II., III. ya da IV. bölgedeki bir açının trigonometrik değerlerini I. bölgedeki, yani dar bir açı cinsinden bulmamızı sağlayan formüllere indirgeme formülleri denir.
Önceki bölümde birim çember üzerindeki bir \( A \) noktasının apsisinin o noktanın karşılık geldiği \( \alpha \) açısının kosinüs değerine, ordinatının da aynı açının sinüs değerine eşit olduğunu gördük.
Buna göre analitik düzlemin farklı bölgelerindeki noktaların apsis ve ordinat değerlerinin işareti, o bölgelerdeki açıların sinüs ve kosinüs değerlerinin işaretini de belirler. Apsis değerlerinin I. ve IV. bölgelerde pozitif, II. ve III. bölgelerde negatif, ordinat değerlerinin de I. ve II. bölgelerde pozitif, III. ve IV. bölgelerde negatif olduğunu düşünürsek sinüs ve kosinüs değerlerinin farklı bölgelerdeki işareti aşağıdaki gibi olur.
Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının işaretlerini kullanarak diğer 4 trigonometrik fonksiyonun farklı bölgelerdeki işaretlerini aşağıdaki şekilde belirleyebiliriz.
Buna göre 6 trigonometrik fonksiyonun analitik düzlemin 4 bölgesindeki işaretleri aşağıdaki şekilde özetlenebilir.
Fonksiyonların farklı bölgelerdeki işaretlerini inceledikten sonra şimdi II., III. ve IV. bölgedeki açıların trigonometrik değerlerini I. bölgedeki bir açı cinsinden nasıl ifade edebileceğimizi görelim.
\( \alpha \) bir dar açı olmak üzere, dar olmayan bir açıyı \( \pi \pm \alpha \) ya da \( 2\pi - \alpha \) şeklinde yazarak bu açının trigonometrik değerlerini \( \alpha \) açısı cinsinden ifade edebiliriz. Bu yöntemde;
\( \sin{150°} = \sin(180° - 30°) \)
Sinüs II. bölgede pozitiftir.
\( = \sin{30°} \)
\( \cos{220°} = \cos(180° + 40°) \)
Kosinüs III. bölgede negatiftir.
\( = -\cos{40°} \)
\( \tan{310°} = \tan(360° - 50°) \)
Tanjant IV. bölgede negatiftir.
\( = -\tan{50°} \)
\( \csc{100°} = \csc(180° - 80°) \)
Kosekant II. bölgede pozitiftir.
\( = \csc{80°} \)
Şimdi bu formüllerin farklı bölgelerdeki noktaların eksenlere ve orijine göre simetri özelliklerini kullanarak nasıl türetildiğini inceleyelim.
\( \alpha \) bir dar açı olmak üzere, II. bölgedeki \( \pi - \alpha \) açısı için sinüs ve kosinüs değerlerini bu açının I. bölgede \( y \) eksenine göre simetriği olan noktanın sinüs ve kosinüs değerleri cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \sin(\pi - \alpha) = \sin{\alpha} \)
\( \cos(\pi - \alpha) = -\cos{\alpha} \)
\( \sin{160°} = \sin(180° - 20°) = \sin{20°} \)
\( \cos{\frac{5\pi}{6}} = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos{\frac{\pi}{6}} \)
Bu iki oranı kullanarak diğer 4 fonksiyon için de benzer formülleri yazabiliriz.
\( \tan(\pi - \alpha) = \dfrac{\sin(\pi - \alpha)}{\cos(\pi - \alpha)} \) \( = -\tan{\alpha} \)
\( \cot(\pi - \alpha) = \dfrac{\cos(\pi - \alpha)}{\sin(\pi - \alpha)} \) \( = -\cot{\alpha} \)
\( \sec(\pi - \alpha) = \dfrac{1}{\cos(\pi - \alpha)} \) \( = -\sec{\alpha} \)
\( \csc(\pi - \alpha) = \dfrac{1}{\sin(\pi - \alpha)} \) \( = \csc{\alpha} \)
\( \alpha \) bir dar açı olmak üzere, III. bölgedeki \( \pi + \alpha \) açısı için sinüs ve kosinüs değerlerini bu açının I. bölgede orijine göre simetriği olan noktanın sinüs ve kosinüs değerleri cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \sin(\pi + \alpha) = -\sin{\alpha} \)
\( \cos(\pi + \alpha) = -\cos{\alpha} \)
\( \sin{250°} = \sin(180° + 70°) = -\sin{70°} \)
\( \cos{\frac{4\pi}{3}} = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos{\frac{\pi}{3}} \)
Bu iki oranı kullanarak diğer 4 fonksiyon için de benzer formülleri yazabiliriz.
\( \tan(\pi + \alpha) = \dfrac{\sin(\pi + \alpha)}{\cos(\pi + \alpha)} \) \( = \tan{\alpha} \)
\( \cot(\pi + \alpha) = \dfrac{\cos(\pi + \alpha)}{\sin(\pi + \alpha)} \) \( = \cot{\alpha} \)
\( \sec(\pi + \alpha) = \dfrac{1}{\cos(\pi + \alpha)} \) \( = -\sec{\alpha} \)
\( \csc(\pi + \alpha) = \dfrac{1}{\sin(\pi + \alpha)} \) \( = -\csc{\alpha} \)
\( \alpha \) bir dar açı olmak üzere, IV. bölgedeki \( 2\pi - \alpha \) açısı için sinüs ve kosinüs değerlerini bu açının I. bölgede \( x \) eksenine göre simetriği olan noktanın sinüs ve kosinüs değerleri cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \sin(2\pi - \alpha) = -\sin{\alpha} \)
\( \cos(2\pi - \alpha) = \cos{\alpha} \)
\( \sin{350°} = \sin(360° - 10°) = -\sin{10°} \)
\( \cos{\frac{11\pi}{6}} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{6}) = \cos{\frac{\pi}{6}} \)
Bu iki oranı kullanarak diğer 4 fonksiyon için de benzer formülleri yazabiliriz.
\( \tan(2\pi - \alpha) = \dfrac{\sin(2\pi - \alpha)}{\cos(2\pi - \alpha)} \) \( = -\tan{\alpha} \)
\( \cot(2\pi - \alpha) = \dfrac{\cos(2\pi - \alpha)}{\sin(2\pi - \alpha)} \) \( = -\cot{\alpha} \)
\( \sec(2\pi - \alpha) = \dfrac{1}{\cos(2\pi - \alpha)} \) \( = \sec{\alpha} \)
\( \csc(2\pi - \alpha) = \dfrac{1}{\sin(2\pi - \alpha)} \) \( = -\csc{\alpha} \)
\( \alpha \) bir dar açı olmak üzere, dar olmayan bir açıyı \( \frac{\pi}{2} + \alpha \) ya da \( \frac{3\pi}{2} \pm \alpha \) şeklinde yazarak bu açının trigonometrik değerlerini \( \alpha \) açısı cinsinden ifade edebiliriz. Bu yöntemde;
\( \sin{150°} = \sin(90° + 60°) \)
Sinüs II. bölgede pozitiftir.
\( = \cos{60°} \)
\( \cos{220°} = \cos(270° - 50°) \)
Kosinüs III. bölgede negatiftir.
\( = -\sin{50°} \)
\( \tan{310°} = \tan(270° + 40°) \)
Tanjant IV. bölgede negatiftir.
\( = -\cot{40°} \)
\( \csc{100°} = \csc(90° + 10°) \)
Kosekant II. bölgede pozitiftir.
\( = \sec{10°} \)
Şimdi bu formüllerin farklı bölgelerdeki noktaların eksenlere ve orijine göre simetri özelliklerini kullanarak nasıl türetildiğini inceleyelim.
\( A \) noktasının \( y = x \) doğrusuna göre simetriği olan \( A_1 \) noktasının \( x \) ekseni ile yaptığı yönlü açı \( \frac{\pi}{2} - \alpha \) olur. Noktanın \( y = x \) doğrusuna göre simetrisinden bu noktanın koordinatları \( A_1(\sin{\alpha}, \cos{\alpha}) \) olur.
\( \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos{\alpha} \)
\( \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin{\alpha} \)
\( \sin{75°} = \sin(90° - 15°) = \cos{15°} \)
\( \cos{\frac{\pi}{6}} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) = \sin{\frac{\pi}{3}} \)
Bu iki oranı kullanarak diğer 4 fonksiyon için de benzer formülleri yazabiliriz.
\( \tan(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \dfrac{\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)}{\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)} \) \( = \cot{\alpha} \)
\( \cot(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \dfrac{\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)} \) \( = \tan{\alpha} \)
\( \sec(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \dfrac{1}{\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)} \) \( = \csc{\alpha} \)
\( \csc(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \dfrac{1}{\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)} \) \( = \sec{\alpha} \)
\( \alpha \) bir dar açı olmak üzere, II. bölgedeki \( \frac{\pi}{2} + \alpha \) açısı için sinüs ve kosinüs değerlerini bu açının I. bölgede \( y \) eksenine göre simetriği olan noktanın sinüs ve kosinüs değerleri cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos{\alpha} \)
\( \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin{\alpha} \)
\( \sin{125°} = \sin(90° + 35°) = \cos{35°} \)
\( \cos{\frac{3\pi}{4}} = \cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}) = -\sin{\frac{\pi}{4}} \)
Bu iki oranı kullanarak diğer 4 fonksiyon için de benzer formülleri yazabiliriz.
\( \tan(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \dfrac{\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)}{\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)} \) \( = -\cot{\alpha} \)
\( \cot(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \dfrac{\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)} \) \( = -\tan{\alpha} \)
\( \sec(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \dfrac{1}{\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)} \) \( = -\csc{\alpha} \)
\( \csc(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \dfrac{1}{\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)} \) \( = \sec{\alpha} \)
\( \alpha \) bir dar açı olmak üzere, III. bölgedeki \( \frac{3\pi}{2} - \alpha \) açısı için sinüs ve kosinüs değerlerini bu açının I. bölgede orijine göre simetriği olan noktanın sinüs ve kosinüs değerleri cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos{\alpha} \)
\( \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin{\alpha} \)
\( \sin{220°} = \sin(270° - 50°) = -\cos{50°} \)
\( \cos{\frac{17\pi}{12}} = \cos(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{12}) = -\sin{\frac{\pi}{12}} \)
Bu iki oranı kullanarak diğer 4 fonksiyon için de benzer formülleri yazabiliriz.
\( \tan(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \dfrac{\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}{\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)} \) \( = \cot{\alpha} \)
\( \cot(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \dfrac{\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}{\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)} \) \( = \tan{\alpha} \)
\( \sec(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \dfrac{1}{\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)} \) \( = -\csc{\alpha} \)
\( \csc(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \dfrac{1}{\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)} \) \( = -\sec{\alpha} \)
\( \alpha \) bir dar açı olmak üzere, III. bölgedeki \( \frac{3\pi}{2} + \alpha \) açısı için sinüs ve kosinüs değerlerini bu açının I. bölgede \( x \) eksenine göre simetriği olan noktanın sinüs ve kosinüs değerleri cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos{\alpha} \)
\( \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin{\alpha} \)
\( \sin{305°} = \sin(270° + 35°) = -\cos{35°} \)
\( \cos{\frac{5\pi}{3}} = \cos(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6}) = \sin{\frac{\pi}{6}} \)
Bu iki oranı kullanarak diğer 4 fonksiyon için de benzer formülleri yazabiliriz.
\( \tan(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \dfrac{\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}{\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)} \) \( = -\cot{\alpha} \)
\( \cot(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \dfrac{\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}{\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)} \) \( = -\tan{\alpha} \)
\( \sec(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \dfrac{1}{\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)} \) \( = \csc{\alpha} \)
\( \csc(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \dfrac{1}{\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)} \) \( = -\sec{\alpha} \)
Birbirini belirli bir açıya tamamlayan açılar arasında aşağıdaki özdeşlikleri yazabiliriz.
Birbirini 90°'ye tamamlayan (tümler) açılar arasında aşağıdaki dönüşümler geçerlidir.
\( \alpha + \beta =\dfrac{\pi}{2} \) olmak üzere,
\( \sin{\alpha} = \cos{\beta} \)
\( \tan{\alpha} = \cot{\beta} \)
\( \tan{55°} = \cot{35°} \)
Birbirini 180°'ye tamamlayan (bütünler) açılar arasında aşağıdaki dönüşümler geçerlidir.
\( \alpha + \beta = \pi \) olmak üzere,
\( \sin{\alpha} = \sin{\beta} \)
\( \cos{\alpha} = -\cos{\beta} \)
\( \tan{\alpha} = -\tan{\beta} \)
\( \cot{\alpha} = -\cot{\beta} \)
\( \cos{130°} = -\cos{50°} \)
Birbirini 360°'ye tamamlayan açılar arasında aşağıdaki dönüşümler geçerlidir.
\( \alpha + \beta = 2\pi \) olmak üzere,
\( \sin{\alpha} = -\sin{\beta} \)
\( \cos{\alpha} = \cos{\beta} \)
\( \tan{\alpha} = -\tan{\beta} \)
\( \cot{\alpha} = -\cot{\beta} \)
\( \sin{220°} = -\sin{140°} \)
Aşağıda verilen trigonometrik fonksiyonların değerini bulunuz.
(a) \( \sin{225°} \)
(b) \( \cos{210°} \)
(c) \( \cot{300°} \)
Çözümü GösterAşağıda verilen trigonometrik fonksiyonların değerini bulunuz.
(a) \( \tan{\dfrac{11\pi}{6}} \)
(b) \( \cos{\dfrac{5\pi}{4}} \)
(c) \( \sin{\dfrac{5\pi}{6}} \)
Çözümü GösterAşağıda verilen trigonometrik fonksiyonları I. bölgedeki açılar cinsinden ifade ediniz.
(a) \( \sin{318°} \)
(b) \( \cot{265°} \)
(c) \( \cos{143°} \)
Çözümü GösterAşağıda verilen trigonometrik fonksiyonları I. bölgedeki açılar cinsinden ifade ediniz.
(a) \( \tan{\dfrac{4\pi}{5}} \)
(b) \( \cos{\dfrac{17\pi}{10}} \)
(c) \( \sin{\dfrac{14\pi}{9}} \)
Çözümü GösterAşağıda verilen trigonometrik fonksiyonları I. bölgedeki açılar cinsinden ifade ediniz.
(a) \( \cos{944°} \)
(b) \( \cot{2789°} \)
(c) \( \tan{3557°} \)
Çözümü GösterAşağıda verilen trigonometrik fonksiyonları I. bölgedeki açılar cinsinden ifade ediniz.
(a) \( \tan{\dfrac{21\pi}{5}} \)
(b) \( \cos{\dfrac{39\pi}{7}} \)
(c) \( \sin{\dfrac{107\pi}{8}} \)
Çözümü Göster\( \cos{20°} = x \) ise,
\( \sin{110°} \)'nin \( x \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü Göster\( \cos{70°} = x \) ise,
\( \sin(-160°) \)'nin \( x \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü Göster\( \cos{155°} = x \) ise,
\( \cos{205°} + \sin{655°} \) ifadesinin \( x \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü Göster\( 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} \) olmak üzere,
Aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. \( \cos{(\frac{3\pi}{2} - x) = \sin(\pi - x)} \)
II. \( -\sin{(\frac{\pi}{2} + x)} = \sin{(\frac{3\pi}{2} - x)} \)
III. \( \tan{(2\pi - x)} = \cot{(\frac{\pi}{2} - x)} \)
IV. \( \sec{(\frac{3\pi}{2} + x)} = -\csc{(\pi - x)} \)
Çözümü Göster\( x + y = \dfrac{\pi}{2} \) olduğuna göre,
\( \tan(3x + 4y) \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü GösterBir \( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeninin köşelerine ait açıların ölçüleri \( a \), \( b \) ve \( c \)'dir.
\( \cos(a + c) + \cos{b} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster\( 0 \lt x \lt 2 \pi \) olmak üzere,
\( \dfrac{\cos(\frac{3\pi}{2} + x)}{\cot(x - \frac{\pi}{2})} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \) olduğuna göre,
\( x \)'in alabileceği değerler nelerdir?
Çözümü Göster\( 2x - 3y = \pi \) olmak üzere,
\( \dfrac{\sin(2x - 4y)}{\cos(4x - 5y)} \)
ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster\( \dfrac{\sin(9\pi + x)}{\cos(\frac{43\pi}{2} + x)} + \dfrac{\tan(20\pi - x)}{\cot(x - \frac{39\pi}{2})} \)
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} \) olmak üzere,
\( \tan(\frac{3\pi}{2} - x) = \dfrac{3}{4} \) eşitliği verildiğine göre,
\( \csc(\frac{\pi}{2} + x) \cdot \cot(\pi - x) \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster\( a \), \( b \), \( c \) bir üçgenin iç açılarının ölçüleri olmak üzere,
\( \sin^2(90° + \frac{a}{2}) + \cos^2(\frac{b + c}{2}) \)
ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Göster\( \dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \pi \) olmak üzere,
\( \sqrt{5} + 2\sec{x} = 0 \) olduğuna göre,
\( \dfrac{\sin{x} - \cos{x}}{\cot{x}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( \cos{\alpha} - \sin{\alpha} = 2\sqrt{3}\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) \)
olduğuna göre, \( \tan{\alpha} \) kaçtır?
Çözümü Göster\( \pi \lt \alpha \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( 1 - \sqrt{5}\cos{\alpha} = 0 \) olduğuna göre,
\( (\sqrt{5}\csc{\alpha})^{-\tan{\alpha}} - \cot{\alpha} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( x \) bir dar açıdır.
\( 5\sin^2{x} + 2\cos^2{x} = \dfrac{11}{3} \) olduğuna göre,
\( \cot{x} + \tan{x} \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( ABCD \) bir karedir.
\( \abs{AE} = 3\abs{EB} \)
\( m(\widehat{BED}) = x \)
olduğuna göre, \( \sin{x} \) kaçtır?
Çözümü Göster\( ABCD \) bir kare ve \( [BD] \) karenin bir köşegenidir.
\( \abs{DE} = 20, \abs{EB} = 4 \)
\( m(\widehat{BEC}) = x \) olduğuna göre, \( \cot{x} \) kaçtır?
Çözümü Göster