Kosinüs ve sinüs teoremleri üçgenlerde köşe açıları ve kenar uzunlukları arasında ilişki kurmamızı sağlar. Bu iki teorem sadece dik üçgenlerde değil tüm üçgenlerde kullanılabilir.
Kosinüs teoremi kullanılarak bir üçgende iki kenar uzunluğu biliniyorsa ya bu iki kenarın arasındaki açının kosinüs değeri kullanılarak üçüncü kenarın uzunluğu bulunabilir, ya da üçüncü kenarın uzunluğu kullanılarak iki kenar arasındaki açının kosinüs değeri bulunabilir.
Yukarıdaki şekildeki gibi bir üçgen için kosinüs teoremi formülleri aşağıdaki gibidir.
Sinüs teoremine göre bir üçgende her kenarın uzunluğu ile bu kenarın karşısındaki açının sinüs değeri arasındaki oran üç kenar için de aynıdır.
Yukarıdaki şekildeki gibi bir üçgen için sinüs teoremi formülü aşağıdaki gibidir.
Sinüs teoremi formülünün orantı katsayısı (\( 2R \)) o üçgenin çevrel çemberinin yarıçapının iki katına eşittir.
Bir üçgende iki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açının sinüs değeri biliniyorsa üçgenin alanı aşağıdaki formülle hesaplanabilir.
SORU 1:
Bir \( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeninin kenar uzunlukları \( a \), \( b \) ve \( c \)'dir.
\( \sin(\hat{A}) + \sin(\hat{B}) = 3 \sin(\hat{C}) \) ve \( a - 2c = 4 - b \)
olduğuna göre, \( c \) kaç birimdir?
Çözümü Göster
Sinüs teoremi formülünü yazalım.
\( \dfrac{a}{\sin(\hat{A})} = \dfrac{b}{\sin(\hat{B})} = \dfrac{c}{\sin(\hat{C})} \)
Orantı kurallarına göre orantıdaki iki oranın pay ve paydalarının toplamlarının oranı orantı sabitini değiştirmez.
\( \dfrac{a + b}{\sin(\hat{A}) + \sin(\hat{B})} = \dfrac{c}{\sin(\hat{C})} \)
Verilen diğer eşitlikteki terimleri düzenleyelim.
\( a + b = 2c + 4 \)
Bu eşitlikleri elde ettiğimiz yeni orantıda yerine koyalım.
\( \dfrac{a + b}{\sin(\hat{A}) + \sin(\hat{B})} = \dfrac{c}{\sin(\hat{C})} \)
\( \dfrac{2c + 4}{3 \sin(\hat{C})} = \dfrac{c}{\sin(\hat{C})} \)
\( \sin(\hat{C}) \) çarpanları sadeleşir.
\( 2c + 4 = 3c \)
\( c = 4 \) bulunur.
SORU 2:
\( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeninin kenar uzunlukları arasında \( c^2 = a^2 + b^2 - ab \) bağıntısı olduğuna göre,
\( m(\hat{C}) \) kaç derecedir?
Çözümü Göster
\( c \) kenarı için kosinüs teoremi formülünü yazalım.
\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos{\hat{C}} \)
Bu formül ve verilen bağıntıdaki \( c^2 \) terimlerini eşitleyelim.
\( a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos{\hat{C}} = a^2 + b^2 - ab \)
\( 2ab \cdot \cos{\hat{C}} = ab \)
\( \cos{\hat{C}} = \dfrac{1}{2} \)
\( \hat{C} = 60° \) bulunur.
SORU 3:
Yukarıdaki şekilde \( ABC \) üçgeni verilmiştir.
\( \abs{AB} = 4, \abs{AC} = 5 \)
\( m(\widehat{BAC}) = 60° \)
olduğuna göre, \( [BC] \) kenarına ait yükseklik kaç birimdir?
Çözümü Göster
Yüksekliği bulmak için üçgenin alanını ve \( [BC] \) kenarınının uzunluğunu bulalım.
Üçgenin alanını bulmak için \( ABC \) üçgenine sinüs alan teoremini uygulayalım.
\( A(ABC) = \dfrac{1}{2}\abs{AB}\abs{AC}\sin{\hat{A}} \)
\( = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin{60°} = 5\sqrt{3} \)
\( \abs{BC} \) uzunluğunu bulmak için kosinüs teoremi formülünü kullanalım.
\( (\abs{BC})^2 = (\abs{AB})^2 + (\abs{AC})^2 - 2\abs{AB}\abs{AC}\cos{\hat{A}} \)
\( = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos{60°} \)
\( = 16 + 25 - 20 = 21 \)
\( \abs{BC} = \sqrt{21} \)
\( [BC] \) kenarına ait yüksekliğe \( h \) diyelim.
\( A(ABC) = \dfrac{\abs{BC} \cdot h}{2} \)
\( 5\sqrt{3} = \dfrac{\sqrt{21} \cdot h}{2} \)
\( h = \dfrac{10\sqrt{3}}{\sqrt{21}} \)
\( = \dfrac{10}{\sqrt{7}} = \dfrac{10\sqrt{7}}{7} \) olarak bulunur.
SORU 4:
Şekilde verilenlere göre \( \sin{x} \) kaçtır?
Çözümü Göster
İki üçgenin yükseklikleri eşit olduğu için alanları oranı taban uzunlukları oranına eşittir.
\( \dfrac{A(\overset{\triangle}{ABC})}{A(\overset{\triangle}{ACD})} = \dfrac{\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \abs{AC} \cdot \sin{60°}}{\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \abs{AC} \cdot \sin{x}} = \dfrac{2k}{k} \)
\( \dfrac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{4 \cdot \sin{x}} = \dfrac{2}{1} \)
\( 8 \sin{x} = \dfrac{3 \sqrt{3}}{2} \)
\( \sin{x} = \dfrac{3 \sqrt{3}}{16} \) bulunur.
SORU 5:
Şekilde \( A(\overset{\triangle}{ABC}) = A(\overset{\triangle}{EBD}) \) ise \( x \) kaç br olur?
Çözümü Göster
\( B \) köşesi üzerinden sinüs alan formülünü yazalım.
\( A(\overset{\triangle}{ABC}) = A(\overset{\triangle}{EBD}) \)
\( \dfrac{1}{2} \cdot (3 + x) \cdot 4 \cdot \sin{\hat{B}} = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot (4 + 2) \cdot \sin{\hat{B}} \)
\( 12 + 4x = 18 \)
\( x = \dfrac{3}{2} \text{ br} \) bulunur.
SORU 6:
Bir \( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeninde \( a = 10 \text{ br} \), \( b = 8 \text{ br} \), \( c = 6 \text{ br} \) ise, üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı kaç br olur?
Çözümü Göster
Kenar oranlarına göre \( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeni 3-4-5 üçgenidir, dolayısıyla bir dik üçgendir.
\( m(\hat{A}) = 90° \)
Üçgenin alanını hesaplayalım.
\( A(\overset{\triangle}{ABC}) = \dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24 \text{ br}^2 \) olur.
Üçgenin alanını aynı zamanda çevrel çemberinin yarıçapı cinsinden de hesaplayabiliriz.
\( A(\overset{\triangle}{ABC}) = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4R} \)
\( 24 = \dfrac{6 \cdot 8 \cdot 10}{4R} \)
\( R = 5 \text{ br} \) bulunur.
SORU 7:
Bir \( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeninin kenar uzunlukları 6 br, 8 br ve 10 br ise bu üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı kaç br olur?
Çözümü Göster
Kenar oranlarına göre \( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeni 3-4-5 üçgenidir, dolayısıyla bir dik üçgendir.
\( m(\hat{A}) = 90° \)
Üçgenin alanını hesaplayalım.
\( A(\overset{\triangle}{ABC}) = \dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24 \text{ br}^2 \)
Üçgenin alanını aynı zamanda iç teğet çemberinin yarıçapı cinsinden de hesaplayabiliriz.
\( u = \dfrac{a + b + c}{2} \)
\( A(\overset{\triangle}{ABC}) = u \cdot r \)
\( u = \dfrac{6 + 8 + 10}{2} = 12 \)
\( A(\overset{\triangle}{ABC}) = u \cdot r \)
\( 24 = 12 \cdot r \)
\( r = 2 \text{ br} \) bulunur.
SORU 8:
Yukarıdaki şekilde bir çember ve bu çemberin \( ABCD \) kirişler dörtgeni verilmiştir. \( m(\widehat{ADC}) = x \) ise \( \cos{x} \) değerini bulunuz.
Çözümü Göster
Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların ölçüleri toplamı \( 180° \)'dir ve gördükleri yayların uzunlukları toplamı \( 360° \)'dir.
\( m(\widehat{ABC}) = 180° - x \)
\( \abs{AC} = a \)
\( \overset{\triangle}{ADC} \) ve \( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgenlerine Kosinüs teoremini uygulayalım.
\( a^2 = 6^2 + 7^2 - 2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \cos{x} \)
\( a^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos(180° - x) \)
Kosinüs fonksiyonu II. bölgede negatiftir.
\( \cos(180° - x) = -\cos{x}\)
İki \( a^2 \) ifadesini birbirine eşitleyelim.
\( 85 - 84\cos{x} = 41 + 40\cos{x} \)
\( 124\cos{x} = 44 \)
\( \cos{x} = \dfrac{44}{124} = \dfrac{11}{31} \) bulunur.
SORU 9:
Aşağıda \( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeni verilmiştir.
\( \abs{AB} = 3, \quad \abs{AC} = 2 \)
\( \abs{BD} = \abs{DC} = a \)
\( m(\widehat{BAD}) = x \)
\( m(\widehat{DAC}) = 30° \)
olduğuna göre, \( \sin{x} \)'in değerini bulunuz.
Çözümü Göster
\( \overset{\triangle}{ABD} \) üçgenine sinüs teoremini uygulayalım.
\( \dfrac{\abs{BD}}{\sin{x}} = \dfrac{\abs{AB}}{\sin{m}} \)
\( \dfrac{a}{\sin{x}} = \dfrac{3}{\sin{m}} \)
\( \sin{m} = \dfrac{3\sin{x}}{a} \)
\( \overset{\triangle}{ACD} \) üçgenine sinüs teoremini uygulayalım.
\( \dfrac{\abs{DC}}{\sin{30°}} = \dfrac{\abs{AC}}{\sin{n}} \)
\( \dfrac{a}{\frac{1}{2}} = \dfrac{2}{\sin{t}} \)
\( \sin{n} = \dfrac{1}{a} \)
\( m \) ve \( n \) açıları bütünler açılar oldukları için sinüs değerleri eşittir.
\( \sin{m} = \sin{n} \)
\( \dfrac{3\sin{x}}{a} = \dfrac{1}{a} \)
\( \sin{x} = \dfrac{1}{3} \) bulunur.
SORU 10:
Yukarıdaki \( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeninin çevresi 12 birimdir.
\( \sin{\hat{A}} + \sin{\hat{B}} + \sin{\hat{C}} = \dfrac{6}{5} \)
\( \sin{\hat{A}} = \dfrac{3}{10} \) olduğuna göre, \( [BC] \) kenarının uzunluğunu bulunuz.
Çözümü Göster
Sinüs teoremini uygulayalım.
\( \dfrac{a}{\sin{\hat{A}}} = \dfrac{b}{\sin{\hat{B}}} = \dfrac{c}{\sin{\hat{C}}} = 2R \)
Bir orantıda oranların paylarının toplamının paydalarının toplamına oranı aynı orantı sabitine eşittir.
\( \dfrac{a + b + c}{\sin{\hat{A}} + \sin{\hat{B}} + \sin{\hat{C}}} = 2R \)
\( a + b + c = 12 \)
\( \dfrac{12}{\frac{6}{5}} = 2R = 10 \)
Bulduğumuz orantı sabitini \( a \) kenarının uzunluğunu bulmak için kullanalım.
