hat{B}) \)
\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\hat{C}) \)
ÖRNEK:
Uzunlukları 6 ve 10 br, aralarındaki açı 120° olan iki kenarın karşı kenar uzunluğu:
\( a^2 = 6^2 + 10^2 - 2(6)(10)\cos(120°) \)
\( = 36 + 100 - 120(-\frac{1}{2}) = 196 \)
\( a = 14 \text{ br} \)
İSPATI GÖSTER
\( C \) köşesinden yükseklik indirelim ve uzunluğuna \( h \) diyelim.
\( \overset{\triangle}{ADC} \) üçgeni için Pisagor teoremini yazalım.
\( b^2 = x^2 + h^2 \)
\( \overset{\triangle}{BDC} \) üçgeni için Pisagor teoremini yazalım.
\( a^2 = (c - x)^2 + h^2 \)
\( a^2 = c^2 - 2cx + \textcolor{red}{x^2 + h^2} \)
Son satırdaki kırmızı ile işaretli terimlerin yerine, birinci üçgenden elde ettiğimiz eşitliği yazalım.
\( a^2 = c^2 - 2cx + \textcolor{red}{b^2} \)
Bu ifadedeki \( x \)'i \( A \) açısı ve üçgenin bir kenar uzunluğu cinsinden yazalım.
\( \cos(\hat{A}) = \dfrac{x}{b} \Longrightarrow x = b \cdot \cos(\hat{A}) \)
\( x \)'i yukarıdaki ifadede yerine koyduğumuzda Kosinüs teoremi formülünü elde ederiz.
\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\hat{A}) \)
Aynı ispatı üçgenin diğer kenarları için de yapabiliriz.
Sinüs Teoremi bize bir üçgende her kenarın uzunluğu ile karşısındaki açının sinüs değeri arasındaki oranın tüm kenar ve köşeler için eşitliğini verir.
\( \dfrac{a}{\sin(\hat{A})} = \dfrac{b}{\sin(\hat{B})} = \dfrac{c}{\sin(\hat{C})} = 2R \)
ÖRNEK:
Bir kenarın uzunluğu 8 br ve karşı açısı 45° ise karşı açısı 30° olan kenarın uzunluğu:
\( \dfrac{8}{\sin{45°}} = \dfrac{b}{\sin{30°}} \)
\( \dfrac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{b}{\frac{1}{2}} \)
\( b = 4\sqrt{2} \text{ br} \)
İSPATI GÖSTER
\( A \) köşesinden yükseklik indirelim ve uzunluğuna \( h \) diyelim.
\( B \) ve \( C \) köşeleri için sinüs oranlarını yazalım.
\( \sin(\hat{B}) = \dfrac{h}{c} \Longrightarrow h = c \cdot \sin(\hat{B}) \)
\( \sin(\hat{C}) = \dfrac{h}{b} \Longrightarrow h = b \cdot \sin(\hat{C}) \)
İki eşitlikteki \( h \) değişkenlerini eşitleyelim.
\( c \cdot \sin(\hat{B}) = b \cdot \sin(\hat{C}) \)
\( \dfrac{b}{\sin(\hat{B})} = \dfrac{c}{\sin(\hat{C})} \)
Sinüs teoremindeki ilk eşitliği elde etmiş olduk. Şimdi farklı bir kenar için aynı işlemi yapalım.
\( C \) köşesinden yükseklik indirelim ve uzunluğuna \( h \) diyelim.
\( A \) ve \( B \) köşeleri için sinüs oranlarını yazalım.
\( \sin(\hat{A}) = \dfrac{h}{b} \Longrightarrow h = b \cdot \sin(\hat{A}) \)
\( \sin(\hat{B}) = \dfrac{h}{a} \Longrightarrow h = a \cdot \sin(\hat{B}) \)
İki eşitlikteki \( h \) değişkenlerini eşitleyelim.
\( b \cdot \sin(\hat{A}) = a \cdot \sin(\hat{B}) \)
\( \dfrac{a}{\sin(\hat{A})} = \dfrac{b}{\sin(\hat{B})} \)
Elde ettiğimiz her iki orantıdaki birer oran eşit olduğu için tüm ifadeyi tek eşitlikte birleştirebiliriz.
\( \dfrac{a}{\sin(\hat{A})} = \dfrac{b}{\sin(\hat{B})} = \dfrac{c}{\sin(\hat{C})} \)
Sinüs Teoremi formülünün orantı katsayısı o üçgenin çevrel çemberinin yarıçapının iki katına eşittir (\( 2R \)).
ÖRNEK:
\( b = 4\sqrt{2} \text{ br} \)
İSPATI GÖSTER
Çemberin merkezinden \( [BC] \) kirişini dik kesen \( [OE] \) doğru parçası çizelim.
Bir çemberin kirişinin orta dikmesi çemberin merkezinden geçtiği için \( [OE] \) \( [BC] \) kirişinin orta dikmesidir.
\( \abs{BE} = \abs{EC} \)
\( \overset{\triangle}{OEB} \) ve \( \overset{\triangle}{OEC} \) üçgenlerinin dik köşelerine komşu kenarlar eşit uzunlukta olduğu için bu iki üçgen eş üçgenlerdir.
\( \overset{\triangle}{OEB} \cong \overset{\triangle}{OEC} \)
\( m(\widehat{BOE}) = m(\widehat{COE}) = x \)
\( \widehat{BOC} \) merkez açısının gördüğü \( \overparen{BC} \) yayının ölçüsü \( 2x \) olur, bu yayı gören \( \widehat{BAC} \) çevre açısının ölçüsü de \( \frac{2x}{2} = x \) olur.
\( \overset{\triangle}{BOC} \) üçgeninin alanını yazalım.
\( A(\overset{\triangle}{BOC}) = \frac{1}{2}a\abs{OE} \)
\( \cos{x} = \dfrac{\abs{OE}}{R} \)
\( \abs{OE} = R\cos{x} \)
\( \abs{OE} \) uzunluğunu alan formülünde yerine koyalım.
\( A(\overset{\triangle}{BOC}) = \frac{1}{2}aR\cos{x} \)
\( \overset{\triangle}{BOC} \) üçgeninin alanını şimdi de sinüs alan formülü ile yazalım.
\( A(\overset{\triangle}{BOC}) = \frac{1}{2}RR\sin(2x) \)
\( \sin(2x) \) ifadesini sinüs iki kat açı formülü ile yeniden yazalım.
\( \sin(2x) = 2\sin{x}\cos{x} \)
\( A(\overset{\triangle}{BOC}) = \frac{1}{2}RR(2\sin{x}\cos{x}) \)
Bulduğumuz iki alan formülünü eşitleyelim ve ortak çarpanları sadeleştirelim.
\( \frac{1}{2}aR\cos{x} = \frac{1}{2}RR(2\sin{x}\cos{x}) \)
\( a = 2R\sin{x} \)
\( \dfrac{a}{\sin{x}} = 2R \)
Bu oran Sinüs Teoremi'nin oranlarından biri olduğu için teoremdeki orantıyı çevrel çemberin yarıçapının iki katına eşitleyebiliriz.
\( \dfrac{a}{\sin(\hat{A})} = \dfrac{b}{\sin(\hat{B})} = \dfrac{c}{\sin(\hat{C})} = 2R \)
Bir üçgende iki kenar uzunluğunu ve bu iki kenar arasındaki açının sinüs değerini biliyorsak, üçgenin alanını aşağıdaki formülle hesaplayabiliriz.
\( A(ABC) = \dfrac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin{\hat{A}} \)
ÖRNEK:
İki kenar uzunluğu 8 ve 7 br, aralarındaki açı 30° ise üçgenin alanı:
\( A(ABC) = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 7 \cdot \sin{30°} \)
\( = 14 \text{ br}^2 \)
İSPATI GÖSTER
\( B \) köşesinden yükseklik indirelim ve uzunluğuna \( h \) diyelim.
\( A(ABC) = \dfrac{1}{2} \cdot b \cdot h \)
\( h \) yüksekliğini \( \hat{A} \) açısı cinsinden aşağıdaki gibi yazabiliriz.
\( \sin{\hat{A}} = \dfrac{h}{c} \)
\( h = c \cdot \sin{\hat{A}} \)
\( h \) değerini alan formülünde yerine koyduğumuzda sinüs alan formülünü elde ederiz.
\( A(ABC) = \dfrac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin{\hat{A}} \)
SORU:
Bir \( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeninin kenar uzunlukları \( a \), \( b \) ve \( c \)'dir.
\( \sin{\hat{A}} + \sin{\hat{B}} = 3 \sin{\hat{C}} \) ve \( a - 2c = 4 - b \)
olduğuna göre, \( c \) kaç birimdir?
Çözümü Göster
Sinüs teoremi formülünü yazalım.
\( \dfrac{a}{\sin(\hat{A})} = \dfrac{b}{\sin(\hat{B})} = \dfrac{c}{\sin(\hat{C})} \)
Orantı kurallarına göre orantıdaki iki oranın pay ve paydalarının toplamlarının oranı orantı sabitini değiştirmez.
\( \dfrac{a + b}{\sin(\hat{A}) + \sin(\hat{B})} = \dfrac{c}{\sin(\hat{C})} \)
Verilen diğer eşitlikteki terimleri düzenleyelim.
\( a + b = 2c + 4 \)
Bu eşitlikleri elde ettiğimiz yeni orantıda yerine koyalım.
\( \dfrac{a + b}{\sin(\hat{A}) + \sin(\hat{B})} = \dfrac{c}{\sin(\hat{C})} \)
\( \dfrac{2c + 4}{3 \sin(\hat{C})} = \dfrac{c}{\sin(\hat{C})} \)
\( 2c + 4 = 3c \)
\( c = 4 \) bulunur.
SORU:
\( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeninin kenar uzunlukları arasında \( c^2 = a^2 + b^2 - ab \) bağıntısı olduğuna göre,
\( m(\hat{C}) \) kaç derecedir?
Çözümü Göster
\( c \) kenarı için Kosinüs teoremi formülünü yazalım.
\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos{\hat{C}} \)
Bu formül ve verilen bağıntıdaki \( c^2 \) terimlerini eşitleyelim.
\( a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos{\hat{C}} = a^2 + b^2 - ab \)
\( 2ab \cdot \cos{\hat{C}} = ab \)
\( \cos{\hat{C}} = \dfrac{1}{2} \)
\( \hat{C} = 60° \) bulunur.
SORU:
Şekilde verilenlere göre \( \sin{x} \) kaçtır?
Çözümü Göster
İki üçgenin yükseklikleri eşit olduğu için alanları oranı taban uzunlukları oranına eşittir.
\( \dfrac{A(\overset{\triangle}{ABC})}{A(\overset{\triangle}{ACD})} = \dfrac{\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \abs{AC} \cdot \sin{60°}}{\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \abs{AC} \cdot \sin{x}} = \dfrac{2k}{k} \)
\( \dfrac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{4 \cdot \sin{x}} = \dfrac{2}{1} \)
\( 8 \sin{x} = \dfrac{3 \sqrt{3}}{2} \)
\( \sin{x} = \dfrac{3 \sqrt{3}}{16} \) bulunur.
SORU:
Şekilde \( A(\overset{\triangle}{ABC}) = A(\overset{\triangle}{EBD}) \) ise \( x \) kaç br olur?
Çözümü Göster
\( B \) köşesi üzerinden sinüs alan formülünü yazalım.
\( A(\overset{\triangle}{ABC}) = A(\overset{\triangle}{EBD}) \)
\( \dfrac{1}{2} \cdot (3 + x) \cdot 4 \cdot \sin{\hat{B}} = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot (4 + 2) \cdot \sin{\hat{B}} \)
\( 12 + 4x = 18 \)
\( x = \dfrac{3}{2} \text{ br} \) bulunur.
SORU:
Bir \( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeninde \( a = 10 \text{ br} \), \( b = 8 \text{ br} \), \( c = 6 \text{ br} \) ise, üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı kaç br olur?
Çözümü Göster
Kenar oranlarına göre \( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeni 3-4-5 üçgenidir, dolayısıyla bir dik üçgendir.
\( m(\hat{A}) = 90° \)
Üçgenin alanını hesaplayalım.
\( A(\overset{\triangle}{ABC}) = \dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24 \text{ br}^2 \) olur.
Üçgenin alanını aynı zamanda çevrel çemberinin yarıçapı cinsinden de hesaplayabiliriz.
\( A(\overset{\triangle}{ABC}) = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4R} \)
\( 24 = \dfrac{6 \cdot 8 \cdot 10}{4R} \)
\( R = 5 \text{ br} \) bulunur.
SORU:
Bir \( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeninin kenar uzunlukları 6 br, 8 br ve 10 br ise bu üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı kaç br olur?
Çözümü Göster
Kenar oranlarına göre \( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeni 3-4-5 üçgenidir, dolayısıyla bir dik üçgendir.
\( m(\hat{A}) = 90° \)
Üçgenin alanını hesaplayalım.
\( A(\overset{\triangle}{ABC}) = \dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24 \text{ br}^2 \)
Üçgenin alanını aynı zamanda iç teğet çemberinin yarıçapı cinsinden de hesaplayabiliriz.
\( u = \dfrac{a + b + c}{2} \)
\( A(\overset{\triangle}{ABC}) = u \cdot r \)
\( u = \dfrac{6 + 8 + 10}{2} = 12 \)
\( A(\overset{\triangle}{ABC}) = u \cdot r \)
\( 24 = 12 \cdot r \)
\( r = 2 \text{ br} \) bulunur.
