Bölgeler Arası Dönüşümler
Herhangi bir açının trigonometrik değerlerini dar açıların değerleri cinsinden bulmamızı sağlayan formüllere indirgeme formülleri denir.
Birim Çemberde Bölgeler
Birim çemberin farklı bölgelerinde trigonometrik fonksiyon değerlerinin işaretleri aşağıdaki gibi oluşur.
Bu işaretlerin nasıl belirlendiğini anlamak için önce iki konuyu hatırlayalım.
- Analitik geometride gördüğümüz gibi, bir noktanın apsisi I. ve IV. bölgelerde pozitif, II. ve III. bölgelerde negatiftir. Bir noktanın ordinatı da I. ve II. bölgelerde pozitif, III. ve IV. bölgelerde negatiftir.
- Birim çember üzerindeki bir noktanın apsisi o noktanın karşılık geldiği açının kosinüs değerine, ordinatı da aynı açının sinüs değerine eşittir.
Bu doğrultuda fonksiyonların farklı bölgelerdeki işareti aşağıdaki gibi belirlenir.
- Sinüs: Analitik düzlemde ordinat değerlerinin o bölgedeki işareti ile aynıdır.
- Kosinüs: Analitik düzlemde apsis değerlerinin o bölgedeki işareti ile aynıdır.
- Tanjant ve kotanjant: Tanjant ve kotanjant fonksiyonları sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının oranı şeklinde yazılabildiği için işaretleri de bu oranın o bölgedeki işareti ile aynıdır.
- Sekant: Sekant fonksiyonu kosinüs fonksiyonunun çarpmaya göre tersi olduğu için işareti kosinüsün o bölgedeki işareti ile aynıdır.
- Kosekant: Kosekant fonksiyonu sinüs fonksiyonunun çarpmaya göre tersi olduğu için işareti sinüsün o bölgedeki işareti ile aynıdır.
180° - 360° Dönüşümleri
Birim çember üzerinde I. bölgede bulunan bir noktanın (\( A \) noktası) \( x \) ekseni ile oluşturduğu yönlü açının trigonometrik değerlerini biliyorsak bu noktanın diğer bölgelerde simetriği olan noktaların \( x \) ekseni ile oluşturduğu yönlü açıların trigonometrik değerlerini de kolaylıkla bulabiliriz.
Buna göre, I. bölgedeki bir \( \alpha \) açısının \( x \) ekseni, \( y \) ekseni ve orijine göre simetriği olan noktaların oluşturduğu açılarının trigonometrik değerlerini her bölge için aşağıdaki formüllerle bulabiliriz.
II. Bölge Dönüşümleri
\( A \) noktasının \( y \) eksenine göre simetriği olan \( A_2 \) noktasının \( x \) ekseni ile yaptığı yönlü açı \( (\pi - \alpha) \)'dır. Noktanın simetrisinden bu noktanın koordinatlarını \( A_2(-\cos{\alpha}, \sin{\alpha}) \) olarak buluruz.
\( \sin{(\pi - \alpha)} = \sin{\alpha} \)
\( \cos{(\pi - \alpha)} = -\cos{\alpha} \)
\( \tan{(\pi - \alpha)} = \dfrac{\sin{(\pi - \alpha)}}{\cos{(\pi - \alpha)}} = -\tan{\alpha} \)
\( \cot{(\pi - \alpha)} = \dfrac{\cos{(\pi - \alpha)}}{\sin{(\pi - \alpha)}} = -\cot{\alpha} \)
\( \sin{160°} = \sin(180° - 20°) = \sin{20°} \)
\( \tan{\frac{5\pi}{6}} = \tan(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\tan{\frac{\pi}{6}} \)
III. Bölge Dönüşümleri
\( A \) noktasının orijine göre simetriği olan \( A_3 \) noktasının \( x \) ekseni ile yaptığı yönlü açı \( (\pi + \alpha) \)'dır. Noktanın simetrisinden bu noktanın koordinatlarını \( A_3(-\cos{\alpha}, -\sin{\alpha}) \) olarak buluruz.
\( \sin{(\pi + \alpha)} = -\sin{\alpha} \)
\( \cos{(\pi + \alpha)} = -\cos{\alpha} \)
\( \tan{(\pi + \alpha)} = \dfrac{\sin{(\pi + \alpha)}}{\cos{(\pi + \alpha)}} = \tan{\alpha} \)
\( \cot{(\pi + \alpha)} = \dfrac{\cos{(\pi + \alpha)}}{\sin{(\pi + \alpha)}} = \cot{\alpha} \)
\( \cos{220°} = \cos(180° + 40°) = -\cos{40°} \)
\( \cot{\frac{5\pi}{4}} = \cot(\pi + \frac{\pi}{4}) = \cot{\frac{\pi}{4}} \)
IV. Bölge Dönüşümleri
\( A \) noktasının \( x \) eksenine göre simetriği olan \( A_4 \) noktasının \( x \) ekseni ile yaptığı yönlü açı \( (2\pi - \alpha) \)'dır. Noktanın simetrisinden bu noktanın koordinatlarını \( A_4(\cos{\alpha}, -\sin{\alpha}) \) olarak buluruz.
\( \sin{(2\pi - \alpha)} = -\sin{\alpha} \)
\( \cos{(2\pi - \alpha)} = \cos{\alpha} \)
\( \tan{(2\pi - \alpha)} = \dfrac{\sin{(2\pi - \alpha)}}{\cos{(2\pi - \alpha)}} \) \( = -\tan{\alpha} \)
\( \cot{(2\pi - \alpha)} = \dfrac{\cos{(2\pi - \alpha)}}{\sin{(2\pi - \alpha)}} \) \( = -\cot{\alpha} \)
\( \tan{305°} = \tan(360° - 55°) = -\tan{55°} \)
\( \sin{\frac{11\pi}{6}} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{6}) = -\sin{\frac{\pi}{6}} \)
Bir açı ölçüsünden \( 2\pi \) ya da katlarını çıkarıp eklememiz açının esas ölçüsünü değiştirmeyeceği için, yukarıdaki formüllerden \( 2\pi \) çıkararak aşağıdaki şekilde yazabiliriz. Buna göre, sinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonları için bir açının negatifinin fonksiyon değeri açının kendisinin fonksiyon değerinin negatifine eşittir. Kosinüs için ise bir açının negatifinin kosinüs değeri açının kendisinin kosinüs değerine eşittir.
\( \sin(-\alpha) = -\sin{\alpha} \)
\( \cos(-\alpha) = \cos{\alpha} \)
\( \tan(-\alpha) = -\tan{\alpha} \)
\( \cot(-\alpha) = -\cot{\alpha} \)
\( \sin(-15°) = -\sin{15°} \)
\( \cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos{\frac{\pi}{3}} \)
Bu dönüşüm formüllerini yukarıdaki grafikle birlikte incelediğimizde, 180° - 360° dönüşümlerinde şu kuralların geçerli olduğunu görebiliriz.
- Trigonometrik fonksiyon değişmez.
- Fonksiyonun ilgili bölgedeki +/- işareti ifadenin başına eklenir.
90° - 270° Dönüşümleri
Birim çember üzerinde I. bölgede bulunan bir noktanın (\( A \) noktası) \( y = x \) doğrusuna göre simetriği olan noktanın (\( A_1 \) noktası) koordinatlarının apsis ve ordinat değerleri aralarında yer değiştirir. Bu noktanın \( x \) ekseni ile oluşturduğu yönlü açı aynı zamanda \( A \) noktasının karşılık geldiği açının tümleyenidir. Dolayısıyla, \( A_1 \) noktasının diğer bölgelerde simetriği olan noktaların \( x \) ekseni ile oluşturduğu yönlü açıların trigonometrik değerlerini de kolaylıkla bulabiliriz.
Buna göre, I. bölgedeki bir \( \alpha \) açısının tümleyeni olan açının \( x \) ekseni, \( y \) ekseni ve orijine göre simetriği olan noktaların oluşturduğu açılarının trigonometrik değerlerini her bölge için aşağıdaki formüllerle bulabiliriz.
I. Bölge Dönüşümleri
\( A \) noktasının \( y = x \) doğrusuna göre simetriği olan \( A_1 \) noktasının \( x \) ekseni ile yaptığı yönlü açı \( (\frac{\pi}{2} - \alpha) \)'dır. Noktanın simetrisinden bu noktanın koordinatlarını \( A_1(\sin{\alpha}, \cos{\alpha}) \) olarak buluruz.
\( \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos{\alpha} \)
\( \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin{\alpha} \)
\( \tan(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \dfrac{\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)}{\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)} = \cot{\alpha} \)
\( \cot(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \dfrac{\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)} = \tan{\alpha} \)
\( \sin{75°} = \sin(90° - 15°) = \cos{15°} \)
\( \tan{\frac{\pi}{6}} = \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) = \cot{\frac{\pi}{3}} \)
II. Bölge Dönüşümleri
\( A_1 \) noktasının \( y \) eksenine göre simetriği olan \( A_2 \) noktasının \( x \) ekseni ile yaptığı yönlü açı \( (\frac{\pi}{2} + \alpha) \)'dır. Noktanın simetrisinden bu noktanın koordinatlarını \( A_2(-\sin{\alpha}, \cos{\alpha}) \) olarak buluruz.
\( \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos{\alpha} \)
\( \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin{\alpha} \)
\( \tan(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \dfrac{\sin \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right)}{\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)} \) \( = -\cot{\alpha} \)
\( \cot(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \dfrac{\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)} \) \( = -\tan{\alpha} \)
\( \cot{125°} = \cot(90° + 35°) = -\tan{35°} \)
\( \sin{\frac{3\pi}{4}} = \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}) = \cos{\frac{\pi}{4}} \)
III. Bölge Dönüşümleri
\( A_1 \) noktasının orijine göre simetriği olan \( A_3 \) noktasının \( x \) ekseni ile yaptığı yönlü açı \( (\frac{3\pi}{2} - \alpha) \)'dır. Noktanın simetrisinden bu noktanın koordinatlarını \( A_3(-\sin{\alpha}, -\cos{\alpha}) \) olarak buluruz.
\( \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos{\alpha} \)
\( \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin{\alpha} \)
\( \tan(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \dfrac{\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}{\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)} \) \( = \cot{\alpha} \)
\( \cot(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \dfrac{\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}{\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)} \) \( = \tan{\alpha} \)
\( \cos{220°} = \cos(270° - 50°) = -\sin{50°} \)
\( \tan{\frac{17\pi}{12}} = \tan(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{12}) = \cot{\frac{\pi}{12}} \)
IV. Bölge Dönüşümleri
\( A_1 \) noktasının \( x \) eksenine göre simetriği olan \( A_4 \) noktasının \( x \) ekseni ile yaptığı yönlü açı \( (\frac{3\pi}{2} + \alpha) \)'dır. Noktanın simetrisinden bu noktanın koordinatlarını \( A_4(\sin{\alpha}, -\cos{\alpha}) \) olarak buluruz.
\( \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos{\alpha} \)
\( \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin{\alpha} \)
\( \tan(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \dfrac{\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}{\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)} \) \( = -\cot{\alpha} \)
\( \cot(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \dfrac{\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}{\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)} \) \( = -\tan{\alpha} \)
\( \sin{305°} = \sin(270° + 35°) = -\cos{35°} \)
\( \cot{\frac{5\pi}{3}} = \cot(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6}) = -\tan{\frac{\pi}{6}} \)
Bu dönüşüm formüllerini yukarıdaki grafikle birlikte incelediğimizde, 90° - 270° dönüşümlerinde şu kuralların geçerli olduğunu görebiliriz.
- Trigonometrik fonksiyon sin - cos kendi aralarında, tan - cot kendi aralarında olacak şekilde değişir.
- İlk fonksiyonun (birinci maddede değiştiği fonksiyonun değil) ilgili bölgedeki +/- işareti ifadenin başına eklenir.
Birbirini Tamamlayan Açılar Arası Dönüşümler
Yukarıdaki dönüşüm formüllerini aşağıdaki şekilde de yazabiliriz.
Birbirini 90°'ye Tamamlayan Açılar
Birbirini 90°'ye tamamlayan (tümler) açılar arasında aşağıdaki dönüşümler geçerlidir.
\( \alpha + \beta =\dfrac{\pi}{2} \) olmak üzere,
\( \sin{\alpha} = \cos{\beta} \)
\( \tan{\alpha} = \cot{\beta} \)
\( \tan{55°} = \cot{35°} \)
Birbirini 180°'ye Tamamlayan Açılar
Birbirini 180°'ye tamamlayan (bütünler) açılar arasında aşağıdaki dönüşümler geçerlidir.
\( \alpha + \beta = \pi \) olmak üzere,
\( \sin{\alpha} = \sin{\beta} \)
\( \cos{\alpha} = -\cos{\beta} \)
\( \tan{\alpha} = -\tan{\beta} \)
\( \cot{\alpha} = -\cot{\beta} \)
\( \cos{130°} = -\cos{50°} \)
Birbirini 360°'ye Tamamlayan Açılar
Birbirini 360°'ye tamamlayan açılar arasında aşağıdaki dönüşümler geçerlidir.
\( \alpha + \beta = 2\pi \) olmak üzere,
\( \sin{\alpha} = -\sin{\beta} \)
\( \cos{\alpha} = \cos{\beta} \)
\( \tan{\alpha} = -\tan{\beta} \)
\( \cot{\alpha} = -\cot{\beta} \)
\( \sin{220°} = -\sin{140°} \)
\( \cos{20°} = x \) ise,
\( \sin{110°} \)'nin \( x \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü Göster
\( \cos{70°} = x \) ise \( \sin(-160°) \)'nin \( x \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü Göster
\( \cos{155°} = x \) ise,
\( \cos{205°} + \sin{655°} \) ifadesinin \( x \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü Göster
\( x + y = \dfrac{\pi}{2} \) olduğuna göre,
\( \tan(3x + 4y) \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster
\( 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} \) olmak üzere,
\( \tan(\frac{3\pi}{2} - x) = \dfrac{3}{4} \) eşitliği verildiğine göre,
\( \csc(\frac{\pi}{2} + x) \cdot \cot(\pi - x) \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
\( 0 \lt x \lt 2 \pi \) olmak üzere,
\( \dfrac{\cos(\frac{3\pi}{2} + x)}{\cot(x - \frac{\pi}{2})} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \) olduğuna göre,
\( x \)'in alabileceği değerler nelerdir?
Çözümü Göster