Birim Çember
Analitik düzlemde merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember denir. \( O(0, 0) \) merkezli birim çember eksenleri \( A(1, 0) \), \( B(0, 1) \), \( C(-1, 0) \) ve \( D(0, -1) \) noktalarında keser.
Birim çemberin denklemi merkezi orijin ve yarıçapı 1 br olan çember denklemidir.
\( x^2 + y^2 = 1 \)
Birim çemberin trigonometride önemli bir yerinin olmasının bazı sebepleri şunlardır:
- Açıların başlangıç kenarını sabitleyerek (aşağıdaki şekilde \( [OA \) ışını), tüm açıları ve trigonometrik değerlerini standart bir şekilde inceleyebilmemizi ve karşılaştırabilmemizi sağlar.
- Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları üzerinden trigonometrik fonksiyonların değerlerini belirleyebilmemizi sağlar.
- Birim çemberi kullanarak geniş açıların trigonometrik değerlerini dar açıların değerleri cinsinden ifade edebiliriz.
- Kullandığımız pek çok trigonometrik özdeşliği birim çember üzerinde geometrik olarak türetebiliriz.
Sinüs ve Kosinüs Değerleri
Birim çember üzerinde seçilen bir \( E \) noktasına orijinden çizilen \( [OE \) ışınının \( x \) ekseni ile yaptığı pozitif yönlü açıya \(\alpha \) dersek, \( E \) noktasının koordinatlarını \( \alpha \) açısı cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
Birim çember üzerindeki bir \( E \) noktasının apsis ve ordinat değerleri \( \abs{OF} \) ve \( \abs{FE} \) olmak üzere,
\( \cos{\alpha} = \dfrac{\abs{OF}}{\abs{OE}} = \dfrac{\abs{OF}}{1} \) \( \Longrightarrow \abs{OF} = \cos{\alpha} \)
\( \sin{\alpha} = \dfrac{\abs{FE}}{\abs{OE}} = \dfrac{\abs{FE}}{1} \) \( \Longrightarrow \abs{FE} = \sin{\alpha} \)
Buna göre, \( E \) noktasının koordinatları \( E(\cos{\alpha}, \sin{\alpha}) \) olur.
Birim çemberin eksenleri kestiği noktaların koordinatlarını sinüs ve kosinüs değerleri cinsinden yazarak bu formülü doğrulayalım:
\( A(\cos{0°}, \sin{0°}) = A(1, 0) \)
\( B(\cos{90°}, \sin{90°}) = B(0, 1) \)
\( C(\cos{180°}, \sin{180°}) = C(-1, 0) \)
\( D(\cos{270°}, \sin{270°}) = D(0, -1) \)
Orijin, \( E \) noktası ve \( E \) noktasının \( x \) ekseni üzerindeki izdüşümü olan \( F \) noktasının oluşturduğu dik üçgende Pisagor bağıntısı yazarsak trigonometrinin sinüs ve kosinüs kare toplamı özdeşliğini elde ederiz.
\( \abs{FE} = \sin{\alpha} \)
\( \abs{OF} = \cos{\alpha} \)
\( \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1^2 = 1 \)
Ayrıca birim çember üzerindeki her noktanın koordinatlarını yukarıda paylaştığımız birim çember denkleminde yerine koyduğumuzda denklemin her zaman sağlandığını görebiliriz.
\( E(\cos{\alpha}, \sin{\alpha}) \) birim çember üzerinde bir nokta olmak üzere,
Birim çemberin denklemi: \( x^2 + y^2 = 1 \)
\( (\cos{\alpha})^2 + (\sin{\alpha})^2 = 1 \)
Yarıçap uzunluğu tüm birim çember üzerinde 1 birim olduğu ve \( E \) noktasının koordinatları diğer bölgelerde negatif olsa da koordinat değerlerinin karelerini aldığımız için, yukarıdaki özdeşlik analitik düzlemin dört bölgesindeki açılar için de geçerlidir.
Sinüs ve Kosinüs Eksenleri
Birim çember üzerindeki bir \( E \) noktasının ordinat değeri bize o noktanın karşılık geldiği açının sinüs değerini verir. Bu ordinat değeri aynı zamanda o noktanın \( y \) ekseni üzerindeki izdüşümünün uzunluğuna eşit olduğu için \( y \) eksenine sinüs ekseni de denir. Buna göre, farklı \( \alpha \) açıları için birim çember üzerindeki bir noktanın ordinatı ve dolayısıyla sinüs değeri \( -1 \) ve \( 1 \) aralığında değer alabilir.
Birim çember üzerindeki bir \( E \) noktasının apsis değeri bize o noktanın karşılık geldiği açının kosinüs değerini verir. Bu apsis değeri aynı zamanda o noktanın \( x \) ekseni üzerindeki izdüşümünün uzunluğuna eşit olduğu için \( x \) eksenine kosinüs ekseni de denir. Buna göre, farklı \( \alpha \) açıları için birim çember üzerindeki bir noktanın apsisi ve dolayısıyla kosinüs değeri \( -1 \) ve \( 1 \) aralığında değer alabilir.
Tanjant Değeri
Birim çembere teğet çizilen \( x = 1 \) doğrusu ile \( [OE \) ışınının kesişimi olan \( F \) noktasının koordinatlarını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( F \) noktasının ordinat değeri \( \abs{AF} \) olmak üzere,
\( \tan{\alpha} = \dfrac{\abs{AF}}{\abs{OA}} = \dfrac{\abs{AF}}{1} \) \( \Longrightarrow \abs{AF} = \tan{\alpha} \)
Buna göre, \( F \) noktasının koordinatları \( F(1, \tan{\alpha}) \) olur.
Tanjant Ekseni
Orijinden birim çember üzerindeki bir \( E \) noktasına doğru çizilen bir doğrunun \( x = 1 \) doğrusunu kestiği \( F \) noktasının ordinat değeri bize \( E \) noktasının karşılık geldiği açının tanjant değerini verir. Bu yüzden \( x = 1 \) doğrusuna tanjant ekseni de denir. Buna göre, farklı \( \alpha \) açıları için \( F \) noktasının ordinatı ve dolayısıyla tanjant değeri \( -\infty \) ve \( \infty \) aralığında tüm değerleri alabilir.
Kotanjant Değeri
Birim çembere teğet çizilen \( y = 1 \) doğrusu ile \( [OE \) ışınının kesişimi olan \( G \) noktasının koordinatlarını, \( \alpha \) açısının iç ters açısı olan ve \( \alpha \)'ya eşit olan \( m(\widehat{BGO}) \) açısı cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( G \) noktasının apsis değeri \( \abs{BG} \) olmak üzere,
\( \cot{\alpha} = \dfrac{\abs{BG}}{\abs{OB}} = \dfrac{\abs{BG}}{1} \) \( \Longrightarrow \abs{BG} = \cot{\alpha} \)
Buna göre, \(G\) noktasının koordinatları \(G(\cot{\alpha}, 1)\) olur.
Kotanjant Ekseni
Orijinden birim çember üzerindeki bir \( E \) noktasına doğru çizilen bir doğrunun \( y = 1 \) doğrusunu kestiği \( G \) noktasının apsis değeri bize \( E \) noktasının karşılık geldiği açının kotanjant değerini verir. Bu yüzden \( y = 1 \) doğrusuna kotanjant ekseni de denir. Buna göre, farklı \( \alpha \) açıları için \( G \) noktasının apsisi ve dolayısıyla kotanjant değeri \( -\infty \) ve \( \infty \) aralığında tüm değerleri alabilir.
Sekant ve Kosekant Değerleri
Birim çembere \( E \) noktasından çizilen teğet doğrusunun \( x \) eksenini kestiği \( H \) noktasının koordinatlarını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( H \) noktasının apsis değeri \( \abs{OH} \) olmak üzere,
\( \sec{\alpha} = \dfrac{\abs{OH}}{\abs{OE}} = \dfrac{\abs{OH}}{1} \) \( \Longrightarrow \abs{OH} = \sec{\alpha} \)
Buna göre, \( H \) noktasının koordinatları \( H(\sec{\alpha}, 0) \) olur.
Aynı teğet doğrunun \( y \) eksenini kestiği \( K \) noktasının koordinatlarını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( K \) noktasının ordinat değeri \( \abs{OK} \) olmak üzere,
\( \csc{\alpha} = \dfrac{\abs{OK}}{\abs{OE}} = \dfrac{\abs{OK}}{1} \) \( \Longrightarrow \abs{OK} = \csc{\alpha} \)
Buna göre, \( K \) noktasının koordinatları \( K(0, \csc{\alpha}) \) olur.
Birim Çember ve Sık Kullanılan Açılar
En sık kullanılan açıların derece ve radyan karşılıkları aşağıdaki grafikte birim çember üzerinde gösterilmiştir. Tüm bu açıların derece ve radyan karşılıklarını ve her birinin trigonometrik fonksiyon değerlerini bilmek ya da hızlı bir şekilde hesaplayabilmek oldukça önemlidir.
Birim çember üzerindeki \( A(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \) noktasının oluşturduğu merkez açısının ölçüsü kaç derecedir?
Çözümü Göster
Birim çember üzerinde apsisi ordinatının 3 katına eşit olan noktalar nelerdir?
Çözümü Göster