Geometride kullanılan açılarda açının yönü gözardı edilerek sadece ölçüsü dikkate alınır. Trigonometride kullanılan açılarda ise açının büyüklüğüne ek olarak yönü de önemlidir. Yönüne göre ölçüsü pozitif ya da negatif olabilen bu tip açılar yönlü açı olarak adlandırılır.
Bir yönlü açı saat yönünün tersi yönde ise ölçüsü pozitif, saat yönünde ise ölçüsü negatiftir.
Belirli bir uzunluğu ölçmek için kilometre ve mil gibi farklı birimler kullanıldığı gibi, açıların ölçüleri için de farklı birimler kullanılır. Trigonometride en sık kullanılan iki açı ölçü birimi derece ve radyandır (bir diğer birim olan graddan burada bahsetmeyeceğiz).
Bir tam çember yayının 360 eş parçaya bölünmesiyle elde edilen yaylardan her birini gören merkez açının ölçüsüne 1 derece denir ve \( 1° \) ile gösterilir. Dörtte bir, yarım ve tam çember yaylarını gören merkez açılar sırasıyla \( 90° \), \( 180° \) ve \( 360° \) olur.
Bir dereceden daha küçük açıları ifade etmek için dakika ve saniye birimleri kullanılır. Bir derecenin 60'ta birine dakika denir ve (') sembolü ile gösterilir. Bir dakikanın 60'ta birine saniye denir ve ('') sembolü ile gösterilir. Bir açının ölçüsü a derece b dakika ve c saniye ise bu açı a° b' c'' biçiminde gösterilir.
\( 1 \text{ derece} = 60 \text{ dakika} = 3600 \text{ saniye} \)
\( 1° = 60' = 3600'' \)
\( 1 \text{ tam çember yayı} = 360° \) \( = (360 \cdot 60)' \) \( = (360 \cdot 60 \cdot 60)'' \)
\( 45,625 \) derecenin dakika ve saniye cinsinden yazılışı:
\( 45,625° = 45° + 0,625° \)
\( = 45° + 0,625(60') \)
\( = 45° + 37,5' \)
\( = 45° + 37' + 0,5' \)
\( = 45° + 37' + 0,5(60'') \)
\( = 45° + 37' + 30'' \)
\( 45,625° = 45°\ 37'\ 30'' \)
\( 32°\ 18'\ 45'' \) derecenin ondalık gösterimi:
\( = 32 + \dfrac{18}{60} + \dfrac{45}{3600} \)
\( = 32 + 0,3 + 0,0125 \)
\( = 32,3125° \)
Bir tam çemberin 360'a bölündüğü derece sisteminin en yaygın kullanılan açı ölçü birimi olmasının bir sebebi 360'ın çok bölenli bir sayı olmasıdır. 360'ın 24 pozitif böleni vardır ve 1-10 arası sayılardan 7 hariç tümü 360'ın bir bölenidir, bu da kesirli sayılara girmeden bir tam çemberin farklı şekillerde bölünebilmesine imkan sağlar.
360 dışında akla gelebilecek bir diğer seçenek olan 100'ün ise sadece 9 pozitif böleni vardır.
İki pozitif açının ölçüleri toplamı 90° ise bu açılara tümler açılar denir. İki pozitif açının ölçüleri toplamı 180° ise bu açılara bütünler açılar denir.
Bir çemberde yarıçap (\( r \)) uzunluğundaki bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir. Dörtte bir çemberin yay uzunluğu \( \frac{\pi r}{2} \), yarım çemberin yay uzunluğu \( \pi r \), tam çemberin yay uzunluğu \( 2\pi r \) olduğu için, bu yayları gören merkez açılar sırasıyla \( \frac{\pi}{2} \), \( \pi \) ve \( 2\pi \) radyandır.
Yarıçap uzunluğunda yayı gören merkez açı \( = 1 \text{ radyan} \)
Dörtte bir çemberi gören merkez açı \( = \frac{\pi}{2} \text{ radyan} = 90° \)
Yarım çemberi gören merkez açı \( = \pi \text{ radyan} = 180° \)
Tam çemberi gören merkez açı \( = 2\pi \text{ radyan} = 360° \)
1 radyanın yaklaşık derece karşılığı:
\( 2\pi\ \text{radyan} = 360° \)
\( 1\ \text{radyan} = x° \)
\( x = \dfrac{360°}{2\pi} \)
\( \pi \approx 3,14 \)
\( x \approx 57,29° \)
Bir tam çember yayını gören merkez açı derece cinsinden \( 360° \) ve radyan cinsinden \( 2\pi \) olduğu için, iki birim arasındaki ilişki aşağıdaki şekilde kurulabilir.
\( 360° = 2\pi \) radyan
\( 1° = \dfrac{\pi}{180} \) radyan
\( 1 \text{ radyan} = \dfrac{180°}{\pi} \)
Buna göre derece cinsinden verilen bir açı ölçüsünü radyana çevirmek için açı \( \frac{\pi}{180°} \) ile çarpılır.
\( R = D \cdot \dfrac{\pi}{180°} \) radyan
\( 60° = 60° \cdot \dfrac{\pi}{180°} = \dfrac{\pi}{3} \) radyan
\( 135° = 135° \cdot \dfrac{\pi}{180°} = \dfrac{3\pi}{4} \) radyan
\( 330° = 330° \cdot \dfrac{\pi}{180°} = \dfrac{11\pi}{6} \) radyan
Radyan cinsinden verilen bir açı ölçüsünü dereceye çevirmek için açı \( \frac{180°}{\pi} \) ile çarpılır. Alternatif olarak, açı ölçüsü \( \pi \) içeriyorsa \( \pi \) yerine \( 180° \) yazılarak da açı ölçüsü radyandan dereceye çevrilebilir.
\( D = R \cdot \dfrac{180°}{\pi} \)
\( \dfrac{5\pi}{6} \text{ radyan} = \dfrac{5 \cdot 180°}{6} = 150° \)
\( \dfrac{3\pi}{2} \text{ radyan} = \dfrac{3 \cdot 180°}{2} = 270° \)
\( \dfrac{5\pi}{4} \text{ radyan} = \dfrac{5 \cdot 180°}{4} = 225° \)
Geometride açı ölçüleri 0° ile 360° aralığı ile sınırlanmıştır, ancak yönlü açılar için böyle bir sınırlama yoktur. Örneğin bir tekerleğin ya da CD'nin pek çok tur dönüşü sırasında katettiği toplam açı ölçüsü 360°'den büyük olmaktadır. Açı ölçüleri reel sayılar kümesinde herhangi bir değer alabiliyor olsa da, her açının bir tam çember üzerinde karşılık geldiği tek bir açı vardır ve işlemler çoğu zaman bu açı üzerinden yapılır.
Aşağıdaki şekildeki dereceleri 40°, 400° ve 760° olan üç açının gerçek ölçüleri farklı olsa da, 0-360° aralığında karşılık geldikleri açının ölçüsü aynıdır ve 40°'dir.
Bir açının içerdiği tam çember dönüşleri çıkarıldıktan sonra geriye kalan derece cinsinden \( [0°, 360°) \) ve radyan cinsinden \( [0, 2\pi) \) aralığındaki değere o açının esas ölçüsü denir. Bir açının gerçek ölçüsü negatif ise esas ölçü bu açıyı \( [0°, 360°) \) ya da \( [0, 2\pi) \) aralığına getirecek kadar tam çember dönüşü eklenerek elde edilir.
Bir açının derece birimindeki gerçek ve esas ölçüleri arasındaki ilişki aşağıda verilmiştir.
\( 0° \le \alpha \lt 360° \) ve \( k\in\mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( \beta = \alpha + 360° \cdot k \) ise,
\( \alpha \) değeri \( \beta \) gerçek açı ölçüsünün derece cinsinden esas ölçüsüdür.
Aşağıda gerçek ölçüleri verilen açıların tümünün esas ölçüsü \( 220° \)'dir.
\( \ldots = -500° = -140° = \textcolor{red}{220°} \) \( = 580° = \ldots \)
\( 580° = 220° + 360° \cdot 1 \)
\( -140° = 220° + 360° \cdot (-1) \)
\( -500° = 220° + 360° \cdot (-2) \)
Ölçüsü derece biriminde verilmiş bir açının esas ölçüsünü bulmak için aşağıdaki yöntemler kullanılabilir.
Gerçek açı ölçüsü pozitif ise bu değer 360°'ye bölünür. Bölme işleminin kalanı açının esas ölçüsüdür.
\( 2000° \)'yi \( 360° \)'ye böldüğümüzde kalan \( 200° \) olur.
Buna göre gerçek ölçüsü \( 2000° \) olan açının esas ölçüsü \( 200° \) olur.
Gerçek açı ölçüsü negatif ise bu değeri pozitif yapan 360°'nin en küçük tam sayı katı açı ölçüsüne eklenir (360°, 720°, 1080°, ... ). Bu işlemin sonucu açının esas ölçüsüdür.
\( -1000° \)'yi pozitif yapacak 360'ın en küçük katı \( 3 \cdot 360° = 1080° \)'dir.
Buna göre gerçek ölçüsü \( -1000° \) olan açının esas ölçüsü \( -1000° + 1080° = 80° \) olur.
Gerçek açı ölçüsünün negatif olduğu durumda kullanılabilecek bir diğer yöntemde, bu değerin mutlak değeri 360°'ye bölünür. Bölme işleminin kalanı 360°'den çıkarıldığında elde edilen değer açının esas ölçüsüdür.
\( -1000° \)'nin mutlak değeri olan \( 1000° \)'yi \( 360° \)'ye böldüğümüzde kalan \( 280° \) olur.
Buna göre gerçek ölçüsü \( -1000° \) olan açının esas ölçüsü \( 360° - 280° = 80° \) olur.
Bir açının radyan birimindeki gerçek ve esas ölçüleri arasındaki ilişki aşağıda verilmiştir.
\( 0 \le \alpha \lt 2\pi \) ve \( k\in\mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( \beta = \alpha + 2\pi \cdot k \) ise,
\( \alpha \) değeri \( \beta \) gerçek açı ölçüsünün radyan cinsinden esas ölçüsüdür.
Aşağıda gerçek ölçüleri verilen açıların tümünün esas ölçüsü \( \frac{4\pi}{3} \) radyandır.
\( \ldots = -\dfrac{2\pi}{3} = \textcolor{red}{\dfrac{4\pi}{3}} = \dfrac{10\pi}{3} \) \( = \dfrac{16\pi}{3} = \ldots \)
\( \dfrac{16\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi \cdot 2 \)
\( \dfrac{10\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi \cdot 1 \)
\( -\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi \cdot (-1) \)
Ölçüsü radyan biriminde verilmiş bir açının esas ölçüsünü bulmak için aşağıdaki yöntemler kullanılabilir.
Gerçek açı ölçüsü pozitif ise bu değer içindeki \( 2\pi \)'nin katı olan en büyük sayı çıkarılır (\( 2\pi, 4\pi, 6\pi, \ldots \)). Bu işlemin kalanı açının esas ölçüsüdür. Eğer açı ölçüsü kesirli ise paydaki \( \pi \)'nin katsayısı paydanın 2 katına bölünerek kalan bulunur ve bu kalan paydaki katsayının yerine yazılır.
\( 23\pi \) içinde \( 2\pi \)'nin en büyük katı \( 22\pi \)'dir.
Buna göre gerçek ölçüsü \( 23\pi \) olan açının esas ölçüsü \( 23\pi - 22\pi = \pi \) olur.
\( \frac{23\pi}{3} \) ifadesinde paydaki \( \pi \)'nin katsayısı olan \( 23 \)'ü paydadaki \( 3 \)'ün iki katı olan \( 6 \)'ya böldüğümüzde kalan \( 5 \) olur.
Buna göre gerçek ölçüsü \( \frac{23\pi}{3} \) olan açının esas ölçüsü \( \frac{5\pi}{3} \) olur.
Gerçek açı ölçüsü negatif ise bu değeri pozitif yapan \( 2\pi \)'nin en küçük tam sayı katı açı ölçüsüne eklenir (\( 2\pi, 4\pi, 6\pi, \ldots \)). Bu işlemin sonucu açının esas ölçüsüdür.
\( -\frac{7\pi}{2} \)'yi pozitif yapacak \( 2\pi \)'nin en küçük katı \( 2 \cdot 2\pi = 4\pi \)'dir.
Buna göre gerçek ölçüsü \( -\frac{7\pi}{2} \) olan açının esas ölçüsü \( -\frac{7\pi}{2} + 4\pi = \frac{\pi}{2} \) olur.
Ölçüleri derece cinsinden verilen aşağıdaki açıların esas ölçülerini bulunuz.
(a) \( 736° \quad \) (b) \( 1663° \quad \) (c) \( 2880° \)
Çözümü GösterÖlçüleri derece cinsinden verilen aşağıdaki açıların esas ölçülerini bulunuz.
(a) \( -678° \quad \) (b) \( -2335° \quad \) (c) \( -3811° \)
Çözümü GösterÖlçüleri radyan cinsinden verilen aşağıdaki açıların esas ölçülerini bulunuz.
(a) \( \dfrac{13\pi}{6} \quad \) (b) \( \dfrac{79\pi}{12} \quad \) (c) \( \dfrac{104\pi}{9} \)
Çözümü GösterÖlçüleri derece cinsinden verilen aşağıdaki açıların esas ölçülerini bulunuz.
(a) \( -\dfrac{44\pi}{3} \quad \) (b) \( -\dfrac{82\pi}{15} \quad \) (c) \( -\dfrac{100\pi}{9} \)
Çözümü GösterÖlçüsü \( 100°\ 18'\ 40'' \) olan açı, ölçüsü \( 57°\ 43'\ 45'' \) olan açıdan ne kadar büyüktür?
Çözümü Göster\( n \) kenarlı bir konveks çokgenin iki dış açı ölçüsü \( 25°\ 09'\ 39'' \) ve \( 14°\ 50'\ 21'' \) olarak veriliyor.
Geri kalan tüm dış açılar birbirine eşit ve 20° olduğuna göre, \( n \) kaçtır?
Çözümü GösterAli dairesel bir pistin bir turunu 10 dakikada koşmaktadır. Koşmaya başladıktan 61 dakika sonra mola veren Ali'nin koştuğu toplam açının esas ölçüsü kaç derecedir?
Çözümü GösterBir su sayacının göstergesi sabit bir hızla hareket ederek saniyede 19 derecelik bir yayı tarıyor. Buna göre bu gösterge bir saatte kaç tur atar?
Çözümü Göster