Herhangi bir açının trigonometrik değerlerini dar açıların değerleri cinsinden bulmamızı sağlayan formüllere indirgeme formülleri denir.
Birim çemberin farklı bölgelerinde trigonometrik fonksiyon değerlerinin işaretleri aşağıdaki gibi oluşur.
Bu işaretlerin nasıl belirlendiğini anlamak için önce iki konuyu hatırlayalım.
Bu doğrultuda fonksiyonların farklı bölgelerdeki işareti aşağıdaki gibi belirlenir.
Birim çember üzerinde I. bölgede bulunan bir noktanın (\( A \) noktası) \( x \) ekseni ile oluşturduğu yönlü açının trigonometrik değerlerini biliyorsak bu noktanın diğer bölgelerde simetriği olan noktaların \( x \) ekseni ile oluşturduğu yönlü açıların trigonometrik değerlerini de kolaylıkla bulabiliriz.
Buna göre, I. bölgedeki bir \( \alpha \) açısının \( x \) ekseni, \( y \) ekseni ve orijine göre simetriği olan noktaların oluşturduğu açılarının trigonometrik değerlerini her bölge için aşağıdaki formüllerle bulabiliriz.
\( A \) noktasının \( y \) eksenine göre simetriği olan \( A_2 \) noktasının \( x \) ekseni ile yaptığı yönlü açı \( (\pi - \alpha) \)'dır. Noktanın simetrisinden bu noktanın koordinatlarını \( A_2(-\cos{\alpha}, \sin{\alpha}) \) olarak buluruz.
\( \sin{(\pi - \alpha)} = \sin{\alpha} \)
\( \cos{(\pi - \alpha)} = -\cos{\alpha} \)
\( \tan{(\pi - \alpha)} = \dfrac{\sin{(\pi - \alpha)}}{\cos{(\pi - \alpha)}} = -\tan{\alpha} \)
\( \cot{(\pi - \alpha)} = \dfrac{\cos{(\pi - \alpha)}}{\sin{(\pi - \alpha)}} = -\cot{\alpha} \)
\( \sin{160°} = \sin(180° - 20°) = \sin{20°} \)
\( \tan{\frac{5\pi}{6}} = \tan(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\tan{\frac{\pi}{6}} \)
\( A \) noktasının orijine göre simetriği olan \( A_3 \) noktasının \( x \) ekseni ile yaptığı yönlü açı \( (\pi + \alpha) \)'dır. Noktanın simetrisinden bu noktanın koordinatlarını \( A_3(-\cos{\alpha}, -\sin{\alpha}) \) olarak buluruz.
\( \sin{(\pi + \alpha)} = -\sin{\alpha} \)
\( \cos{(\pi + \alpha)} = -\cos{\alpha} \)
\( \tan{(\pi + \alpha)} = \dfrac{\sin{(\pi + \alpha)}}{\cos{(\pi + \alpha)}} = \tan{\alpha} \)
\( \cot{(\pi + \alpha)} = \dfrac{\cos{(\pi + \alpha)}}{\sin{(\pi + \alpha)}} = \cot{\alpha} \)
\( \cos{220°} = \cos(180° + 40°) = -\cos{40°} \)
\( \cot{\frac{5\pi}{4}} = \cot(\pi + \frac{\pi}{4}) = \cot{\frac{\pi}{4}} \)
\( A \) noktasının \( x \) eksenine göre simetriği olan \( A_4 \) noktasının \( x \) ekseni ile yaptığı yönlü açı \( (2\pi - \alpha) \)'dır. Noktanın simetrisinden bu noktanın koordinatlarını \( A_4(\cos{\alpha}, -\sin{\alpha}) \) olarak buluruz.
\( \sin{(2\pi - \alpha)} = -\sin{\alpha} \)
\( \cos{(2\pi - \alpha)} = \cos{\alpha} \)
\( \tan{(2\pi - \alpha)} = \dfrac{\sin{(2\pi - \alpha)}}{\cos{(2\pi - \alpha)}} \) \( = -\tan{\alpha} \)
\( \cot{(2\pi - \alpha)} = \dfrac{\cos{(2\pi - \alpha)}}{\sin{(2\pi - \alpha)}} \) \( = -\cot{\alpha} \)
\( \tan{305°} = \tan(360° - 55°) = -\tan{55°} \)
\( \sin{\frac{11\pi}{6}} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{6}) = -\sin{\frac{\pi}{6}} \)
Bir açı ölçüsünden \( 2\pi \) ya da katlarını çıkarıp eklememiz açının esas ölçüsünü değiştirmeyeceği için, yukarıdaki formüllerden \( 2\pi \) çıkararak aşağıdaki şekilde yazabiliriz. Buna göre, sinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonları için bir açının negatifinin fonksiyon değeri açının kendisinin fonksiyon değerinin negatifine eşittir. Kosinüs için ise bir açının negatifinin kosinüs değeri açının kendisinin kosinüs değerine eşittir.
\( \sin(-\alpha) = -\sin{\alpha} \)
\( \cos(-\alpha) = \cos{\alpha} \)
\( \tan(-\alpha) = -\tan{\alpha} \)
\( \cot(-\alpha) = -\cot{\alpha} \)
\( \sin(-15°) = -\sin{15°} \)
\( \cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos{\frac{\pi}{3}} \)
Bu dönüşüm formüllerini yukarıdaki grafikle birlikte incelediğimizde, 180° - 360° dönüşümlerinde şu kuralların geçerli olduğunu görebiliriz.
Birim çember üzerinde I. bölgede bulunan bir noktanın (\( A \) noktası) \( y = x \) doğrusuna göre simetriği olan noktanın (\( A_1 \) noktası) koordinatlarının apsis ve ordinat değerleri aralarında yer değiştirir. Bu noktanın \( x \) ekseni ile oluşturduğu yönlü açı aynı zamanda \( A \) noktasının karşılık geldiği açının tümleyenidir. Dolayısıyla, \( A_1 \) noktasının diğer bölgelerde simetriği olan noktaların \( x \) ekseni ile oluşturduğu yönlü açıların trigonometrik değerlerini de kolaylıkla bulabiliriz.
Buna göre, I. bölgedeki bir \( \alpha \) açısının tümleyeni olan açının \( x \) ekseni, \( y \) ekseni ve orijine göre simetriği olan noktaların oluşturduğu açılarının trigonometrik değerlerini her bölge için aşağıdaki formüllerle bulabiliriz.
\( A \) noktasının \( y = x \) doğrusuna göre simetriği olan \( A_1 \) noktasının \( x \) ekseni ile yaptığı yönlü açı \( (\frac{\pi}{2} - \alpha) \)'dır. Noktanın simetrisinden bu noktanın koordinatlarını \( A_1(\sin{\alpha}, \cos{\alpha}) \) olarak buluruz.
\( \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos{\alpha} \)
\( \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin{\alpha} \)
\( \tan(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \dfrac{\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)}{\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)} = \cot{\alpha} \)
\( \cot(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \dfrac{\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)} = \tan{\alpha} \)
\( \sin{75°} = \sin(90° - 15°) = \cos{15°} \)
\( \tan{\frac{\pi}{6}} = \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) = \cot{\frac{\pi}{3}} \)
\( A_1 \) noktasının \( y \) eksenine göre simetriği olan \( A_2 \) noktasının \( x \) ekseni ile yaptığı yönlü açı \( (\frac{\pi}{2} + \alpha) \)'dır. Noktanın simetrisinden bu noktanın koordinatlarını \( A_2(-\sin{\alpha}, \cos{\alpha}) \) olarak buluruz.
\( \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos{\alpha} \)
\( \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin{\alpha} \)
\( \tan(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \dfrac{\sin \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right)}{\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)} \) \( = -\cot{\alpha} \)
\( \cot(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \dfrac{\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)} \) \( = -\tan{\alpha} \)
\( \cot{125°} = \cot(90° + 35°) = -\tan{35°} \)
\( \sin{\frac{3\pi}{4}} = \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}) = \cos{\frac{\pi}{4}} \)
\( A_1 \) noktasının orijine göre simetriği olan \( A_3 \) noktasının \( x \) ekseni ile yaptığı yönlü açı \( (\frac{3\pi}{2} - \alpha) \)'dır. Noktanın simetrisinden bu noktanın koordinatlarını \( A_3(-\sin{\alpha}, -\cos{\alpha}) \) olarak buluruz.
\( \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos{\alpha} \)
\( \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin{\alpha} \)
\( \tan(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \dfrac{\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}{\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)} \) \( = \cot{\alpha} \)
\( \cot(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \dfrac{\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}{\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)} \) \( = \tan{\alpha} \)
\( \cos{220°} = \cos(270° - 50°) = -\sin{50°} \)
\( \tan{\frac{17\pi}{12}} = \tan(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{12}) = \cot{\frac{\pi}{12}} \)
\( A_1 \) noktasının \( x \) eksenine göre simetriği olan \( A_4 \) noktasının \( x \) ekseni ile yaptığı yönlü açı \( (\frac{3\pi}{2} + \alpha) \)'dır. Noktanın simetrisinden bu noktanın koordinatlarını \( A_4(\sin{\alpha}, -\cos{\alpha}) \) olarak buluruz.
\( \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos{\alpha} \)
\( \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin{\alpha} \)
\( \tan(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \dfrac{\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}{\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)} \) \( = -\cot{\alpha} \)
\( \cot(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \dfrac{\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}{\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)} \) \( = -\tan{\alpha} \)
\( \sin{305°} = \sin(270° + 35°) = -\cos{35°} \)
\( \cot{\frac{5\pi}{3}} = \cot(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6}) = -\tan{\frac{\pi}{6}} \)
Bu dönüşüm formüllerini yukarıdaki grafikle birlikte incelediğimizde, 90° - 270° dönüşümlerinde şu kuralların geçerli olduğunu görebiliriz.
Yukarıdaki dönüşüm formüllerini aşağıdaki şekilde de yazabiliriz.
Birbirini 90°'ye tamamlayan (tümler) açılar arasında aşağıdaki dönüşümler geçerlidir.
\( \alpha + \beta =\dfrac{\pi}{2} \) olmak üzere,
\( \sin{\alpha} = \cos{\beta} \)
\( \tan{\alpha} = \cot{\beta} \)
\( \tan{55°} = \cot{35°} \)
Birbirini 180°'ye tamamlayan (bütünler) açılar arasında aşağıdaki dönüşümler geçerlidir.
\( \alpha + \beta = \pi \) olmak üzere,
\( \sin{\alpha} = \sin{\beta} \)
\( \cos{\alpha} = -\cos{\beta} \)
\( \tan{\alpha} = -\tan{\beta} \)
\( \cot{\alpha} = -\cot{\beta} \)
\( \cos{130°} = -\cos{50°} \)
Birbirini 360°'ye tamamlayan açılar arasında aşağıdaki dönüşümler geçerlidir.
\( \alpha + \beta = 2\pi \) olmak üzere,
\( \sin{\alpha} = -\sin{\beta} \)
\( \cos{\alpha} = \cos{\beta} \)
\( \tan{\alpha} = -\tan{\beta} \)
\( \cot{\alpha} = -\cot{\beta} \)
\( \sin{220°} = -\sin{140°} \)
\( \cos{20°} = x \) ise,
\( \sin{110°} \)'nin \( x \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü Göster
\( \cos{70°} = x \) ise \( \sin(-160°) \)'nin \( x \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü Göster
\( \cos{155°} = x \) ise,
\( \cos{205°} + \sin{655°} \) ifadesinin \( x \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü Göster
\( x + y = \dfrac{\pi}{2} \) olduğuna göre,
\( \tan(3x + 4y) \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster
\( 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} \) olmak üzere,
\( \tan(\frac{3\pi}{2} - x) = \dfrac{3}{4} \) eşitliği verildiğine göre,
\( \csc(\frac{\pi}{2} + x) \cdot \cot(\pi - x) \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
\( 0 \lt x \lt 2 \pi \) olmak üzere,
\( \dfrac{\cos(\frac{3\pi}{2} + x)}{\cot(x - \frac{\pi}{2})} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \) olduğuna göre,
\( x \)'in alabileceği değerler nelerdir?
Çözümü Göster