Trigonometrik Fonksiyonlar

Trigonometri üçgenlerin kenarları ve açıları arasındaki oranları inceler. Bu oranları hesaplamak için trigonometrik fonksiyonlar adını verdiğimiz fonksiyonlar kullanılır. Bir dik üçgenin üç kenarı arasında yazabileceğimiz altı farklı oran vardır ve bunların her biri için birer fonksiyon tanımlanmıştır.

Sinüs Fonksiyonu

Bir dik üçgende, dik olmayan bir köşeye ait \( x \) açısının karşı kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranına o açının sinüs değeri denir. Belirli bir açı ölçüsü için sinüs değerini hesaplayan fonksiyona sinüs fonksiyonu denir ve \( \sin{x} \) şeklinde gösterilir.

\( sin: \mathbb{R} \to [-1, 1] \)

\( \sin{x} = \dfrac{\text{karşı kenar}}{\text{hipotenüs}} = \dfrac{b}{a} \)

Kosinüs Fonksiyonu

Bir dik üçgende, dik olmayan bir köşeye ait \( x \) açısının komşu kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranına o açının kosinüs değeri denir. Belirli bir açı ölçüsü için kosinüs değerini hesaplayan fonksiyona kosinüs fonksiyonu denir ve \( \cos{x} \) şeklinde gösterilir.

\( cos: \mathbb{R} \to [-1, 1] \)

\( \cos{x} = \dfrac{\text{komşu kenar}}{\text{hipotenüs}} = \dfrac{c}{a} \)

Tanjant Fonksiyonu

Bir dik üçgende, dik olmayan bir köşeye ait \( x \) açısının karşı kenar uzunluğunun komşu kenar uzunluğuna oranına o açının tanjant değeri denir. Belirli bir açı ölçüsü için tanjant değerini hesaplayan fonksiyona tanjant fonksiyonu denir ve \( \tan{x} \) şeklinde gösterilir.

\( tan: \mathbb{R} - \{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \to \mathbb{R} \)

\( \tan{x} = \dfrac{\text{karşı kenar}}{\text{komşu kenar}} = \dfrac{b}{c} \)

Tanjant fonksiyonu sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının oranına eşittir.

\( \tan{x} = \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = \dfrac{\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}} = \dfrac{b}{c} \)

Kontanjant Fonksiyonu

Bir dik üçgende, dik olmayan bir köşeye ait \( x \) açısının komşu kenar uzunluğunun karşı kenar uzunluğuna oranına o açının kotanjant değeri denir. Belirli bir açı ölçüsü için kotanjant değerini hesaplayan fonksiyona kotanjant fonksiyonu denir ve \( \cot{x} \) şeklinde gösterilir.

\( cot: \mathbb{R} - \{ k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \to \mathbb{R} \)

\( \cot{x} = \dfrac{\text{komşu kenar}}{\text{karşı kenar}} = \dfrac{c}{b} \)

Kotanjant fonksiyonu kosinüs ve sinüs fonksiyonlarının oranına eşittir.

\( \cot{x} = \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} = \dfrac{\frac{c}{a}}{\frac{b}{a}} = \dfrac{c}{b} \)

Tanjant ve kotanjant fonksiyonları birbirlerinin çarpmaya göre tersine eşittir.

\( \tan{x} \cdot \cot{x} = \dfrac{b}{c} \cdot \dfrac{c}{b} = 1 \)

\( \cot{x} = \dfrac{1}{\tan{x}} \)

Sekant Fonksiyonu

Bir dik üçgende, dik olmayan bir köşeye ait \( x \) açısının hipotenüs uzunluğunun komşu kenar uzunluğuna oranına o açının sekant değeri denir. Belirli bir açı ölçüsü için sekant değerini hesaplayan fonksiyona sekant fonksiyonu denir ve \( \sec{x} \) şeklinde gösterilir.

\( sec: \mathbb{R} - \{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \to \mathbb{R} - (-1, 1) \)

\( \sec{x} = \dfrac{\text{hipotenüs}}{\text{komşu kenar}} = \dfrac{a}{c} \)

Kosinüs ve sekant fonksiyonları birbirlerinin çarpmaya göre tersine eşittir.

\( \cos{x} \cdot \sec{x} = \dfrac{c}{a} \cdot \dfrac{a}{c} = 1 \)

\( \sec{x} = \dfrac{1}{\cos{x}} \)

Kosekant Fonksiyonu

Bir dik üçgende, dik olmayan köşeye ait bir \( x \) açısının hipotenüs uzunluğunun karşı kenar uzunluğuna oranına o açının kosekant değeri denir. Belirli bir açı ölçüsü için kosekant değerini hesaplayan fonksiyona kosekant fonksiyonu denir ve \( \csc{x} \) şeklinde gösterilir.

\( csc: \mathbb{R} - \{ k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \to \mathbb{R} - (-1, 1) \)

\( \csc{x} = \dfrac{\text{hipotenüs}}{\text{karşı kenar}} = \dfrac{a}{b} \)

Sinüs ve kosekant fonksiyonları birbirlerinin çarpmaya göre tersine eşittir.

\( \sin{x} \cdot \csc{x} = \dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{a}{b} = 1 \)

\( \csc{x} = \dfrac{1}{\sin{x}} \)

Trigonometrik Oranlar

Bir dik üçgende kenar uzunlukları arası oranlar sadece \( x \) açısına bağlı olarak değişir ve üçgenin büyüklüğünden bağımsızdır. Bir başka deyişle, üçgenin açıları aynı kalmak koşuluyla kenar uzunlukları artırıldığında/azaltıldığında uzunlukların birbirine oranı değişmez.

Benzer üçgenlerde kenarların uzunluklarının oranı

\( \sin{x} = \dfrac{b_1}{a_1} = \dfrac{b_2}{a_2} = \dfrac{b_3}{a_3} \)

\( \cos{x} = \dfrac{c_1}{a_1} = \dfrac{c_2}{a_2} = \dfrac{c_3}{a_3} \)

\( \tan{x} = \dfrac{b_1}{c_1} = \dfrac{b_2}{c_2} = \dfrac{b_3}{c_3} \)

Fonksiyonlarda Kullanılan Açı Ölçü Birimi

Trigonometrik fonksiyonlarda açı ölçü birimi olarak hem derece hem de radyan kullanılabilir, ancak kullanılan birim her zaman net bir şekilde belirtilmeyebileceği için bazı konulara dikkat etmemiz gerekir.

\( \sin 30° \): Derece işareti kullanıldığı durumlarda birim derecedir.

\( \cos \pi \): Derece işareti kullanılmadığı durumlarda birimin radyan olduğunu düşünebiliriz.

\( \tan x \): Bir değişkenin kullanıldığı ve birimle ilgili bir bilgi verilmediği durumlarda birimin radyan olduğu kabul edilmelidir.

SORU:

\( A \) köşesi dik açıya sahip bir \( \overset{\triangle}{ABC} \) dik üçgeninin \( B \) köşesinin açısının sinüs değeri \( \frac{1}{3} \) olduğuna göre, \( C \) köşesinin açısının altı trigonometrik fonksiyon için değerlerini bulalım.

Çözümü Göster