Trigonometrik fonksiyonların görüntü kümelerini kullanarak farklı trigonometrik ifadelerin değer aralıklarını ve alabilecekleri en küçük ve en büyük değerleri bulabiliriz.
Temel trigonometrik fonksiyonların değer aralıkları her fonksiyonun görüntü kümesine göre belirlenir.
Bir trigonometrik fonksiyonun tek sayı üssü alındığında fonksiyon değerlerinin işareti değişmez, dolayısıyla fonksiyonun değer aralığı aynı kalır.
Bir trigonometrik fonksiyonun çift sayı üssü alındığında negatif işaretli fonksiyon değerleri pozitife döner, dolayısıyla fonksiyonun alabileceği en küçük değer sıfır olur.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( 0 \le \sin^{2n}{x} \le 1 \)
\( 0 \le \cos^{2n}{x} \le 1 \)
\( 0 \le \tan^{2n}{x} \lt \infty \)
\( 0 \le \cot^{2n}{x} \lt \infty \)
ÖRNEK:
\( \cos(3x)^2 - 4\cos(3x) \) ifadesinin değer aralığını bulalım.
Kosinüs fonksiyonu \( [-1, 1] \) aralığında değer alır.
\( -1 \le \cos(3x) \le 1 \)
Eşitsizliğin taraflarından 2 çıkaralım.
\( -3 \le \cos(3x) - 2 \le -1 \)
İfadenin karesini aldığımızda aralıktaki negatif değerler pozitife döner.
\( 1 \le (\cos(3x) - 2)^2 \le 9 \)
\( 1 \le \cos^2(3x) - 4\cos(3x) + 4 \le 9 \)
Eşitsizliğin taraflarından 4 çıkaralım.
\( -3 \le \cos^2(3x) - 4\cos(3x) \le 5 \)
Buna göre ifadenin en küçük değeri \( -3 \), en büyük değeri \( 5 \) olur.
Bu formdaki ifadelerin değer aralığı aşağıdaki gibidir.
\( a, b \in \mathbb{R^+} \)
\( a\sin{x} + b\cos{x} = A \) olmak üzere,
\( -\sqrt{a^2 + b^2} \le A \le \sqrt{a^2 + b^2} \)
ÖRNEK:
\( 3\sin{x} + 4\cos{x} = A \) ifadesinin değer aralığı:
\( -\sqrt{3^2 + 4^2} \le A \le \sqrt{3^2 + 4^2} \)
\( -5 \le A \le +5 \)
İSPATI GÖSTER
Dik kenar uzunlukları \( a\sin{x} + b\cos{x} \) ifadesindeki \( a \) ve \( b \) katsayıları olan bir dik üçgen çizelim.
Pisagor teoremini kullanarak hipotenüs uzunluğunu yazalım.
\( c^2 = a^2 + b^2 \)
\( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)
Dik kenar uzunlukları \( a \) ve \( b \) olduğunda oluşan \( \hat{B} \) açısının ölçüsüne \( y \) diyelim.
\( \sin{y} = \dfrac{b}{c} \Longrightarrow b = c\sin{y} \)
\( \cos{y} = \dfrac{a}{c} \Longrightarrow a = c\cos{y} \)
Bu \( a \) ve \( b \) değerlerini \( a\sin{x} + b\cos{x} \) ifadesinde yerine koyalım.
\( a\sin{x} + b\cos{x} \) \( = c\cos{y}\sin{x} + c\sin{y}\cos{x} \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( = c(\sin{x}\cos{y} + \cos{x}\sin{y}) \)
Parantez içindeki ifade sinüs toplam formülünün açılımıdır.
\( = c\sin(x + y) \)
Bu şekilde ifadeyi tek bir sinüs ifadesine indirgemiş olduk. Sinüs fonksiyonunun değer aralığı \( [-1, 1] \) olduğu için \( \sin(x + y) \) ifadesinin de tüm değerleri bu aralıkta olur.
\( -1 \le \sin(x + y) \le 1 \)
Tüm tarafları \( c \) ile çarpalım.
\( -c \le c\sin(x + y) \le c \)
\( -c \le a\sin{x} + b\cos{x} \le c \)
\( -\sqrt{a^2 + b^2} \le a\sin{x} + b\cos{x} \le \sqrt{a^2 + b^2} \)
Buna göre verilen ifadenin en küçük değeri \( -\sqrt{a^2 + b^2} \), en büyük değeri \( \sqrt{a^2 + b^2} \) olur.
Gönder
Bu formdaki ifadelerin değer aralığı aşağıdaki gibidir.
\( a, b \in \mathbb{R^+} \)
\( a\sin{x} - b\cos{x} = A \) olmak üzere,
\( -\sqrt{a^2 + b^2} \le A \le \sqrt{a^2 + b^2} \)
ÖRNEK:
\( 4\sin(2\theta) - 2\cos(2\theta) = A \) ifadesinin değer aralığı:
\( -\sqrt{4^2 + 2^2} \le A \le \sqrt{4^2 + 2^2} \)
\( -2\sqrt{5} \le A \le +2\sqrt{5} \)
İSPATI GÖSTER
Dik kenar uzunlukları \( a\sin{x} - b\cos{x} \) ifadesindeki \( a \) ve \( b \) katsayıları olan bir dik üçgen çizelim.
Pisagor teoremini kullanarak hipotenüs uzunluğunu yazalım.
\( c^2 = a^2 + b^2 \)
\( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)
Dik kenar uzunlukları \( a \) ve \( b \) olduğunda oluşan \( \hat{B} \) açısının ölçüsüne \( y \) diyelim.
\( \sin{y} = \dfrac{b}{c} \Longrightarrow b = c\sin{y} \)
\( \cos{y} = \dfrac{a}{c} \Longrightarrow a = c\cos{y} \)
Bu \( a \) ve \( b \) değerlerini \( a\sin{x} - b\cos{x} \) ifadesinde yerine koyalım.
\( a\sin{x} - b\cos{x} \) \( = c\cos{y}\sin{x} - c\sin{y}\cos{x} \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( = c(\sin{x}\cos{y} - \cos{x}\sin{y}) \)
Parantez içindeki ifade sinüs fark formülünün açılımıdır.
\( = c\sin(x - y) \)
Bu şekilde ifadeyi tek bir sinüs ifadesine indirgemiş olduk. Sinüs fonksiyonunun değer aralığı \( [-1, 1] \) olduğu için \( \sin(x - y) \) ifadesinin de tüm değerleri bu aralıkta olur.
\( -1 \le \sin(x - y) \le 1 \)
Tüm tarafları \( c \) ile çarpalım.
\( -c \le c\sin(x - y) \le c \)
\( -c \le a\sin{x} - b\cos{x} \le c \)
\( -\sqrt{a^2 + b^2} \le a\sin{x} - b\cos{x} \le \sqrt{a^2 + b^2} \)
Buna göre verilen ifadenin en küçük değeri \( -\sqrt{a^2 + b^2} \), en büyük değeri \( \sqrt{a^2 + b^2} \) olur.
Gönder
Bu ifadede kosinüs teriminin işareti negatif olduğunda ifadenin değer aralığının yine \( [-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}] \) olduğunu göstermiş olduk. Benzer şekilde, sinüs teriminin işareti negatif olduğunda da ifadenin değer aralığı aynı olur.
Bu formdaki ifadelerin değer aralığı aşağıdaki gibidir.
\( a, b \in \mathbb{R} \)
\( a\sin^2{x} + b\cos^2{x} = A \) olmak üzere,
\( a \gt b \) ise,
\( \Longrightarrow b \le A \le a \)
\( a \lt b \) ise,
\( \Longrightarrow a \le A \le b \)
\( a = b \) ise,
\( \Longrightarrow A = a = b \)
ÖRNEK:
\( 5\sin^2{x} + 2\cos^2{x} = A \) ifadesinin değer aralığı:
\( 2 \le A \le 5 \)
\( \sqrt{3}\sin^2(2\alpha) - 4\cos^2(2\alpha) = A \) ifadesinin değer aralığı:
\( -4 \le A \le \sqrt{3} \)
İSPATI GÖSTER
\( a \gt b \) olduğunu varsayarak \( a\sin^2{x} \) ifadesini iki terime ayıralım.
\( (a - b)\sin^2{x} + b\sin^2{x} + b\cos^2{x} \)
\( = (a - b)\sin^2{x} + b(\sin^2{x} + \cos^2{x}) \)
\( \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 \) özdeşliğini kullanalım.
\( = (a - b)\sin^2{x} + b \)
Elde ettiğimiz bu \( a\sin^2{x} + b\cos^2{x} \) ifadesine özdeş ifadenin değer aralığını bulalım.
Sinüs fonksiyonu \( [-1, 1] \) aralığında değer alabilir.
\( -1 \le \sin{x} \le 1 \)
Negatif değerlerin karesi pozitif olduğu için sinüs fonksiyonunun karesi \( [0, 1] \) aralığında değer alabilir.
\( 0 \le \sin^2{x} \le 1 \)
Tüm tarafları \( a - b \) ile çarpalım.
\( 0 \le (a - b)\sin^2{x} \le a - b \)
Tüm taraflara \( b \) ekleyelim.
\( b \le (a - b)\sin^2{x} + b \le a \)
Buna göre verilen ifadenin en küçük değeri \( b \), en büyük değeri \( a \) olur.
Gönder
Bu formdaki ifadelerin değer aralığı aşağıdaki gibidir.
Bu formdaki ifadelerin değer aralığı aşağıdaki gibidir. Tanjant ve kotanjant fonksiyonları pozitif sonsuza kadar değer alabildikleri için bu ifadelerin üst sınırı yoktur.
\( a, b \in \mathbb{R^+} \)
\( a\tan{x} + b\cot{x} = A \) olmak üzere,
\( 2\sqrt{a \cdot b} \le A \)
ÖRNEK:
\( 4\tan{x} + 6\cot{x} = A \) ifadesinin değer aralığı:
\( 2\sqrt{4 \cdot 6} \le A \)
\( 4\sqrt{6} \le A \)
İSPATI GÖSTER
\( x_1 \) ve \( x_2 \) sayılarının aritmetik ortalaması aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( \text{AO} = \dfrac{x_1 + x_2}{2} \)
Bu iki sayının geometrik ortalaması aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( \text{GO} = \sqrt{x_1 \cdot x_2} \)
Ortalama bölümünde ispatıyla birlikte verdiğimiz üzere, bir sayı kümesinin aritmetik ortalaması geometrik ortalamasından büyüktür ya da ona eşittir.
\( \text{GO} \le \text{AO} \)
\( \sqrt{x_1 \cdot x_2} \le \dfrac{x_1 + x_2}{2} \)
Verilen trigonometrik ifadedeki terimleri aritmetik ve geometrik ortalamasını alacağımız değerler olarak alalım.
\( x_1 = a\tan{x} \)
\( x_2 = b\cot{x} \)
Bu değerler için aritmetik ortalama - geometrik ortalama eşitsizliğini yazalım.
\( \sqrt{x_1 \cdot x_2} \le \dfrac{x_1 + x_2}{2} \)
\( \sqrt{a\tan{x} \cdot b\cot{x}} \le \dfrac{a\tan{x} + b\cot{x}}{2} \)
\( \tan{x} \cdot \cot{x} = 1 \) özdeşliğini kullanalım.
\( \sqrt{a \cdot b} \le \dfrac{a\tan{x} + b\cot{x}}{2} \)
\( 2\sqrt{a \cdot b} \le a\tan{x} + b\cot{x} \)
Buna göre verilen ifadenin en küçük değeri \( 2\sqrt{a \cdot b} \) olur.
Gönder
SORU 1:
\( 2A - 3 \cos{x} + 4 = 0 \) olmak üzere, \( A \)'nın değer aralığı nedir?
Çözümü Göster
Eşitlikte \( A \)'yı yalnız bırakalım.
\( 2A - 3 \cos{x} + 4 = 0 \)
\( A = \dfrac{3 \cos{x} - 4}{2} \)
Kosinüs fonksiyonu değer aralığından başlayarak adım adım \( A \) ifadesinin değer aralığını bulalım.
Kosinüs fonksiyonu \( [-1, 1] \) aralığında değer alabilir.
\( -1 \le \cos{x} \le 1 \)
Tüm tarafları 3 ile çarpalım.
\( -3 \le 3\cos{x} \le 3 \)
Tüm taraflardan 4 çıkaralım.
\( -7 \le 3\cos{x} - 4 \le -1 \)
Tüm tarafları 2'ye bölelim.
\( -\dfrac{7}{2} \le \dfrac{3\cos{x} - 4}{2} \le -\dfrac{1}{2} \)
Eşitsizliğin ortasındaki ifade \( A \)'ya eşittir.
\( -\dfrac{7}{2} \le A \le -\dfrac{1}{2} \) bulunur.
SORU 2:
\( 2\sin^2{x} + 3\cos^2{x} = 4a + 2 \) olduğuna göre, \( a \)'nın alabileceği değer aralığını bulunuz.
Çözümü Göster
Kosinüs ifadesini iki terime ayıralım.
\( 2\sin^2{x} + 2\cos^2{x} + \cos^2{x} = 4a + 2 \)
\( \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 \) özdeşliğini kullanalım.
\( 2 + \cos^2{x} = 4a + 2 \)
\( 4a = \cos^2{x} \)
\( a = \dfrac{\cos^2{x}}{4} \)
Kosinüs fonksiyonu \( [-1, 1] \) aralığında değer alabilir.
\( -1 \le \cos{x} \le 1 \)
Negatif değerlerin karesi pozitif olduğu için kosinüs fonksiyonunun karesi \( [0, 1] \) aralığında değer alabilir.
\( 0 \le \cos^2{x} \le 1 \)
Tüm tarafları 4'e bölelim.
\( 0 \le \dfrac{\cos^2{x}}{4} \le \dfrac{1}{4} \)
Eşitsizliğin ortasındaki ifade \( a \)'ya eşittir.
\( 0 \le a \le \dfrac{1}{4} \) bulunur.
SORU 3:
\( \tan^2{\alpha} + \cot^2{\alpha} \) ifadesinin en küçük değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( (\tan{\alpha} - \cot{\alpha})^2 = \tan^2{\alpha} + \cot^2{\alpha} - 2 \cdot \tan{\alpha} \cdot \cot{\alpha} \)
\( = \tan^2{\alpha} + \cot^2{\alpha} - 2 \)
\( (\tan{\alpha} - \cot{\alpha})^2 \) ifadesinin en küçük değeri \( \alpha = \frac{\pi}{4} \) için 0 olur, ifade iki tam kare ifadenin toplamı olduğu için toplam negatif olamaz.
\( \tan^2{\alpha} + \cot^2{\alpha} - 2 \ge 0 \)
\( \tan^2{\alpha} + \cot^2{\alpha} \ge 2 \)
Buna göre \( \tan^2{\alpha} + \cot^2{\alpha} \) ifadesinin en küçük değeri 2'dir.
SORU 4:
\( f(x) = \dfrac{9\sin(2x) + 5}{2} \)
\( \dfrac{1}{3 + f(x)} \) ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Sinüs fonksiyonu \( [-1, 1] \) aralığında değer alabilir.
\( -1 \le \sin(2x) \le 1 \)
Adım adım verilen ifadenin değer aralığını bulalım.
\( -9 \le 9\sin(2x) \le 9 \)
\( -4 \le 9\sin(2x) + 5 \le 14 \)
\( -2 \le \dfrac{9\sin(2x) + 5}{2} \le 7 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun değer aralığı aşağıdaki gibidir.
\( -2 \le f(x) \le 7 \)
Sorudaki ifadenin değer aralığını bulalım.
\( 1 \le f(x) + 3 \le 10 \)
Bir eşitsizlikte tarafların çarpmaya göre tersini alırsak eşitsizlik yön değiştirir.
\( \dfrac{1}{10} \le \dfrac{1}{3 + f(x)} \le 1 \)
O halde verilen ifadenin alabileceği en küçük değer \( \frac{1}{10} \) olarak bulunur.
SORU 5:
\( f(x) = 3\sin{x} + 4\cos{x} \) veriliyor.
Aşağıdaki ifadelerin değer aralıklarını bulunuz.
(1) \( f^2(x) \)
(2) \( \dfrac{f(x) + 7}{2} \)
(3) \( 1 - 2f^2(x) \)
Çözümü Göster
\( a\sin{x} + b\cos{x} \) formundaki bir ifadenin değer aralığı aşağıdaki gibidir.
\( -\sqrt{a^2 + b^2} \le a\sin{x} + b\cos{x} \le \sqrt{a^2 + b^2} \)
\( f(x) \) fonksiyonunun değer aralığını bulalım.
\( -\sqrt{3^2 + 4^2} \le f(x) \le \sqrt{3^2 + 4^2} \)
\( -5 \le f(x) \le 5 \)
1. Soru: \( f^2(x) \)
\( f(x) \) değer aralığı eşitsizliğinde tarafların karesini alalım.
\( 0 \le f^2(x) \le 25 \)
2. Soru: \( \dfrac{f(x) + 7}{2} \)
\( f(x) \) değer aralığı eşitsizliğinde taraflara 7 ekleyelim.
\( 2 \le f(x) + 7 \le 12 \)
Eşitsizliğin taraflarını 2'ye bölelim.
\( 1 \le \dfrac{f(x) + 7}{2} \le 6 \)
3. Soru: \( 1 - 2f^2(x) \)
\( f^2(x) \) değer aralığı eşitsizliğinde tarafları -2 ile çarpalım.
\( -50 \le -2f(x) \le 0 \)
Eşitsizliğin taraflarına 1 ekleyelim.
\( -49 \le 1 - 2f^2(x) \le 1 \)
SORU 6:
\( f(x) = 12\sin{x} + 5\cos{x} - 3 \)
ifadesinin alabileceği kaç tam sayı değeri vardır?
Çözümü Göster
\( a\sin{x} + b\cos{x} \) formundaki bir ifadenin değer aralığı aşağıdaki gibidir.
\( -\sqrt{a^2 + b^2} \le a\sin{x} + b\cos{x} \le \sqrt{a^2 + b^2} \)
\( f(x) \) fonksiyonunun değer aralığını bulalım.
\( 12\sin{x} + 5\cos{x} = A \) diyelim.
\( -\sqrt{12^2 + 5^2} \le A \le \sqrt{12^2 + 5^2} \)
\( -\sqrt{169} \le A \le \sqrt{169} \)
\( -13 \le A \le 13 \)
Eşitsizliğin taraflarından 3 çıkardığımızda \( f(x) \) tanımını elde ederiz.
\( -16 \le A - 3 \le 10 \)
\( -16 \le f(x) \le 10 \)
\( f(x) \) fonksiyonunun alabileceği tam sayı değer sayısı terim sayısı bulma formülü ile \( \dfrac{10 - (-16)}{1} + 1 = 27 \) olarak bulunur.
SORU 7:
\( f(x) = 2\csc{x} + 5 \) fonksiyonunun alamayacağı tam sayı değerlerini bulunuz.
Çözümü Göster
Kosekant ifadesini sinüs cinsinden yazalım.
\( f(x) = \dfrac{2}{\sin{x}} + 5 \)
Sinüs fonksiyonu \( [-1, 1] \) aralığında değer alabilir.
\( -1 \le \sin{x} \le 1 \)
Eşitsizliğin taraflarının çarpmaya göre tersini alalım.
\( \dfrac{1}{\sin{x}} \le -1 \) ya da \( \dfrac{1}{\sin{x}} \ge 1 \)
Eşitsizliğin taraflarını 2 ile çarpalım.
\( \dfrac{2}{\sin{x}} \le -2 \) ya da \( \dfrac{2}{\sin{x}} \ge 2 \)
Eşitsizliğin taraflarına 5 ekleyelim.
\( \dfrac{2}{\sin{x}} + 5 \le 3 \) ya da \( \dfrac{2}{\sin{x}} + 5 \ge 7 \)
\( f(x) \le 3 \) ya da \( f(x) \ge 7 \)
Buna göre \( f(x) \) fonksiyonu \( \{4, 5, 6\} \) değerlerini alamaz.
SORU 8:
\( f(x) = 5^{\sin(5x)} + 2 \) fonksiyonunun alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz.
Çözümü Göster
Sinüs fonksiyonu \( [-1, 1] \) aralığında değer alabilir.
\( -1 \le \sin{x} \le 1 \)
\( -1 \le \sin(5x) \le 1 \)
Eşitsizliğin taraflarının 5 tabanında üssünü yazalım.
\( 5^{-1} \le 5^{\sin(5x)} \le 5^1 \)
\( \dfrac{1}{5} \le 5^{\sin(5x)} \le 5 \)
Eşitsizliğin taraflarına 2 ekleyelim.
\( \dfrac{11}{5} \le 5^{\sin(5x)} + 2 \le 7 \)
Buna göre \( f(x) \) fonksiyonu \( \{3, 4, 5, 6, 7\} \) tam sayı değerlerini alabilir.
SORU 9:
Aşağıdaki fonksiyonun alabileceği en büyük reel sayı değerini bulunuz.
\( f(x) = (2\cos^2(2x + 13) - 3)^2 \)
Çözümü Göster
Kosinüs fonksiyonu \( [-1, 1] \) aralığında değer alabilir.
\( -1 \le \cos{x} \le 1 \)
\( f(x) \) fonksiyonunu elde etmek için bu aralığa adım adım gerekli işlemleri uygulayalım.
\( -1 \le \cos(2x + 13) \le 1 \)
\( 0 \le \cos^2(2x + 13) \le 1 \)
\( 0 \le 2\cos^2(2x + 13) \le 2 \)
\( -3 \le 2\cos^2(2x + 13) - 3 \le -1 \)
\( 1 \le (2\cos^2(2x + 13) - 3)^2 \le 9 \)
Buna göre \( f(x) \) fonksiyonunun alabileceği en büyük reel sayı değer 9'dur.
SORU 10:
\( f(x) = \dfrac{\sin{x} + 3}{7 + 5\sin{x} - \cos^2{x}} \) fonksiyonunun alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözümü Göster
\( \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 \) özdeşliğini kullanarak ifadeyi düzenleyelim.
\( f(x) = \dfrac{\sin{x} + 3}{7 + 5\sin{x} - (1 - \sin^2{x})} \)
\( = \dfrac{\sin{x} + 3}{6 + 5\sin{x} + \sin^2{x}} \)
\( = \dfrac{\sin{x} + 3}{(\sin{x} + 2)(\sin{x} + 3)} \)
\( -1 \lt \sin{x} \lt 1 \) olduğu için \( \sin{x} = -3 \) olamaz.
\( = \dfrac{1}{{\sin{x} + 2}} \)
Fonksiyonun en küçük değerini alması için payda en büyük değerini almalıdır.
\( \sin{x} = 1 \)
\( = \dfrac{1}{1 + 2} = \dfrac{1}{3} \) bulunur.
