Dönüşüm Formülleri
Toplam Dönüşüm Formülleri
Bu formüller iki trigonometrik ifadenin toplamını/farkını iki trigonometrik ifadenin çarpımına dönüştürür.
Sinüs Dönüşüm Formülleri
\( \sin{x} + \sin{y} = 2 \sin(\frac{x + y}{2})\cos(\frac{x - y}{2}) \)
\( \sin{x} - \sin{y} = 2 \cos(\frac{x + y}{2})\sin(\frac{x - y}{2}) \)
\( \sin{90°} + \sin{30°} = 2 \sin(\frac{90° + 30°}{2})\cos(\frac{90° - 30°}{2}) \)
\( \sin{90°} + \sin{30°} = 2 \sin{60°}\cos{30°} \)
\( 1 + \frac{1}{2} = 2 \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \)
İSPATI GÖSTER
Sinüs toplam dönüşüm formülü:
Sinüs toplam ve fark formüllerinin ispatını "Toplam, Fark ve İki Kat Açı Formülleri" bölümünde yapmıştık.
\( \sin(x + y) = \sin{x}\cos{y} + \cos{x}\sin{y} \)
\( \sin(x - y) = \sin{x}\cos{y} - \cos{x}\sin{y} \)
Yukarıdaki iki formülü taraf tarafa toplayalım.
\( \sin(x + y) + \sin(x - y) = 2\sin{x}\cos{y} \)
\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x + y = a \)
\( x - y = b \) diyelim.
İki ifade arasında taraf tarafa toplama ve çıkarma işlemleri yaparak \( x \) ve \( y \) değerlerini bulalım.
\( x = \dfrac{a + b}{2} \)
\( y = \dfrac{a - b}{2} \)
Bulduğumuz değerleri yukarıda bulduğumuz eşitlikte yerine koyalım.
\( \sin(x + y) + \sin(x - y) = 2\sin{x}\cos{y} \)
\( \sin{a} + \sin{b} = 2 \sin(\frac{a + b}{2})\cos(\frac{a - b}{2}) \)
\( a \) ve \( b \) değişkenlerini yeniden isimlendirerek \( x \) ve \( y \) yazdığımızda sinüs toplam dönüşüm formülünü elde ederiz.
\( \sin{x} + \sin{y} = 2 \sin(\frac{x + y}{2})\cos(\frac{x - y}{2}) \)
Sinüs fark dönüşüm formülü:
Sinüs toplam ve fark formüllerini taraf tarafa çıkaralım.
\( \sin(x + y) - \sin(x - y) = 2\cos{x}\sin{y} \)
Yukarıda bulduğumuz değerleri bu eşitlikte yerine koyalım.
\( \sin{a} - \sin{b} = 2 \cos(\frac{a + b}{2})\sin(\frac{a - b}{2}) \)
\( a \) ve \( b \) değişkenlerini yeniden isimlendirerek \( x \) ve \( y \) yazdığımızda sinüs fark dönüşüm formülünü elde ederiz.
\( \sin{x} - \sin{y} = 2 \cos(\frac{x + y}{2})\sin(\frac{x - y}{2}) \)
Kosinüs Dönüşüm Formülleri
\( \cos{x} + \cos{y} = 2 \cos(\frac{x + y}{2})\cos(\frac{x - y}{2}) \)
\( \cos{x} - \cos{y} = -2 \sin(\frac{x + y}{2})\sin(\frac{x - y}{2}) \)
İSPATI GÖSTER
Kosinüs toplam dönüşüm formülü:
Kosinüs toplam ve fark formüllerinin ispatını "Toplam, Fark ve İki Kat Açı Formülleri" bölümünde yapmıştık.
\( \cos(x + y) = \cos{x}\cos{y} - \sin{x}\sin{y} \)
\( \cos(x - y) = \cos{x}\cos{y} + \sin{x}\sin{y} \)
Yukarıdaki iki formülü taraf tarafa toplayalım.
\( \cos(x + y) + \cos(x - y) = 2\cos{x}\cos{y} \)
\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x + y = a \)
\( x - y = b \) diyelim.
İki ifade arasında taraf tarafa toplama ve çıkarma işlemleri yaparak \( x \) ve \( y \) değerlerini bulalım.
\( x = \dfrac{a + b}{2} \)
\( y = \dfrac{a - b}{2} \)
Bulduğumuz değerleri yukarıda bulduğumuz eşitlikte yerine koyalım.
\( \cos(x + y) + \cos(x - y) = 2\cos{x}\cos{y} \)
\( \cos{a} + \cos{b} = 2 \cos(\frac{a + b}{2})\cos(\frac{a - b}{2}) \)
\( a \) ve \( b \) değişkenlerini yeniden isimlendirerek \( x \) ve \( y \) yazdığımızda sinüs toplam dönüşüm formülünü elde ederiz.
\( \cos{x} + \cos{y} = 2 \cos(\frac{x + y}{2})\cos(\frac{x - y}{2}) \)
Kosinüs fark dönüşüm formülü:
Kosinüs toplam ve fark formüllerini taraf tarafa çıkaralım.
\( \cos(x + y) - \cos(x - y) = -2\sin{x}\sin{y} \)
Yukarıda bulduğumuz değerleri bu eşitlikte yerine koyalım.
\( \cos{a} - \cos{b} = -2 \sin(\frac{a + b}{2})\sin(\frac{a - b}{2}) \)
\( a \) ve \( b \) değişkenlerini yeniden isimlendirerek \( x \) ve \( y \) yazdığımızda sinüs fark dönüşüm formülünü elde ederiz.
\( \cos{x} - \cos{y} = -2 \sin(\frac{x + y}{2})\sin(\frac{x - y}{2}) \)
Tanjant Dönüşüm Formülleri
\( \tan{x} + \tan{y} = \dfrac{\sin(x + y)}{\cos{x}\cos{y}} \)
\( \tan{x} - \tan{y} = \dfrac{\sin(x - y)}{\cos{x}\cos{y}} \)
İSPATI GÖSTER
Tanjant toplam dönüşüm formülü:
Tanjant fonksiyonlarını sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \tan{x} + \tan{y} = \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} + \dfrac{\sin{y}}{\cos{y}} \)
\( = \dfrac{\sin{x}\cos{y} + \cos{x}\sin{y}}{\cos{x}\cos{y}} \)
Paydaki ifade sinüs toplam formülüdür. Bu ifadenin eşitini yazdığımızda tanjant toplam dönüşüm formülünü elde ederiz.
\( \sin(x + y) = \sin{x}\cos{y} + \cos{x}\sin{y} \)
\( \tan{x} + \tan{y} = \dfrac{\sin(x + y)}{\cos{x}\cos{y}} \)
Tanjant fark dönüşüm formülü:
Tanjant fonksiyonlarını sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \tan{x} - \tan{y} = \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} - \dfrac{\sin{y}}{\cos{y}} \)
\( = \dfrac{\sin{x}\cos{y} - \cos{x}\sin{y}}{\cos{x}\cos{y}} \)
Paydaki ifade sinüs fark formülüdür. Bu ifadenin eşitini yazdığımızda tanjant fark dönüşüm formülünü elde ederiz.
\( \sin(x - y) = \sin{x}\cos{y} - \cos{x}\sin{y} \)
\( \tan{x} - \tan{y} = \dfrac{\sin(x - y)}{\cos{x}\cos{y}} \)
Çarpım (Ters) Dönüşüm Formülleri
Bu formüller iki trigonometrik ifadenin çarpımını iki trigonometrik ifadenin toplamına/farkına dönüştürür.
\( \sin{x}\sin{y} = -\frac{1}{2} [\cos(x + y) - \cos(x - y)] \)
\( \sin{60°}\sin{30°} = -\frac{1}{2} [\cos(60° + 30°) - \cos(60° - 30°)] \)
\( \sin{60°}\sin{30°} = -\frac{1}{2} [\cos{90°} - \cos{30°}] \)
\( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} [0 - \frac{\sqrt{3}}{2}] \)
\( \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} \)
İSPATI GÖSTER
Kosinüs toplam ve fark formüllerinin ispatını "Toplam, Fark ve İki Kat Açı Formülleri" bölümünde yapmıştık.
\( \cos(x + y) = \cos{x}\cos{y} - \sin{x}\sin{y} \)
\( \cos(x - y) = \cos{x}\cos{y} + \sin{x}\sin{y} \)
Yukarıdaki iki formülü taraf tarafa çıkaralım.
\( \cos(x + y) - \cos(x - y) = -2\sin{x}\sin{y} \)
Eşitliğin sağ tarafındaki çarpım ifadesini yalnız bırakalım.
\( \sin{x}\sin{y} = -\frac{1}{2}[\cos(x + y) - \cos(x - y)]\)
\( \cos{x}\cos{y} = \frac{1}{2} [\cos(x + y) + \cos(x - y)] \)
İSPATI GÖSTER
Kosinüs toplam ve fark formüllerinin ispatını "Toplam, Fark ve İki Kat Açı Formülleri" bölümünde yapmıştık.
