Tanımı net ve herkes tarafından aynı şekilde anlaşılan birbirinden farklı nesneler topluluğuna küme denir.
Aşağıdaki tabloda her satırda bu tanımı sağlamayan ve sağlayan birer örnek verilmiştir.
| Küme Değil | Küme |
|---|---|
| Bir sınıftaki çalışkan öğrenciler | Bir sınıfta bu dönem takdir alan öğrenciler |
| Uzun boylu insanlar | Boyu 1.80 m'den uzun insanlar |
| Hızlı koşan hayvanlar | Kedigiller familyasındaki hayvanlar |
| Büyük sayılar | 7 basamaklı sayılar |
| Çok satan kitaplar | Orhan Pamuk'un kitapları |
| Türkiye'nin batısındaki şehirler | Ege Denizi'ne kıyısı olan şehirler |
Kümeler genellikle \( A \), \( B \), \( C \) gibi büyük harflerle isimlendirilirler. Kümelerin en sık kullanılan gösterim şeklinde kümenin elemanları "{ }" küme parantezleri içinde ve virgülle ayrılarak listelenir.
\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \)
\( B = \{ a, b, c, d \} \)
I. Yılın "P" harfi ile başlayan ayları
II. "M" harfi ile başlayan iki erkek adı
III. Çok gol atan futbolcular
IV. Ana renkler
V. Sınıftaki uzun saçlı kızlar
Yukarıdaki ifadelerden hangileri birer küme belirtir?
Çözümü GösterBir kümeyi oluşturan nesnelere o kümenin elemanları denir. Bir elemanın bir kümeye ait olduğunu göstermek için \( \in \) sembolü, bir kümeye ait olmadığını göstermek için ise \( \notin \) sembolü kullanılır.
\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \) olmak üzere,
\( 3 \in A, \quad 4, 5 \in A \)
\( 7 \notin A, \quad 8, 9 \notin A \)
\( \in \) sembolü kullanılırken elemanlar küme parantezi içine alınmaz, bu yüzden aşağıdaki gösterimlerdeki ayrıma dikkat edilmelidir.
\( A = \{ 1, 2, 3, \{ 4 \}, 5 \} \) olmak üzere,
\( 3 \in A, \quad \{ 3 \} \notin A \)
\( \{ 4 \} \in A, \quad 4 \notin A \)
Bir \( A \) kümesinin eleman sayısı \( s(A) \) ya da \( \abs{A} \) ile gösterilir.
\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \) olmak üzere,
\( s(A) = 5 \)
Bir eleman bir küme tanımı içinde sadece bir kez yer alabilir. Ayrıca küme elemanlarının sıralaması önemli değildir ve sıralamanın değiştirilmesi küme tanımını değiştirmez. Buna göre aşağıdaki kümeler birbirine eşittir ve her biri üç elemanlıdır.
\( A = \{ 1, 2, 3 \} \)
\( B = \{ 3, 2, 1 \} \)
\( C = \{ 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3 \} \)
\( A = B = C \)
\( s(A) = s(B) = s(C) = 3 \)
Bir küme eleman olarak sıralı ikili (ya da sıralı n'li) de içerebilir. Örneğin aşağıdaki küme birim çemberin eksenleri kestiği noktaların kümesidir.
\( A = \{ (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) \} \)
\( s(A) = 4 \)
\( (0, 1) \in A \)
Bir küme eleman olarak diğer kümeleri de içerebilir.
\( B = \{ 1, \{ 2, 3 \}, \{ 4, 5, 6 \} \} \)
\( s(B) = 3 \)
\( 1 \in B \)
\( \{ 2, 3 \} \in B \)
\( \{ 4, 5, 6 \} \in B \)
\( 2 \notin B \)
"DERSPRESSO" kelimesinin harflerinden oluşan küme kaç elemanlıdır?
Çözümü Göster\( A = \{1, \{2\}, 2, a, \{c, d\}, e\} \)
\( A \) kümesi için aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. \( \{1\} \in A \)
II. \( \{2\} \in A \)
III. \( a \in A \)
IV. \( \{c\} \notin A \)
V. \( \{c, d\} \in A \)
VI. \( \{a, e\} \in A \)
Çözümü GösterHiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.
Her \( x \) için, \( x \notin \emptyset \)
Boş küme iki şekilde gösterilir.
\( A = \{ \} \)
\( A = \emptyset \)
\( s(A) = 0 \)
Aşağıdaki \( B \) kümesi boş kümeyi değil, elemanı \( \emptyset \) olan tek elemanlı bir kümeyi ifade eder.
\( B = \{ \emptyset \} \)
\( \emptyset \in B \)
\( B \ne \emptyset \)
\( s(B) = 1 \)
Tek bir boş küme vardır, bunun sonucu olarak iki boş küme birbirine eşittir.
Aşağıdakilerden hangileri boş kümedir?
\( A = \{ 0 \} \)
\( B = \{ \emptyset \} \)
\( C = 0 \)
\( D = \{ \} \)
\( E = \emptyset \)
Çözümü Göster\( A = \{x: 0 \lt x \lt 1, x \in \mathbb{Z}\} \)
\( B = \{x: x^2 + 4x + 4 = 0, x \in \mathbb{Z}\} \)
\( C = \{x: x^2 + 9 = 0, x \in \mathbb{R}\} \)
\( D = \{x: \abs{x^3 - 4x + 5} + 8 = 6, x \in \mathbb{Z}\} \)
Yukarıdaki kümelerden hangileri boş kümedir?
Çözümü GösterÜzerinde işlem yapılan konu ya da bağlamdaki tüm kümeleri ve elemanları kapsayan kümeye evrensel küme denir ve \( E \) ile gösterilir.
Bir okuldaki öğrencilerin ilgilendikleri spor dallarını birer küme olarak göstermek istersek (futbol oynayan öğrenciler, voleybol oynayan öğrenciler vb.), evrensel küme tüm insanlar ya da öğrenciler değil, bu okuldaki öğrenciler olacaktır.
Elemanları aynı olan kümelere eşit küme denir. Eşit kümeler "\( = \)" sembolü ile gösterilir.
Her \( x \) için, \( x \in A \Leftrightarrow x \in B \) ise,
\( A \) ve \( B \) eşit kümelerdir.
\( A = \{ a, b, c \} \)
\( B = \{ c, a, b \} \)
\( A = B \)
\( s(A) = s(B) = 3 \)
Eleman sayıları eşit olan ve elemanları arasında birebir eşleşme kurulabilen kümelere denk küme denir. Denk kümelerin elemanlarının aynı olması gerekmez, eleman sayılarının eşit olması yeterlidir. Denk kümeler "\( \equiv \)" sembolü ile gösterilir.
\( A = \{ 1, 2, 3 \} \)
\( B = \{ a, b, c \} \)
\( A \equiv B \)
\( s(A) = s(B) = 3 \)
Birbirine eşit kümeler aynı zamanda denktir, ama birbirine denk kümeler eşit olmayabilir.
\( A = \{x: x^2 + 8 = 0, x \in \mathbb{R}\} \)
\( B = \{-4, -2, 0, 2, 4\} \)
\( C = \{x: x(x^2 - 1)(x^2 - 4) = 0, x \in \mathbb{R}\} \)
Yukarıdaki kümelerden hangileri denktir?
Çözümü GösterSonlu sayıda elemana sahip olan ya da boş küme olan kümelere sonlu küme denir.
Sonlu kümelere aşağıdaki örnekleri verebiliriz.
\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \)
\( B = \{ \text{Türk alfabesindeki harfler} \} \)
\( C = \{ x \in \mathbb{Z} : 10 \le x \lt 100 \} \)
Bir sonlu kümenin herhangi bir alt kümesi ve iki sonlu kümenin birleşim kümesi de birer sonlu kümedir.
Sonsuz sayıda elemana sahip olan kümelere sonsuz küme denir.
Sonsuz kümelere aşağıdaki örnekleri verebiliriz.
Doğal sayılar kümesi: \( \mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, 3, \ldots \} \)
Çift sayılar kümesi: \( A = \{ \ldots, -4, -2, 0, 2, 4, \ldots \} \)
Analitik düzlemde \( y = x \) doğrusu üzerindeki noktalar
Bir sonsuz kümeyi kapsayan bir diğer küme ve iki sonsuz kümenin birleşim kümesi (örneğin tek ve çift sayılar kümelerinin birleşimi) de birer sonsuz kümedir.
\( A = \{x: 0 \lt x \lt 1, x \in \mathbb{R}\} \)
\( B = \{x: 0 \lt x \lt 10, x \in \mathbb{Z}\} \)
\( C = \{x: -\infty \lt x \le 8, x \in \mathbb{N}\} \)
\( D = \{x: x \lt 4, x \in \mathbb{Z}\} \)
\( E = \{x: x \gt -10, x \in \mathbb{Z^-}\} \)
Yukarıdaki kümelerden hangileri sonsuz kümedir?
Çözümü GösterSayılar konusunda gördüğümüz sayı kümeleri de sonsuz birer kümedir ve her biri özel birer sembolle isimlendirilirler.
\( \mathbb{N} \): Doğal sayılar kümesi
\( \mathbb{Z} \): Tam sayılar kümesi
\( \mathbb{Z^+} \): Pozitif tam sayılar kümesi
\( \mathbb{Z^-} \): Negatif tam sayılar kümesi
\( \mathbb{Q} \): Rasyonel sayılar kümesi
\( \mathbb{Q'} \): İrrasyonel sayılar kümesi
\( \mathbb{R} \): Reel sayılar kümesi
\( \mathbb{C} \): Karmaşık sayılar kümesi