Trigonometride kullanılan temel özdeşlikler aşağıdaki gibidir. Bu özdeşlikler dışındaki indirgeme, toplam, fark, iki kat açı ve dönüşüm formüllerini önümüzdeki bölümlerde inceleyeceğiz.
Bir açının sinüs ve kosinüs değerlerinin kareleri toplamı 1'e eşittir. Bu özdeşlik sadece dar açılar değil, tüm açılar için geçerlidir.
İlgili fonksiyonların tanımlı olduğu açılar için aşağıdaki iki özdeşlik yukarıdaki Pisagor özdeşliğinden kolaylıkla türetilebilir.
Sinüs, kosinüs ve tanjant fonksiyonlarının çarpmaya göre tersleri sırasıyla kosekant, sekant ve kotanjant fonksiyonlarıdır.
Birbirini \( 90° \)'ye tamamlayan açılar için sinüs-kosinüs, tanjant-kotanjant ve sekant-kosekant fonksiyonlarının değerleri birbirine eşittir. Bu özdeşlikler sadece dar açılar değil, tüm açılar için geçerlidir.
Bu özdeşlikler tanjant, kotanjant, sekant ve kosekant fonksiyonlarını tanımsız yapan (tanım kümesi dışındaki) \( x \) değerleri için sağlanmaz.
Sinüs, tanjant, kotanjant ve kosekant fonksiyonları için bir açının negatifinin fonksiyon değeri açının kendisinin fonksiyon değerinin negatifine eşittir. Buna göre bu dört fonksiyon tek fonksiyondur.
Kosinüs ve sekant fonksiyonları için ise bir açının negatifinin fonksiyon değeri açının kendisinin fonksiyon değerine eşittir. Buna göre bu iki fonksiyon çift fonksiyondur.
SORU 1:
\( \dfrac{\sin{40°} \cdot \tan{27°}}{\cos{50°} \cdot \cot{63°}} \) ifadesinin eşiti kaçtır?
Çözümü Göster
Tümler açıların sinüs ve kosinüs değerleri birbirine eşittir. Aynı şekilde tümler açıların tanjant ve kotanjant değerleri birbirine eşittir.
\( \sin{40°} = \cos{50°} \)
\( \tan{27°} = \cot{63°} \)
\( \dfrac{\sin{40°} \cdot \tan{27°}}{\cos{50°} \cdot \cot{63°}} \)
\( = \dfrac{\sin{40°} \cdot \tan{27°}}{\sin{40°} \cdot \tan{27°}} \)
\( = 1 \) bulunur.
SORU 2:
\( \sin^4{x} + \cos^2{x} \cdot \sin^2{x} - \sin^2{x} \) ifadesinin en sade biçimi nedir?
Çözümü Göster
\( \sin^4{x} + \cos^2{x} \cdot \sin^2{x} - \sin^2{x} \)
İfadeyi \( \sin^2{x} \) parantezine alalım.
\( = \sin^2{x}(\sin^2{x} + \cos^2{x} - 1) \)
Sinüs - kosinüs kare toplamı özdeşliğini kullanalım.
\( = \sin^2{x}(1 - 1) \)
\( = 0 \) bulunur.
SORU 3:
\( \dfrac{\sin^2{x}}{1 + \cos{x}} \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Göster
\( \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 \)
\( \sin^2{x} = 1 - \cos^2{x} \)
Bu ifadeyi paydaki ifadenin yerine koyalım.
\( \dfrac{\sin^2{x}}{1 + \cos{x}} = \dfrac{1 - \cos^2{x}}{1 + \cos{x}} \)
Kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = \dfrac{(1 - \cos{x})(1 + \cos{x})}{(1 + \cos{x})} \)
\( = 1 - \cos{x} \) bulunur.
SORU 4:
\( \dfrac{\cot^2{x}}{1 + \cot^2{x}} \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Göster
İfadedeki terimleri sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \dfrac{\frac{\cos^2{x}}{\sin^2{x}}}{1 + \frac{\cos^2{x}}{\sin^2{x}}} \)
\( = \dfrac{\frac{\cos^2{x}}{\sin^2{x}}}{\frac{\sin^2{x} + \cos^2{x}}{\sin^2{x}}} \)
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( = \dfrac{\frac{\cos^2{x}}{\sin^2{x}}}{\frac{1}{\sin^2{x}}} \)
\( = \cos^2{x} \) bulunur.
SORU 5:
\( \dfrac{\tan{x} \cdot \sec{x}}{1 + \tan^2{x}} \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Göster
İfadedeki terimleri sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \dfrac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}} \cdot \frac{1}{\cos{x}}}{1 + \frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}} \)
\( = \dfrac{\frac{\sin{x}}{\cos^2{x}}}{\frac{\cos^2{x} + \sin^2{x}}{\cos^2{x}}} \)
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( = \dfrac{\frac{\sin{x}}{\cos^2{x}}}{\frac{1}{\cos^2{x}}} \)
\( = \sin{x} \) bulunur.
SORU 6:
\( \csc^2{x}(\tan^2{x} - \sin^2{x}) \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Göster
İfadedeki terimleri sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \dfrac{1}{\sin^2{x}}(\dfrac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}} - \sin^2{x}) \)
Parantez içerisindeki ifadenin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{1}{\sin^2{x}}(\dfrac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}} - \dfrac{\cos^2{x} \cdot \sin^2{x}}{\cos^2{x}}) \)
\( = \dfrac{1}{\sin^2{x}} \cdot \dfrac{\sin^2{x}(1 - \cos^2{x})}{\cos^2{x}} \)
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( = \dfrac{1}{\sin^2{x}} \cdot \dfrac{\sin^2{x}\sin^2{x}}{\cos^2{x}} \)
\( = \dfrac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}} \)
\( = \tan^2{x} \) bulunur.
SORU 7:
\( \dfrac{\tan{x}}{\sec{x} - 1} - \dfrac{\sec{x} - 1}{\tan{x}} \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Göster
İfadedeki terimleri sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \dfrac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{\frac{1}{\cos{x}} - 1} - \dfrac{\frac{1}{\cos{x}} - 1}{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}} \)
\( = \dfrac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{\frac{1 - \cos{x}}{\cos{x}}} - \dfrac{\frac{1 - \cos{x}}{\cos{x}}}{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}} \)
\( = \dfrac{\sin{x}}{1 - \cos{x}} - \dfrac{1 - \cos{x}}{\sin{x}} \)
Terimlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{\sin^2{x}}{(1 - \cos{x})\sin{x}} - \dfrac{(1 - \cos{x})^2}{\sin{x}(1 - \cos{x})} \)
\( = \dfrac{\sin^2{x} - 1 + 2\cos{x} - \cos^2{x}}{(1 - \cos{x})\sin{x}} \)
\( \sin^2{x} = 1 - \cos^2{x} \) yazalım.
\( = \dfrac{1 - \cos^2{x} - 1 + 2\cos{x} - \cos^2{x}}{(1 - \cos{x})\sin{x}} \)
\( = \dfrac{2\cos{x} - 2\cos^2{x}}{(1 - \cos{x})\sin{x}} \)
\( = \dfrac{2\cos{x}(1 - \cos{x})}{(1 - \cos{x})\sin{x}} \)
\( = \dfrac{2\cos{x}}{\sin{x}} \)
\( = 2\cot{x} \) bulunur.
SORU 8:
\( \dfrac{\sec{x}}{1 + \sec{x}} - \dfrac{\sec{x}}{1 - \sec{x}} \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Göster
Sekant ifadelerini kosinüs cinsinden yazalım.
\( \dfrac{\frac{1}{\cos{x}}}{1 + \frac{1}{\cos{x}}} - \dfrac{\frac{1}{\cos{x}}}{1 - \frac{1}{\cos{x}}} \)
\( = \dfrac{\frac{1}{\cos{x}}}{\frac{\cos{x}}{\cos{x}} + \frac{1}{\cos{x}}} - \dfrac{\frac{1}{\cos{x}}}{\frac{\cos{x}}{\cos{x}} - \frac{1}{\cos{x}}} \)
\( = \dfrac{\frac{1}{\cos{x}}}{\frac{\cos{x} + 1}{\cos{x}}} - \dfrac{\frac{1}{\cos{x}}}{\frac{\cos{x} - 1}{\cos{x}}} \)
Pay ve paydaların paydalarındaki kosinüs ifadeleri sadeleşir.
\( = \dfrac{1}{\cos{x} + 1} - \dfrac{1}{\cos{x} - 1} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{\cos{x} - 1}{(\cos{x} + 1)(\cos{x} - 1)} - \dfrac{\cos{x} + 1}{(\cos{x} + 1)(\cos{x} - 1)} \)
\( = \dfrac{\cos{x} - 1 - \cos{x} - 1}{\cos^2{x} - 1} \)
Paydada Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( = \dfrac{-2}{-\sin^2{x}} \)
\( = \dfrac{2}{\sin^2{x}} = 2\csc^2{x} \) bulunur.
SORU 9:
\( (3\cos{x} + \sin{x})^2 + (\cos{x} - 3\sin{x})^2 \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Göster
İfadelerin açılımını yazalım.
\( 9\cos^2{x} + 6\cos{x}\sin{x} + \sin^2{x} + \cos^2{x} - 6\cos{x}\sin{x} + 9\sin^2{x} \)
\( = 9\cos^2{x} + \sin^2{x} + \cos^2{x} + 9\sin^2{x} \)
\( = 10(\cos^2{x} + \sin^2{x}) \)
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( = 10 \) bulunur.
SORU 10:
\( \cos{x}\sin{x}(\cot{x} + \tan{x}) \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Göster
İfadedeki terimleri sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \cos{x}\sin{x}(\dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} + \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}) \)
Parantezi genişletelim.
\( = \cos{x}\sin{x}\dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} + \cos{x}\sin{x}\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} \)
\( = \cos^2{x} + \sin^2{x} \)
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( = 1 \) bulunur.
SORU 11:
\( \sin{x} + \cos{x}\cot{x} \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Göster
Kotanjant ifadesini sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \sin{x} + \cos{x}\dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} \)
Terimlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{\sin^2{x}}{\sin{x}} + \dfrac{\cos^2{x}}{\sin{x}} \)
\( = \dfrac{\sin^2{x} + \cos^2{x}}{\sin{x}} \)
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( = \dfrac{1}{\sin{x}} = \csc{x} \) bulunur.
SORU 12:
\( \sec^3{x} \cdot \cos^6{x} + \cot{x} \cdot \csc{x} \cdot \sin^4{x} \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Göster
İfadedeki terimleri sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \dfrac{1}{\cos^3{x}} \cdot \cos^6{x} + \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} \cdot \dfrac{1}{\sin{x}} \cdot \sin^4{x} \)
\( = \cos^3{x} + \cos{x}\sin^2{x} \)
İfadeyi kosinüs parantezine alalım.
\( = \cos{x}(\cos^2{x} + \sin^2{x}) \)
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( = \cos{x} \) bulunur.
SORU 13:
\( \dfrac{\sec{x} - \cos{x}}{\sin^2{x}\tan{x}} \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Göster
İfadedeki terimleri sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \dfrac{\frac{1}{\cos{x}} - \cos{x}}{\sin^2{x}\frac{\sin{x}}{\cos{x}}} \)
\( = \dfrac{\frac{1 - \cos^2{x}}{\cos{x}}}{\frac{\sin^3{x}}{\cos{x}}} \)
\( = \dfrac{\sin^2{x}}{\sin^3{x}} \)
\( = \dfrac{1}{\sin{x}} = \csc{x} \) bulunur.
SORU 14:
\( \dfrac{\tan{x}}{(1 - \cos{x})(1 + \sec{x})} \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Göster
Paydadaki çarpma işlemini dağıtalım.
\( \dfrac{\tan{x}}{1 + \sec{x} - \cos{x} - \sec{x}\cos{x}} \)
Kosinüs ve sekant birbirinin çarpmaya göre tersidir.
\( = \dfrac{\tan{x}}{1 + \sec{x} - \cos{x} - 1} \)
İfadeleri sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( = \dfrac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{\frac{1}{\cos{x}} - \cos{x}} \)
\( = \dfrac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{\frac{1 - \cos^2{x}}{\cos{x}}} \)
\( = \dfrac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{\frac{\sin^2{x}}{\cos{x}}} \)
\( = \dfrac{\sin{x}}{\sin^2{x}} \)
\( = \dfrac{1}{\sin{x}} = \csc{x} \) bulunur.
SORU 15:
\( \dfrac{\tan{x}}{\sec{x} - 1} - \dfrac{\sin{x}}{1 + \cos{x}} \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Göster
İfadedeki terimleri sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \dfrac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{\frac{1}{\cos{x}} - 1} - \dfrac{\sin{x}}{1 + \cos{x}} \)
\( = \dfrac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{\frac{1 - \cos{x}}{\cos{x}}} - \dfrac{\sin{x}}{1 + \cos{x}} \)
\( = \dfrac{\sin{x}}{1 - \cos{x}} - \dfrac{\sin{x}}{1 + \cos{x}} \)
Terimlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{\sin{x}(1 + \cos{x})}{(1 - \cos{x})(1 + \cos{x})} - \dfrac{\sin{x}(1 - \cos{x})}{(1 + \cos{x})(1 - \cos{x})} \)
\( = \dfrac{\sin{x} + \sin{x}\cos{x} - \sin{x} + \sin{x}\cos{x}}{(1 - \cos{x})(1 + \cos{x})} \)
\( = \dfrac{2\sin{x}\cos{x}}{1^2 - \cos^2{x}} \)
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( = \dfrac{2\sin{x}\cos{x}}{\sin^2{x}} \)
\( = \dfrac{2\cos{x}}{\sin{x}} = 2\cot{x} \) bulunur.
SORU 16:
\( \dfrac{2\sin{x}\cos{x} - \sin{x}}{1 - \cos{x} + \cos^2{x} - \sin^2{x}} \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Göster
Paydada Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( \dfrac{2\sin{x}\cos{x} - \sin{x}}{1 - \cos{x} + \cos^2{x} - (1 - \cos^2{x})} \)
\( = \dfrac{2\sin{x}\cos{x} - \sin{x}}{2\cos^2{x} - \cos{x} } \)
\( = \dfrac{\sin{x}(2\cos{x} - 1)}{\cos{x}(2\cos{x} - 1)} \)
\( = \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = \tan{x} \) bulunur.
SORU 17:
\( \dfrac{6\tan{x}}{1 + \tan^2{x}} \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Göster
Tanjant ifadelerini sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \dfrac{6\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{1 + \frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}} \)
\( = \dfrac{6\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{\frac{\cos^2{x} + \sin^2{x}}{\cos^2{x}}} \)
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( = \dfrac{6\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{\frac{1}{\cos^2{x}}} \)
\( = 6\sin{x}\cos{x} \)
Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( = 3\sin(2x) \) olarak bulunur.
SORU 18:
\( \tan{x} - \cot{x} = \dfrac{3}{4} \) olduğuna göre,
\( \tan^2{x} + \cot^2{x} \) kaçtır?
Çözümü Göster
Eşitliğin iki tarafının karesini alalım.
\( (\tan{x} - \cot{x})^2 = (\dfrac{3}{4})^2 \)
\( = \tan{x}^2 - 2 \cdot \tan{x} \cdot \cot{x} + \cot^2{x} = \dfrac{9}{16} \)
Bir açının tanjantı ile kotanjantının çarpımı 1'dir.
\( \tan^2{x} - 2 + \cot^2{x} = \dfrac{9}{16} \)
\( \tan^2{x} + \cot^2{x} = \dfrac{41}{16} \) bulunur.
SORU 19:
\( \dfrac{\sin^3{x} - \cos^3{x}}{\tan{x} \cdot \cot{x} + \sin{x} \cdot \cos{x}} \)
ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Göster
Paydaki küp farkı özdeşliğini çarpanlarına ayıralım.
\( \dfrac{(\sin{x} - \cos{x})(\sin^2{x} + \sin{x} \cdot \cos{x} + \cos^2{x})}{\tan{x} \cdot \cot{x} + \sin{x} \cdot \cos{x}} \)
Sinüs - kosinüs kare toplamı ve tanjant - kotanjant çarpım özdeşlikleri ile ifadeyi sadeleştirelim.
\( = \dfrac{(\sin{x} - \cos{x})(1 + \sin{x} \cdot \cos{x})}{1 + \sin{x} \cdot \cos{x}} \)
\( = \sin{x} - \cos{x} \) bulunur.
SORU 20:
\( \sin{x} - \cos{x} = \dfrac{1}{3} \) olduğuna göre,
\( \tan{x} + \cot{x} \) ifadesinin değeri nedir?
Çözümü Göster
Eşitliğin iki tarafının karesini alalım.
\( (\sin{x} - \cos{x})^2 = \left( \dfrac{1}{3} \right)^2 \)
\( \sin^2{x} - 2\sin{x} \cdot \cos{x} + \cos^2{x} = \dfrac{1}{9} \)
Sinüs - kosinüs kare toplamı özdeşliğini kullanalım.
\( 1 - 2\sin{x} \cdot \cos{x} = \dfrac{1}{9} \)
\( \sin{x} \cdot \cos{x} = \dfrac{4}{9} \)
Değeri sorulan ifadeyi düzenleyelim.
\( \tan{x} + \cot{x} = \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} + \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} \)
\( = \dfrac{\sin^2{x} + \cos^2{x}}{\sin{x} \cdot \cos{x}} \)
\( = \dfrac{1}{\sin{x} \cdot \cos{x}} = \dfrac{9}{4} \) bulunur.
SORU 21:
\( \tan^4{x} + \cot^4{x} = 2 \) olduğuna göre,
\( \tan{x} + \cot{x} \) toplamının pozitif değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( \tan{x} + \cot{x} = k \) diyelim.
İki tarafın karesini alalım.
\( (\tan{x} + \cot{x})^2 = k^2 \)
\( \tan^2{x} + 2\tan{x}\cot{x} + \cot^2{x} = k^2 \)
Bir açının tanjantı ile kotanjantının çarpımı 1'dir.
\( \tan^2{x} + 2 + \cot^2{x} = k^2 \)
\( \tan^2{x} + \cot^2{x} = k^2 - 2 \)
İki tarafın tekrar karesini alalım.
\( (\tan^2{x} + \cot^2{x})^2 = (k^2 - 2)^2 \)
\( \tan^4{x} + 2\tan^2{x} \cot^2{x} + \cot^4{x} = (k^2 - 2)^2 \)
\( \tan^4{x} + 2 + \cot^4{x} = (k^2 - 2)^2 \)
Verilen \( \tan^4{x} + \cot^4{x} \) değerini yerine koyalım.
\( 2 + 2 = (k^2 - 2)^2 \)
\( k^2 - 2 = 2 \) veya \( k^2 - 2 = -2 \)
\( k^2 = 4 \) veya \( k^2 = 0 \)
\( k \in \{ -2, 0, 2 \} \)
Buna göre \( \tan{x} + \cot{x} \) toplamının pozitif değeri 2 olur.
SORU 22:
\( 2\cot{x} + 4\tan{x} = 5 \) olduğuna göre,
\( \cot^2{x} + \dfrac{4}{\cot^2{x}} \) ifadesinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
\( \tan{x}\cot{x} = 1 \) olduğu için \( \tan{x} = \dfrac{1}{\cot{x}} \) yazabiliriz.
\( 2\cot{x} + \dfrac{4}{\cot{x}} = 5 \)
\( 2(\cot{x} + \dfrac{2}{\cot{x}}) = 5 \)
\( \cot{x} + \dfrac{2}{\cot{x}} = \dfrac{5}{2} \)
Eşitliğin her iki tarafının karesini alalım.
\( (\cot{x} + \dfrac{2}{\cot{x}})^2 = (\dfrac{5}{2})^2 \)
\( \cot^2{x} + 4 + \dfrac{4}{\cot^2{x}} = \dfrac{25}{4} \)
\( \cot^2{x} + \dfrac{4}{\cot^2{x}} = \dfrac{25}{4} - 4 \)
\( = \dfrac{9}{4} \) bulunur.
SORU 23:
\( \sin^2{1°} + \sin^2{2°} + \ldots + \sin^2{89°} + \sin^2{90°} \)
ifadesinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Birbirini 90 dereceye tamamlayan açıların sinüs ve kosinüs değerleri birbirine eşittir.
\( \sin{x} = \cos(\frac{\pi}{2} - x) \)
\( 46° - 89° \) arasındaki sinüs ifadelerini kosinüse çevirirsek \( 1° - 44° \) arasındaki açıların her biri için sinüs - kosinüs kare toplamı oluşmuş olur.
\( \sin{1°} + \sin{89°} = \sin{1°} + \cos{1°} = 1 \)
Bu 44 kare toplamı ifadesinin toplamı \( 44 \cdot 1 = 44 \) olur.
Geriye \( 45° \) ve \( 90° \)'li terimler kalır.
\( = 44 + \sin^2{45°} + \sin^2{90°} \)
\( = 44 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 1^2 \)
\( = 44 + \frac{1}{2} + 1 \)
\( = 45\frac{1}{2} \) bulunur.
SORU 24:
\( m = \sqrt{3}\sin{\alpha} + 2\cos{\alpha} \)
\( n = \sqrt{3}\cos{\alpha} - 2\sin{\alpha} \)
eşitlikleri veriliyor. Buna göre, \( m \)'nin \( n \) cinsinden eşiti kaçtır?
Çözümü Göster
Her iki denklemde tarafların karesini alalım.
\( m^2 = 3\sin^2{\alpha} + 4\sqrt{3}\sin{\alpha}\cos{\alpha} + 4\cos^2{\alpha} \)
\( n^2 = 3\cos^2{\alpha} - 4\sqrt{3}\sin{\alpha}\cos{\alpha} + 4\sin^2{\alpha} \)
Eşitlikleri taraf tarafa toplayalım.
\( m^2 + n^2 = 7\sin^2{\alpha} + 7\cos^2{\alpha} \)
\( = 7(\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha}) = 7 \)
\( m^2 = 7 - n^2 \)
\( m = \sqrt{7 - n^2} \) bulunur.
SORU 25:
\( a = \csc^2{x} - \dfrac{1}{\tan^2{x}} \)
\( b = 3\tan^2{x} - \dfrac{3}{\cos^2{x}} \)
olduğuna göre, \( a \cdot b \) çarpımının değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( a = \dfrac{1}{\sin^2{x}} - \dfrac{1}{\frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}} \)
\( = \dfrac{1}{\sin^2{x}} - \dfrac{\cos^2{x}}{\sin^2{x}} \)
\( = \dfrac{1 - \cos^2{x}}{\sin^2{x}} \)
\( = \dfrac{\sin^2{x}}{\sin^2{x}} = 1 \)
\( b = \dfrac{3\sin^2{x}}{\cos^2{x}} - \dfrac{3}{\cos^2{x}} \)
\( = \dfrac{3(\sin^2{x} - 1)}{\cos^2x} \)
\( = \dfrac{3(-\cos^2{x})}{\cos^2{x}} = -3 \)
\( a \cdot b = 1 \cdot (-3) = -3 \) bulunur.
SORU 26:
\( 0° \lt \alpha \lt 90° \) olmak üzere,
\( \tan{\dfrac{\alpha}{2}} \cdot \tan{\dfrac{8\alpha}{9}} = 1 \) olduğuna göre, \( \alpha \) kaç derecedir?
Çözümü Göster
Bir açının tanjantı ile kotanjantının çarpımı 1'dir.
\( \tan{\dfrac{\alpha}{2}} \cdot \cot{\dfrac{\alpha}{2}} = 1 \)
Buna göre aşağıdaki iki ifade birbirine eşittir.
\( \tan{\dfrac{8\alpha}{9}} = \cot{\dfrac{\alpha}{2}} \)
Tümler açıların tanjant ve kotanjant değerleri birbirine eşittir.
Buna göre \( \frac{8\alpha}{9} \) ve \( \frac{\alpha}{2} \) tümler açılardır.
\( \dfrac{8\alpha}{9} + \dfrac{\alpha}{2} = 90 \)
\(\dfrac{25\alpha}{18} = 90 \)
\( \alpha = \dfrac{90 \cdot 18}{25} \)
\( = 64,8° \) olarak bulunur.
SORU 27:
\( \dfrac{\tan{x} + \cot{x}}{\csc{x} - \sin{x}} \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Göster
İfadedeki terimleri sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \dfrac{\tan{x} + \cot{x}}{\csc{x} - \sin{x}} = \dfrac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}} + \frac{\cos{x}}{\sin{x}}}{\frac{1}{\sin{x}} - \sin{x}} \)
\( = \dfrac{\frac{\sin^2{x} + \cos^2{x}}{\sin{x} \cdot \cos{x}}}{\frac{1 - \sin^2{x}}{\sin{x}}} \)
Sinüs - kosinüs kare toplamı özdeşliğini kullanalım.
\( = \dfrac{\frac{1}{\sin{x} \cdot \cos{x}}}{\frac{\cos^2{x}}{\sin{x}}} \)
\( = \dfrac{1}{\sin{x} \cdot \cos{x}} \cdot \dfrac{\sin{x}}{\cos^2{x}} \)
\( = \dfrac{1}{\cos^3{x}} = \sec^3{x} \) olarak bulunur.
SORU 28:
\( \sin{x} + \csc{x} = -2 \) olduğuna göre,
\( \csc^8{x} + \cos^4{x} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( \sin{x} + \dfrac{1}{\sin{x}} = -2 \)
\( \dfrac{\sin^2{x} + 1}{\sin{x}} = -2 \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( \sin^2{x} + 1 = -2\sin{x} \)
\( \sin^2{x} + 2\sin{x} + 1 = 0 \)
\( (\sin{x} + 1)^2 = 0 \)
\( \sin{x} + 1 = 0 \)
\( \sin{x} = -1 \)
Değeri istenen ifadedeki terimlerin değerini bulalım.
\( \csc{x} = \dfrac{1}{\sin{x}} = -1 \)
Bu değeri sinüs - kosinüs kare toplamı özdeşliğinde yerine koyalım.
\( \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 \)
\( (-1)^2 + \cos^2{x} = 1 \)
\( \cos^2{x} = 0 \Longrightarrow \cos{x} = 0 \)
Bulduğumuz değerleri istenen ifadede yerine koyalım.
\( \csc^8{x} + \cos^4{x} = (-1)^8 + 0^4 \)
\( = 1 \) olarak bulunur.
SORU 29:
\( \dfrac{6\sin{\alpha} - 5}{\sqrt{11} - 6\cos{\alpha}} - \dfrac{6\cos{\alpha} + \sqrt{11}}{5 + 6\sin{\alpha}} \)
ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Paydaları eşitleyelim.
\( \dfrac{(6\sin{\alpha} - 5)(6\sin{\alpha} + 5) - (\sqrt{11} + 6\cos{\alpha})(\sqrt{11} - 6\cos{\alpha})}{(\sqrt{11} - 6\cos{\alpha})(5 + 6\sin{\alpha})} \)
Paydaki çarpanlar birbirinin eşleniği olduğu için kare farkı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{((6\sin{\alpha})^2 - 5^2) - ((\sqrt{11})^2 - (6\cos{\alpha})^2)}{(\sqrt{11} - 6\cos{\alpha})(5 + 6\sin{\alpha})} \)
\( = \dfrac{36\sin^2{\alpha} - 25 - 11 + 36\cos^2{\alpha}}{(\sqrt{11} - 6\cos{\alpha})(5 + 6\sin{\alpha})} \)
Sinüs - kosinüs kare toplamı özdeşliğini kullanalım.
\( = \dfrac{36 - 36}{(\sqrt{11} - 6\cos{\alpha})(5 + 6\sin{\alpha})} \)
\( = 0 \) bulunur.
SORU 30:
\( 0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2} \) olmak üzere,
\( \dfrac{\cos{\alpha} - \sin{\alpha}}{3(\sin{\alpha} + \cos{\alpha})} = \dfrac{1}{4} \)
olduğuna göre, \( \cos^4{\alpha} - \sin^4{\alpha} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 4\cos{\alpha} - 4\sin{\alpha} = 3\sin{\alpha} + 3\cos{\alpha} \)
\( \cos{\alpha} = 7\sin{\alpha} \)
\( \dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \dfrac{1}{7} \)
\( \tan{\alpha} = \dfrac{1}{7} \)
\( \alpha \) açısının karşı kenarına \( k \), komşu kenarına \( 7k \) dersek hipotenüs Pisagor teoreminden \( \sqrt{50}k \) olarak bulunur.
\( k^2 + (7k)^2 = (\sqrt{50}k)^2 \)
\( \cos{\alpha} = \dfrac{7k}{\sqrt{50}k} = \dfrac{7}{\sqrt{50}} \)
\( \sin{\alpha} = \dfrac{k}{\sqrt{50}k} = \dfrac{1}{\sqrt{50}} \)
Soruda istenen ifadenin değerini bulalım.
\( \cos^4{\alpha} - \sin^4{\alpha} = (\cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha})(\cos^2{\alpha} + \sin^2{\alpha}) \)
\( = ((\dfrac{7}{\sqrt{50}})^2 - (\dfrac{1}{\sqrt{50}})^2)(1) \)
\( = \dfrac{49}{50} - \dfrac{1}{50} \)
\( = \dfrac{48}{50} = \dfrac{24}{25} \) bulunur.
SORU 31:
\( 4x^2 - x - k = 0 \) denkleminin kökleri \( \sin{t} \) ve \( \cos{t} \) olduğuna göre, \( k \) değeri nedir?
Çözümü Göster
2. derece denklemin kökler toplamı formülünü kullanalım.
\( \sin{t} + \cos{t} = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{4} \)
2. derece denklemin kökler çarpımı formülünü kullanalım.
\( \sin{t} \cdot \cos{t} = \dfrac{c}{a} = -\dfrac{k}{4} \)
Kökler toplamı eşitliğinde iki tarafın karesini alalım.
\( (\sin{t} + \cos{t})^2 = (\dfrac{1}{4})^2 \)
\( \sin^2{t} + 2\sin{t} \cdot \cos{t} + \cos^2{t} = \dfrac{1}{16} \)
\( \sin^2{t} + \cos^2{t} = 1 \) özdeşliğini kullanalım.
\( 1 + 2\sin{t} \cdot \cos{t} = \dfrac{1}{16} \)
\( 2\sin{t} \cdot \cos{t} = -\dfrac{15}{16} \)
Kökler çarpımını yukarıda bulduğumuz değere eşitleyelim.
\( \sin{t} \cdot \cos{t} = -\dfrac{15}{32} = -\dfrac{k}{4} \)
\( \dfrac{k}{4} = \dfrac{15}{32} \)
\( k = \dfrac{15}{8} \) bulunur.
