Kümelerin Kesişimi

İki ya da daha fazla kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye bu kümelerin kesişim kümesi denir ve bu kümelerin arasına konan bir \( \cap \) sembolü ile gösterilir.

Kesişim kümesinin ortak özellik yöntemi ile tanımı aşağıdaki gibidir.

İki kümenin kesişim kümesinin liste ve Venn şeması gösterimleri aşağıdaki gibidir.

İki kümenin kesişimi
İki kümenin kesişimi

Üç kümenin kesişim kümesinin liste ve Venn şeması gösterimleri aşağıdaki gibidir.

Üç kümenin kesişimi
Üç kümenin kesişimi

Bu üç kümenin ikili kesişim kümeleri de aşağıdaki gibi olur. Dikkat edilirse ikili kesişim kümeleri üçlü kesişim kümesini de kapsar.

Ayrık Küme

Ortak elemanları olmayan, bir diğer ifadeyle kesişim kümeleri boş küme olan kümelere ayrık küme denir.

Ayrık iki kümenin liste ve Venn şeması gösterimleri aşağıdaki gibidir.

Ayrık kümeler
Ayrık kümeler

Yukarıdaki tanıma göre boş küme dahil her küme boş küme ile ayrık kümelerdir.

İkişerli Ayrık Kümeler

İkiden fazla kümenin ayrık olması iki farklı şekilde olabilir.

Aşağıda bir örneği verilen birinci durumda kümelerin tümünde ortak olan bir eleman yoktur, ama kümelerin ikişerli kesişim kümelerine baktığımızda ortak elemanlar olabilir. Bir diğer ifadeyle, kümeler ikişerli olarak kesişebilir, ama tümünün ortak bir kesişimi yoktur.

Aşağıda bir örneği verilen ikinci durumda ise kümelerin ikişerli de dahil olmak üzere hiçbir ortak elemanı yoktur. Bir diğer ifadeyle, kümeler ikişerli olarak da kesişmezler.

İkiden fazla kümenin ayrık olduğunu belirttiğimizde kastetmek istediğimiz çoğu zaman bu ikinci durum olacaktır, bunu daha net ifade etmek için kullanabileceğimiz ifade bu kümelerin ikişerli ayrık olmasıdır.

Kesişim İşlem Özellikleri

Kesişim işleminin değişme özelliği vardır.

\( A \cap B = B \cap A \)


İSPATI GÖSTER

Kesişim işleminin birleşme özelliği vardır.

\( A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C \)


ÖRNEK:

\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \)

\( B = \{ 1, 2, 3, 6, 7 \} \)

\( C = \{ 1, 2, 4, 6, 8 \} \)

\( A \cap (B \cap C) = A \cap \{ 1, 2, 6 \} \) \( = \{ 1, 2 \} \)

\( (A \cap B) \cap C = \{ 1, 2, 3 \} \cap C \) \( = \{ 1, 2 \} \)


İSPATI GÖSTER

Kesişim işleminin değişme ve birleşme özellikleri olduğu için, sadece kesişim işleminden oluşan bir ifadede kümeler arasındaki parantezler kaydırılabilir ya da kaldırılabilir ve kümelerin sırası değiştirilebilir.

Kesişim işleminin birleşme işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.

\( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \)

\( (A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C) \)


ÖRNEK:

\( A = \{ 1, 2, 3 \} \)

\( B = \{ 2, 4, 5 \} \)

\( C = \{ 3, 4, 6 \} \)

\( A \cap (B \cup C) = A \cap \{ 2, 3, 4, 5, 6 \} \) \( = \{ 2, 3 \} \)

\( (A \cap B) \cup (A \cap C) = \{ 2 \} \cup \{ 3 \} \) \( = \{ 2, 3 \} \)


\( (A \cup B) \cap C = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \cap C \) \( = \{ 3, 4 \} \)

\( (A \cap C) \cup (B \cap C) = \{ 3 \} \cup \{ 4 \} \) \( = \{ 3, 4 \} \)


İSPATI GÖSTER

Kesişim işleminin birim (etkisiz) elemanı evrensel kümedir.

\( A \cap E = A \)

Kesişim İşlem Kuralları

Bir kümenin boş küme ile kesişimi boş kümedir.

\( A \cap \emptyset = \emptyset \)


İSPATI GÖSTER

Bir kümenin kendisiyle kesişimi kendisine eşittir.

\( A \cap A = A \)


İSPATI GÖSTER

Bir kümenin evrensel kümeyle kesişimi kendisine eşittir.

\( A \cap E = A \)

Bir küme bir diğer kümenin alt kümesiyse kesişimleri birinci küme olur.

\( A \subseteq B \) ise,

\( A \cap B = A \)


İSPATI GÖSTER

İki kümenin kesişimi, her iki kümenin de alt kümesidir.

\( A \cap B \subseteq A \)

\( A \cap B \subseteq B \)


İSPATI GÖSTER

Bir küme ayrı ayrı iki kümenin alt kümesi ise kesişim kümelerinin de alt kümesidir.

SORU 1:

\( A = \{ x: x = 3a + 2, a \in \mathbb{N} \} \)

\( B = \{ x: x = 5b + 2, b \in \mathbb{N} \} \) olduğuna göre,

\( A \cap B \) kümesinin en küçük üç elemanının toplamı kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 2:

\( A' \subset B' \) olmak üzere \( A \) ve \( B \) kümeleri veriliyor.

Buna göre \( A \cap B' \) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

(a) \( A \cup B \)

(b) \( A - B \)

(c) \( B - A \)

(d) \( A' \)

(e) \( B \)

Çözümü Göster
SORU 3:

\( K \) kümesinin alt kümelerinin sayısı 32, \( L \) kümesinin alt kümelerinin sayısı 16 olduğuna göre,

\( K \cap L \) kümesinin eleman sayısı en çok kaç olabilir?

Çözümü Göster
SORU 4:
Soru

Yukarıdaki Venn şemasında,

2 ile tam bölünen tam sayılar kümesi \( A \),

3 ile tam bölünen tam sayılar kümesi \( B \),

24 ile tam bölünen tam sayılar kümesi \( C \)

olduğuna göre, aşağıdaki sayılardan hangileri taralı bölgenin bir elemanıdır?

0, 48, 60, 72, 84

Çözümü Göster
SORU 5:

\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,

\( A = \{3, 9, 27, k\} \)

kümesinin her bir elemanı 3 ile çarpılarak dört elemanlı yeni bir küme elde ediliyor.

Bu iki kümenin kesişim kümesi 3 elemanlı olduğuna göre, \( k \)'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 6:
Soru

Yukarıdaki Venn şemasında,

\( 3 \)'e tam bölünen sayılar kümesi \( A \),

\( 5 \)'e tam bölünen sayılar kümesi \( B \),

\( 10 \)'a tam bölünen sayılar kümesi \( C \)

olduğuna göre, aşağıdaki sayılardan hangileri taralı bölgenin bir elemanıdır?

0, 5, 10, 15, 20, 30, 45, 135

Çözümü Göster
SORU 7:

\( A = \{x: x = 3k, k \in \mathbb{Z^+}, x \lt 30\} \)

\( B = \{x: x = 2k, k \in \mathbb{Z^+}, x \le 10\} \)

\( C = \{x: x = 5k, k \in \mathbb{Z^+}, x \le 25\} \)

kümeleri veriliyor. Bu kümeleri kapsayan evrensel küme,

\( E = \{x: x \in \mathbb{Z^+}, x \le 30\} \)

olduğuna göre, bu kümelerin eleman sayılarını Venn şemasında gösterin.

Çözümü Göster

« Önceki
Kümelerle İşlemler
Sonraki »
Kümelerin Birleşimi


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır