Bir trigonometrik ifadenin fonksiyon, açı ve değişken değerleri arasındaki ayrıma denklem çözümünde dikkat edilmelidir.
Trigonometrik fonksiyonlar periyodik oldukları için, bir denklem belirli bir açı ölçüsü için sağlanıyorsa denklemin sonsuz sayıda çözümü bulunur. Bir trigonometrik denklemi sağlayan açılar içinde \( [0, 2\pi) \) aralığındaki değerlere esas çözüm , tüm reel sayıları kapsayan değerlere genel çözüm denir.
Trigonometrik denklemleri üç başlık altında inceleyebiliriz.
Lineer trigonometrik denklemler tek bir trigonometrik fonksiyon ve bu fonksiyonun birinci kuvvetini içerir.
Birden fazla trigonometrik fonksiyon ve/veya yüksek dereceden ifadeler içeren denklemler çoğu zaman lineer ifadelerin çarpımı şeklinde yazılabildiği için lineer denklemlerin çözümünde kullanılan yöntemler daha karmaşık denklemlere de uygulanabilir.
Lineer trigonometrik denklemler dört adımda çözülebilir.
Açı ölçüsünün \( x \)'ten farklı bir ifade olduğu duruma bir örnek verelim.
Lineer denklem formunda olmayan bazı denklemler özdeşlikler yardımıyla lineer denkleme dönüştürülerek çözülebilir.
İki sinüs, kosinüs, tanjant ya da kotanjant ifadesi arasındaki eşitlikler aşağıdaki yöntemlerle çözülebilir.
İki sinüs ifadesi arasındaki eşitlikte iki farklı çözüm vardır.
İki kosinüs ifadesi arasındaki eşitlikte iki farklı çözüm vardır.
İki tanjant ya da iki kotanjant ifadesi arasındaki eşitlikte tek çözüm vardır.
\( \sin{x} = \cos{y} \) ya da \( \tan{x} = \cot{y} \) formundaki denklemler fonksiyonlardan biri tümler açı özdeşliği ile diğerine dönüştürüldükten sonra yukarıdaki yöntemlerle çözülebilir.
Diğer bazı denklemler yukarıda bahsettiğimiz iki forma uymasa da her biri bu iki formdan birinde olan ifadelerin çarpımı şeklinde yazılabilir.
Bu tip denklemler aşağıdaki adımlar takip edilerek çözülebilir.
Bir trigonometrik ifadeyi çarpanlarına ayırmak için trigonometrik özdeşlikler ve dönüşüm formülleri sıklıkla kullanılır.
Trigonometrik fonksiyonların grafikleri denklemlerin çözümünde ve bulunan bir çözümün sağlamasını yapmak için sıklıkla kullanılır.
Aşağıda örnek bir trigonometrik denklem ve çözüm kümesi verilmiştir.
Aşağıdaki grafikte görebileceğimiz gibi, çözüm kümesi \( f(x) = \sin(x) \) fonksiyon grafiği ile \( y = \frac{1}{2} \) doğrusunun kesişim noktaları olmaktadır. Bu grafikte aynı zamanda \( [0, 2\pi) \) arasındaki her bir çözüm değerinin her periyotta tekrar eden sonsuz çözüme karşılık geldiğini görebiliriz.
Yukarıdaki örnekteki denklemin çözümü birim çember üzerinde de gösterilebilir.
Birim çember üzerindeki bir noktanın ordinat değeri o noktanın karşılık geldiği yönlü açının sinüs değerine eşit olduğu için, birim çember üzerinde \( y = \frac{1}{2} \) olan noktalara ait açılar bu denklemin çözüm kümesini verir.
SORU 1:
\( -\dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{2} \) olmak üzere,
\( \cos(3x + \frac{\pi}{3}) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Kosinüs fonksiyonunun periyodu \( 2\pi \)'dir.
Kosinüs fonksiyonu \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( 3x_1 + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} \)
\( 3x_2 + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{11\pi}{6} \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( \dfrac{\pi}{6} \) için:
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 3x_1 + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \)
\( 3x_1 = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \)
\( x_1 = -\dfrac{\pi}{18} + \dfrac{2\pi}{3} k \)
\( \dfrac{11\pi}{6} \) için:
\( 3x_2 + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{11\pi}{6} + 2\pi k \)
\( 3x_2 = \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi k \)
\( x_2 = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{2\pi}{3} k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ -\frac{\pi}{6}, -\frac{\pi}{18}, \frac{\pi}{2} \} \)
SORU 2:
\( 0 \le x \lt \pi \) olmak üzere,
\( \cos^2{\frac{4x}{3}} = \dfrac{1}{2} \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Eşitlikteki kosinüs ifadesinin iki çözümü vardır.
\( \cos{\frac{4x}{3}} = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
Kosinüs fonksiyonu \( \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \) değerlerini aldığı açı değerleri aşağıdaki gibidir.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( \dfrac{4x}{3} = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{2} k \)
\( x = \dfrac{3\pi}{16} + \dfrac{3\pi}{8} k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( [0, \pi) \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{3\pi}{16}, \frac{9\pi}{16}, \frac{15\pi}{16}\} \)
SORU 3:
\( 0 \le x \lt \pi \) olmak üzere,
\( \sqrt{3}\sin(2x) = \cos(2x)\)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
\( \sqrt{3}\sin(2x) = \cos(2x) \)
\( \dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \)
\( \tan(2x) = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \)
Tanjant fonksiyonunun periyodu \( \pi \)'dir.
Tanjant fonksiyonu \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerinde alır.
\( 2x = \dfrac{\pi}{6} \)
Bu açı ölçüsüne fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2x = \dfrac{\pi}{6} + \pi k \)
\( x = \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{\pi}{2} k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( [0, \pi) \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}\} \)
SORU 4:
\( 0° \le x \lt 360° \) olmak üzere,
\( 2\csc^2{x} + \cot^2{x} = 11 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Kosekant ifadesini kotanjant cinsinden yazalım.
\( 2(1 + \cot^2{x}) + \cot^2{x} = 11 \)
\( 2 + 3\cot^2{x} = 11 \)
\( \cot^2{x} = 3 \)
\( \cot{x} = \pm \sqrt{3} \)
Kotanjant fonksiyonunun \( [0°, 360°) \) aralığında bu iki değeri aldığı açı ölçüleri denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{30°, 150°, 210°, 330°\} \)
SORU 5:
\( 0° \le x \lt 360° \) olmak üzere,
\( 4\cot^2{x} - 9\csc{x} + 6 = 0 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Kotanjant ifadesini kosekant cinsinden yazalım.
\( 4(\csc^2{x} - 1) - 9\csc{x} + 6 = 0 \)
\( 4\csc^2{x} - 4 - 9\csc{x} + 6 = 0 \)
\( 4\csc^2{x} - 9\csc{x} + 2 = 0 \)
\( (\csc{x} - 2)(4\csc{x} - 1) = 0 \)
Bu çarpanları sıfır yapan değerleri bulalım.
\( \csc{x} = 2 \) ya da \( \csc{x} = \dfrac{1}{4} \)
Kosekant ifadelerini sinüs cinsinden yazalım.
\( \sin{x} = \dfrac{1}{2} \) ya da \( \sin{x} = 4 \)
Sinüs fonksiyonunun görüntü kümesi \( [-1, 1] \) olduğu için \( \sin{x} = 4 \) geçerli bir çözüm değildir.
\( \sin{x} = \dfrac{1}{2} \)
Sinüs fonksiyonunun \( [0°, 360°) \) aralığında bu değeri aldığı açı ölçüleri denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{30°, 150°\} \)
SORU 6:
\( 0 \le x \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( 4\csc^2{x} + \cot^2{x} = 1 - 9\csc{x} \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Kotanjant ifadesini kosekant cinsinden yazalım.
\( 4\csc^2{x} + (\csc^2{x} - 1) = 1 - 9\csc{x} \)
\( 5\csc^2{x} + 9\csc{x} - 2 = 0 \)
\( (5\csc{x} - 1)(\csc{x} + 2) = 0 \)
Bu çarpanları sıfır yapan değerleri bulalım.
\( \csc{x} = \dfrac{1}{5} \) ya da \( \csc{x} = -2 \)
Kosekant ifadelerini sinüs cinsinden yazalım.
\( \sin{x} = 5 \) ya da \( \sin{x} = -\dfrac{1}{2} \)
Sinüs fonksiyonunun görüntü kümesi \( [-1, 1] \) olduğu için \( \sin{x} = 5 \) geçerli bir çözüm değildir.
\( \sin{x} = -\dfrac{1}{2} \)
Sinüs fonksiyonunun \( [0, 2\pi) \) aralığında bu değeri aldığı açı ölçüleri denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\} \)
SORU 7:
\( 0 \le x \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( 3\sin{x}^2 - 5\sin{x}\cos{x} - 2\cos{x}^2 = 0 \)
denkleminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır?
Çözümü Göster
Eşitliğin sol tarafını çarpanlarına ayıralım.
\( (3\sin{x} + \cos{x})(\sin{x} - 2\cos{x}) = 0 \)
Denklemin çözüm kümesi her bir çarpanı sıfır yapan \( x \) değerlerinden oluşur.
\( 3\sin{x} + \cos{x} = 0 \) ya da \( \sin{x} - 2\cos{x} = 0 \)
\( 3\sin{x} + \cos{x} = 0 \) için:
\( 3\sin{x} = -\cos{x} \)
\( \tan{x} = -\dfrac{1}{3} \)
Tanjant fonksiyonu \( [0, 2\pi) \) aralığında \( -\frac{1}{3} \) değerini II. ve IV. bölgelerde birer kez alır.
\( \sin{x} - 2\cos{x} = 0 \) için:
\( \sin{x} = 2\cos{x} \)
\( \tan{x} = 2 \)
Tanjant fonksiyonu \( [0, 2\pi) \) aralığında \( 2 \) değerini I. ve III. bölgelerde birer kez alır.
Buna göre denklemin \( [0, 2\pi) \) aralığında çözüm kümesi 4 elemanlıdır.
SORU 8:
\( 0 \le x \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( \sec{x} + \cos{x} = \dfrac{5}{2} \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Sekant ifadesini kosinüs cinsinden yazalım.
\( \dfrac{1}{\cos{x}} + \cos{x} = \dfrac{5}{2} \)
\( \dfrac{1 + \cos^2{x}}{\cos{x}} = \dfrac{5}{2} \)
Çözüm kümesinde \( \cos{x} = 0 \) yapan \( x \) değerleri bulunamayacağını not ederek içler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 2 + 2\cos^2{x} = 5\cos{x} \)
\( 2\cos^2{x} - 5\cos{x} + 2 = 0 \)
\( (2\cos{x} - 1)(\cos{x} - 2) = 0 \)
Bu çarpanları sıfır yapan değerleri bulalım.
\( \cos{x} = \dfrac{1}{2} \) ya da \( \cos{x} = 2 \)
Kosinüs fonksiyonunun görüntü kümesi \( [-1, 1] \) olduğu için \( \cos{x} = 2 \) geçerli bir çözüm değildir.
\( \cos{x} = \dfrac{1}{2} \)
Kosinüs fonksiyonunun \( [0, 2\pi) \) aralığında bu değeri aldığı açı ölçüleri denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\} \)
SORU 9:
\( 0 \le x \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( 2\cos{x} + 3\csc{x} = 6 + \cot{x} \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
İfadedeki terimleri sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( 2\cos{x} + \dfrac{3}{\sin{x}} = 6 + \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} \)
Terimlerin paydalarını eşitleyelim.
\( \dfrac{2\sin{x}\cos{x} + 3}{\sin{x}} = \dfrac{6\sin{x} + \cos{x}}{\sin{x}} \)
Çözüm kümesinde \( \sin{x} = 0 \) yapan \( x \) değerleri bulunamayacağını not ederek \( \sin{x} \) ifadelerini sadeleştirelim.
\( 2\sin{x}\cos{x} + 3 = 6\sin{x} + \cos{x} \)
\( 2\sin{x}\cos{x} - \cos{x} - 6\sin{x} + 3 = 0 \)
\( \cos{x}(2\sin{x} - 1) - 3(2\sin{x} - 1) = 0 \)
\( (\cos{x} - 3)(2\sin{x} - 1) = 0 \)
Bu çarpanları sıfır yapan değerleri bulalım.
\( \cos{x} = 3 \) ya da \( \sin{x} = \dfrac{1}{2} \)
Kosinüs fonksiyonunun görüntü kümesi \( [-1, 1] \) olduğu için \( \cos{x} = 3 \) geçerli bir çözüm değildir.
\( \sin{x} = \dfrac{1}{2} \)
Sinüs fonksiyonunun \( [0, 2\pi) \) aralığında bu değeri aldığı açı ölçüleri denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\} \)
SORU 10:
\( 0 \le x \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( \cot^2{x} \cdot \cos{x} = \cot^2{x} \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Tüm terimleri eşitliğin sol tarafında toplayalım.
\( \cot^2{x} \cdot \cos{x} - \cot^2{x} = 0 \)
\( \cot^2{x}(\cos{x} - 1) = 0 \)
Bu çarpanların her birini sıfır yapan değerleri bulalım.
Çarpan 1: \( \cot^2{x} = 0 \)
Bir ifadenin karesinin değeri sıfırsa kendisi de sıfırdır.
\( \cot{x} = 0 \)
Kotanjant fonksiyonu bu değeri \( [0, 2\pi) \) aralığında aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( x \in \{\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\} \)
Çarpan 2: \( \cos{x} - 1 = 0 \)
\( \cos{x} = 1 \)
Kosinüs fonksiyonu bu değeri \( [0, 2\pi) \) aralığında aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( x = 0 \)
Her ne kadar \( x = 0 \) değeri ikinci çarpanı sıfır yapıyor olsa da, birinci çarpandaki \( \cot{0} \) ifadesini tanımsız yaptığı için denklemin geçerli bir çözümü değildir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\} \)
SORU 11:
\( 0 \le x \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( \dfrac{\tan{x}}{\sec{x} - 1} + \dfrac{\sec{x} - 1}{\tan{x}} = 4 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
İfadedeki terimleri sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \dfrac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{\frac{1}{\cos{x}} - 1} + \dfrac{\frac{1}{\cos{x}} - 1}{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}} = 4 \)
\( \dfrac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{\frac{1 - \cos{x}}{\cos{x}}} + \dfrac{\frac{1 - \cos{x}}{\cos{x}}}{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}} = 4 \)
Çözüm kümesinde \( \cos{x} = 0 \) yapan \( x \) değerleri bulunamayacağını not ederek \( \cos{x} \) ifadelerini sadeleştirelim.
\( \dfrac{\sin{x}}{1 - \cos{x}} + \dfrac{1 - \cos{x}}{\sin{x}} = 4 \)
Terimlerin paydalarını eşitleyelim.
\( \dfrac{\sin^2{x}}{(1 - \cos{x})\sin{x}} + \dfrac{(1 - \cos{x})^2}{(1 - \cos{x})\sin{x}} = 4 \)
\( \dfrac{\sin^2{x} + 1 - 2\cos{x} + \cos^2{x}}{(1 - \cos{x})\sin{x}} = 4 \)
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( \dfrac{2 - 2\cos{x}}{(1 - \cos{x})\sin{x}} = 4 \)
\( \dfrac{2(1 - \cos{x})}{(1 - \cos{x})\sin{x}} = 4 \)
Çözüm kümesinde \( \cos{x} = 1 \) yapan \( x \) değerleri bulunamayacağını not ederek \( 1 - \cos{x} \) ifadelerini sadeleştirelim.
\( \dfrac{2}{\sin{x}} = 4 \)
\( \sin{x} = \dfrac{1}{2} \)
Sinüs fonksiyonunun \( [0, 2\pi) \) aralığında bu değeri aldığı açı ölçüleri denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\} \)
SORU 12:
\( 0 \le x \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( 2\cos{x} + \csc{x} = 0 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Kosekant ifadesini sinüs cinsinden yazalım.
\( 2\cos{x} + \dfrac{1}{\sin{x}} = 0 \)
\( \dfrac{2\sin{x}\cos{x} + 1}{\sin{x}} = 0 \)
Çözüm kümesinde \( \sin{x} = 0 \) yapan \( x \) değerleri bulunamayacağını not ederek tarafları \( \sin{x} \) ile çarpalım.
\( 2\sin{x}\cos{x} + 1 = 0 \)
Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \sin(2x) = -1 \)
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2x = \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi k \)
\( x = \dfrac{3\pi}{4} + \pi k \)
Bulduğumuz genel çözümde \( [0, 2\pi) \) aralığındaki \( x \) değerleri denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\} \)
SORU 13:
\( 0° \le \alpha \le 90° \) olmak üzere,
\( 2\sin^2{\alpha} = 2\sqrt{2}\sin{\alpha} - 1 \)
olduğuna göre, \( \tan{\alpha} \) kaçtır?
Çözümü Göster
Tüm terimleri eşitliğin sol tarafında toplayalım.
\( 2\sin^2{\alpha} - 2\sqrt{2}\sin{\alpha} + 1 = 0 \)
Eşitliğin solundaki ifadeyi parantez karesi şeklinde yazabiliriz.
\( (\sqrt{2}\sin{\alpha} - 1)^2 = 0 \)
Karesi sıfır olan ifadenin kendisi de sıfırdır.
\( \sqrt{2}\sin{\alpha} - 1 = 0 \)
\( \sin{\alpha} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
Sinüs fonksiyonunun \( [0°, 90°] \) aralığında bu değeri aldığı açı ölçüleri denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( \alpha = 45° \)
\( \tan{\alpha} = \tan{45°} = 1 \) bulunur.
SORU 14:
\( 0 \le x \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( \sin(2x + \frac{\pi}{3}) = -\dfrac{1}{2} \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Sinüs fonksiyonunun periyodu \( 2\pi \)'dir.
Sinüs fonksiyonu \( -\frac{1}{2} \) değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( 2x_1 + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{7\pi}{6} \)
\( 2x_2 + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{11\pi}{6} \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( \frac{7\pi}{6} \) için:
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2x_1 + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi k \)
\( 2x_1 = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k \)
\( x_1 = \dfrac{5\pi}{12} + \pi k \)
\( \frac{11\pi}{6} \) için:
\( 2x_2 + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{11\pi}{6} + 2\pi k \)
\( 2x_2 = \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi k \)
\( x_2 = \dfrac{3\pi}{4} + \pi k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( [0, 2\pi) \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{5\pi}{12}, \frac{3\pi}{4}, \frac{17\pi}{12}, \frac{7\pi}{4}\} \)
SORU 15:
\( \cos(2x) - \cos{x} = 0 \)
denkleminin genel çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Denklemi her biri lineer formda (\( a\sin{x} - b \)) olan ifadelerin çarpımı şeklinde yazmaya çalışalım.
Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( (2\cos^2{x} - 1) - \cos{x} = 0 \)
\( (2\cos{x} + 1)(\cos{x} - 1) = 0 \)
Bu çarpanları sıfır yapan değerleri bulalım.
Çarpan 1 : \( 2\cos{x} + 1 = 0 \)
\( \cos{x} = -\frac{1}{2} \)
Kosinüs fonksiyonunun periyodu \( 2\pi \)'dir.
Kosinüs fonksiyonu bu değeri bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( x_1 = \dfrac{2\pi}{3} \)
\( x_2 = \dfrac{4\pi}{3} \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( x_1 = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k \)
\( x_2 = \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k \)
Çarpan 2 : \( \cos{x} - 1 = 0 \)
\( \cos{x} = 1 \)
Kosinüs fonksiyonu bu değeri bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( x_3 = 0 \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( x_3 = 2\pi k \)
Her çarpan için bulduğumuz genel çözüm kümelerinin birleşim kümesi denklemin genel çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x_1 \cup x_2 \cup x_3 \)
SORU 16:
\( 0 \le x \le \pi \) olmak üzere,
\( \tan{(3x + \frac{\pi}{2})} = \tan{x} \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
İki tanjant ifadesi arasındaki eşitlikte tek çözüm vardır.
Çözüm : Açıların farkı \( \pi \)'nin bir tam sayı katıdır.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 3x + \dfrac{\pi}{2} = x + \pi k \)
\( 2x = -\dfrac{\pi}{2} + \pi k \)
\( x = -\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{2} k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( [0, \pi] \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\} \)
SORU 17:
\( 0 \le x \lt 2 \pi \) olmak üzere,
\( \tan(2x + \frac{\pi}{4}) = \cot{\frac{\pi}{8}} \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Eşitliğin sağındaki tanjant ifadesini kotanjant cinsinden yazalım.
Tümler açıların tanjant - kotanjant değerleri birbirine eşittir.
\( \tan(2x + \frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}) \)
\( \tan(2x + \frac{\pi}{4}) = \tan{\frac{3\pi}{8}} \)
İki tanjant ifadesi arasındaki eşitlikte tek çözüm vardır.
Çözüm : Açıların farkı \( \pi \)'nin bir tam sayı katıdır.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{8} + \pi k \)
\( 2x = \dfrac{\pi}{8} + \pi k \)
\( x = \dfrac{\pi}{16} + \dfrac{\pi}{2} k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( [0, 2\pi) \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{\pi}{16}, \frac{9\pi}{16}, \frac{17\pi}{16}, \frac{25\pi}{16}\} \)
SORU 18:
\( 0 \le x \lt \pi \) olmak üzere,
\( \cos(5x - 10°) = \sin(x - 20°) \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Eşitliğin sağ tarafındaki sinüs ifadesini kosinüse çevirelim.
Tümler açıların sinüs ve kosinüs değerleri birbirine eşittir.
\( \cos(5x - 10°) = \cos(90° - (x - 20°)) \)
\( \cos(5x - 10°) = \cos(110° - x) \)
İki kosinüs ifadesi arasındaki eşitlikte iki farklı çözüm vardır.
Çözüm 1 : Açıların esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 5x - 10° = 110° - x + 360° k \)
\( 6x = 120° + 360° k \)
\( x = 20° + 60° k \)
Çözüm 2 : Birinci açı ile ikinci açıyı \( 360° \)'ye tamamlayan açının esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( 5x - 10° = (360° - (110° - x)) + 360 k \)
\( 4x = 260° + 360° k \)
\( x = 65° + 90° k \)
Buna göre denklemin \( [0, \pi) \) aralığında 5 çözümü vardır.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ 20°, 65°, 80°, 140°, 155° \} \)
SORU 19:
\( 180° \le x \lt 360° \) olmak üzere,
\( \sin(5x - 30°) = \sin(3x + 10°) \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
İki sinüs ifadesi arasındaki eşitlikte iki farklı çözüm vardır.
Çözüm 1 : Açıların esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 5x - 30° = 3x + 10° + 360° k \)
\( 2x = 40° + 360° k \)
\( x = 20° + 180° k \)
Çözüm 2 : Birinci açı ile ikinci açıyı \( 180° \)'ye tamamlayan açının esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( 5x - 30° = (180° - (3x + 10°)) + 360° k \)
\( 8x = 200° + 360° k \)
\( x = 25° + 45° k \)
Her iki çözümden gelen \( [\pi, 2\pi) \) aralığındaki değerlerin birleşim kümesi denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ \ldots, 200°, 205°, 250°, 295°, 340°, \ldots \} \)
SORU 20:
\( 0° \le x \lt 180° \) olmak üzere,
\( \sin(6x) = \sin(3x) \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
İki sinüs ifadesi arasındaki eşitlikte iki farklı çözüm vardır.
Çözüm 1 : Açıların esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( 6x = 3x + 360° k \)
\( 3x = 360° k \)
\( x = 120° k \)
Çözüm 2 : Birinci açı ile ikinci açıyı \( 180° \)'ye tamamlayan açının esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( 6x = (180° - 3x) + 360° k \)
\( 9x = 180° + 360° k \)
\( x = 20° + 40° k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( [0°, 180°) \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{0°, 20°, 60°, 100°, 120°, 140°\} \)
SORU 21:
\( 0° \lt x \lt 360° \) olmak üzere,
\( \cos(23x) = \cos(22x) \)
denkleminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır?
Çözümü Göster
İki kosinüs ifadesi arasındaki eşitlikte iki farklı çözüm vardır.
Çözüm 1: Açıların esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 23x = 22x + 360° k \)
\( x = 360°k \)
Çözüm 2: Birinci açı ile ikinci açıyı \( 360° \)'ye tamamlayan açının esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( 23x = (360° - 22x) + 360° k \)
\( 45x = 360° + 360° k \)
\( x = 8° + 8° k \)
Her iki çözümden gelen \( (0°, 360°) \) aralığındaki değerlerin birleşim kümesi denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{8°, 16°, 24°, 32°, \ldots, 352°\} \)
Terim sayısı formülü ile çözüm kümesinin eleman sayısı \( \frac{352 - 8}{8} + 1 = 44 \) olarak bulunur.
SORU 22:
\( \pi \le x \le 2\pi \) olmak üzere,
\( \tan(8x) - \tan(4x) = 0 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
\( \tan(8x) = \tan(4x) \)
İki tanjant ifadesi arasındaki eşitlikte tek çözüm vardır.
Çözüm: Açıların farkı \( \pi \)'nin bir tam sayı katıdır.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 8x = 4x + \pi k \)
\( 4x = \pi k \)
\( x = \dfrac{\pi}{4} k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( [\pi, 2\pi] \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\pi, \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}, 2\pi\} \)
SORU 23:
\( 0° \le x \lt 180° \) olmak üzere,
\( \sin(7x) + \sin(5x) = 0 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
\( \sin(7x) = -\sin(5x) \)
\( \sin(-x) = -\sin{x} \) olduğu için eşitliğin sağındaki negatif işaretini sinüs fonksiyonunun içine alabiliriz.
\( \sin(7x) = \sin(-5x) \)
İki sinüs ifadesi arasındaki eşitlikte iki farklı çözüm vardır.
Çözüm 1: Açıların esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 7x = -5x + 360° k \)
\( 12x = 360° k \)
\( x = 30° k \)
Çözüm 2: Birinci açı ile ikinci açıyı \( 180° \)'ye tamamlayan açının esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( 7x = (180° - (-5x)) + 360° k \)
\( 2x = 180° + 360° k \)
\( x = 90° + 180° k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( [0°, 180°) \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{0°, 30°, 60°, 90°, 120°, 150°\} \)
SORU 24:
\( 45° \le x \le 90° \) olmak üzere,
\( \tan(11x) + \tan(7x) = 0 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
\( \tan(11x) = -\tan(7x) \)
\( \tan(-x) = -\tan{x} \) olduğu için eşitliğin sağındaki negatif işaretini tanjant fonksiyonunun içine alabiliriz.
\( \tan(11x) = \tan(-7x) \)
İki tanjant ifadesi arasındaki eşitlikte tek çözüm vardır.
Çözüm: Açıların farkı \( 180° \)'nin bir tam sayı katıdır.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 11x = -7x + 180° k \)
\( 18x = 180° k \)
\( x = 10° k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( [45°, 90°] \)aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{50°, 60°, 70°, 80°\} \)
\( x = 90° \) sorudaki her iki tanjant ifadesini de tanımsız yaptığı için çözüm kümesine dahil değildir.
\( \tan(11 \cdot 90°) = \tan(990°) = \tan(270°) \)
\( \tan(7 \cdot 90°) = \tan(630°) = \tan(270°) \)
SORU 25:
\( 0° \le x \lt 180° \) olmak üzere,
\( \cos(5x) = \cos{110°} + \cos{10°} \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
\( \cos(5x) = \cos(60° + 50°) + \cos(60° - 50°) \)
Kosinüs toplam ve fark formüllerini kullanalım.
\( \cos(60° + 50°) = \cos{60°}\cos{50°} - \sin{60°}\sin{50°} \)
\( \cos(60° - 50°) = \cos{60°}\cos{50°} + \sin{60°}\sin{50°} \)
İfadeleri taraf tarafa toplayalım.
\( \cos(60° + 50°) + \cos(60° - 50°) = 2\cos{60°}\cos{50°} \)
\( \cos{110°} + \cos{10°} = 2\dfrac{1}{2}\cos{50°} \)
\( \cos{110°} + \cos{10°} = \cos{50°} \)
Buna göre soruda verilen ifade \( \cos{50°} \)'ye eşittir.
\( \cos(5x) = \cos{50°} \)
İki kosinüs ifadesi arasındaki eşitlikte iki farklı çözüm vardır.
Çözüm 1: Açıların esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 5x = 50° + 360° k \)
\( x = 10° + 72° k \)
Çözüm 2: Birinci açı ile ikinci açıyı \( 360° \)'ye tamamlayan açının esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( 5x = (360° - 50°) + 360° k \)
\( 5x = 310° + 360° k \)
\( x = 62° + 72° k \)
Her iki çözümden gelen \( [0°, 180°) \) aralığındaki değerlerin birleşim kümesi denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{10°, 62°, 82°, 134°, 154°\} \)
SORU 26:
\( \tan(3x - 60°) \cdot \cot(x + 10°) = 1 \)
eşitliğini sağlayan en büyük negatif \( x \) açısı kaç derecedir?
Çözümü Göster
\( \tan{\alpha} \cdot \cot{\alpha} = 1 \) özdeşliğini düşünürsek eşitliği aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \tan(3x - 60°) = \tan(x + 10°) \)
İki tanjant ifadesi arasındaki eşitlikte tek çözüm vardır.
Çözüm : Açıların farkı \( 180° \)'nin bir tam sayı katıdır.
\( 3x - 60° = (x + 10°) + 180° k \)
\( 2x = 70° + 180° k \)
\( x = 35° + 90° k \)
Buna göre denklemi sağlayan en büyük negatif \( x \) açısı \( -55° \) olarak bulunur.
SORU 27:
\( 0 \le x \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( \sin^2{x} - \sin(2x) - 3 \cos^2{x} = 0 \)
denkleminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır?
Çözümü Göster
Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \sin^2{x} - 2\sin{x}\cos{x} - 3 \cos^2{x} = 0 \)
İfadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( (\sin{x} - 3\cos{x})(\sin{x} + \cos{x}) = 0 \)
Bu çarpanları sıfır yapan değerleri bulalım.
Çarpan 1 : \( \sin{x} - 3\cos{x} = 0 \)
\( \sin{x} = 3\cos{x} \)
\( \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = 3 \)
\( \tan{x} = 3 \)
Tanjant fonksiyonu herhangi bir değeri bir tam periyodu içinde bir kez alır, dolayısıyla bu değeri \( [0, 2\pi) \) aralığında iki kez alır.
Çarpan 2 : \( \sin{x} + \cos{x} = 0 \)
\( \sin{x} = -\cos{x} \)
\( \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = -1 \)
\( \tan{x} = -1 \)
Tanjant fonksiyonu bu değeri \( [0, 2\pi) \) aralığında aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( x = \{\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\} \)
Buna göre denklemin \( [0, 2\pi) \) aralığında 4 kökü vardır.
SORU 28:
\( -\dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{2} \) olmak üzere,
\( 4\cos^2{x} - 2\sin^2{x} - 5\cos{x} = 2 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( 4\cos^2{x} - 2(1 - \cos^2{x}) - 5\cos{x} = 2 \)
\( 6\cos^2{x} - 5\cos{x} - 4 = 0 \)
\( (2\cos{x} + 1)(3\cos{x} - 4) = 0 \)
Bu çarpanları sıfır yapan değerleri bulalım.
\( \cos{x} = -\dfrac{1}{2} \) ya da \( \cos{x} = \dfrac{4}{3} \)
Kosinüs fonksiyonunun görüntü kümesi \( [-1, 1] \) olduğu için \( \cos{x} = \frac{4}{3} \) geçerli bir çözüm değildir.
\( \cos{x} = -\dfrac{1}{2} \)
Kosinüs fonksiyonu I. ve IV. bölgelerde pozitif olduğu için \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) aralığında bu değeri almaz, dolayısıyla denklemin çözüm kümesi boş kümedir.
Çözüm kümesi: \( x \in \emptyset \)
SORU 29:
\( 0° \le x \lt 360° \) olmak üzere,
\( 2\cos^2{x}\cot{x} + 2\sin^2{x}\tan{x} + 4\sin{x}\cos{x} = 4 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Tanjant ve kotanjant ifadelerini sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( 2\cos^2{x} \cdot \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} + 2\sin^2{x} \cdot \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} + 4\sin{x}\cos{x} = 4 \)
\( \dfrac{2\cos^3{x}}{\sin{x}} + \dfrac{2\sin^3{x}}{\cos{x}} + 4\sin{x}\cos{x} = 4 \)
\( 2\cos^4{x} + 2\sin^4{x} + 4\sin^2{x}\cos^2{x} = 4\sin{x}\cos{x} \)
Eşitliğin her iki tarafını 2'ye bölelim.
\( \cos^4{x} + \sin^4{x} + 2\sin^2{x}\cos^2{x} = 2\sin{x}\cos{x} \)
Eşitliğin sol tarafı parantez karesinin açılımıdır.
\( (\cos^2{x} + \sin^2{x})^2 = 2\sin{x}\cos{x} \)
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( 1^2 = 2\sin{x}\cos{x} \)
Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \sin(2x) = 1 \)
Sinüs fonksiyonunun periyodu \( 360° \)'dir.
Sinüs fonksiyonu \( 1 \) değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerinde alır.
\( 2x = 90° \)
Bu açı ölçüsüne fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2x = 90° + 360° k \)
\( x = 45° + 180° k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( [0°, 360°) \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{45°, 225°\} \)
SORU 30:
\( 0 \le \alpha \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( \sqrt{a - 10} \cdot \cos{\alpha} + \sin{\alpha} = 3 \)
\( \sqrt{a - 10} \cdot \cos{\alpha} - \sin{\alpha} = 3 \)
olduğuna göre, \( a \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster
İki eşitliği taraf tarafa çıkaralım.
\( 2\sin{\alpha} = 0 \)
\( \sin{\alpha} = 0 \)
Sinüs fonksiyonu bu değeri \( [0, 2\pi) \) aralığında aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( \alpha \in \{0, \pi\} \)
Denklemde \( \alpha = 0 \) koyalım.
\( \sqrt{a - 10} \cdot \cos{0} - \sin{0} = 3 \)
\( \sqrt{a - 10} \cdot 1 - 0 = 3 \)
\( \sqrt{a - 10} = 3 \)
\( a - 10 = 9 \)
\( a = 19 \)
Denklemde \( \alpha = \pi \) koyalım.
\( \sqrt{a - 10} \cdot \cos{\pi} - \sin{\pi} = 3 \)
\( \sqrt{a - 10} \cdot (-1) - 0 = 3 \)
\( \sqrt{a - 10} \) negatif değer alamayacağı için \( \alpha = \pi \) geçerli bir çözüm değildir.
Buna göre \( a = 19 \) olarak bulunur.
SORU 31:
\( 0 \le x \le \frac{\pi}{2} \) olmak üzere,
\( 16^{\sin^2{x}} + 16^{\cos^2{x}} = 10 \)
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü Göster
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( 16^{\sin^2{x}} + 16^{1 - \sin^2{x}} = 10 \)
\( 16^{\sin^2{x}} + \dfrac{16}{16^{\sin^2{x}}} = 10 \)
\( 16^{\sin^2{x}} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t + \dfrac{16}{t} = 10 \)
\( t^2 + 16 = 10t \)
\( t^2 - 10t + 16 = 0 \)
\( (t - 2)(t - 8) = 0 \)
\( t = 2 \) ya da \( t = 8 \)
\( t = 2 \) için:
\( 16^{\sin^2{x}} = t = 2 \)
\( 2^{4\sin^2{x}} = 2^1 \)
\( \sin^2{x} = \dfrac{1}{4} \)
Sinüs \( [0, \frac{\pi}{2}] \) aralığının bulunduğu I. bölgede pozitif olur.
\( \sin{x} = \dfrac{1}{2} \)
\( x = \dfrac{\pi}{6} \)
\( t = 8 \) için:
\( 16^{\sin^2{x}} = t = 8 \)
\( 2^{4\sin^2{x}} = 2^3 \)
\( \sin^2{x} = \dfrac{3}{4} \)
Sinüs \( [0, \frac{\pi}{2}] \) aralığının bulunduğu I. bölgede pozitif olur.
\( \sin{x} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
\( x = \dfrac{\pi}{3} \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\} \)
SORU 32:
\( (\sqrt{31 + 8\sqrt{15}})^{\sin{x}} + (\sqrt{31 - 8\sqrt{15}})^{\sin{x}} = 8 \)
denkleminin çözüm kümesini radyan cinsinden yazınız.
Çözümü Göster
Birinci köklü ifadenin kök içini bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.
\( \sqrt{31 + 8\sqrt{15}} = \sqrt{31 + 2\sqrt{240}} \)
\( = \sqrt{16 + 15 + 2\sqrt{16}\sqrt{15}} \)
\( = \sqrt{(\sqrt{16} + \sqrt{15})^2} \)
\( = \sqrt{16} + \sqrt{15} = 4 + \sqrt{15} \)
Aynı işlemi ikinci köklü ifadeye uygulayalım.
\( \sqrt{31 - 8\sqrt{15}} = 4 - \sqrt{15} \)
Buna göre denklem aşağıdaki şekilde sadeleşir.
\( (4 + \sqrt{15})^{\sin{x}} + (4 - \sqrt{15})^{\sin{x}} = 8 \)
\( (4 - \sqrt{15})(4 + \sqrt{15}) = 1 \) özdeşliğinde birinci çarpanı yalnız bırakalım.
\( 4 - \sqrt{15} = \dfrac{1}{4 + \sqrt{15}} \)
Bu ifadeyi denklemde yerine koyalım.
\( (4 + \sqrt{15})^{\sin{x}} + (\dfrac{1}{4 + \sqrt{15}})^{\sin{x}} = 8 \)
\( (4 + \sqrt{15})^{\sin{x}} + \dfrac{1}{(4 + \sqrt{15})^{\sin{x}}} = 8 \)
\( (4 + \sqrt{15})^{\sin{x}} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t + \dfrac{1}{t} = 8 \)
\( t^2 + 1 = 8t \)
\( t^2 - 8t + 1 = 0 \)
İkinci dereceden denklemlerde kök bulma formülü ile kökleri bulalım.
\( t_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( = \dfrac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(1)}}{2} \)
\( = \dfrac{8 \pm \sqrt{60}}{2} \)
\( = 4 \pm \sqrt{15} \)
Bulduğumuz değeri \( t \) değişkeninin değerine eşitleyelim.
\( (4 + \sqrt{15})^{\sin{x}} = 4 \pm \sqrt{15} \)
\( (4 + \sqrt{15})^{\sin{x}} = t_1 = 4 + \sqrt{15} \) ise:
\( \sin{x} = 1 \)
\( (4 + \sqrt{15})^{\sin{x}} = t_2 = 4 - \sqrt{15} \) ise:
\( (4 + \sqrt{15})^{\sin{x}} = \dfrac{1}{4 + \sqrt{15}} \)
\( (4 + \sqrt{15})^{\sin{x}} = (4 + \sqrt{15})^{-1} \)
\( \sin{x} = -1 \)
Buna göre \( \sin{x} \) için çözüm kümesi aşağıdaki gibidir.
\( \sin{x} = \pm 1 \)
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
Çözüm kümesi: \( x \in \{\dfrac{\pi}{2} + k\pi\} \)
SORU 33:
\( 0 \le x \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( \cos(x + \frac{\pi}{6}) = \sin{x} \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Kosinüs toplam formülünü kullanalım.
\( \cos{x} \cdot \cos{\frac{\pi}{6}} - \sin{x} \cdot \sin{\frac{\pi}{6}} = \sin{x} \)
\( \cos{x} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \sin{x} \cdot \dfrac{1}{2} = \sin{x} \)
\( \sqrt{3}\cos{x} - \sin{x} = 2\sin{x} \)
\( \sqrt{3}\cos{x} = 3\sin{x} \)
\( \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \)
\( \tan{x} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \)
Tanjant fonksiyonunun \( [0, 2\pi) \) aralığında bu değeri aldığı açı ölçüleri denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\} \)
SORU 34:
\( \pi \le x \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( \sin(x + \frac{\pi}{3}) = \cos(x + \frac{\pi}{2}) \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Sinüs ve kosinüs toplam formüllerini kullanalım.
\( \sin{x} \cdot \cos{\frac{\pi}{3}} + \sin{\frac{\pi}{3}} \cdot \cos{x} = \cos{x} \cdot \cos{\frac{\pi}{2}} - \sin{\frac{\pi}{2}} \cdot \sin{x} \)
\( \sin{x} \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos{x} = \cos{x} \cdot 0 - 1 \cdot \sin{x} \)
\( \dfrac{\sin{x}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}\cos{x}}{2} = -\sin{x} \)
\( \dfrac{\sqrt{3}\cos{x}}{2} = -\dfrac{3\sin{x}}{2} \)
\( \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \)
\( \tan{x} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \)
Tanjant fonksiyonunun \( [\pi, 2\pi) \) aralığında bu değeri aldığı açı ölçüleri denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x = \frac{11\pi}{6} \)
SORU 35:
\( 0 \le x \le \pi \) olmak üzere,
\( \cos(2x) = \sin{x}\sin(3x) \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Kosinüs fark formülünü kullanalım.
\( \cos(2x) = \sin{x}\sin(3x) \)
\( \cos(3x - x) = \sin{x}\sin(3x) \)
\( \cos(3x)\cos{x} + \sin(3x)\sin{x} = \sin{x}\sin(3x) \)
Eşitliğin iki tarafındaki terimler birbirini götürür.
\( \cos(3x)\cos{x} = 0 \)
\( \cos{x} = 0 \) veya \( \cos(3x) = 0 \)
Çarpan 1: \( \cos{x} = 0 \)
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k \)
\( [0, \pi] \) aralığındaki geçerli çözümler aşağıdaki gibidir.
\( x \in \{\frac{\pi}{2}\} \)
Çarpan 1: \( \cos(3x) = 0 \)
\( 3x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k \)
\( x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3} k \)
\( [0, \pi] \) aralığındaki geçerli çözümler aşağıdaki gibidir.
\( x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6} \} \)
Her çarpan için bulduğumuz çözüm kümelerinin birleşim kümesi denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( \{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}\} \)
SORU 36:
\( \cos(2x) = \cos(x^2) \) ifadesini derece cinsinden sağlayan en küçük iki pozitif \( x \) değerinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen denklemin iki çözümü vardır.
Çözüm 1: Açıların esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2x = x^2 + 360° k \)
En küçük pozitif \( x \) değerlerini bulmak için \( k \in \{-1, 0\} \) değerlerini deneyelim.
\( 2x = x^2 + 360° (0) \)
\( 2x = x^2 \)
\( x = 2° \)
\( 2x = x^2 + 360° (-1) \)
\( 2x = x^2 - 360° \)
\( x = 20° \)
Çözüm 2: Birinci açı ile ikinci açıyı \( 360° \)'ye tamamlayan açının esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( 2x = (360° - x^2) + 360° k \)
En küçük pozitif \( x \) değerlerini bulmak için \( k \in \{-1, 0\} \) değerlerini deneyelim.
\( 2x = (360° - x^2) + 360° (0) \)
\( x^2 + 2x = 360° \)
\( x = 18° \)
\( 2x = (360° - x^2) + 360° (-1) \)
\( x^2 + 2x = 0 \)
\( x \in \{-2°, 0°\} \)
Buna göre verilen eşitliği sağlayan en küçük iki pozitif \( x \) değerinin toplamı \( 2 + 18 = 20° \) olarak bulunur.
SORU 37:
\( 0 \le x \le 2\pi \) olmak üzere,
\( \sin^2{x} = \dfrac{2 + \sqrt{3}}{4} \) denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \cos{2x} = 1 - 2\sin^2{x} \)
\( \sin^2{x} = \dfrac{1 - \cos{2x}}{2} \)
Bu değeri verilen eşitlikte yerine koyalım.
\( \dfrac{1 - \cos{2x}}{2} = \dfrac{2 + \sqrt{3}}{4} \)
\( 1 - \cos{2x} = \dfrac{2 + \sqrt{3}}{2} \)
\( \cos{2x} = 1 - \dfrac{2 + \sqrt{3}}{2} \)
\( \cos{2x} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
Kosinüs fonksiyonu \( [0, 2\pi] \) aralığında \( \frac{5\pi}{6} \) ve \( \frac{7\pi}{6} \) değerlerinde \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \) değerini alır.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( x = \frac{5\pi}{6} \) için:
\( 2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \)
\( x = \frac{5\pi}{12} + \pi k \)
\( x = \frac{7\pi}{6} \) için:
\( 2x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \)
\( x = \frac{7\pi}{12} + \pi k \)
Her iki çözümden gelen \( [0, 2\pi] \) aralığındaki değerlerin birleşim kümesi denklemin çözüm kümesini verir..
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{5\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}, \frac{19\pi}{12}\} \)
SORU 38:
\( 0 \le x \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( \cos^4{x} - \sin^4{x} = \cos{x} + \sin{x} \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Eşitliğin sol tarafındaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( (\cos^2{x} - \sin^2{x})(\cos^2{x} + \sin^2{x}) = \cos{x} + \sin{x} \)
\( \cos^2{x} + \sin^2{x} = 1 \) özdeşliğini kullanalım.
\( \cos^2{x} - \sin^2{x} = \cos{x} + \sin{x} \)
Eşitliğin sol tarafındaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım ve tüm terimleri eşitliğin solunda toplayalım.
\( (\cos{x} - \sin{x})(\cos{x} + \sin{x}) - (\cos{x} + \sin{x}) = 0 \)
\( (\cos{x} + \sin{x})(\cos{x} - \sin{x} - 1) = 0 \)
Bu çarpanların her birini sıfır yapan değerleri bulalım.
Çarpan 1: \( \cos{x} + \sin{x} = 0 \)
\( \cos{x} = -\sin{x} \)
\( \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = \tan{x} = -1 \)
Tanjant fonksiyonunun \( [0, 2\pi) \) aralığında \( -1 \) değerini aldığı açı ölçüleri aşağıdaki gibidir.
\( x \in \{\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\} \)
Çarpan 2: \( \cos{x} - \sin{x} - 1 = 0 \)
\( \cos{x} - \sin{x} = 1 \)
İki tarafın karesini alalım.
\( \cos^2{x} - 2\sin{x}\cos{x} + \sin^2{x} = 1^2 \)
\( 1 - 2\sin{x}\cos{x} = 1 \)
\( 2\sin{x}\cos{x} = 0 \)
Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \sin(2x) = 0 \)
\( 2x = \pi k \)
\( x = \dfrac{\pi}{2} k \)
\( [0, 2\pi) \) aralığındaki \( x \) değerleri aşağıdaki gibi olur.
\( x \in \{0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}\} \)
2. çarpanın çözümünde eşitliğin iki tarafının karesini aldığımız için bulduğumuz \( x \) değerlerinden bazıları geçersiz olabilir, bu yüzden bu 4 değeri sorudaki eşitlikte yerine koyarak sağlamasını yapmalıyız.
\( x = 0 \) için:
\( \cos^4{0} - \sin^4{0} = \cos{0} + \sin{0} \)
\( 1^4 - 0^4 = 1 + 0 \Longrightarrow \) Eşitlik sağlanır.
\( x = \frac{\pi}{2} \) için:
\( \cos^4{\frac{\pi}{2}} - \sin^4{\frac{\pi}{2}} = \cos{\frac{\pi}{2}} + \sin{\frac{\pi}{2}} \)
\( 0^4 - 1^4 = 0 + 1 \Longrightarrow \) Eşitlik sağlanmaz.
\( x = \pi \) için:
\( \cos^4{\pi} - \sin^4{\pi} = \cos{\pi} + \sin{\pi} \)
\( (-1)^4 - 0^4 = -1 + 0 \Longrightarrow \) Eşitlik sağlanmaz.
\( x = \frac{3\pi}{2} \) için:
\( \cos^4{\frac{3\pi}{2}} - \sin^4{\frac{3\pi}{2}} = \cos{\frac{3\pi}{2}} + \sin{\frac{3\pi}{2}} \)
\( 0^4 - (-1)^4 = 0 + (-1) \Longrightarrow \) Eşitlik sağlanır.
Buna göre 2. çözümün geçerli çözümleri aşağıdaki gibi olur.
\( x \in \{0, \frac{3\pi}{2}\} \)
Her iki çözümde bulduğumuz değerlerin birleşim kümesi verilen denklemin çözüm kümesidir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{0, \frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}\} \)
SORU 39:
\( \sin(2x) + \sqrt{2}\cos{x} = \cos(2x) \)
denkleminin en küçük pozitif kökü kaç radyandır?
Çözümü Göster
\( \sqrt{2}\cos{x} = \cos(2x) - \sin(2x) \)
\( \sin(2x) \)'in katsayısı olan 1 yerine \( \tan{\frac{\pi}{4}} \) yazalım.
\( \sqrt{2}\cos{x} = \cos(2x) - \tan{\frac{\pi}{4}} \cdot \sin(2x) \)
\( \sqrt{2}\cos{x} = \cos(2x) - \dfrac{\sin{\frac{\pi}{4}}}{\cos{\frac{\pi}{4}}} \cdot \sin(2x) \)
Eşitliğin sağ tarafında paydaları eşitleyelim.
\( \sqrt{2}\cos{x} = \dfrac{\cos(2x) \cdot \cos{\frac{\pi}{4}} - \sin{\frac{\pi}{4}} \cdot \sin(2x)}{\cos{\frac{\pi}{4}}} \)
\( \cos{\frac{\pi}{4}} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos{x} = \cos(2x) \cdot \cos{\frac{\pi}{4}} - \sin{\frac{\pi}{4}} \cdot \sin(2x) \)
Eşitliğin sağ tarafı kosinüs toplam açı formülününün açılımıdır.
\( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos{x} = \cos(2x + \frac{\pi}{4}) \)
\( \cos{x} = \cos(2x + \frac{\pi}{4}) \)
İki kosinüs ifadesi arasındaki eşitlikte iki farklı çözüm vardır.
Çözüm 1 : Açıların esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2x + \frac{\pi}{4} = x + 2\pi k \)
\( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \)
Çözüm 2 : Birinci açı ile ikinci açıyı \( 360° \)'ye tamamlayan açının esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( 2x + \frac{\pi}{4} = (2\pi - x) + 2\pi k \)
\( 3x = \dfrac{7\pi}{4} + 2\pi k \)
\( x = \dfrac{7\pi}{12} + \dfrac{2\pi}{3} k \)
Her çözüm için bulduğumuz çözüm kümelerinin birleşim kümesi denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\ldots, \frac{7\pi}{12}, \frac{15\pi}{12}, \frac{7\pi}{4}, \frac{23\pi}{12}, \ldots\} \)
Buna göre denklemin en küçük pozitif kökü \( \frac{7\pi}{12} \) radyandır.
SORU 40:
\( 4 - 2\cos^2{x} = 6\sin{x}\cos{x} \) olduğuna göre,
\( \tan{x} \) ifadesinin alabileceği kaç farklı değer vardır?
Çözümü Göster
\( 4 = 4\sin^2{x} + 4\cos^2{x} \) yazalım.
\( 4\sin^2{x} + 4\cos^2{x} - 2\cos^2{x} = 6\sin{x}\cos{x} \)
\( 4\sin^2{x} + 2\cos^2{x} = 6\sin{x}\cos{x} \)
Eşitlikler arasında kullanabileceğimiz benzerlikler yaratmaya çalışalım.
\( 6\sin{x}\cos{x} = 4\sin{x}\cos{x} + 2\sin{x}\cos{x} \) yazalım.
\( 4\sin^2{x} + 2\cos^2{x} = 4\sin{x}\cos{x} + 2\sin{x}\cos{x} \)
\( 4\sin{x}\cos{x} \)'i karşıya attığımızda iki terimin toplamı formülüne benzeyen bir ifadeye yaklaşırız.
\( 4\sin^2{x} - 4\sin{x}\cos{x} + 2\cos^2{x} = 2\sin{x}\cos{x} \)
\( \cos^2{x} \)'lerden birini karşıya atalım.
\( 4\sin^2{x} - 4\sin{x}\cos{x} + \cos^2{x} = 2\sin{x}\cos{x} - \cos^2{x} \)
\( (2\sin{x} - \cos{x})^2 = \cos{x}(2\sin{x} - \cos{x}) \)
Tüm terimleri eşitliğin sol tarafında toplayarak \( 2\sin{x} - \cos{x} \) parantezine alalım.
\( (2\sin{x} - \cos{x})^2 - \cos{x}(2\sin{x} - \cos{x}) = 0 \)
\( (2\sin{x} - \cos{x})(2\sin{x} - \cos{x} - \cos{x}) = 0 \)
\( 2(2\sin{x} - \cos{x})(\sin{x} - \cos{x}) = 0 \)
Bu çarpanları sıfır yapan değerleri bulalım.
Çarpan 1: \( 2\sin{x} - \cos{x} = 0 \)
\( 2\sin{x} = \cos{x} \)
\( \tan{x} = \dfrac{1}{2} \)
Çarpan 2: \( \sin{x} - \cos{x} = 0 \)
\( \sin{x} = \cos{x} \)
\( \tan{x} = 1 \)
Buna göre \( \tan{x} \) ifadesinin alabileceği 2 farklı değer vardır.
SORU 41:
\( 0 \le x \le \pi \) olmak üzere,
\( \dfrac{\sin(3x)}{\sin{x}} = 4\cos^2{x} + \dfrac{\cos(3x)}{\cos{x}} \)
denklemini sağlayan \( x \) değerlerini bulunuz.
Çözümü Göster
Verilen eşitliği düzenleyelim.
\( 4\cos^2{x} = \dfrac{\sin(3x)}{\sin{x}} - \dfrac{\cos(3x)}{\cos{x}} \)
Eşitliğin sağ tarafında paydaları eşitleyelim.
\( 4\cos^2{x} = \dfrac{\sin(3x)\cos{x} - \cos(3x)\sin{x}}{\sin{x}\cos{x}} \)
Paydaki ifadeye sinüs fark formülünü, paydadaki ifadeye sinüs iki kat açı formülünü uygulayalım.
\( 4\cos^2{x} = \dfrac{\sin(3x - x)}{\dfrac{\sin(2x)}{2}} \)
\( 4\cos^2{x} = \dfrac{2\sin(2x)}{\sin(2x)} \)
Eşitlik aşağıdaki şekilde sadeleşir.
\( 4\cos^2{x} = 2 \)
\( \cos^2{x} = \dfrac{1}{2} \)
\( \cos{x} = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
Kosinüs fonksiyonu \( [0, \pi] \) aralığında bu değeri aşağıdaki açı değerlerinde alır.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\} \)
SORU 42:
\( 180° \le x \le 270° \) olmak üzere,
\( \sin^2(2x) = -\cot{x}(\cos(2x) - 1) \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \sin^2(2x) = -\cot{x}(1 - 2\sin^2{x} - 1) \)
\( \sin^2(2x) = 2\cot{x}\sin^2{x} \)
Kotanjant ifadesini sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \sin^2(2x) = 2\dfrac{\cos{x}}{\sin{x}}\sin^2{x} \)
\( \sin^2(2x) = 2\cos{x}\sin{x} \)
Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \sin^2(2x) = \sin(2x) \)
\( \sin^2(2x) - \sin(2x) = 0 \)
\( \sin(2x)(\sin(2x) - 1) = 0 \)
Bu çarpanları sıfır yapan değerleri bulalım.
Çarpan 1: \( \sin(2x) = 0 \)
Sinüs fonksiyonunun periyodu \( 360° \)'dir.
Sinüs fonksiyonu \( 0 \) değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( 2x_1 = 0° \)
\( 2x_2 = 180° \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 0° \) için:
\( 2x_1 = 360° k \)
\( x_1 = 180° k \)
\( 180° \) için:
\( 2x_2 = 180° + 360° k \)
\( x_2 = 90° + 180° k \)
Çarpan 2: \( \sin(2x) - 1 = 0 \)
\( \sin(2x) = 1 \)
Sinüs fonksiyonu \( 1 \) değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( 2x = 90° \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( 2x = 90° + 360° k \)
\( x = 45° + 180° k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( [180°, 270°] \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{180°, 225°, 270°\} \)
SORU 43:
\( 0° \lt x \lt 90° \) olmak üzere,
\( 4\sin^2(2x) + \cos(4x) = 3\sin(2x) \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( 4\sin^2(2x) + (1 - 2\sin^2(2x)) = 3\sin(2x) \)
\( 2\sin^2(2x) + 1 = 3\sin(2x) \)
\( 2\sin^2(2x) - 3\sin(2x) + 1 = 0 \)
\( (2\sin(2x) - 1)(\sin(2x) - 1) = 0 \)
Bu çarpanları sıfır yapan değerleri bulalım.
\( \sin(2x) = \dfrac{1}{2} \) ya da \( \sin(2x) = 1 \)
Çarpan 1: \( 2\sin(2x) - 1 = 0 \)
\( \sin(2x) = \dfrac{1}{2} \)
Sinüs fonksiyonunun periyodu \( 360° \)'dir.
Sinüs fonksiyonu \( \frac{1}{2} \) değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( 2x_1 = 30° \)
\( 2x_2 = 150° \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
30° için:
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2x_1 = 30° + 360° k \)
\( x_1 = 15° + 180° k \)
150° için:
\( 2x_2 = 150° + 360° k \)
\( x_2 = 75° + 180° k \)
Çarpan 2: \( \sin(2x) - 1 = 0 \)
\( \sin(2x) = 1 \)
Sinüs fonksiyonu \( 1 \) değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( 2x = 90° \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( 2x = 90° + 360° k \)
\( x = 45° + 180° k \)
Sinüs fonksiyonunun \( (0°, 90°) \) aralığında bu değeri aldığı açı ölçüleri denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{15°, 45°, 75°\} \)
SORU 44:
\( 0° \le x \lt 360° \) olmak üzere,
\( \tan^2{x} \cdot \sin{x} + \cos{x} = 0 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Eşitliği düzenleyelim.
\( \tan^2{x} \cdot \sin{x} = -\cos{x} \)
Eşitliğin iki tarafını \( \cos{x} \)'e bölelim.
\( \tan^2{x} \cdot \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = -1 \)
\( \tan^2{x} \cdot \tan{x} = -1 \)
\( \tan^3{x} = -1 \)
İki tarafın küp kökünü alalım.
\( \tan{x} = -1 \)
Tanjant fonksiyonunun \( [0°, 360°) \) aralığında \( -1 \) değerini aldığı açı ölçüleri denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ 135°, 315° \} \)
SORU 45:
\( 0° \le x \lt 180° \) olmak üzere,
\( \sin(5x) + \sin{x} = \cos(2x) \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Sinüs toplam ve fark formüllerini kullanalım.
\( 2\sin(\frac{5x + x}{2})\cos(\frac{5x - x}{2}) = \cos(2x) \)
\( 2\sin(3x)\cos(2x) = \cos(2x) \)
\( 2\sin(3x)\cos(2x) - \cos(2x) = 0 \)
\( \cos(2x)(2\sin(3x) - 1) = 0 \)
Bu çarpanları sıfır yapan değerleri bulalım.
\( \cos(2x) = 0 \) ya da \( 2\sin(3x) - 1 = 0 \)
Çarpan 1: \( \cos(2x) = 0 \)
Kosinüs fonksiyonunun periyodu \( 360° \)'dir.
Kosinüs fonksiyonu 0 değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( 2x_1 = 90° \)
\( 2x_2 = 270° \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
90° için:
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2x_1 = 90° + 360° k \)
\( x_1 = 45° + 180° k \)
270° için:
\( 2x_2 = 270° + 360° k \)
\( x_2 = 135° + 180° k \)
Çarpan 2: \( 2\sin(3x) - 1 = 0 \)
\( \sin(3x) = \dfrac{1}{2} \)
Sinüs fonksiyonunun periyodu \( 360° \)'dir.
Sinüs fonksiyonu \( \frac{1}{2} \) değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( 3x_1 = 30° \)
\( 3x_2 = 150° \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
30° için:
\( 3x_1 = 30° + 360° k \)
\( x_1 = 10° + 120° k \)
150° için:
\( 3x_2 = 150° + 360° k \)
\( x_2 = 50° + 120° k \)
Yukarıda bulduğumuz çözüm değerlerinden \( [0°, 180°) \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{10°, 45°, 50°, 130°, 135°, 170°\} \)
SORU 46:
\( 0° \le x \lt 360° \) olmak üzere,
\( \tan(2x) + 3\cot{x} = 0 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
\( \tan(2x) = -3\cot{x} \)
Tanjant iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \dfrac{2\tan{x}}{1 - \tan^2{x}} = -3\cot{x} \)
Tanjant ve kotanjant fonksiyonları birbirinin çarpmaya göre tersidir.
\( \dfrac{2\tan{x}}{1 - \tan^2{x}} = -\dfrac{3}{\tan{x}} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 2\tan^2{x} = -3 + 3\tan^2{x} \)
\( \tan^2{x} = 3 \)
\( \tan{x} = \pm \sqrt{3} \)
Tanjant fonksiyonunun periyodu \( \pi \)'dir.
Tanjant fonksiyonu \( \pm \sqrt{3} \) değerini \( [0°, 360°) \) aralığında aşağıdaki açı değerlerinde alır.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ 60°, 120°, 240°, 300°\} \)
SORU 47:
\( 90° \lt x \lt 180° \) olmak üzere,
\( \tan{x}[1 + \cos(2x)] = 2\sin^2(2x) \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \tan{x}[1 + (2\cos^2{x} - 1)] = 2\sin^2(2x) \)
\( 2\tan{x}\cos^2{x} = 2\sin^2(2x) \)
Tanjant ifadesini sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( 2\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}\cos^2{x} = 2\sin^2(2x) \)
\( 2\sin{x}\cos{x} = 2\sin^2(2x) \)
Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \sin(2x) = 2\sin^2(2x) \)
\( 2\sin^2(2x) - \sin(2x) = 0 \)
\( \sin(2x)(2\sin(2x) - 1) = 0 \)
Bu çarpanları sıfır yapan değerleri bulalım.
\( \sin(2x) = 0 \) ya da \( \sin(2x) = \dfrac{1}{2} \)
Çarpan 1: \( \sin(2x) = 0 \)
Sinüs fonksiyonunun periyodu \( 360° \)'dir.
Sinüs fonksiyonu \( 0 \) değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( 2x_1 = 0° \)
\( 2x_2 = 180° \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( 0° \) için:
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2x_1 = 0° + 360° k \)
\( x_1 = 0° + 180° k \)
\( 180° \) için:
\( 2x_2 = 180° + 360° k \)
\( x_2 = 90° + 180° k \)
Çarpan 2: \( 2\sin(2x) - 1 = 0 \)
\( \sin(2x) = \dfrac{1}{2} \)
Sinüs fonksiyonu \( \frac{1}{2} \) değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( 2x_1 = 30° \)
\( 2x_2 = 150° \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( 30° \) için:
\( 2x_1 = 30° + 360° k \)
\( x_1 = 15° + 180° k \)
\( 150° \) için:
\( 2x_2 = 150° + 360° k \)
\( x_2 = 75° + 180° k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( (90°, 180°) \) aralığında bulunan değer olmadığı için çözüm kümesi boş küme olur.
Çözüm kümesi: \( x \in \emptyset \)
SORU 48:
\( 0 \le x \lt 2\pi \) ve
\( 0 \le y \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( 4x - 2y = \pi \) veriliyor.
\( \sin{y} - 3 = 4\cos{x} \)
eşitliğinde \( x \) ve \( y \) için çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
\( 4x - 2y = \pi \)
\( y = 2x - \dfrac{\pi}{2} \)
Bulduğumuz ifadeyi eşitlikte yerine yazalım.
\( \sin(2x - \frac{\pi}{2}) - 3 = 4\cos{x} \)
\( -\sin(\frac{\pi}{2} - 2x) - 3 = 4\cos{x} \)
Tümler açıların sinüs - kosinüs değerleri birbirine eşittir.
\( -\cos(2x) - 3 = 4\cos{x} \)
Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( -(2\cos^2{x} - 1) - 3 = 4\cos{x} \)
\( 2\cos^2{x} + 4\cos{x} + 2 = 0 \)
\( \cos^2{x} + 2\cos{x} + 1 = 0 \)
\( (\cos{x} + 1)^2 = 0 \)
\( \cos{x} = -1 \)
Kosinüs fonksiyonunun periyodu \( 2\pi \)'dir.
Kosinüs fonksiyonu \( -1 \) değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerinde alır.
\( x = \pi \)
\( x \) değerini kullanarak \( y \)'nin çözüm kümesini bulalım.
\( y = 2x - \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{3\pi}{2} \)
Çözüm kümesi: \( (x, y) = (\pi, \frac{3\pi}{2}) \)
SORU 49:
\( 0° \le x \lt 360° \) olmak üzere,
\( \sin(2x + 48°) + 2\sin^2{42°} = 1 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
\( \sin(2x + 48°) = 1 - 2\sin^2(42°) \)
Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \sin(2x + 48°) = \cos{84°} \)
Tümler açıların sinüs - kosinüs değerleri birbirine eşittir.
\( \sin(2x + 48°) = \sin(90° - 84°) \)
\( \sin(2x + 48°) = \sin{6°} \)
İki sinüs ifadesi arasındaki eşitlikte iki farklı çözüm vardır.
Çözüm 1: Açıların esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2x + 48° = 6° + 360° k \)
\( 2x = -42° + 360° k \)
\( x = -21° + 180° k \)
Çözüm 2: Birinci açı ile ikinci açıyı \( 180° \)'ye tamamlayan açının esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( 2x + 48° = (180° - 6°) + 360° k \)
\( 2x = 126° + 360° k \)
\( x = 63° + 180° k \)
Her iki çözümden gelen \( [0°, 360°) \) aralığındaki değerlerin birleşim kümesi denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{63°, 159°, 243°, 339°\} \)
SORU 50:
\( 90° \le x \lt 180° \) olmak üzere,
\( \cos{x} + \cos(3x) + \cos(5x) + \cos(7x) = 0 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Kosinüs dönüşüm formülünü kullanalım.
\( \cos{x} + \cos{y} = 2\cos(\frac{x + y}{2})\cos(\frac{x - y}{2}) \)
Verilen eşitlikteki terimlerin sırasını düzenleyelim.
\( \cos(7x) + \cos{x} + \cos(5x) + \cos(3x) = 0 \)
\( 2\cos(\frac{7x + x}{2})\cos(\frac{7x - x}{2}) + 2\cos(\frac{5x + 3x}{2})\cos(\frac{5x - 3x}{2}) = 0 \)
\( 2\cos(4x)\cos(3x) + 2\cos(4x)\cos(x) = 0 \)
\( 2\cos(4x)(\cos(3x) + \cos(x)) = 0 \)
Tekrar kosinüs dönüşüm formülünü kullanalım.
\( 2\cos(4x)(2\cos(\frac{3x + x}{2})\cos(\frac{3x - x}{2})) = 0 \)
\( 2\cos(4x)2\cos(2x)\cos{x} = 0 \)
\( \cos(4x)\cos(2x)\cos{x} = 0 \)
Bu çarpanları sıfır yapan değerleri bulalım.
\( \cos(4x) = 0 \) ya da \( \cos(2x) = 0 \) ya da \( \cos{x} = 0 \)
Çarpan 1: \( \cos(4x) = 0 \)
Kosinüs fonksiyonunun periyodu \( 360° \)'dir.
Kosinüs fonksiyonu 0 değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( 4x_1 = 90° \)
\( 4x_2 = 270° \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( 90° \) için:
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 4x_1 = 90° + 360° k \)
\( x_1 = 22,5° + 90° k \)
\( 270° \) için:
\( 4x_2 = 270° + 360° k \)
\( x_2 = 67,5° + 90° k \)
Çarpan 2: \( \cos(2x) = 0 \)
\( 2x_1 = 90° \)
\( 2x_2 = 270° \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( 90° \) için:
\( 2x_1 = 90° + 360° k \)
\( x_1 = 45° + 180° k \)
\( 270° \) için:
\( 2x_2 = 270° + 360° k \)
\( x_2 = 135° + 180° k \)
Çarpan 3: \( \cos{x} = 0 \)
\( x_1 = 90° \)
\( x_2 = 270° \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( 90° \) için:
\( x_1 = 90° + 360° k \)
\( 270° \) için:
\( x_2 = 270° + 360° k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( [90°, 180°) \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{90°, 112,5°, 135°, 157,5°\} \)
SORU 51:
Belirli bir günde bir plajdaki suyun derinliği aşağıdaki fonksiyona göre değişmektedir.
\( D = 8 - 4\sin(\frac{\pi t}{6}) \)
\( D \): Saat 00:00'dan başlayarak \( t \). saatte suyun metre cinsinden derinliği
Buna göre öğleden sonra plajdaki su derinliğinin 6 metre olduğu saatleri bulunuz.
Çözümü Göster
Su derinliğinin 6 metre olduğu saatleri bulmak için \( D = 6 \) yazalım.
\( 6 = 8 - 4\sin(\frac{\pi t}{6}) \)
\( \sin(\frac{\pi t}{6}) = \dfrac{1}{2} \)
Sinüs fonksiyonunun periyodu \( 2\pi \)'dir.
Sinüs fonksiyonu \( \frac{1}{2} \) değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( \dfrac{\pi t_1}{6} = \dfrac{\pi}{6} \)
\( \dfrac{\pi t_2}{6} = \dfrac{5\pi}{6} \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( \dfrac{\pi}{6} \) için:
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( \dfrac{\pi t_1}{6} = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \)
\( t_1 = 1 + 12k \)
\( \dfrac{5\pi}{6} \) için:
\( \dfrac{\pi t_2}{6} = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k \)
\( t_2 = 5 + 12k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( (12, 24) \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( t \in \{13, 17\} \)
Buna göre plajdaki su derinliği öğleden sonra saat 13:00 ve 17:00'de 6 metre olur.
SORU 52:
\( 0 \le x \le 2\pi \) olmak üzere,
\( \tan(\frac{\pi}{2}\cos{x}) = 1 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster
Denklemi önce tanjant fonksiyonu için çözelim.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( \dfrac{\pi}{2}\cos{x} = \dfrac{\pi}{4} + \pi k \)
\( \dfrac{1}{2}\cos{x} = \dfrac{1}{4} + k \)
\( \cos{x} = \dfrac{1}{2} + 2k \)
Kosinüs fonksiyonunun değer aralığı \( [-1, 1] \) olduğu için sadece \( k = 0 \) için geçerli bir kosinüs değeri vardır.
\( \cos{x} = \dfrac{1}{2} \)
Kosinüs fonksiyonu \( \frac{1}{2} \) değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerlerinde alır.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\} \)
SORU 53:
\( 0 \le x \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( \cos(4\sin(3x) - 1) = 0 \) eşitliğinin kaç kökü vardır?
Çözümü Göster
\( 4\sin(3x) - 1 \) ifadesinin değer aralığını bulalım.
\( -1 \le \sin(3x) \le 1 \)
\( -4 \le 4\sin(3x) \le 4 \)
\( -5 \le 4\sin(3x) - 1 \le 3 \)
\( \cos(4\sin(3x) - 1) = 0 \) ifadesi iki şekilde sağlanır.
\( 4\sin(3x) - 1 = \dfrac{\pi}{2} \) ya da \( 4\sin(3x) - 1 = \dfrac{3\pi}{2} \)
\( 4\sin(3x) - 1 = \dfrac{\pi}{2} \) için:
\( \sin(3x) = \dfrac{\frac{\pi}{2} + 1}{4} = \dfrac{\pi + 2}{8} \)
\( \pi = 3,14... \) yazarsak bu değerin sinüs değer aralığı (\( [-1, 1] \)) içinde olduğunu görürüz.
\( 4\sin(3x) - 1 = \dfrac{3\pi}{2} \) için:
\( \sin(3x) = \dfrac{\frac{3\pi}{2} + 1}{4} = \dfrac{3\pi + 2}{8} \)
\( \pi = 3,14... \) yazarsak bu değerin sinüs değer aralığı (\( [-1, 1] \)) dışında olduğunu görürüz.
Buna göre sadece \( \sin(3x) = \dfrac{\pi + 2}{8} \) geçerli bir çözümdür.
\( \sin(3x) \) fonksiyonunun periyodu \( \frac{2\pi}{3} \) olur, dolayısıyla grafik \( [0, 2\pi) \) aralığında bir tam periyodunu 3 kez tamamlar.
Sinüs fonksiyonu \( (-1, 1) \) açık aralığındaki bir değeri bir periyodunda 2 kez aldığı için \( \frac{\pi + 2}{8} \) değerini 3 periyot içinde 6 kez alır.
\( f(x) = \sin(3x) \) ve \( y = \frac{\pi + 2}{8} \) grafiklerini incelediğimizde iki denklemin bu aralıkta 6 kez kesiştiğini görebiliriz.
SORU 54:
\( \cos{x} + x^2 = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü Göster
Denklemi düzenleyelim.
\( \cos{x} = -x^2 \)
Bu denklemin çözümü cebirsel olarak kolay olmadığı için eşitliğin iki tarafındaki fonksiyonların grafiklerini çizerek kesişim noktalarını bulmaya çalışalım.
Kosinüs fonksiyonu \( [-1, 1] \) aralığında değer alır.
\( -x^2 \) fonksiyonu tepe noktası orijinde olan ve kolları aşağı yönlü bir paraboldür.
Grafik çiziminden iki fonksiyonun hiçbir noktada kesişmedikleri gözükse de bundan aşağıdaki şekilde emin olabiliriz.
Kosinüs grafiğinin negatif tarafa geçtiği \( x = -\frac{\pi}{2} \) ve \( x = \frac{\pi}{2} \) noktalarında parabol \( y = -\frac{\pi^2}{4} \approx -2,46 \) ordinat değerli noktalardan geçer. Bu iki nokta da kosinüs fonksiyonunun değer aralığının alt sınırı olan \( -1 \)'den küçüktür, dolayısıyla iki fonksiyon hiçbir noktada kesişmezler.
Çözüm kümesi: \( x \in \emptyset \)