\( \cos(x + y) = \cos{x}\cos{y} - \sin{x}\sin{y} \)
\( \cos(x - y) = \cos{x}\cos{y} + \sin{x}\sin{y} \)
Yukarıdaki iki formülü taraf tarafa toplayalım.
\( \cos(x + y) + \cos(x - y) = 2\cos{x}\cos{y} \)
Eşitliğin sağ tarafındaki çarpım ifadesini yalnız bırakalım.
\( \cos{x}\cos{y} = \frac{1}{2}[\cos(x + y) + \cos(x - y)]\)
\( \sin{x}\cos{y} = \frac{1}{2} [\sin(x + y) + \sin(x - y)] \)
İSPATI GÖSTER
Sinüs toplam ve fark formüllerinin ispatını "Toplam, Fark ve İki Kat Açı Formülleri" bölümünde yapmıştık.
\( \sin(x + y) = \sin{x}\cos{y} + \cos{x}\sin{y} \)
\( \sin(x - y) = \sin{x}\cos{y} - \cos{x}\sin{y} \)
Yukarıdaki iki formülü taraf tarafa toplayalım.
\( \sin(x + y) + \sin(x - y) = 2\sin{x}\cos{y} \)
Eşitliğin sağ tarafındaki çarpım ifadesini yalnız bırakalım.
\( \sin{x}\cos{y} = \frac{1}{2}[\sin(x + y) + \sin(x - y)]\)
\( \tan{x}\tan{y} = \dfrac{\tan{x} + \tan{y}}{\cot{x} + \cot{y}} \)
İSPATI GÖSTER
Tanjant ve kotanjant toplam dönüşüm formüllerinin ispatını yukarıda yapmıştık.
\( \tan{x} + \tan{y} = \dfrac{\sin(x + y)}{\cos{x}\cos{y}} \)
\( \cot{x} + \cot{y} = \dfrac{\sin(x + y)}{\sin{x}\sin{y}} \)
Bu iki dönüşüm formülünü birbirine bölelim.
\( \dfrac{\tan{x} + \tan{y}}{\cot{x} + \cot{y}} = \dfrac{\frac{\sin(x + y)}{\cos{x}\cos{y}}}{\frac{\sin(x + y)}{\sin{x}\sin{y}}} \)
\( = \dfrac{\sin{x}\sin{y}}{\cos{x}\cos{y}} = \tan{x}\tan{y} \)
Tanjant çarpım dönüşüm formülünü elde etmiş olduk.
\( \tan{x}\tan{y} = \dfrac{\tan{x} + \tan{y}}{\cot{x} + \cot{y}} \)
\( \cos{x} = a \) olmak üzere,
\( \dfrac{\cos(6x) + \cos(4x)}{\cos(5x)} \) ifadesini \( a \) cinsinden yazınız.
Çözümü GösterKosinüs toplam dönüşüm formülünü kullanalım.
\( \dfrac{2\cos{\frac{6x + 4x}{2}}\cos{\frac{6x - 4x}{2}}}{\cos(5x)} \)
\( = \dfrac{2\cos(5x)\cos{x}}{\cos(5x)} \)
\( = 2\cos{x} = 2a \) bulunur.
\( \sin{75°}\sin{15°} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİki trigonometrik ifadenin çarpımını açıların toplamı/farkı cinsinden yazalım.
\( \sin{x}\sin{y} = -\dfrac{1}{2}[\cos(x + y) - \cos(x - y)] \)
\( x = 75° \) ve \( y = 15° \) diyelim.
\( \sin{75°}\sin{15°} = -\dfrac{1}{2}[\cos(75° + 15°) - \cos(75° - 15°)] \)
\( = -\dfrac{1}{2}(\cos{90°} - \cos{60°}) \)
\( = -\dfrac{1}{2}(0 - \dfrac{1}{2}) = \dfrac{1}{4} \) bulunur.
\( \cos{105°}\cos{15°} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİki trigonometrik ifadenin çarpımını açıların toplamı/farkı cinsinden yazalım.
\( \cos{x}\cos{y} = \dfrac{1}{2}[\cos(x + y) + \cos(x - y)] \)
\( x = 105° \) ve \( y = 15° \) diyelim.
\( \cos{105°}\cos{15°} = \dfrac{1}{2}[\cos(105° + 15°) + \cos(105° - 15°)] \)
\( = \dfrac{1}{2}(\cos{120°} + \cos{90°}) \)
Kosinüs II. bölgede negatiftir.
\( = \dfrac{1}{2}(-\cos{60°} + \cos{90°}) \)
\( = \dfrac{1}{2}(-\dfrac{1}{2} + 0) = -\dfrac{1}{4} \) bulunur.
\( \sin{45°}\cos{15°} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİki trigonometrik ifadenin çarpımını açıların toplamı/farkı cinsinden yazalım.
\( \sin{x}\cos{y} = \dfrac{1}{2}[\sin(x + y) + \sin(x - y)] \)
\( x = 45° \) ve \( y = 15° \) diyelim.
\( \sin{45°}\cos{15°} = \dfrac{1}{2}[\sin(45° + 15°) + \sin(45° - 15°)] \)
\( = \dfrac{1}{2}(\sin{60°} + \sin{30°}) \)
\( = \dfrac{1}{2}(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}) \)
\( = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{4} \) bulunur.
\( 6\cos{85°}\cos{55°} + 3\cos{40°} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster\( \cos{85°}\cos{55°} \) ifadesine kosinüs çarpım ters dönüşüm formülünü uygulayalım.
\( \cos{x}\cos{y} = \dfrac{1}{2} [\cos(x + y) + \cos(x - y)] \)
\( 6\cos{85°}\cos{55°} + 3\cos{40°} = 6\cdot \dfrac{1}{2}[\cos{140}° + \cos{30}°] + 3 \cos{40}° \)
\( = 3\cos{140}° + 3 \cos{30}° + 3 \cos{40}° \)
\( = - 3 \cos{40}° + 3 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + 3 \cos{40}° \)
\( = \dfrac{3 \sqrt{3}}{2} \) bulunur.
\( \dfrac{\sin{8°} + \sin{18°} + \sin{28°}}{\cos{8°} + \cos{18°} + \cos{28°}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterPaydaki \( \sin{28°} + \sin{8°} \) ifadesi için sinüs toplam dönüşüm formülünü kullanalım.
\( \sin{x} + \sin{y} = 2\sin{\dfrac{x + y}{2}}\cos{\dfrac{x - y}{2}} \)
\( \sin{28°} + \sin{8°} = 2\sin{\dfrac{28° + 8°}{2}} \cos{\dfrac{28° - 8°}{2}} \)
\( = 2\sin{18°} \cos{10°} \)
Paydaki ifadeyi düzenleyelim.
\( \sin{8°} + \sin{18°} + \sin{28°} = 2\sin{18°}\cos{10°} + \sin{18°} \)
\( = \sin{18°}(2\cos{10°} + 1) \)
Paydadaki \( \cos{28°} + \cos{8°} \) ifadesi için kosinüs toplam dönüşüm formülünü kullanalım.
\( \cos{x} + \cos{y} = 2\cos{\dfrac{x + y}{2}}\cos{\dfrac{x - y}{2}} \)
\( \cos{28°} + \cos{8°} = 2\cos{\dfrac{28° + 8°}{2}} \cos{\dfrac{28° - 8°}{2}} \)
\( = 2\cos{18°} \cos{10°} \)
Paydadaki ifadeyi düzenleyelim.
\( \cos{8°} + \cos{18°} + \cos{28°} = 2\cos{18°}\cos{10°} + \cos{18°} \)
\( = \cos{18°}(2\cos{10° + 1}) \)
Bulduğumuz değerleri sorudaki rasyonel ifadede yerlerine koyalım.
\( \dfrac{\sin{8°} + \sin{18°} + \sin{28°}}{\cos{8°} + \cos{18°} + \cos{28°}} = \dfrac{\sin{18°}(2\cos{10°} + 1)}{\cos{18°}(2\cos{10° + 1})} \)
\( = \dfrac{\sin{18°}}{\cos{18°}} = \tan{18°} \) bulunur.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(\sin{x}) = \sin(3x) \) olduğuna göre, \( f(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözümü Göster\( \sin(3x) \) ifadesini \( \sin{x} \) cinsinden yazalım.
Sinüs toplam formülünü kullanalım.
\( f(\sin{x}) = \sin(2x + x) \)
\( = \sin(2x)\cos{x} + \cos(2x)\sin{x} \)
Sinüs ve kosinüs iki kat açı formüllerini kullanalım.
\( = 2\sin{x}\cos{x}\cos{x} + (1 - 2\sin^2{x})\sin{x} \)
\( = 2\sin{x}\cos^2{x} + \sin{x} - 2\sin^3{x} \)
\( = 2\sin{x}(1 - \sin^2{x}) + \sin{x} - 2\sin^3{x} \)
\( = 3\sin{x} - 4\sin^3{x} \)
Tüm \( \sin{x} \) ifadeleri yerine \( x \) yazalım.
\( f(x) = 3x - 4x^3 \)