\( \dfrac{a}{\sin{\hat{A}}} = 2R \)
\( \dfrac{a}{\dfrac{3}{10}} = 10 \)
\( a = 3 \) bulunur.
SORU 11:
\( ABCD \) bir yamuktur.
\( \abs{AB} = 4, \quad \abs{BD} = 1 \)
\( \abs{CD} = 2\sqrt{3} + 4 \)
\( m(\widehat{BDC}) = 30° \)
olduğuna göre, \( \abs{AC} = x \) kaç birimdir?
Çözümü Göster
\( \abs{AC} \) doğrusuna paralel bir \( \abs{BE} \) doğrusu çizelim.
\( ABCE \) paralelkenarında karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir.
\( \abs{BE} = \abs{AC} = x \)
\( \abs{AB} = \abs{CE} \)
\( \abs{ED} = 2\sqrt{3} + 4 - 4 = 2\sqrt{3} \)
\( BDE \) üçgenine kosinüs teoremi uygulayalım.
\( x^2 = 1^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos{30°} \)
\( = 1 + 12 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
\( = 13 - 6 = 7 \)
\( x = \sqrt{7} \) bulunur.
SORU 12:
Yukarıda birer kenarı ortak düzgün bir altıgen ve kare verilmiştir.
\( \abs{GH} = 6 \)
Buna göre \( GAF \) üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
Çözümü Göster
Düzgün \( n \) kenarlı çokgenin bir iç açısının ölçüsü \( = \dfrac{(n - 2) \cdot 180°}{n} \)
Düzgün altıgenin bir iç açısının ölçüsü \( = \dfrac{(6 - 2) \cdot 180°}{6} = 120° \)
\( m(\widehat{BAF}) = 120° \)
Karenin bir köşe açısı 90°'dir.
\( \widehat{GAF} \) açısının ölçüsünü bulalım.
\( m(\widehat{GAF}) = 360° - 120° - 90° = 150° \)
\( GAF \) ikizkenar üçgeninin alanını sinüs teoremi ile bulalım.
\( A(GAF) = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin{150°} \)
\( = 18 \cdot \dfrac{1}{2} = 9 \) bulunur.
SORU 13:
\( ABCD \) bir paralelkenardır.
\( \abs{AE} = 2\sqrt{3}, \quad \abs{AB} = \sqrt{6}, \quad \abs{BF} = 5\sqrt{3} \)
\( m(\widehat{ABF}) = 45° \)
Buna göre, \( \abs{EF} = x \) kaç birimdir?
Çözümü Göster
\( [AB] \) kenarına paralel \( [EG] \) doğrusu çizelim.
\( ABGE \) paralelkenarında karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir.
\( \abs{EG} = \abs{AB} = \sqrt{6} \)
\( \abs{BG} = \abs{AE} = 2\sqrt{3} \)
\( \abs{GF} = 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \)
Oluşan \( EGF \) üçgenine kosinüs teoremi uygulayalım.
\( x^2 = (\sqrt{6})^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos{45°} \)
\( = 6 + 27 - 2\sqrt{6} \cdot 3\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
\( = 15 \)
\( x = \sqrt{15} \) bulunur.
SORU 14:
\( ABC \) bir üçgendir.
\( \dfrac{\abs{AB}}{\abs{AC}} = \dfrac{2}{5} \)
\( \sin(\widehat{BAD}) = \dfrac{1}{4}, \sin(\widehat{DAC}) = \dfrac{1}{5} \)
olduğuna göre, \( \frac{A(ABD)}{A(ADC)} \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( \abs{AB} = 2k, \quad \abs{AC} = 5k \)
\( \abs{AD} = x \) diyelim.
İstenen oranı sinüs teoremini kullanarak bulalım.
\( \dfrac{A(\widehat{ABD})}{A(\widehat{ADC})} = \dfrac{\frac{1}{2} \abs{AB} \cdot \abs{AD} \cdot \sin(\widehat{BAD})}{\frac{1}{2}\abs{AD} \cdot \abs{AC} \cdot \sin(\widehat{DAC})} \)
\( = \dfrac{\frac{1}{2} \cdot 2k \cdot x \cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{2} \cdot x \cdot 5k \cdot \frac{1}{5}} \)
\( = \dfrac{1}{2} \) bulunur.
SORU 15:
\( ABCD \) bir eşkenar dörtgendir.
\( \abs{AB} = 5, \quad 2\abs{BE} = 3\abs{ED}\)
\( \tan(\widehat{ABD}) = \dfrac{3}{4} \)
Buna göre, \( \abs{CE} = x \) kaçtır?
Çözümü Göster
Eşkenar dörtgenin tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir.
Soruda verilen oranlara göre kenar uzunluklarını yazalım.
\( \tan(\widehat{ABD}) = \frac{3}{4} \) olduğuna göre, bir dik üçgende \( \widehat{ABD} \) açısının karşı kenarı \( 3k \), komşu kenarı \( 4k \) ve hipotenüs \( 5k \) olur.
\( \tan(\widehat{ABD}) \) değeri pozitif olduğu için bu açı bir dar açıdır.
\( \cos(\widehat{ABD}) = \dfrac{4}{5} \)
Eşkenar dörtgen bir paralelkenar olduğu için \( \widehat{ABD} \) ve \( \widehat{CDB} \) bütünler açılardır.
\( \cos(\widehat{CDB}) = \cos(180° - \widehat{ABD}) \)
\( = - \cos(\widehat{ABD}) = -\dfrac{4}{5} \)
\( CDE \) üçgenine kosinüs teoremini uygulayalım.
\( x^2 = 2^2 + 5^2 - 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot (-\dfrac{4}{5}) \)
\( = 4 + 25 + 16 = 45 \)
\( x = 3\sqrt{5} \) bulunur.
SORU 16:
\( [AB] \) doğru parçası \( O \) merkezli, yarıçapı 2 birim olan çembere \( B \) noktasına teğettir.
\( \sin{x} = \dfrac{2\sqrt{6}}{5} \)
Buna göre \( COD \) üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
Çözümü Göster
\( [AB] \) doğru parçası çembere teğet olduğuna göre oluşan \( \widehat{ABO} \) açısı dik açıdır.
\( m(\widehat{ABO}) = 90° \)
\( m(\widehat{AOB}) = 90° - x \)
\( m(\widehat{COD}) = 90° + x \)
\( COD \) üçgeninin alanını bulmak için sinüs teoremini kullanalım.
\( A(COD) = \dfrac{1}{2} \cdot \abs{CO} \cdot \abs{OD} \cdot \sin(90° + x) \)
\( \sin(90° + x) = \cos{x} \)
\( \sin{x} = \frac{2\sqrt{6}}{5} \) olduğuna göre, bir dik üçgende \( x \) açısının karşı kenarına \( 2\sqrt{6}k \), hipotenüse \( 5k \) dersek komşu kenar Pisagor teoreminden \( k \) olarak bulunur.
\( \cos{x} = \dfrac{k}{5k} = \dfrac{1}{5} \)
\( A(COD) = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \dfrac{1}{5} \)
\( = \dfrac{2}{5} \) bulunur.
SORU 17:
\( ABCD \) bir dörtgendir.
\( \abs{AB} = 2, \quad \abs{BD} = 4 \)
\( \abs{DC} = 5, \quad \abs{AC} = 3 \)
\( m(\widehat{BDC}) = 60° \)
Buna göre, \( \cos{\widehat{A}} \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( BCD \) üçgenine kosinüs teoremi uygulayarak \( x \) uzunluğunu bulalım.
\( x^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos{60°} \)
\( = 41 - 40 \cdot \dfrac{1}{2} \)
\( = 21 \)
\( BAC \) üçgenine kosinüs teoremi uygulayarak \( \cos{\widehat{A}} \) değerini bulalım.
