Alt Küme

\( A \) kümesinin 5 elemanı vardır ve bu elemanlar \( a \), \( b \), \( \{ a \} \), \( \{ a, c \} \) ve \( \{ b, c \} \)'dir.

\( \in \) sembolünü kullanırken elemanlar küme parantezi içine alınmaz, \( \subseteq \) ve \( \subset \) sembollerini kullanırken ise alınır.

Buna göre verilen öncüllerin tümü yanlıştır.

\( \in \) sembolünü kullanırken elemanlar küme parantezi içine alınmaz, \( \subseteq \) ve \( \subset \) sembollerini kullanırken ise alınır.

I. öncül doğrudur. \( \{ 1, 2 \} \) gibi parantez içindeki elemanlar tek birer elemandır.

II. öncül doğrudur. \( 1 \) ve \( 2 \) elemanlarından oluşan küme \( A \) kümesinin alt kümesidir.

III. öncül doğrudur. \( 1 \) ve \( \{ 1 \} \) elemanlarından oluşan küme \( A \) kümesinin alt kümesidir.

IV. öncül doğrudur. \( \{ 1, 2 \} \) \( A \) kümesinin bir elemanıdır.

V. öncül yanlıştır. \( A \) kümesinin \( \{ 2, \{2\} \} \) diye bir elemanı yoktur. İfadenin doğrusu \( \{ 2, \{ 2 \} \} \subset A \) olmalıdır.

Buna göre V. öncül dışındaki öncüller doğrudur.

\( A = \{ 5 \} \) ve \( B = \{ 5, 7 \} \) olduğunda ifade doğru olacağı için I. öncül doğru olabilir.

\( A = \{ 2, 5 \} \) ve \( B = \{ 5 \} \) olduğunda ifade doğru olacağı için II. öncül doğru olabilir.

Her iki küme de boş küme olduğunda ifade doğru olacağı için III. öncül doğru olabilir.

Buna göre 3 öncül de doğru olabilir.

\( Q \) kümesinin \( P \) kümesini kapsadığı bilgisini kullanarak işlemleri sadeleştirelim.

\( (P \cap Q') \cup [P \cup (P' \cap Q)]' \)

\( = \emptyset \cup [P \cup (Q - P)]' \)

\( = \emptyset \cup [Q]' \)

\( = Q' \)

\( A \) kümesinin elemanları aşağıdaki gibidir.

\( A = \{ -8, -7, -6, -5, -4 \} \)

\( s(A) = 5 \)

\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \), öz alt küme sayısı \( 2^n - 1 \) olur.

\( A \) kümesinin alt küme sayısı \( = 2^5 = 32 \)

\( A \) kümesinin öz alt küme sayısı \( = 2^5 - 1 = 31 \)

\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \), öz alt küme sayısı \( 2^n - 1 \) olur.

\( s(A) = a \) ise,

\( 2^a = 32 \)

\( a = 5 \)

\( s(B) = b \) ise,

\( 2^b - 1 = 255 \)

\( b = 8 \)

O halde, \( s(A) + s(B) = a + b = 5 + 8 = 13 \) bulunur.

\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \), öz alt küme sayısı \( 2^n - 1 \) formülü ile bulunur.

\( 2^n + 2^n - 1 = 127 \)

\( 2 \cdot 2^n = 128 \)

\( 2^n = 64 \)

\( n = 6 \) bulunur.

\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) formülü ile bulunur.

Bu kümenin eleman sayısı 3 arttırılırsa, eleman sayısı \( n + 3 \), alt küme sayısı \( 2^{n+3} \) olur.

Alt küme sayısı 56 arttığına göre,

\( 2^{n+3} = 2^n + 56 \)

\( 2^n \cdot 2^3 - 2^n = 56 \)

\( 2^n \cdot 7 = 56 \)

\( n = 3 \) bulunur.

\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) formülü ile bulunur.

\( 2^{n + 2} - 2^n = 96 \)

\( 4 \cdot 2^n - 2^n = 96 \)

\( 2^n = 32 = 2^5 \)

\( n = 5 \)

\( n \) elemanlı bir kümenin \( r \) elemanlı alt küme sayısı \( C(n, r) \) formülü ile bulunur.

\( C(5, 2) = \dfrac{5!}{2! \cdot (5 - 2)!} = 10 \)

\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \), öz alt küme sayısı \( 2^n - 1 \) olur.

\( 2^n - 1 = 2a + 5 \)

\( 2^n = 2a + 6 \)

Eleman sayısı 1 azaltıldığında alt küme sayısındaki azalma:

\( 2^n - 2^{n - 1} = \dfrac{1}{2} \cdot 2^n \)

\( = \dfrac{2a + 6}{2} = a + 3 \)

\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) formülü ile bulunur.

Soruda verilen eşitliği yazalım.

\( 2^{n + 2} = 2^n + 192 \)

\( 4 \cdot 2^n = 2^n + 192 \)

\( 3 \cdot 2^n = 192 \)

\( 2^n = 64 \)

\( n = 6 \) bulunur.

\( n \) elemanlı bir kümenin \( r \) elemanlı alt küme sayısı \( C(n, r) \) formülü ile bulunur.

\( C(6, 2) = \dfrac{6!}{2! \cdot (6 - 2)!} = 15 \) bulunur.

\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \), öz alt küme sayısı \( 2^n - 1 \) formülü ile bulunur.

\( 2^n - 1 = 2a + 3 \)

\( 2^n = 2a + 4 \)

Buna göre kümenin alt küme sayısı \( 2a + 4 \) olur.

Kümenin eleman sayısını 1 azaltırsak alt küme sayısı \( 2^{n - 1} \) olur.

\( 2^{n - 1} = \dfrac{2^n}{2} \)

\( = \dfrac{2a + 4}{2} \)

\( = a + 2 \)

Kümenin alt küme sayısının önceki ve sonraki değerlerinin farkını alalım.

\( 2a + 4 - (a + 2) = a + 2 \) kadar azalır.

\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) formülü ile bulunur.

A kümesinin alt kümelerinin sayısı \( 2^6 = 64 \) olur.

"1" elemanının bulunmadığı alt küme sayısı \( \{2, 3, 4, 5, 6\} \) kümesinin alt küme sayısına eşit, yani \( 2^5 = 32 \) olur.

\( x = 32 \)

\( A \) kümesinin tüm alt kümelerinden "2" ve "4"ün bulunmadığı alt kümeler dışında kalan alt kümeler "2" veya "4"ün en azından birini içerir.

"2" ve "4"ün bulunmadığı alt küme sayısı \( \{ 1, 3, 5, 6 \} \) kümesinin alt küme sayısına eşit, yani \( 2^4 = 16 \) olur.

Buna göre, \( A \) kümesinin "2" veya "4"ün en azından birini içeren alt küme sayısı \( 64 - 16 = 48 \) olarak bulunur.

\( y = 48 \)

\( y - x = 48 - 32 = 16 \) bulunur.

\( n \) elemanlı bir kümenin \( r \) elemanlı alt kümelerinin sayısı \( C(n, r) = \frac{n!}{r! \cdot (n - r)!} \) formülü ile hesaplanır.

6 elemanlı \( M \) kümesinin en az 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı \( = C(6, 4) + C(6, 5) + C(6, 6) \)

\( = \dfrac{6!}{4! \cdot (6 - 4)!} + \dfrac{6!}{5! \cdot (6 - 5)!} + \dfrac{6!}{6! \cdot (6 - 6)!} \)

\( = 15 + 6 + 1 = 22 \)

\( A \) kümesinden \( b \), \( c \) ve \( f \) elemanlarını çıkardığımızda aşağıdaki küme oluşur.

\( A_1 = \{ a, d, e, g \} \)

Bu kümenin alt küme sayısı \( 2^4 = 16 \) olup hiçbirinde \( b \), \( c \) ve \( f \) yoktur. Bu alt kümelerin her birine \( b \) ve \( c \) elemanlarını eklersek, \( b \) ve \( c \) bulunan ama \( f \) bulunmayan 16 küme elde etmiş oluruz.

\( A \) kümesinin tüm alt kümelerinden 2 ve 4'ün bulunmadığı alt kümeler dışında kalan kümeler 2 veya 4'ün en azından birini içerir.

\( A \) kümesinin tüm alt kümelerinin sayısı \( 2^6 = 64 \)'tür.

2 ve 4'ün bulunmadığı alt küme sayısı, \( B = \{ 1, 3, 5, 6 \} \) kümesinin alt küme sayısına eşit olduğundan \( 2^4 = 16 \) olur.

Buna göre, \( A \) kümesinin 2 veya 4'ün en azından birini içeren alt küme sayısı \( 64 - 16 = 48 \) olarak bulunur.

\( A \subseteq K \) olduğu için \( K \) kümesinde \( \{1, 2\} \) elemanları bulunmalıdır.

\( K \subset B \) olduğu için \( \{3, 4, 5, 6\} \) kümesinin boş küme dahil ve kendisi hariç tüm alt (öz alt) kümelerinin yanına \( \{1, 2\} \) elemanlarını ekleyerek istenen koşulu sağlayan kümeler oluşturulabilir.

\( n \) elemanlı bir kümenin tüm öz alt kümelerinin sayısı \( 2^n - 1 \)'dir, dolayısıyla \( \{3, 4, 5, 6\} \) kümesinin elemanları ile \( 2^4 - 1 = 15 \) farklı küme yazılabilir.

Buna göre, istenen koşulu sağlayan 15 farklı \( K \) kümesi yazılabilir.

\( K = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\} \) olarak yazabiliriz.

\( K \) kümesinin 3 elemanlı ve en az bir tek sayı içeren alt kümelerinin sayısı, 3 elemanlı tüm alt kümelerinin sayısı ile 3 elemanlı ve tüm elemanları çift sayı olan alt kümelerinin sayısının farkına eşittir.

\( K \) kümesinin 3 elemanlı tüm alt kümelerinin sayısı \( C(7, 3) = 35 \)'tir.

\( K \) kümesinin 3 elemanlı tüm elemanları çift sayı olan alt kümelerinin sayısı \( \{-4, -2, 0, 2\} \) elemanları ile yazılabilecek 3 elemanlı küme sayısına, yani \( C(4, 3) = 4 \)'e eşittir.

Buna göre, \( K \) kümesinin 3 elemanlı ve en az bir tek sayı içeren alt kümelerinin sayısı \( 35 - 4 = 31 \) olarak bulunur.

\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) olur.

\( 2^{s(A)} = 8 \cdot 2^{s(B)} \)

\( 2^{s(A)} = 2^{s(B) + 3} \)

\( s(A) = s(B) + 3 \)

Kesişim kümesinin eleman sayısının en az (sıfır) olduğu durum kümelerin ayrık olduğu durumdur.

Kesişim kümesinin eleman sayısının en çok olduğu durum ise daha az elemanlı \( B \) kümesinin \( A \)'nın alt kümesi olduğu durumdur.

Buna göre iki kümenin birleşim kümesi \( A \) kümesidir.

\( s(A) = A \cup B = 11 \)

\( s(B) = s(A) - 3 = 8 \)

İki kümenin kesişim kümesi \( B \) kümesidir.

\( s(A \cap B) = s(B) = 8 \)

\( A = \{ x: x \in \mathbb{Z}, -3 \le x - 1 \le 3 \} \)

\( A = \{ -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 \} \)

\( B = \{ x: x \in \mathbb{Z}, -3 \lt x + 1 \lt 3 \} \)

\( B = \{ -3, -2, -1, 0, 1 \} \)

\( A - B = \{ 2, 3, 4 \} \)

\( s(A - B) = 3 \)

\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) olur.

\( 2^3 = 8 \)

\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) formülü ile bulunur.

Buna göre \( s(A) = 4 \) ve \( s(B) = 3 \) olur.

Kesişim kümesinin eleman sayısının en az (sıfır) olduğu durum kümelerin ayrık olduğu durumdur.

Kesişim kümesinin eleman sayısının en çok olduğu durum ise daha az elemanlı \( B \) kümesinin \( A \)'nın alt kümesi olduğu durumdur. Bu durumda \( s(A \cap B) = 3 \) olur.

\( n \) elemanlı bir kümenin \( r \) elemanlı alt küme sayısı \( C(n, r) \) formülü ile bulunur.

\( C(a, 6) = C(a, 5) \) olduğuna göre, kombinasyon kurallarından dolayı \( a = 6 + 5 = 11 \) olur.

Buna göre \( A \) kümesinin 2 elemanlı alt küme sayısı:

\( C(11, 2) = \dfrac{11!}{2! \cdot (11 - 2)!} = 55 \)

\( \{ b, c, e \} \) kümesinin \( 2^3 = 8 \) alt kümesi vardır ve bu kümelerde \( a \) ve \( d \) elemanları yoktur.

Bu alt kümelerin her birine \( d \) elemanını eklersek istenilen koşul elde edilir.

Buna göre istenen alt küme sayısı 8 olur.

İstenen alt küme sayısını \( A \) kümesinin tüm alt kümelerinin sayısından 2 ve 5 elemanlarını aynı anda bulunduran alt kümelerin sayısı çıkararak bulabiliriz.

2 ve 5 elemanlarını içermeyen \( \{ 1, 3, 4, 6 \} \) kümesinin \( 2^4 = 16 \) alt kümesi vardır.

Bu alt kümelerin her birine 2 ve 5 elemanlarını eklersek \( A \) kümesinin bu iki elemanı birlikte bulunduran alt kümelerini bulmuş oluruz.

\( A \) kümesinin toplam alt küme sayısı \( 2^6 = 64 \)'tür.

Buna göre, \( A \) kümesinin içinde 2 veya 5 elemanlarının en çok birinin bulunduğu alt kümelerinin sayısı \( 64 - 16 = 48 \) olur.

\( A \) kümesinin 1 elemanını içermeyen \( 2^{n - 1} = 2^5 = 32 \) alt kümesi vardır.

Toplam alt küme sayısı \( 2^6 = 64 \) olduğuna göre 1 elemanını içeren \( 64 - 32 = 32 \) alt küme vardır.

Bu durum diğer tüm elemanlar için de geçerli olduğu için, alt kümelerin tamamında her elemandan 32'şer tane vardır.

Buna göre alt kümelerdeki tüm elemanları toplamı \( 32(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 672 \) olur.

\( n \) sayının çarpımının tek sayı olması için sayıların tümünün tek olması gerekir.

Buna göre \( \{ 1, 3, 5, 7 \} \) kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulmamız yeterlidir.

\( n \) elemanlı bir kümenin \( r \) elemanlı alt küme sayısı \( C(n, r) \) formülü ile bulunur.

\( C(4, 3) = \dfrac{4!}{3! \cdot (4 - 3)!} = 4 \)

Listedeki negatif sonuçların ortak çarpanı 2 olduğu için -2 \( A \) kümesinin elemanı olmalıdır.

Diğer sonuçları elde etmek için ihtiyacımız olan elemanlar \( 3, 5, 7, 8 \) sayılarıdır.

\( A = \{ -2, 3, 5, 7, 8 \} \)

\( A \) kümesinin elemanları toplamı \( -2 + 3 + 5 + 7 + 8 = 21 \) olur.

İçinde 3 bulunan 5 bulunmayan alt kümeleri bulmak için \( \{ 1, 2, 4, 6 \} \) kümesinin tüm alt kümelerine sonradan 3 elemanı eklenir.

İçinde 3 bulunan 5 bulunmayan alt küme sayısı: \( 2^4 = 16 \)

İçinde 5 bulunan 3 bulunmayan alt kümeleri bulmak için \( \{ 1, 2, 4, 6 \} \) kümesinin tüm alt kümelerine sonradan 5 elemanı eklenir.

İçinde 5 bulunan 3 bulunmayan alt küme sayısı: \( 2^4 = 16 \)

Buna göre istenen alt küme sayısı \( 16 + 16 = 32 \) olarak bulunur.

İçinde \( a \) bulunan alt kümeleri bulmak için \( \{ b, c, d, e, f \} \) kümesinin tüm alt kümelerine sonradan \( a \) elemanı eklenir.

İçinde \( a \) bulunan alt küme sayısı: \( x = 2^5 = 32 \)

İçinde \( b \) bulunan alt kümeleri bulmak için \( \{ a, c, d, e, f \} \) kümesinin tüm alt kümelerine sonradan \( b \) elemanı eklenir.

İçinde \( b \) bulunan alt küme sayısı: \( 2^5 = 32 \)

İçinde \( a \) veya \( b \) bulunan alt kümelerin sayısını, içinde \( a \) bulunan ve \( b \) bulunan kümelerin sayısının toplamından içinde \( a \) ve \( b \) aynı anda bulunan kümelerin sayısını çıkararak bulabiliriz.

İçinde hem \( a \) hem \( b \) bulunan alt kümeleri bulmak için \( \{ c, d, e, f \} \) kümesinin tüm alt kümelerine sonradan \( a \) ve \( b \) elemanları eklenir.

İçinde hem \( a \) hem \( b \) bulunan alt küme sayısı: \( 2^4 = 16 \)

İçinde \( a \) veya \( b \) bulunan alt kümelerin sayısı:

\( y = 32 + 32 - 16 = 48 \)

Buna göre, \( y - x = 48 - 32 = 16 \) olarak bulunur.

4 elemanlı alt kümelerin elemanlarının toplamını yazalım.

\( a + b + c + d = 30 \)

\( a + b + c + e = 28 \)

\( a + b + d + e = 43 \)

\( a + c + d + e = 34 \)

\( b + c + d + e = 25 \)

Eşitlikleri taraf tarafa toplayalım.

\( 4(a + b + c + d + e) = 160 \)

\( a + b + c + d + e = 40 \)

Yukarıdaki eşitliklerin her birini bu denklemde yerine koyarsak sırayla bilinmeyen sayıların değerlerini buluruz.

\( a = 15, b = 6, c = -3, d = 12, e = 10 \)

En küçük ve en büyük değerler arasındaki farkı bulalım.

\( 15 - (-3) = 18 \) bulunur.

\( S \) kümesindeki asal sayılar 2, 3, 5 ve 7'dir.

Asal sayı olarak seçilen her sayı için alt küme sayısını ayrı ayrı bulalım.

Asal sayı olarak 2'yi seçelim.

2 ile aynı alt kümede \( \{4, 6, 8, 9, 10\} \) kümesinin elemanlarını kullanabiliriz.

Asal sayı elemanı 2 olan ve istenen koşulu sağlayan \( 2^5 = 32 \) farklı alt küme yazılabilir.

Asal sayı olarak 3'ü seçelim.

3 ile aynı alt kümede \( \{4, 6, 8, 9, 10\} \) kümesinin elemanlarını kullanabiliriz.

Asal sayı elemanı 3 olan ve istenen koşulu sağlayan \( 2^5 = 32 \) farklı alt küme yazılabilir.

Asal sayı olarak 5'i seçelim.

5 ile aynı alt kümede \( \{6, 8, 9, 10\} \) kümesinin elemanlarını kullanabiliriz.

Asal sayı elemanı 5 olan ve istenen koşulu sağlayan \( 2^4 = 16 \) farklı alt küme yazılabilir.

Asal sayı olarak 7'yi seçelim.

7 ile aynı alt kümede \( \{8, 9, 10\} \) kümesinin elemanlarını kullanabiliriz.

Asal sayı elemanı 7 olan ve istenen koşulu sağlayan \( 2^3 = 8 \) farklı alt küme yazılabilir.

Her asal sayı için bulduğumuz alt küme sayılarını toplayalım.

\( 32 + 32 + 16 + 8 = 88 \) farklı alt küme yazılabilir.