Bu formüller iki açının toplamının/farkının trigonometrik oranlarının toplamı/farkı oluşturan açılar cinsinden açılımını verir.
\( \cos(x + y) = \cos{x} \cdot \cos{y} \) \( - \sin{x} \cdot \sin{y} \)
\( \cos(x - y) = \cos{x} \cdot \cos{y} \) \( + \sin{x} \cdot \sin{y} \)
ÖRNEK:
\( \cos{15°} = \cos(45° - 30°) \)
\( = \cos{45°} \cdot \cos{30°} \) \( + \sin{45°} \cdot \sin{30°} \)
\( = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \)
\( = \dfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3} + 1)}{4} \)
İSPATI GÖSTER
Yukarıdaki birim üçgen üzerinde aşağıdaki noktaları işaretleyelim ve her birinin koordinatlarını yazalım.
\( A \): \( x \) ekseninin birim çemberi kestiği nokta
\( A(1, 0) \)
\( B \): \( x \) ekseni ile \( x \) derece açı yapan \( [OB] \) doğru parçasının birim çemberi kestiği nokta
\( B(\cos{x}, \sin{x}) \)
\( C \): \( x \) ekseni ile \( y \) derece açı yapan \( [OC] \) doğru parçasının birim çemberi kestiği nokta
\( C(\cos{y}, \sin{y}) \)
\( D \): \( x \) ekseni ile \( (x - y) \) derece açı yapan \( [OD] \) doğru parçasının birim çemberi kestiği nokta
\( D(\cos(x - y), \sin(x - y)) \)
Aşağıdaki iki açı birbirine eşittir.
\( m(\widehat{BOC}) = m(\widehat{DOA}) = x - y \)
Dolayısıyla, Kosinüs Teoremi'nden bu açıların gördükleri kirişlerin uzunlukları da eşittir (iki kenar ve aralarındaki açı eşit).
\( \abs{BC} = \abs{DA} \)
Birinci kirişin uzunluğunu, analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak yazalım.
\( \abs{BC} = \sqrt{(\cos{x} - \cos{y})^2 + (\sin{x} - \sin{y})^2} \)
\( = \sqrt{\cos^2{x} - 2\cos{x} \cdot \cos{y} + \cos^2{y} + \sin^2{x} - 2\sin{x} \cdot \sin{y} + \sin^2{y}} \)
\( = \sqrt{2 - 2\cos{x} \cdot \cos{y} - 2\sin{x} \cdot \sin{y}} \)
İkinci kirişin uzunluğunu, aynı uzaklık formülünü kullanarak yazalım.
\( \abs{DA} = \sqrt{(\cos(x - y) - 1)^2 + (\sin(x - y) - 0)^2} \)
\( = \sqrt{\cos^2(x - y) - 2\cos(x - y) + 1 + \sin^2(x - y)} \)
\( = \sqrt{2 - 2\cos(x - y)} \)
İki kiriş uzunluğunu birbirine eşitleyip iki tarafın karesini alalım.
\( \abs{BC}^2 = \abs{DA}^2 \)
\( 2 - 2\cos{x} \cdot \cos{y} - 2\sin{x} \cdot \sin{y} = 2 - 2\cos(x - y) \)
Eşitliği düzenlersek kosinüs fark formülünü elde ederiz.
\( \cos(x - y) = \cos{x} \cdot \cos{y} + \sin{x} \cdot \sin{y} \)
Yukarıdaki fark formülü bir özdeşlik olduğu için, \( y \) açısı yerine \( -y \) de yazabiliriz.
\( \cos(x - (-y)) = \cos{x} \cdot \cos(-y) + \sin{x} \cdot \sin(-y) \)
\( \cos(-y) = \cos{y} \)
\( \sin(-y) = -\sin{y} \)
Bu değerleri yerine koyarsak, kosinüs toplam formülünü elde ederiz.
\( \cos(x + y) = \cos{x} \cdot \cos{y} - \sin{x} \cdot \sin{y} \)
\( \sin(x + y) = \sin{x} \cdot \cos{y} \) \( + \cos{x} \cdot \sin{y} \)
\( \sin(x - y) = \sin{x} \cdot \cos{y} \) \( - \cos{x} \cdot \sin{y} \)
ÖRNEK:
\( \sin{75°} = \sin(45° + 30°) \)
\( = \sin{45°} \cdot \cos{30°} \) \( + \cos{45°} \cdot \sin{30°} \)
\( = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \)
\( = \dfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3} + 1)}{4} \)
İSPATI GÖSTER
Sinüs toplam ve fark formüllerinin ispatını, yukarıda ispatıyla birlikte verdiğimiz kosinüs fark formülünü kullanarak yapabiliriz.
Temel özdeşliklerden tümler açıların sinüs ve kosinüs değerlerinin eşit olduğunu biliyoruz.
\( \sin(x + y) = \cos(\frac{\pi}{2} - (x + y)) \)
Eşitliğin sağ tarafında parantez içini düzenleyelim.
\( \sin(x + y) = \cos((\frac{\pi}{2} - x) - y)) \)
Eşitliğin sağ tarafını kosinüs fark formülünü kullanarak açalım.
\( \sin(x + y) = \cos(\frac{\pi}{2} - x) \cdot \cos{y} + \sin(\frac{\pi}{2} - x) \cdot \sin{y} \)
Tümler açı özdeşliklerini kullanırsak, sinüs toplam formülünü elde ederiz.
\( \sin(x + y) = \sin{x} \cdot \cos{y} + \cos{x} \cdot \sin{y} \)
Yukarıdaki toplam formülü bir özdeşlik olduğu için, \( y \) açısı yerine \( -y \) de yazabiliriz.
\( \sin(x + (-y)) = \sin{x} \cdot \cos(-y) + \cos{x} \cdot \sin(-y) \)
\( \cos(-y) = \cos{y} \)
\( \sin(-y) = -\sin{y} \)
Bu değerleri yerine koyarsak, sinüs fark formülünü elde ederiz.
\( \sin(x - y) = \sin{x} \cdot \cos{y} - \cos{x} \cdot \sin{y} \)
\( \tan(x + y) = \dfrac{\tan{x} + \tan{y}}{1 - \tan{x} \cdot \tan{y}} \)
\( \tan(x - y) = \dfrac{\tan{x} - \tan{y}}{1 + \tan{x} \cdot \tan{y}} \)
ÖRNEK:
\( \tan{15°} = \tan(60° - 45°) \)
\( = \dfrac{\tan{60°} - \tan{45°}}{1 + \tan{60°} \cdot \tan{45°}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1} \)
\( = \dfrac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} \)
\( = \dfrac{(\sqrt{3} - 1)^2}{2} \)
İSPATI GÖSTER
Tanjant toplam ve fark formüllerinin ispatını, yukarıda ispatıyla birlikte verdiğimiz sinüs ve kosinüs toplam ve fark formüllerini kullanarak yapabiliriz.
\( \tan(x + y) = \dfrac{\sin(x + y)}{\cos(x + y)} \)
\( = \dfrac{\sin{x} \cdot \cos{y} + \cos{x} \cdot \sin{y}}{\cos{x} \cdot \cos{y} - \sin{x} \cdot \sin{y}} \)
Payı ve paydayı \( \cos{x} \cdot \cos{y} \)'ye bölelim.
\( = \dfrac{\dfrac{\sin{x} \cdot \cos{y} + \cos{x} \cdot \sin{y}}{\cos{x} \cdot \cos{y}}}{\dfrac{\cos{x} \cdot \cos{y} - \sin{x} \cdot \sin{y}}{\cos{x} \cdot \cos{y}}} \)
\( = \dfrac{\dfrac{\sin{x} \cdot \cos{y}}{\cos{x} \cdot \cos{y}} + \dfrac{\cos{x} \cdot \sin{y}}{\cos{x} \cdot \cos{y}}}{\dfrac{\cos{x} \cdot \cos{y}}{\cos{x} \cdot \cos{y}} - \dfrac{\sin{x} \cdot \sin{y}}{\cos{x} \cdot \cos{y}}} \)
İfadeleri sadeleştirelim.
\( = \dfrac{\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} + \dfrac{\sin{y}}{\cos{y}}}{\dfrac{1}{1} - \dfrac{\sin{x} \cdot \sin{y}}{\cos{x} \cdot \cos{y}}} \)
Sinüs ve kosinüs oranlarını tanjanta çevirirsek tanjant toplam formülünü elde ederiz.
\( \tan(x + y) = \dfrac{\tan{x} + \tan{y}}{1 - \tan{x} \cdot \tan{y}} \)
Yukarıdaki toplam formülü bir özdeşlik olduğu için, \( y \) açısı yerine \( -y \) de yazabiliriz.
\( \tan(x + (-y)) = \dfrac{\tan{x} + \tan(-y)}{1 - \tan{x} \cdot \tan(-y)} \)
\( \tan(-y) = -\tan{y} \)
Bu değeri yerine koyarsak, tanjant fark formülünü elde ederiz.
\( \tan(x - y) = \dfrac{\tan{x} - \tan{y}}{1 + \tan{x} \cdot \tan{y}} \)
Yukarıda verilen toplam ve fark formüllerinde iki açı birbirine eşit alınırsa aşağıdaki formülleri elde ederiz.
\( \cos(2x) = \cos^2{x} - \sin^2{x} \)
\( \cos(2x) = 2\cos^2{x} - 1 \)
\( \cos(2x) = 1-2\sin^2{x} \)
ÖRNEK:
\( x = 30° \)
\( \cos{60°} = \cos^2{30°} - \sin^2{30°} \)
\( = \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 - \left( \dfrac{1}{2} \right)^2 \)
\( = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2} \)
İSPATI GÖSTER
Kosinüs toplam formülünde \( y = x \) yazalım.
\( \cos(x + y) = \cos{x} \cdot \cos{y} \) \( - \sin{x} \cdot \sin{y} \)
\( \cos(x + x) = \cos{x} \cdot \cos{x} \) \( - \sin{x} \cdot \sin{x} \)
\( \cos(2x) = \cos^2{x} - \sin^2{x} \)
Sinüs - kosinüs kare toplamı özdeşliğini kullanarak bu özdeşliği bir diğer şekilde yazalım.
\( \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 \)
\( \sin^2{x} = 1 - \cos^2{x} \)
Son satırdaki ifadeyi yukarıdaki özdeşlikte yerine koyalım.
\( \cos(2x) = \cos^2{x} - (1 - \cos^2{x}) \)
\( \cos(2x) = 2\cos^2{x} - 1 \)
\( \cos^2{x} = 1 - \sin^2{x} \)
Son satırdaki ifadeyi yukarıdaki özdeşlikte yerine koyalım.
\( \cos(2x) = (1 - \sin^2{x}) - \sin^2{x} \)
\( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2{x} \)
SORU:
\( \sin{x} + \cos{x} = \dfrac{2}{3} \) ise \( \sin{2x} \) nedir?
Çözümü Göster
İki tarafın karesini alalım.
\( (\sin{x} + \cos{x})^2 = \left( \dfrac{2}{3} \right)^2 \)
\( \sin^2{x} + 2\sin{x}\cos{x} + \cos^2{x} = \dfrac{4}{9} \)
\( 1 + 2\sin{x}\cos{x} = \dfrac{4}{9} \)
Sinüs yarım açı formülünü kullanalım.
\( \sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x} \)
\( \sin{2x} = -\dfrac{5}{9} \) bulunur.
SORU:
\( x \in (0, \dfrac{\pi}{2}) \) olmak üzere,
\( \sin{x} = \dfrac{7}{25} \) ise \( \sin{2x} \) nedir?
Çözümü Göster
\( \sin{x} = \dfrac{7}{25} \) ise bu açının komşu kenarı Pisagor Teoremi'ne göre 24 olur.
\( 7^2 + 24^2 = 25^2 \)
Buna göre \( \cos{x} = \dfrac{24}{25} \) olur.
Sinüs yarım açı formülünü kullanalım.
\( \sin{2x} = 2 \sin{x}\cos{x} \)
\( = 2\dfrac{7}{25}\dfrac{24}{25} = \dfrac{336}{625} \) bulunur.
SORU:
\( \cos{25°} = x \) ise \( \cos{130°} - \sin{40°} \) toplamının \( x \) cinsinden eşiti nedir?
Çözümü Göster
Kosinüs II. bölgede negatiftir.
\( \cos{130°} = -\cos{50°} \)
\( \sin{40°} = \cos{50°} \)
\( \cos{130°} - \sin{40°} = -\cos{50°} - \cos{50°} = -2\cos{50°} \)
\( = -2\cos(2 \cdot 25°) \)
Kosinüs yarım açı formülünü kullanalım.
\( = -2(2\cos^2{25°} - 1) \)
\( = -2(2x^2 - 1) \)
\( = -4x^2 + 2 \) bulunur.
SORU:
\( \cos^2{\dfrac{\pi}{8}} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
Kosinüs yarım açı formülünü kullanalım.
\( \cos(2x) = 2\cos^2{x} - 1 \)
\( \cos(2 \dfrac{\pi}{8}) = 2\cos^2{\dfrac{\pi}{8}} - 1 \)
\( \cos{\dfrac{\pi}{4}} = 2 \cos^2{\dfrac{\pi}{8}} - 1 \)
\( \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 1 = 2\cos^2{\dfrac{\pi}{8}} \)
\( \cos^2{\dfrac{\pi}{8}} = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{4} \) bulunur.
SORU:
\( \cos{20°} = x \) ise \( \sin{80°} \)'nin \( x \) cinsinden eşiti nedir?
Çözümü Göster
Kosinüs yarım açı formülünü kullanalım.
\( \cos(2x) = 2\cos^2{x} - 1 \)
\( \cos{20°} = 2\cos^2{10°} - 1 \)
\( x = 2\cos^2{10}° - 1 \)
\( \cos^2{10}° = \dfrac{x + 1}{2} \)
\( \cos{10°} = \sin{80°} \)
\( = \sqrt{\dfrac{x + 1}{2}} \) bulunur.
SORU:
\( \tan{2x} = \dfrac{8}{15} \) ise \( \tan{x} \)'in pozitif değeri nedir?
Çözümü Göster
\( \tan{x} = k \) diyelim.
Tanjant yarım açı formülünü kullanalım.
\( \tan{2x} = \dfrac{2 \tan{x}}{1 - \tan^2{x}} \)
\( \dfrac{8}{15} = \dfrac{2k}{1 - k^2} \)
\( 8 - 8k^2 = 30k \)
\( 4k^2 + 15k - 4 = 0 \)
\( (4k - 1)(k + 4) = 0 \)
\( k = \dfrac{1}{4} \) ve \( k = -4 \) olabilir.
\( \tan{x} = k \) pozitif değeri isteniyor.
\( k = \tan{x} = \dfrac{1}{4} \) bulunur.
SORU:
\( \tan{x} - \cot{x} = \dfrac{3}{5} \) ise \( \tan{2x} \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( \tan{x} - \cot{x} = \dfrac{3}{5} \)
Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarını sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} - \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} = \dfrac{3}{5} \)
\( \dfrac{\sin^2{x} - \cos^2{x}}{\sin{x} \cdot \cos{x}} = \dfrac{3}{5} \)
\( \dfrac{\sin^2{x} - \cos^2{x}}{\sin{x} \cdot \cos{x}} = \dfrac{3}{5} \)
Paydaki ifade için kosinüs, paydadaki ifade için sinüs yarım açı formüllerini kullanalım.
\( \dfrac{-\cos{2x}}{\frac{1}{2}\sin{2x}} = \dfrac{3}{5} \)
\( \dfrac{\cos{2x}}{\sin{2x}} = -\dfrac{3}{10} \)
İfadelerin çarpmaya göre tersini alalım.
\( \dfrac{\sin{2x}}{\cos{2x}} = -\dfrac{10}{3} \)
\( \tan{2x} = -\dfrac{10}{3} \) bulunur.
SORU:
Bir \( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeninde,
\( \cos{\hat{A}} = \dfrac{4}{5} \) ve \( \cos{\hat{B}} = \dfrac{5}{13} \) ise \( \sin{\hat{C}} \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( \cos{\hat{A}} = \dfrac{4}{5} \Longrightarrow \sin{\hat{A}} = \dfrac{3}{5} \) olur.
\( \cos{\hat{B}} = \dfrac{5}{13} \Longrightarrow \sin{\hat{B}} = \dfrac{12}{13} \) olur.
\( m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = 180° \)
\( m(\hat{C}) = 180° - [m(\hat{A}) + m(\hat{B})] \)
Eşit açıların trigonometrik değerleri de eşittir.
\( \sin{\hat{C}} = \sin(180° - (\hat{A} + \hat{B})) \)
\( = \sin(\hat{A} + \hat{B}) \)
Sinüs toplam formülünü uygulayalım.
\( = \sin{\hat{A}} \cdot \cos{\hat{B}} + \cos{\hat{A}} \cdot \sin{\hat{B}} \)
\( = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{5}{13} + \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{12}{13} = \dfrac{63}{65} \) bulunur.
SORU:
\( a + b = \dfrac{\pi}{6} \) ise \( (\cos{a} + \cos{b})^2 + (\sin{a} - \sin{b})^2 \) ifadesinin eşiti kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen ifadeyi açık haliyle yazalım.
\( (\cos{a} + \cos{b})^2 + (\sin{a} - \sin{b})^2 \)
\( = \cos^2{a} + 2 \cdot \cos{a} \cdot \cos{b} + \cos^2{b} \) \( + \sin^2{a} - 2 \cdot \sin{a} \cdot \sin{b} + \sin^2{b} \)
Sinüs/kosinüs kare toplamı özdeşliğini kullanarak ifadeyi sadeleştirelim.
\( = 1 + 1 + 2(\cos{a} \cdot \cos{b} - \sin{a} \cdot \sin{b}) \)
Parantez içindeki ifade kosinüs toplam formülüdür.
\( = 2 + 2\cos(a + b) \)
\( = 2 + 2\cos{\dfrac{\pi}{6}} \)
\( = 2 + 2\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
\( = 2 + \sqrt{3} \) bulunur.