\( 21 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos{\widehat{A}} \)
\( 21 = 13 - 12 \cos{\widehat{A}} \)
\( 8 = - 12 \cos{\widehat{A}} \)
\( \cos{\widehat{A}} = -\dfrac{2}{3} \) bulunur.
SORU 18:
\( \abs{AB} = 9, \quad \abs{BC} = 4 \)
\( m(\widehat{BAC}) = x, \quad m(\widehat{ACB}) = 90° + x \)
Buna göre, \( \cot{x} \) kaçtır?
Çözümü Göster
Sinüs teoremini kullanalım.
\( \dfrac{4}{\sin{x}} = \dfrac{9}{\sin(90° + x)} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 4\sin(90° + x) = 9\sin{x} \)
\( \sin(90° + x) = \cos{x} \) özdeşliğini kullanalım.
\( 4\cos{x} = 9\sin{x} \)
\( \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} = \cot{x} = \dfrac{9}{4} \) bulunur.
SORU 19:
\( ABCD \) bir dik yamuktur.
\( \abs{CB} = 4, \quad \abs{CD} = 6 \)
\( m(\widehat{ACB}) = x, \quad \cos{x} = \dfrac{\sqrt{5}}{3} \)
Buna göre, \( \abs{BD} = a \) uzunluğu kaç birimdir?
Çözümü Göster
\( m(\widehat{ACD}) = 90° \) olduğu için \( m(\widehat{BCD}) = 90° - x \) olur.
\( BCD \) üçgenine kosinüs teoremi uygulayalım.
\( a^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(90° - x) \)
Tümler açıların sinüs ve kosinüs değerleri birbirine eşittir.
\( \cos(90° - x) = \sin{x} \)
\( = 16 + 36 - 48\sin{x} \)
\( \cos{x} = \frac{\sqrt{5}}{3} \) olduğuna göre, bir dik üçgende \( x \) açısının komşu kenarına \( \sqrt{5}k \) ve hipotenüse \( 3k \) dersek karşı kenar \( 2k \) olur.
\( \sin{x} = \dfrac{2k}{3k} = \dfrac{2}{3} \)
\( a^2 = 52 - 48 \cdot \dfrac{2}{3} \)
\( = 20 \)
\( a = 2\sqrt{5} \) bulunur.
SORU 20:
Yukarıda bir dik kare piramit verilmiştir.
\( \abs{AC} = \abs{EC} = 4 \)
\( [DE] \perp [BA] \)
\( m(\widehat{BAC}) = x \) ise \( \cos{x} \) kaçtır?
Çözümü Göster
Piramit dik olduğu için yan kenar uzunlukları eşittir.
\( \abs{AD} = \abs{AE} = \abs{AC} = 4 \)
\( ADE \) üçgeni ikizkenar olduğu için tabana ait yükseklik tabanı ortalar.
\( \abs{DB} = \abs{BE} = 2 \)
Bu uzunlukları şekil üzerinde işaretleyelim.
Prizmanın tabanı karedir.
\( [DE] \perp [EC] \)
\( [BC] \) kenarı \( BEC \) dik üçgeninin hipotenüsüdür.
\( \abs{BC}^2 = \abs{BE}^2 + \abs{EC}^2 \)
\( \abs{BC}^2 = 2^2 + 4^2 \)
\( \abs{BC} = 2\sqrt{5} \)
\( [BA] \) yüksekliği \( DBA \) dik üçgeninin bir dik kenarıdır.
\( \abs{DA}^2 = \abs{DB}^2 + \abs{BA}^2 \)
\( 4^2 = 2^2 + \abs{BA}^2 \)
\( \abs{BA} = 2\sqrt{3} \)
\( BAC \) üçgeninde kosinüs teoremini uygulayalım.
\( (2\sqrt{5})^2 = 4^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos{x} \)
\( 20 = 16 + 12 - 16\sqrt{3} \cdot \cos{x} \)
\( -8 = -16\sqrt{3} \cdot \cos{x} \)
\( \cos{x} = \dfrac{1}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{6} \) bulunur.
SORU 21:
Şekilde \( ABC \) üçgeni verilmiştir.
\( 3\abs{AD} = 5\abs{DB}, \quad 3\abs{AE} = 2\abs{EC} \)
Buna göre \( BCED \) dörtgeninin alanının \( ADE \) üçgeninin alanına oranı kaçtır?
Çözümü Göster
\( \abs{AD} = 5a \) ve \( \abs{DB} = 3a \) diyelim.
\( \abs{AE} = 2b \) ve \( \abs{EC} = 3b \) diyelim.
Sinüs alan formülünü kullanarak \( ADE \) üçgeninin alanını bulalım.
\( A(ADE) = \dfrac{1}{2} \cdot 5a \cdot 2b \cdot \sin{x} \)
\( = 5ab\sin{x} \)
Sinüs alan formülünü kullanarak \( ABC \) üçgeninin alanını bulalım.
\( A(ABC) = \dfrac{1}{2} \cdot 8a \cdot 5b \cdot \sin{x} \)
\( = 20ab\sin{x} \)
\( BCED \) dörtgeninin alanını bulmak için iki üçgenin alanlarının farkını alalım.
\( A(BCED) = A(ABC) - A(ADE) \)
\( = 20ab\sin{x} - 5ab\sin{x} = 15ab\sin{x} \)
\( BCED \) dörtgeninin alanının \( ADE \) üçgeninin alanına oranını alalım.
\( \dfrac{A(BCED)}{A(ADE)} = \dfrac{15ab\sin{x}}{5ab\sin{x}} = 3 \) bulunur.
SORU 22:
Yukarıdaki şekilde \( ABCD \) bir karedir.
\( \abs{EB} = 2\abs{AE}, \quad \abs{BF} = \abs{FC} \)
olduğuna göre, \( \tan{x} \) kaçtır?
Çözümü Göster
Yöntem 1: Kosinüs teoremi
\( E \) ve \( F \) noktalarını birleştirelim.
Karenin bir kenar uzunluğuna 6 birim diyelim.
\( \abs{AE} = 2 \)
\( \abs{EB} = 4 \)
\( \abs{BF} = \abs{FC} = 3 \)
Pisagor teoremi ile \( [DE] \) uzunluğunu bulalım.
\( \abs{DE} = \sqrt{6^2 + 2^2} = 2\sqrt{10} \)
Pisagor teoremi ile \( [DF] \) uzunluğunu bulalım.
\( \abs{DF} = \sqrt{6^2 + 3^2} = 3\sqrt{5} \)
Pisagor teoremi ile \( [EF] \) uzunluğunu bulalım.
\( \abs{EF} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \)
\( DEF \) üçgenine kosinüs teoremini uygulayalım.
\( 5^2 = (2\sqrt{10})^2 + (3\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{10} \cdot 3\sqrt{5} \cdot \cos{x} \)
\( 25 = 40 + 45 - 60\sqrt{2} \cdot \cos{x} \)
\( \cos{x} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
Kosinüs değeri \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) olan açı 45°'dir.
\( \tan{45°} = 1 \) bulunur.
Yöntem 2: Tanjant fark formülü
\( E \) noktasından karenin tabanına bir dikme indirelim.
Aşağıdaki iki açıyı tanımlayalım.
\( m(\widehat{EDC}) = y \)
\( m(\widehat{FDC}) = z \)
\( x \) açısını bu iki açının farkı şeklinde yazalım.
\( x = y - z \)
İki tarafın tanjantını alalım.
\( \tan{x} = \tan(y - z) \)
Tanjant fark formülünü kullanalım.
\( = \dfrac{\tan{y} - \tan{z}}{1 + \tan{y} \cdot \tan{z}} \)
Şekilde oluşan üçgenleri kullanarak trigonometrik değerleri yerine koyalım.
\( = \dfrac{\frac{6}{2} - \frac{3}{6}}{1 + \frac{6}{2} \cdot \frac{3}{6}} \)
\( = \dfrac{\frac{15}{6}}{1 + \frac{3}{2}} \)
\( = 1 \) bulunur.
