Trigonometrik Denklemler

Bir değişkenin trigonometrik fonksiyon içinde yer aldığı denklemlere trigonometrik denklem denir. Trigonometrik denklemler şu ana kadar gördüğümüz çoğu başlık altındaki bilgileri kullanmamızı gerektiren bir konudur (trigonometrik değerler, özdeşlikler, bölgeler arası dönüşümler, fonksiyonların grafikleri ve periyotları, dönüşüm formülleri vb.).

Trigonometrik denklemleri iki başlık altında inceleyebiliriz.

Lineer Trigonometrik Denklemler

Bu denklemler bir değişkenli tek bir trigonometrik fonksiyonun sabit bir değere eşit olduğu denklemlerdir.

Bir trigonometrik fonksiyonun fonksiyon, açı ve değişken değerleri arasındaki ayrıma denklem çözümünde dikkat etmemiz gerekir.

Trigonometrik denklemlerin çözümü
Trigonometrik denklemlerin çözümü

Bu tip denklemleri her birini aşağıda detaylandıracağımız dört adımda çözebiliriz.

Fonksiyon Değerini Bulma

Bu tip denklemlerde ilk önce trigonometrik fonksiyonu yalnız bırakarak fonksiyon değerini bulmamız gerekir. Tek bir trigonometrik fonksiyonun sabit bir değere sahip olduğu denklemlerde fonksiyon değeri tek bir değer alabilir.

Açı Değerini Bulma

İkinci adımda ilgili fonksiyonun bulduğumuz fonksiyon değerini verdiği açı değerlerini bulmamız gerekir. Eğer sabit değer fonksiyonun görüntü kümesinin bir elemanı ise bu değeri veren bir açı değeri mutlaka bulunur, aksi durumda denklemin çözüm kümesi boş küme olur.

Trigonometrik fonksiyonlar periyodik fonksiyonlar oldukları için, belirli bir değer fonksiyonun görüntü kümesinin elemanı ise bu değeri veren sonsuz sayıda açı değeri bulunur. Bir trigonometrik fonksiyonun belirli bir değeri aldığı, fonksiyonun periyodu içindeki açı değerlerine esas çözüm, bu değeri aldığı reel sayılardaki tüm açı değerlerine ise genel çözüm denir.

1. örnekte sinüs fonksiyonunun \( [0, 2\pi) \) aralığında \( \frac{1}{2} \) değerini aldığı açılar I. bölgede \( \frac{\pi}{6} \) ve II. bölgede \( \frac{5\pi}{6} \)'dır. Bu değerler birer esas çözüm olup, bu değerlere ekleyip/çıkaracağımız sinüs fonksiyonunun periyodu olan \( 2\pi \)'nin tüm tam sayı katları bize genel çözümü verecektir.

2. örnekte tanjant fonksiyonunun \( [0, \pi) \) aralığında \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \) değerini aldığı açı II. bölgede \( \frac{5\pi}{6} \)'dir. Bu değer bir esas çözüm olup, bu değere ekleyip/çıkaracağımız tanjant fonksiyonunun periyodu olan \( \pi \)'nin tüm tam sayı katları bize genel çözümü verecektir.

Bu adımda bulduğumuz değerler denklemin sağlanması için değişkenin alması gereken değerler değil, trigonometrik fonksiyonun alması gereken açı değerlerdir.

Değişken Değerini Bulma

Üçüncü adımda eşitliği sağlayan açı değerlerini veren değişken değerlerini bulmamız gerekir. Bunun için yukarıda bulduğumuz esas ve genel çözüm denklemlerini değişken için çözmemiz gerekir.

1. örnekte trigonometrik fonksiyon \( \sin{x} \) formunda olduğu için değişken açı değerine eşittir, dolayısıyla bu adımda ek bir işlem yapmamıza gerek yoktur. Buna göre denklemin esas ve genel çözümlerini aşağıdaki gibi yazabiliriz.

2. örnekte hem esas hem de genel çözümü \( x \) değişkeni için çözelim. Bunun için eşitliklerin iki tarafından \( \frac{\pi}{6} \) çıkarıp tarafları 2'ye bölmemiz gerekir. Bu bölme işlemini genel çözümdeki \( k \) değişkenini içeren periyodik kısım için de yapmamız önemlidir.

Diğer Kısıtlamalar

Trigonometrik denklemler sonsuz sayıda çözüme sahip olabildikleri için karşılacağımız sorularda çözüm kümesini belirli bir aralıkla sınırlandırmamız istenebilir. Örnek olarak 1. örnekte \( [\pi, 3\pi] \) aralığındaki, 2. örnekte de \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) aralığındaki çözümler istenirse denklemlerin çözüm kümesi bu kısıtlamalar doğrultusunda aşağıdaki gibi olacaktır.

Diğer Trigonometrik Denklemler

Trigonometrik denklem birden fazla trigonometrik fonksiyon ve/veya bir fonksiyonun birden yüksek bir kuvvetini içeriyorsa denklemi sıfıra eşitleyerek ifadeyi her biri yukarıdaki \( a\sin{x} - b \) formunda olacak şekilde iki ya da daha fazla çarpana ayırmayı deneyebiliriz.

Bu tip denklemleri her birini aşağıda detaylandıracağımız iki adımda çözebiliriz.

Çarpanlara Ayırma

Daha önce polinom ve diğer tip denklemlerde yaptığımız gibi öncelikle bu denklemleri sıfıra eşitleyerek her biri yukarıda paylaştığımız lineer trigonometrik denklem formunda olacak şekilde çarpanlarına ayırmamız gerekir.

Bazı durumlarda ifadeyi çarpanlarına ayırmak için trigonometrik özdeşlikleri ve dönüşüm formüllerini kullanmamız gerekebilir.

Diğer bazı durumlarda iki fonksiyonu aşağıdaki gibi tek bir fonksiyona dönüştürebiliriz.

Her Çarpan için Çözüm Kümesini Bulma

İfadeyi çarpanlarına ayırdıktan sonra elde ettiğimiz her çarpana yukarıda detaylandırdığımız lineer trigonometrik denklem çözümünü uygulayabiliriz. Denklemin çözüm kümesi her bir çarpan için elde edeceğimiz çözüm kümelerinin birleşim kümesidir.

Denklemlerin Grafik Çözümü

Yukarıdaki denklemin genel çözümünü sinüs grafiği üzerinde aşağıdaki şekilde gösterebiliriz. Görebileceğimiz gibi, çözüm kümesi sinüs grafiğinin ordinat değerinin \( \frac{1}{2} \) olduğu açı değerleri olmaktadır. Bu grafikte aynı zamanda \( [0, 2\pi) \) arasındaki her bir çözüm değerinin her periyotta tekrar eden sonsuz çözüme karşılık geldiğini de görebiliriz.

Trigonometrik denklemin grafik çözümü
Trigonometrik denklemin grafik çözümü

Denklemlerin Birim Çember Çözümü

Aynı çözüm kümesini birim çember üzerinde de aşağıdaki şekilde gösterebiliriz. Birim çember üzerindeki bir noktanın ordinat değeri o noktanın karşılık geldiği açının sinüs değerine eşit olduğu için, birim çember üzerinde \( y = \frac{1}{2} \) olan noktalar bize çözüm kümesini verir. Bu bulduğumuz \( [0, 2\pi) \) arasındaki çözüm değerlerini tüm periyotlara yansıtarak genel çözüm kümesini bulabiliriz.

Trigonometrik denklemin birim çember çözümü
Trigonometrik denklemin birim çember çözümü
SORU:

\( \tan(3x - 60°) \cdot \cot(x + 10°) = 1 \)

eşitliğini sağlayan en küçük \( x \) dar açısı kaç derecedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( \cos{2x} - \cos{x} = 0 \)

denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( \sin{(2x + \dfrac{\pi}{3})} = -\dfrac{1}{2} \) denkleminin \( [0, 2\pi] \) aralığındaki çözüm kümesi nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( \tan{(3x + \dfrac{\pi}{2})} = \tan{x} \) denkleminin \( [0, \pi] \) aralığındaki çözüm kümesi nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( \cot(2x + \dfrac{\pi}{4}) = \tan{\dfrac{\pi}{8}} \) denkleminin \( [0, 2\pi] \) aralığındaki çözüm kümesi nedir?

Çözümü Göster


« Önceki
Dönüşüm Formülleri
Sonraki »
Kosinüs ve Sinüs Teoremleri


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır