Bölgeler Arası Dönüşümler

II., III. ya da IV. bölgedeki bir açının trigonometrik değerlerini I. bölgedeki, yani dar bir açı cinsinden bulmamızı sağlayan formüllere indirgeme formülleri denir.

Bölgeler ve İşaretler

Önceki bölümde birim çember üzerindeki bir \( A \) noktasının apsisinin o noktanın karşılık geldiği \( \alpha \) açısının kosinüs değerine, ordinatının da aynı açının sinüs değerine eşit olduğunu gördük.

Birim çember üzerindeki noktanın koordinatları
Birim çember üzerindeki noktanın koordinatları

Buna göre analitik düzlemin farklı bölgelerindeki noktaların apsis ve ordinat değerlerinin işareti, o bölgelerdeki açıların sinüs ve kosinüs değerlerinin işaretini de belirler. Apsis değerlerinin I. ve IV. bölgelerde pozitif, II. ve III. bölgelerde negatif, ordinat değerlerinin de I. ve II. bölgelerde pozitif, III. ve IV. bölgelerde negatif olduğunu düşünürsek sinüs ve kosinüs değerlerinin farklı bölgelerdeki işareti aşağıdaki gibi olur.

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının işareti
Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının işareti

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının işaretlerini kullanarak diğer 4 trigonometrik fonksiyonun farklı bölgelerdeki işaretlerini aşağıdaki şekilde belirleyebiliriz.

  • Tanjant ve kotanjant fonksiyonları sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının oranı şeklinde yazılabildiği için işaretleri bu fonksiyonların her bölgedeki oranının işareti ile aynıdır.
  • Sekant ve kosekant fonksiyonları sırasıyla kosinüs ve sinüs fonksiyonlarının çarpmaya göre tersi olduğu için işaretleri bu fonksiyonların her bölgedeki işareti ile aynıdır.

Buna göre 6 trigonometrik fonksiyonun analitik düzlemin 4 bölgesindeki işaretleri aşağıdaki şekilde özetlenebilir.

Trigonometrik fonksiyonların işareti
Trigonometrik fonksiyonların işareti

Fonksiyonların farklı bölgelerdeki işaretlerini inceledikten sonra şimdi II., III. ve IV. bölgedeki açıların trigonometrik değerlerini I. bölgedeki bir açı cinsinden nasıl ifade edebileceğimizi görelim.

\( \pi \pm \alpha \) ve \( 2\pi - \alpha \) Formülleri

\( \alpha \) bir dar açı olmak üzere, dar olmayan bir açıyı \( \pi \pm \alpha \) ya da \( 2\pi - \alpha \) şeklinde yazarak bu açının trigonometrik değerlerini \( \alpha \) açısı cinsinden ifade edebiliriz. Bu yöntemde;

  • Trigonometrik fonksiyon aynı kalır.
  • Fonksiyonun açının bulunduğu bölgedeki işareti ifadenin önüne eklenir.

Şimdi bu formüllerin farklı bölgelerdeki noktaların eksenlere ve orijine göre simetri özelliklerini kullanarak nasıl türetildiğini inceleyelim.

II. Bölgeki Açılar

\( \alpha \) bir dar açı olmak üzere, II. bölgedeki \( \pi - \alpha \) açısı için sinüs ve kosinüs değerlerini bu açının I. bölgede \( y \) eksenine göre simetriği olan noktanın sinüs ve kosinüs değerleri cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

II. bölge dönüşümleri
II. bölge dönüşümleri

Bu iki oranı kullanarak diğer 4 fonksiyon için de benzer formülleri yazabiliriz.

III. Bölgeki Açılar

\( \alpha \) bir dar açı olmak üzere, III. bölgedeki \( \pi + \alpha \) açısı için sinüs ve kosinüs değerlerini bu açının I. bölgede orijine göre simetriği olan noktanın sinüs ve kosinüs değerleri cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

III. bölge dönüşümleri
III. bölge dönüşümleri

Bu iki oranı kullanarak diğer 4 fonksiyon için de benzer formülleri yazabiliriz.

IV. Bölgeki Açılar

\( \alpha \) bir dar açı olmak üzere, IV. bölgedeki \( 2\pi - \alpha \) açısı için sinüs ve kosinüs değerlerini bu açının I. bölgede \( x \) eksenine göre simetriği olan noktanın sinüs ve kosinüs değerleri cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

IV. bölge dönüşümleri
IV. bölge dönüşümleri

Bu iki oranı kullanarak diğer 4 fonksiyon için de benzer formülleri yazabiliriz.

\( \frac{\pi}{2} \pm \alpha \) ve \( \frac{3\pi}{2} \pm \alpha \) Formülleri

\( \alpha \) bir dar açı olmak üzere, dar olmayan bir açıyı \( \frac{\pi}{2} + \alpha \) ya da \( \frac{3\pi}{2} \pm \alpha \) şeklinde yazarak bu açının trigonometrik değerlerini \( \alpha \) açısı cinsinden ifade edebiliriz. Bu yöntemde;

  • Trigonometrik fonksiyon sin - cos, tan - cot ve sec - csc olacak şekilde kendi aralarında yer değiştirir.
  • Orijinal fonksiyonun (ilk maddede değiştirildiği fonksiyon değil) açının bulunduğu bölgedeki işareti ifadenin önüne eklenir.

Şimdi bu formüllerin farklı bölgelerdeki noktaların eksenlere ve orijine göre simetri özelliklerini kullanarak nasıl türetildiğini inceleyelim.

I. Bölge Dönüşümleri

\( A \) noktasının \( y = x \) doğrusuna göre simetriği olan \( A_1 \) noktasının \( x \) ekseni ile yaptığı yönlü açı \( \frac{\pi}{2} - \alpha \) olur. Noktanın \( y = x \) doğrusuna göre simetrisinden bu noktanın koordinatları \( A_1(\sin{\alpha}, \cos{\alpha}) \) olur.

I. bölge dönüşümleri
I. bölge dönüşümleri

Bu iki oranı kullanarak diğer 4 fonksiyon için de benzer formülleri yazabiliriz.

II. Bölge Dönüşümleri

\( \alpha \) bir dar açı olmak üzere, II. bölgedeki \( \frac{\pi}{2} + \alpha \) açısı için sinüs ve kosinüs değerlerini bu açının I. bölgede \( y \) eksenine göre simetriği olan noktanın sinüs ve kosinüs değerleri cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

II. bölge dönüşümleri
II. bölge dönüşümleri

Bu iki oranı kullanarak diğer 4 fonksiyon için de benzer formülleri yazabiliriz.

III. Bölge Dönüşümleri

\( \alpha \) bir dar açı olmak üzere, III. bölgedeki \( \frac{3\pi}{2} - \alpha \) açısı için sinüs ve kosinüs değerlerini bu açının I. bölgede orijine göre simetriği olan noktanın sinüs ve kosinüs değerleri cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

III. bölge dönüşümleri
III. bölge dönüşümleri

Bu iki oranı kullanarak diğer 4 fonksiyon için de benzer formülleri yazabiliriz.

IV. Bölge Dönüşümleri

\( \alpha \) bir dar açı olmak üzere, III. bölgedeki \( \frac{3\pi}{2} + \alpha \) açısı için sinüs ve kosinüs değerlerini bu açının I. bölgede \( x \) eksenine göre simetriği olan noktanın sinüs ve kosinüs değerleri cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

IV. bölge dönüşümleri
IV. bölge dönüşümleri

Bu iki oranı kullanarak diğer 4 fonksiyon için de benzer formülleri yazabiliriz.

Birbirini Tamamlayan Açılar

Birbirini belirli bir açıya tamamlayan açılar arasında aşağıdaki özdeşlikleri yazabiliriz.

Birbirini 90°'ye Tamamlayan Açılar

Birbirini 90°'ye tamamlayan (tümler) açılar arasında aşağıdaki dönüşümler geçerlidir.

Birbirini 180°'ye Tamamlayan Açılar

Birbirini 180°'ye tamamlayan (bütünler) açılar arasında aşağıdaki dönüşümler geçerlidir.

Birbirini 360°'ye Tamamlayan Açılar

Birbirini 360°'ye tamamlayan açılar arasında aşağıdaki dönüşümler geçerlidir.

SORU 1:

Aşağıda verilen trigonometrik fonksiyonların değerini bulunuz.

(a) \( \sin{225°} \)

(b) \( \cos{210°} \)

(c) \( \cot{300°} \)

Çözümü Göster
SORU 2:

Aşağıda verilen trigonometrik fonksiyonların değerini bulunuz.

(a) \( \tan{\dfrac{11\pi}{6}} \)

(b) \( \cos{\dfrac{5\pi}{4}} \)

(c) \( \sin{\dfrac{5\pi}{6}} \)

Çözümü Göster
SORU 3:

Aşağıda verilen trigonometrik fonksiyonları I. bölgedeki açılar cinsinden ifade ediniz.

(a) \( \sin{318°} \)

(b) \( \cot{265°} \)

(c) \( \cos{143°} \)

Çözümü Göster
SORU 4:

Aşağıda verilen trigonometrik fonksiyonları I. bölgedeki açılar cinsinden ifade ediniz.

(a) \( \tan{\dfrac{4\pi}{5}} \)

(b) \( \cos{\dfrac{17\pi}{10}} \)

(c) \( \sin{\dfrac{14\pi}{9}} \)

Çözümü Göster
SORU 5:

Aşağıda verilen trigonometrik fonksiyonları I. bölgedeki açılar cinsinden ifade ediniz.

(a) \( \cos{944°} \)

(b) \( \cot{2789°} \)

(c) \( \tan{3557°} \)

Çözümü Göster
SORU 6:

Aşağıda verilen trigonometrik fonksiyonları I. bölgedeki açılar cinsinden ifade ediniz.

(a) \( \tan{\dfrac{21\pi}{5}} \)

(b) \( \cos{\dfrac{39\pi}{7}} \)

(c) \( \sin{\dfrac{107\pi}{8}} \)

Çözümü Göster
SORU 7:

\( \cos{20°} = x \) ise,

\( \sin{110°} \)'nin \( x \) cinsinden değeri nedir?

Çözümü Göster
SORU 8:

\( \cos{70°} = x \) ise,

\( \sin(-160°) \)'nin \( x \) cinsinden değeri nedir?

Çözümü Göster
SORU 9:

\( \cos{155°} = x \) ise,

\( \cos{205°} + \sin{655°} \) ifadesinin \( x \) cinsinden değeri nedir?

Çözümü Göster
SORU 10:

\( 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} \) olmak üzere,

Aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?

I. \( \cos{(\frac{3\pi}{2} - x) = \sin(\pi - x)} \)

II. \( -\sin{(\frac{\pi}{2} + x)} = \sin{(\frac{3\pi}{2} - x)} \)

III. \( \tan{(2\pi - x)} = \cot{(\frac{\pi}{2} - x)} \)

IV. \( \sec{(\frac{3\pi}{2} + x)} = -\csc{(\pi - x)} \)

Çözümü Göster
SORU 11:

\( x + y = \dfrac{\pi}{2} \) olduğuna göre,

\( \tan(3x + 4y) \) ifadesinin en sade hali nedir?

Çözümü Göster
SORU 12:

Bir \( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeninin köşelerine ait açıların ölçüleri \( a \), \( b \) ve \( c \)'dir.

\( \cos(a + c) + \cos{b} \) ifadesinin eşiti nedir?

Çözümü Göster
SORU 13:

\( 0 \lt x \lt 2 \pi \) olmak üzere,

\( \dfrac{\cos(\frac{3\pi}{2} + x)}{\cot(x - \frac{\pi}{2})} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \) olduğuna göre,

\( x \)'in alabileceği değerler nelerdir?

Çözümü Göster
SORU 14:

\( 2x - 3y = \pi \) olmak üzere,

\( \dfrac{\sin(2x - 4y)}{\cos(4x - 5y)} \)

ifadesinin eşiti nedir?

Çözümü Göster
SORU 15:

\( \dfrac{\sin(9\pi + x)}{\cos(\frac{43\pi}{2} + x)} + \dfrac{\tan(20\pi - x)}{\cot(x - \frac{39\pi}{2})} \)

işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 16:

\( 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} \) olmak üzere,

\( \tan(\frac{3\pi}{2} - x) = \dfrac{3}{4} \) eşitliği verildiğine göre,

\( \csc(\frac{\pi}{2} + x) \cdot \cot(\pi - x) \) ifadesinin eşiti nedir?

Çözümü Göster
SORU 17:

\( a \), \( b \), \( c \) bir üçgenin iç açılarının ölçüleri olmak üzere,

\( \sin^2(90° + \frac{a}{2}) + \cos^2(\frac{b + c}{2}) \)

ifadesinin en sade halini bulunuz.

Çözümü Göster
SORU 18:

\( \dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \pi \) olmak üzere,

\( \sqrt{5} + 2\sec{x} = 0 \) olduğuna göre,

\( \dfrac{\sin{x} - \cos{x}}{\cot{x}} \) ifadesinin değeri kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 19:

\( \cos{\alpha} - \sin{\alpha} = 2\sqrt{3}\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) \)

olduğuna göre, \( \tan{\alpha} \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 20:

\( \pi \lt \alpha \lt 2\pi \) olmak üzere,

\( 1 - \sqrt{5}\cos{\alpha} = 0 \) olduğuna göre,

\( (\sqrt{5}\csc{\alpha})^{-\tan{\alpha}} - \cot{\alpha} \) ifadesinin değeri kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 21:

\( x \) bir dar açıdır.

\( 5\sin^2{x} + 2\cos^2{x} = \dfrac{11}{3} \) olduğuna göre,

\( \cot{x} + \tan{x} \) toplamı kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 22:
Soru

\( ABCD \) bir karedir.

\( \abs{AE} = 3\abs{EB} \)

\( m(\widehat{BED}) = x \)

olduğuna göre, \( \sin{x} \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 23:
Soru

\( ABCD \) bir kare ve \( [BD] \) karenin bir köşegenidir.

\( \abs{DE} = 20, \abs{EB} = 4 \)

\( m(\widehat{BEC}) = x \) olduğuna göre, \( \cot{x} \) kaçtır?

Çözümü Göster

« Önceki
Birim Çember
Sonraki »
Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır