Trigonometrik Fonksiyonlar
Trigonometri üçgenlerin kenarları ve açıları arasındaki oranları inceler. Bu oranları hesaplamak için trigonometrik fonksiyonlar adını verdiğimiz fonksiyonlar kullanılır. Bir dik üçgenin üç kenarı arasında yazabileceğimiz altı farklı oran vardır ve bunların her biri için birer fonksiyon tanımlanmıştır.
Sinüs Fonksiyonu
Bir dik üçgende dik olmayan bir köşeye ait \( x \) açısının karşı kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranına o açının sinüs değeri denir. Belirli bir açı ölçüsü için sinüs değerini hesaplayan fonksiyona sinüs fonksiyonu denir ve \( \sin{x} \) şeklinde gösterilir.
\( \sin: \mathbb{R} \to [-1, 1] \)
\( \sin{x} = \dfrac{\text{karşı kenar}}{\text{hipotenüs}} = \dfrac{b}{a} \)
\( \sin{x} = \dfrac{3}{5} \)
Kosinüs Fonksiyonu
Bir dik üçgende dik olmayan bir köşeye ait \( x \) açısının komşu kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranına o açının kosinüs değeri denir. Belirli bir açı ölçüsü için kosinüs değerini hesaplayan fonksiyona kosinüs fonksiyonu denir ve \( \cos{x} \) şeklinde gösterilir.
\( \cos: \mathbb{R} \to [-1, 1] \)
\( \cos{x} = \dfrac{\text{komşu kenar}}{\text{hipotenüs}} = \dfrac{c}{a} \)
\( \cos{x} = \dfrac{4}{5} \)
Tanjant Fonksiyonu
Bir dik üçgende dik olmayan bir köşeye ait \( x \) açısının karşı kenar uzunluğunun komşu kenar uzunluğuna oranına o açının tanjant değeri denir. Belirli bir açı ölçüsü için tanjant değerini hesaplayan fonksiyona tanjant fonksiyonu denir ve \( \tan{x} \) şeklinde gösterilir.
\( \tan: \mathbb{R} - \{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \to \mathbb{R} \)
\( \tan{x} = \dfrac{\text{karşı kenar}}{\text{komşu kenar}} = \dfrac{b}{c} \)
\( \tan{y} = \dfrac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \)
Tanjant fonksiyonu sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının oranına eşittir.
\( \tan{x} = \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = \dfrac{\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}} = \dfrac{b}{c} \)
Kotanjant Fonksiyonu
Bir dik üçgende dik olmayan bir köşeye ait \( x \) açısının komşu kenar uzunluğunun karşı kenar uzunluğuna oranına o açının kotanjant değeri denir. Belirli bir açı ölçüsü için kotanjant değerini hesaplayan fonksiyona kotanjant fonksiyonu denir ve \( \cot{x} \) şeklinde gösterilir.
\( \cot: \mathbb{R} - \{ k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \to \mathbb{R} \)
\( \cot{x} = \dfrac{\text{komşu kenar}}{\text{karşı kenar}} = \dfrac{c}{b} \)
\( \cot{y} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \)
Kotanjant fonksiyonu kosinüs ve sinüs fonksiyonlarının oranına eşittir.
\( \cot{x} = \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} = \dfrac{\frac{c}{a}}{\frac{b}{a}} = \dfrac{c}{b} \)
Tanjant ve kotanjant fonksiyonları birbirlerinin çarpmaya göre tersidir.
\( \tan{x} \cdot \cot{x} = \dfrac{b}{c} \cdot \dfrac{c}{b} = 1 \)
\( \cot{x} = \dfrac{1}{\tan{x}} \)
Sekant Fonksiyonu
Bir dik üçgende dik olmayan bir köşeye ait \( x \) açısının hipotenüs uzunluğunun komşu kenar uzunluğuna oranına o açının sekant değeri denir. Belirli bir açı ölçüsü için sekant değerini hesaplayan fonksiyona sekant fonksiyonu denir ve \( \sec{x} \) şeklinde gösterilir.
\( \sec: \mathbb{R} - \{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \to \mathbb{R} - (-1, 1) \)
\( \sec{x} = \dfrac{\text{hipotenüs}}{\text{komşu kenar}} = \dfrac{a}{c} \)
\( \sec{x} = \dfrac{5}{4} \)
Kosinüs ve sekant fonksiyonları birbirlerinin çarpmaya göre tersidir.
\( \cos{x} \cdot \sec{x} = \dfrac{c}{a} \cdot \dfrac{a}{c} = 1 \)
\( \sec{x} = \dfrac{1}{\cos{x}} \)
Kosekant Fonksiyonu
Bir dik üçgende dik olmayan köşeye ait bir \( x \) açısının hipotenüs uzunluğunun karşı kenar uzunluğuna oranına o açının kosekant değeri denir. Belirli bir açı ölçüsü için kosekant değerini hesaplayan fonksiyona kosekant fonksiyonu denir ve \( \csc{x} \) şeklinde gösterilir.
\( \csc: \mathbb{R} - \{ k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \to \mathbb{R} - (-1, 1) \)
\( \csc{x} = \dfrac{\text{hipotenüs}}{\text{karşı kenar}} = \dfrac{a}{b} \)
\( \csc{x} = \dfrac{5}{3} \)
Sinüs ve kosekant fonksiyonları birbirlerinin çarpmaya göre tersidir.
\( \sin{x} \cdot \csc{x} = \dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{a}{b} = 1 \)
\( \csc{x} = \dfrac{1}{\sin{x}} \)
Trigonometrik Oranlar
Bir dik üçgende kenar uzunlukları arasındaki oranlar sadece \( x \) açısına bağlı olarak değişir ve üçgenin büyüklüğünden bağımsızdır. Bir başka deyişle, üçgenin açıları aynı kalmak koşuluyla kenar uzunlukları artırıldığında/azaltıldığında uzunlukların birbirine oranı değişmez.
\( \sin{x} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{12}{20} \)
\( \cos{x} = \dfrac{8}{10} = \dfrac{12}{15} = \dfrac{16}{20} \)
\( \tan{x} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{12}{16} \)
\( \widehat{A} \) açısı dik açı olan \( ABC \) üçgeninde \( \widehat{B} \) açısının sinüs değeri \( \frac{1}{3} \) olduğuna göre, \( \widehat{C} \) açısı için altı trigonometrik fonksiyon değerini bulalım.
\( \sin{\widehat{B}} = \dfrac{1}{3} \)
Buna göre \( \widehat{B} \) açısının karşı kenar uzunluğuna \( b = k \) birim, hipotenüs uzunluğuna \( a = 3k \) birim diyebiliriz.
Komşu kenar uzunluğunu Pisagor teoremi ile bulalım.
\( a^2 = b^2 + c^2 \)
\( c = \sqrt{a^2 - b^2} \)
\( = \sqrt{(3k)^2 - k^2} = 2\sqrt{2}k \)
Buna göre \( ABC \) üçgeni aşağıdaki gibi olur.
\( \widehat{C} \) açısı için fonksiyon değerlerini hesaplayalım.
\( \sin{\widehat{C}} = \dfrac{2\sqrt{2}k}{3k} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \)
\( \cos{\widehat{C}} = \dfrac{k}{3k} = \dfrac{1}{3} \)
\( \tan{\widehat{C}} = \dfrac{2\sqrt{2}k}{k} = 2\sqrt{2} \)
\( \cot{\widehat{C}} = \dfrac{k}{2\sqrt{2}k} = \dfrac{\sqrt{2}}{4} \)
\( \sec{\widehat{C}} = \dfrac{3k}{k} = 3 \)
\( \csc{\widehat{C}} = \dfrac{3k}{2\sqrt{2}k} = \dfrac{3\sqrt{2}}{4} \)
Fonksiyonlarda Açı Ölçü Birimi
Trigonometrik fonksiyonlarda açı ölçü birimi olarak derece ya da radyan kullanılabilir. Kullanılan birimin net bir şekilde belirtilmediği durumlarda aşağıdaki noktalara dikkat edilmelidir.
- \( \sin{30°} \): Derece işareti kullanıldığı durumlarda birim derecedir.
- \( \cos{\pi} \): Derece işareti kullanılmadığı durumlarda birim radyan olarak kabul edilebilir.
- \( \tan{x} \): Bir değişkenin kullanıldığı ve birimle ilgili bir bilgi verilmediği durumlarda birimin radyan olduğu kabul edilmelidir.
\( \dfrac{3 \sin{x} - 2 \cos{x}}{2 \cos{x} + 2 \sin{x}} = \dfrac{1}{3} \)
olduğuna göre, \( \tan{x} \) kaçtır?
Çözümü Göster\( \sin{x} = 4\cos{x} \) olduğuna göre,
\( \sec{x}\csc{x} \) ifadesi kaça eşittir?
Çözümü Göster
\( \tan{x} = \dfrac{k}{t} \) olduğuna göre,
\( \sin{x} - \cos{x} \) ifadesinin \( k \) ve \( t \) cinsinden eşiti nedir?
Çözümü Göster
\( x \in (0, \frac{\pi}{2}) \) olmak üzere,
\( \dfrac{1 + \cot{x}}{1 + \tan{x}} = 3 \) olduğuna göre, \( \cos{x} \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( m \in \mathbb{R} - \{ -1, 1 \} \) olmak üzere,
\( \dfrac{\sin{x} + \cos{x}}{\sin{x} - \cos{x}} = m \) veriliyor.
Buna göre, \( \cot{x} \)'in \( m \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü Göster\( \csc{x}(\sin{x} - \tan{x}) = -2 \) olduğuna göre,
\( \sec{x} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeninde verilenlere göre \( \cot{x} \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Yukarıdaki gibi dar açılı bir \( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeninde her zaman \( b \cdot \cos{\hat{A}} + a \cdot \cos{\hat{B}} = c \) olduğunu gösterin.
Çözümü Göster
Kenar uzunlukları \( 16 \) birim ve \( 20 \) birim olan \( ABCD \) dikdörtgeni \( [DE] \) doğru parçası boyunca şekildeki gibi katlandığında \( A \) noktası \( F \) noktasına gelmektedir.
Buna göre, \( \sec{x} \) kaçtır?
Çözümü Göster
Aşağıda bir merdivenin bir duvar ve zemindeki iki farklı konumu verilmiştir.
Merdivenin zemin ile yaptığı açı 1. konumda \( x \), 2. konumda \( y \) olmaktadır.
Buna göre, \( \sin{x} \cdot \tan{y} \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( 0 \lt x \lt \frac{\pi}{2} \) olmak üzere,
\( \sqrt{5}^{\sin{x}} = 125^{\cos{x}} \)
olduğuna göre, \( \tan{x} \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( ABC \) dik üçgeninin kenarları arasında aşağıdaki bağıntı bulunuyor.
\( 34a^2 + 25b^2 + 41c^2 = 40ab + 24ac + 30bc \)
Buna göre \( \tan{\hat{A}} - \sin{\hat{C}} \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( ABCD \) bir yamuktur.
Şekilde verilen bilgilere göre \( \sin{x} + \cos{x} \) ifadesinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster