Yönlü Açılar

Geometride gördüğümüz açılarda açının yönünü gözardı ederek sadece ölçüsünü dikkate aldık. Trigonometride kullandığımız açılar ise açının büyüklüğü ile birlikte yönünün de önemli olduğu ve yönüne göre derecesi pozitif ya da negatif olabilen açılardır ve yönlü açı olarak adlandırılırlar.

Yönlü açılarda saatin dönme yönünün tersi yönünde olan açılar pozitif yönlü, saatin dönme yönünde olan açılar ise negatif yönlü açılardır.

Pozitif ve negatif yönlü iki açı
Pozitif ve negatif yönlü iki açı

Açı Ölçü Birimleri

Belirli bir uzunluğu ölçmek için kilometre ve mil gibi farklı birimler kullandığımız gibi, açıların ölçüleri için de farklı birimler kullanılmaktadır. Trigonometride karşımıza sıklıkla çıkacak iki açı ölçü birimi derece ve radyandır (bir diğer birim olan graddan burada bahsetmeyeceğiz).

Derece

Bir tam çember yayının 360 eş parçaya bölünmesiyle elde edilen yaylardan her birini gören merkez açının ölçüsüne 1 derece denir ve \( 1° \) ile gösterilir.

Derece cinsinden açılar
Derece cinsinden açılar

Bir derecenin 60’ta birine dakika denir ve (') sembolü ile gösterilir. Bir dakikanın 60’ta birine saniye denir ve ('') sembolü ile gösterilir. Bir açının ölçüsü a derece b dakika ve c saniye ise bu açı a° b' c'' biçiminde gösterilir.

Radyan

Bir çemberde yarıçap (\( r \)) uzunluğunda bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir. Yarım çemberin çevresi \( \pi r \), tam çemberin çevresi \( 2\pi r \) olduğu için, bu yayları gören merkez açılar da sırasıyla \( \pi \) radyan ve \( 2\pi \) radyandır.

Radyan cinsinden açılar
Radyan cinsinden açılar

Derece-Radyan İlişkisi

Bir tam çemberi gören merkez açı derece cinsinden \( 360° \), radyan cinsinden \( 2\pi \) olduğu için, iki birim arasındaki ilişkiyi aşağıdaki şekilde kurabiliriz.

Esas Ölçü

Geometride açı ölçüleri 0° ile 360° aralığı ile sınırlanmıştır, ancak trigonometride kullandığımız yönlü açılar için böyle bir sınırlama yoktur. Örneğin bir tekerleğin ya da CD'nin pek çok tur dönüşü sırasında katettiği toplam açının ölçüsü 360°'nin üzerinde olmaktadır. Açı ölçüleri reel sayılar kümesinde herhangi bir değer alabiliyor olsa da, her açının bir tam çember üzerinde karşılık geldiği tek bir açı vardır ve işlemleri çoğu zaman bu açının ölçüsü üzerinden yaparız.

Aşağıdaki şekildeki üç farklı açının gerçek ölçüleri farklı olsa da (40°, 400° ve 760°), 0-360° aralığında karşılık geldikleri açının ölçüsü aynıdır (40°).

Gerçek açıları farklı, esas ölçüleri aynı üç açı
Gerçek açıları farklı, esas ölçüleri aynı üç açı

Bir açının içerdiği tam çember dönüşleri çıkartıldıktan sonra geriye kalan derece cinsinden \( [0°, 360°) \) ve radyan cinsinden \( [0, 2\pi) \) yarı açık aralığındaki değere o açının esas ölçüsü denir. Bir açının gerçek ölçüsü negatif ise esas ölçü bu açıyı \( [0°, 360°) \) ya da \( [0, 2\pi) \) aralığına getirecek kadar tam çember dönüşü eklenmesiyle elde edilir.

Derece Cinsinden Esas Ölçünün Bulunması

Bir açının derece birimindeki gerçek ve esas ölçüleri arasındaki ilişki aşağıda verilmiştir.

Ölçüsü derece biriminde verilmiş bir açının esas ölçüsünü bulmak için:

  • Açı ölçüsü pozitif ise bu değeri 360'a böleriz. Bölme işleminin kalanı açının esas ölçüsüdür.
  • Açı ölçüsü negatif ise bu değeri pozitif yapacak şekilde 360'ın katı olan en küçük sayıyı ekleriz (360, 720, 1080, ... ). Bu işlemin sonucu açının esas ölçüsüdür. Bir diğer yöntemde, bu değerin mutlak değerini 360'a böleriz. Bölme işleminin kalanını 360'dan çıkardığımızda elde ettiğimiz değer açının esas ölçüsüdür.

Radyan Cinsinden Esas Ölçünün Bulunması

Bir açının radyan birimindeki gerçek ve esas ölçüleri arasındaki ilişki aşağıda verilmiştir.

Ölçüsü radyan biriminde verilmiş bir açının esas ölçüsünü bulmak için:

  • Açı ölçüsü pozitif ise bu değer içindeki \( 2\pi \)'nin katı olan en büyük sayıyı çıkarırız (\( 2\pi, 4\pi, 6\pi, \ldots \)). Bu işlemin kalanı açının esas ölçüsüdür. Eğer açı ölçüsü kesirli bir sayı ise paydaki \( \pi \)'nin katsayısı paydanın 2 katına bölünerek kalan bulunur ve bu kalan paydaki katsayının yerine yazılır.
  • Açı ölçüsü negatif ise bu değeri pozitif yapacak şekilde \( 2\pi \)'nin katı olan en küçük sayıyı ekleriz (\( 2\pi, 4\pi, 6\pi, \ldots \)). Bu işlemin sonucu açının esas ölçüsüdür.
SORU:

Derece cinsinden verilmiş aşağıdaki açıların esas ölçüsünü bulalım.

\( 1900°, -1900°, 360°, -1° \)

Çözümü Göster


SORU:

Radyan cinsinden verilmiş aşağıdaki açıların esas ölçüsünü bulalım.

\( \dfrac{21\pi}{4}, -\dfrac{15\pi}{2}, \dfrac{44 \pi}{3} \)

Çözümü Göster


« Önceki
Trigonometri
Sonraki »
Trigonometrik Fonksiyonlar


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır