Trigonometrideki temel özdeşlikler aşağıdaki gibidir.
Bir açının sinüs ve kosinüs değerlerinin kareleri toplamı 1'e eşittir.
Sinüs, kosinüs ve tanjant fonksiyonlarının çarpmaya göre tersleri sırasıyla kosekant, sekant ve kotanjant fonksiyonlarıdır.
Sinüs-kosinüs, tanjant-kotanjant ve sekant-kosekant fonksiyonları, birbirini \( 90° \)'ye tamamlayan açılar için birbirine eşittir. Aşağıdaki özdeşlikler \( x \)'in sadece \( [0, \frac{\pi}{2}] \) aralığındaki değil, tüm değerleri için geçerlidir.
\( \sin{x} = \cos(\frac{\pi}{2} - x) \)
\( \cos{x} = \sin(\frac{\pi}{2} - x) \)
\( \tan{x} = \cot(\frac{\pi}{2} - x) \)
\( \cot{x} = \tan(\frac{\pi}{2} - x) \)
\( \sec{x} = \csc(\frac{\pi}{2} - x) \)
\( \csc{x} = \sec(\frac{\pi}{2} - x) \)
ÖRNEK:
\( \sin{37°} = \sin(90° - 53°) = \cos{53°} \)
İSPATI GÖSTER
Yukarıdaki üçgende \( \hat{B} \) ve \( \hat{C} \) açıları tümler açılardır.
\( m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = \dfrac{\pi}{2} \)
\( m(\hat{C}) = \dfrac{\pi}{2} - x \)
Üçgenin kenar uzunlukları arasındaki tüm oranları ve hem \( \hat{B} \) hem de \( \hat{C} \) açıları için her bir orana karşılık gelen trigonometrik fonksiyonları yazalım.
\( \dfrac{b}{a} = \sin{x} = \cos(\frac{\pi}{2} - x) \)
\( \dfrac{c}{a} = \cos{x} = \sin(\frac{\pi}{2} - x) \)
\( \dfrac{b}{c} = \tan{x} = \cot(\frac{\pi}{2} - x) \)
\( \dfrac{c}{b} = \cot{x} = \tan(\frac{\pi}{2} - x) \)
\( \dfrac{a}{c} = \sec{x} = \csc(\frac{\pi}{2} - x) \)
\( \dfrac{a}{b} = \csc{x} = \sec(\frac{\pi}{2} - x) \)
Bu şekilde altı özdeşliği de elde etmiş olduk.
SORU:
\( x \in (0, \frac{\pi}{2}) \) olmak üzere,
\( \dfrac{1 + \cot{x}}{1 + \tan{x}} = 3 \) ise \( \cos{x} \) nedir?
Çözümü Göster
Tanjant ve kotanjantı sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \dfrac{1 + \frac{\cos{x}}{\sin{x}}}{1 + \frac{\sin{x}}{\cos{x}}} = 3 \)
\( \dfrac{\frac{\sin{x} + \cos{x}}{\sin{x}}}{\frac{\cos{x + \sin{x}}}{\cos{x}}} = 3 \)
\( \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} = 3 \)
\( \cot{x} = 3 \)
Bir açının kotanjantı 3 ise komşu kenara 3k, karşı kenara k diyebiliriz, bu durumda hipotenüs Pisagor Teoremi'nden \( \sqrt{10}k \) olur.
\( k^2 + (3k)^2 = (\sqrt{10}k)^2 \)
\( \cos{x} = \dfrac{3k}{\sqrt{10k}} = \dfrac{3\sqrt{10}}{10} \) bulunur.
SORU:
\( \dfrac{\sin{40°} \cdot \tan{27°}}{\cos{50°} \cdot \cot{63°}} \) ifadesinin eşiti kaçtır?
Çözümü Göster
Tümler açıların sinüs ve kosinüs değerleri birbirine eşittir. Aynı şekilde tümler açıların tanjant ve kotanjant değerleri birbirine eşittir.
\( \sin{40°} = \cos{50°} \)
\( \tan{27°} = \cot{63°} \)
\( \dfrac{\sin{40°} \cdot \tan{27°}}{\cos{50°} \cdot \cot{63°}} \)
\( = \dfrac{\sin{40°} \cdot \tan{27°}}{\sin{40°} \cdot \tan{27°}} \)
\( = 1 \) bulunur.
SORU:
\( \tan{x} - \cot{x} = \dfrac{3}{4} \) ise \( \tan^2{x} + \cot^2{x} \) kaçtır?
Çözümü Göster
İki tarafın karesini alalım.
\( (\tan{x} - \cot{x})^2 = (\dfrac{3}{4})^2 \)
\( = \tan{x}^2 - 2 \cdot \tan{x} \cdot \cot{x} + \cot^2{x} = \dfrac{9}{16} \)
Bir açının tanjantının ve kotanjantının çarpımı 1'dir.
\( = \tan^2{x} - 2 + \cot^2{x} = \dfrac{9}{16} \)
\( \tan^2{x} + \cot^2{x} = \dfrac{41}{16} \) bulunur.
SORU:
\( \dfrac{\sin^3{x} - \cos^3{x}}{\tan{x} \cdot \cot{x} + \sin{x} \cdot \cos{x}} \)
ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Göster
Paydaki küp farkı özdeşliğini çarpanlarına ayıralım.
\( \dfrac{(\sin{x} - \cos{x})(\sin^2{x} + \sin{x} \cdot \cos{x} + \cos^2{x})}{\tan{x} \cdot \cot{x} + \sin{x} \cdot \cos{x}} \)
Sinüs-kosinüs kare toplamını ve tanjant/kotanjant çarpımını sadeleştirelim.
\( = \dfrac{(\sin{x} - \cos{x})(1 + \sin{x} \cdot \cos{x})}{(1 + \sin{x} + \cos{x})} \)
\( = \sin{x} - \cos{x} \)
SORU:
\( \sin{x} - \cos{x} = \dfrac{1}{3} \) olduğuna göre,
\( \tan{x} + \cot{x} \) ifadesinin değeri nedir?
Çözümü Göster
Verilen eşitliğin iki tarafının karesini alalım.
\( (\sin{x} - \cos{x})^2 = \left( \dfrac{1}{3} \right)^2 \)
\( \sin^2{x} - 2\sin{x} \cdot \cos{x} + \cos^2{x} = \dfrac{1}{9} \)
Sinüs-kosinüs kare özdeşliğini kullanalım.
\( 1 - 2\sin{x} \cdot \cos{x} = \dfrac{1}{9} \)
\( \sin{x} \cdot \cos{x} = \dfrac{4}{9} \)
Sorulan ifadeyi hesaplayalım.
\( \tan{x} + \cot{x} = \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} + \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} \)
\( = \dfrac{\sin^2{x} + \cos^2{x}}{\sin{x} \cdot \cos{x}} \)
\( = \dfrac{1}{\sin{x} \cdot \cos{x}} = \dfrac{9}{4} \) bulunur.
SORU:
\( \tan^4{x} + \cot^4{x} = 2 \) olduğuna göre,
\( \tan{x} + \cot{x} \) toplamının pozitif değeri nedir?
Çözümü Göster
\( \tan{x} + \cot{x} = k \) diyelim.
İki tarafın karesini alalım.
\( (\tan{x} + \cot{x})^2 = k^2 \)
\( \tan^2{x} + 2\tan{x}\cot{x} + \cot^2{x} = k^2 \)
Bir açının tanjantı ve kotanjantının çarpımı 1'dir.
\( \tan^2{x} + 2 + \cot^2{x} = k^2 \)
\( \tan^2{x} + \cot^2{x} = k^2 - 2 \)
İki tarafın tekrar karesini alalım.
\( (\tan^2{x} + \cot^2{x})^2 = (k^2 - 2)^2 \)
\( \tan^4{x} + 2\tan^2{x} \cot^2{x} + \cot^4{x} = (k^2 - 2)^2 \)
\( \tan^4{x} + 2 + \cot^4{x} = (k^2 - 2)^2 \)
Verilen \( \tan^4{x} + \cot^4{x} \) değerini yerine koyalım.
\( 2 + 2 = (k^2 - 2)^2 \)
\( k^2 - 2 = 2 \) veya \( k^2 - 2 = -2 \)
\( k^2 = 4 \) veya \( k^2 = 0 \)
\( k = \{ -2, 0, 2 \} \)
Buna göre \( \tan{x} + \cot{x} = k \)'nın pozitif değeri 2 olur.
SORU:
\( \sin^4{x} + \cos^2{x} \cdot \sin^2{x} - \sin^2{x} \) ifadesinin en sade biçimi nedir?
Çözümü Göster
\( \sin^4{x} + \cos^2{x} \cdot \sin^2{x} - \sin^2{x} \)
\( = \sin^2{x} (\sin^2{x} - 1) + \cos^2{x} \cdot \sin^2{x} \)
\( \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 \Longrightarrow \sin^2{x} - 1 = -\cos^2{x} \)
\( = -\sin^2{x} \cos^2{x} + \cos^2{x} \cdot \sin^2{x} \)
\( = 0 \) bulunur.
SORU:
\( \dfrac{\sin^2{x}}{1 + \cos{x}} \) ifadesinin en sade biçimi nedir?
Çözümü Göster
\( \sin^{x} + \cos^2{x} = 1 \)
\( \sin^2{x} = 1 - \cos^2{x} \)
Bu ifadeyi sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \dfrac{\sin^2{x}}{1 + \cos{x}} = \dfrac{1 - \cos^2{x}}{1 + \cos{x}} \)
Kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = \dfrac{(1 - \cos{x})(1 + \cos{x})}{(1 + \cos{x})} \)
\( = 1 - \cos{x} \)
