Kümelerin Kesişimi

İki ya da daha fazla kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye bu kümelerin kesişim kümesi denir ve bu kümelerin arasına konan bir \( \cap \) sembolü ile gösterilir.

Kesişim kümesinin ortak özellik yöntemi ile tanımı aşağıdaki gibidir.

İki kümenin kesişim kümesinin liste ve Venn şeması gösterimleri aşağıdaki gibidir.

İki kümenin kesişimi
İki kümenin kesişimi

Üç kümenin kesişim kümesinin liste ve Venn şeması gösterimleri aşağıdaki gibidir.

Üç kümenin kesişimi
Üç kümenin kesişimi

Bu üç kümenin ikili kesişim kümeleri de aşağıdaki gibi olur. Dikkat edilirse ikili kesişim kümeleri üçlü kesişim kümesini de kapsar.

Ayrık Küme

Ortak elemanları olmayan, bir diğer ifadeyle kesişim kümeleri boş küme olan kümelere ayrık küme denir.

Ayrık iki kümenin liste ve Venn şeması gösterimleri aşağıdaki gibidir.

Ayrık kümeler
Ayrık kümeler

İkişerli Ayrık Kümeler

İkiden fazla kümenin ayrık olması iki farklı şekilde olabilir.

Aşağıda bir örneği verilen birinci durumda kümelerin tümünde ortak olan bir eleman yoktur, ama kümelerin ikişerli kesişim kümelerine baktığımızda ortak elemanlar olabilir. Bir diğer ifadeyle, kümeler ikişerli olarak kesişebilir, ama tümünün ortak bir kesişimi yoktur.

Aşağıda bir örneği verilen ikinci durumda ise kümelerin ikişerli de dahil olmak üzere hiçbir ortak elemanı yoktur. Bir diğer ifadeyle, kümeler ikişerli olarak da kesişmezler.

İkiden fazla kümenin ayrık olduğunu belirttiğimizde kastetmek istediğimiz çoğu zaman bu ikinci durum olacaktır, bunu daha net ifade etmek için kullanabileceğimiz ifade bu kümelerin ikişerli ayrık olmasıdır.

Kesişim İşlem Özellikleri

Kesişim işleminin değişme özelliği vardır.

\( A \cap B = B \cap A \)

Kesişim işleminin birleşme özelliği vardır.

\( A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C \)


ÖRNEK:

\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \)

\( B = \{ 1, 2, 3, 6, 7 \} \)

\( C = \{ 1, 2, 4, 6, 8 \} \)

\( A \cap (B \cap C) = A \cap \{ 1, 2, 6 \} \) \( = \{ 1, 2 \} \)

\( (A \cap B) \cap C = \{ 1, 2, 3 \} \cap C \) \( = \{ 1, 2 \} \)

Kesişim işleminin birleşme işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.

\( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \)

\( (A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C) \)


ÖRNEK:

\( A = \{ 1, 2, 3 \} \)

\( B = \{ 2, 4, 5 \} \)

\( C = \{ 3, 4, 6 \} \)

\( A \cap (B \cup C) = A \cap \{ 2, 3, 4, 5, 6 \} \) \( = \{ 2, 3 \} \)

\( (A \cap B) \cup (A \cap C) = \{ 2 \} \cup \{ 3 \} \) \( = \{ 2, 3 \} \)


\( (A \cup B) \cap C = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \cap C \) \( = \{ 3, 4 \} \)

\( (A \cap C) \cup (B \cap C) = \{ 3 \} \cup \{ 4 \} \) \( = \{ 3, 4 \} \)

Kesişim işleminin birim (etkisiz) elemanı evrensel kümedir.

\( A \cap E = A \)

Kesişim İşlem Kuralları

Tüm kümelerin boş küme ile kesişimi boş kümedir.

\( A \cap \emptyset = \emptyset \)

Tüm kümelerin kendisiyle kesişimi kendisidir.

\( A \cap A = A \)

Tüm kümelerin evrensel kümeyle kesişimi kendisidir.

\( A \cap E = A \)

\( A \) kümesi \( B \) kümesinin bir alt kümesiyse kesişimleri \( A \) kümesi olur.

\( A \subseteq B \) olmak üzere,

\( A \cap B = A \)

\( A \) ve \( B \) kümelerinin kesişimi her iki kümenin de alt kümesidir.

\( (A \cap B) \subseteq A \)

\( (A \cap B) \subseteq B \)

SORU:

\( A = \{ x: x = 3a + 2, a \in \mathbb{N} \} \)

\( B = \{ x: x = 5b + 2, b \in \mathbb{N} \} \) olduğuna göre,

\( A \cap B \) kümesinin en küçük üç elemanının toplamı kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( A' \subset B' \) olmak üzere \( A \) ve \( B \) kümeleri veriliyor.

Buna göre \( A \cap B' \) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

(a) \( A \cup B \)

(b) \( A - B \)

(c) \( B - A \)

(d) \( A' \)

(e) \( B \)

Çözümü Göster


« Önceki
Kümelerle İşlemler
Sonraki »
Kümelerin Birleşimi


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır