İki Kümenin Farkı

\( A \) kümesinde olup \( B \) kümesinde olmayan elemanların kümesine \( A \) fark \( B \) kümesi denir ve \( A - B \) ya da \( A \setminus B \) şeklinde gösterilir.

İki kümenin farkının ortak özellik yöntemi ile tanımı aşağıdaki gibidir.

Bir kümenin diğer bir kümeden farkının liste ve Venn şeması gösterimleri aşağıdaki gibidir.

İki kümenin farkı
İki kümenin farkı

Yukarıdaki şemada görebileceğimiz gibi, iki kümenin birbirinden farklarının birleşimini iki kümenin birleşim kümesinin kesişim kümesinden farkı olarak da yazabiliriz.

Benzer şekilde iki kümenin birleşimini kümelerin birbirlerinden farkları ve kesişimlerinin birleşimi şeklinde yazabiliriz.

Yine şemada görebileceğimiz gibi, bir \( A \) kümesinin \( B \) kümesinden farkı, \( A \) ve \( B' \) kümelerinin kesişimine eşittir.

Bir kümeyi diğer bir kümeden farkı ve onunla kesişiminin birleşimi şeklinde de tanımlayabiliriz.

Simetrik Fark

İki kümenin simetrik farkı, kümelerin birleşim kümesinde olup kesişim kümesinde olmayan elemanlardan oluşur. Bir diğer ifadeyle, iki kümenin simetrik farkı kümelerin ayrı ayrı birbirlerinden farklarının birleşim kümesine eşittir. İki kümenin simetrik farkı \( A \triangle B \) şeklinde gösterilir.

İki kümenin simetrik farkının ortak özellik yöntemi ile tanımı aşağıdaki gibidir.

İki kümenin simetrik farkı
İki kümenin simetrik farkı

Simetrik farkı aşağıdaki iki şekilde de ifade edebiliriz.

SORU 1:

\( K, L, M, N \) birer kümedir.

\( K = \{13, 14, 15, 16\} \)

\( L = \{14, 18, 21, 30\} \)

\( M = \{13, 16, 21, 30\} \)

\( N = \{16, 23, 27, 32\} \)

Buna göre, \( (K \triangle L) \triangle (M \triangle N) \) işleminin sonucu kaç elemanlıdır?

Çözümü Göster

Fark İşlem Özellikleri

Fark işleminin değişme özelliği yoktur.

Simetrik fark işleminin değişme özelliği vardır.

Fark İşlem Kuralları

Bir kümenin boş kümeden farkı kendisine eşittir.

Bir kümenin bir üst kümesinden farkı boş kümedir.

Yukarıdaki tanıma göre, bir kümenin kendisinden ve evrensel kümeden farkı boş kümedir.

Evrensel kümenin bir kümeden farkı o kümenin tümleyenidir.

Bir kümenin diğer bir kümeden farkı kendisinin alt kümesidir.

\( A - B \subseteq A \)


İSPATI GÖSTER

Bir kümenin diğer bir kümeden farkı kümenin kendisine eşitse bu kümeler ayrık kümelerdir (kesişimleri boş kümedir). Aynı şekilde, iki küme ayrık ise kümelerden birinin diğerinden farkı kümenin kendisine eşittir.

Bir küme diğer bir kümenin alt kümesi ise alt kümenin kapsayan kümeden farkı boş kümedir.

Bir kümenin diğer iki kümenin birleşiminden farkı, bu kümenin diğer iki küme ile ayrı ayrı farklarının kesişimine eşittir.

A'nın B ve C'nin birleşiminden farkı
A'nın B ve C'nin birleşiminden farkı

Benzer şekilde, bir kümenin diğer iki kümenin kesişiminden farkı, bu kümenin diğer iki küme ile ayrı ayrı farklarının birleşimine eşittir.

A'nın B ve C'nin kesişiminden farkı
A'nın B ve C'nin kesişiminden farkı
SORU 2:

\( s(A - B) = 4, \quad s(B - A) = 2 \)

\( A \cup B \)'nin öz alt küme sayısı 511 ise, \( s(A) \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 3:
Soru

Yukarıdaki şemaya göre taralı bölge nasıl ifade edilir?

Çözümü Göster
SORU 4:

\( s(A \cup B) = 8 \) ve \( s(B - A) = 5 \) olduğuna göre, \( A \) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 5:

\( A \) ve \( B \) kümeleri aynı evrensel kümenin iki alt kümesidir.

\( s(A') = 7 \) ve \( s(B') = 11 \) olduğuna göre, \( s(A) - s(B) \) değeri kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 6:

\( A \) ve \( B \) aynı evrensel kümenin alt kümeleridir.

\( (A \cup B) \cap (B' - A)' \) kümesinin en sade hali nedir?

Çözümü Göster
SORU 7:

\( A \) ve \( B \) boş olmayan iki kümedir.

\( 3 \cdot s(A - B) = s(B - A) \) ve \( s(A) + 2 \cdot s(B) = 42 \) olduğuna göre,

\( A \cup B \) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 8:

\( A_p = \{ x: (-1)^p \lt \dfrac{x}{p} \lt 4 \} \) olduğuna göre,

\( A_1 - A_2 \) kümesi nedir?

Çözümü Göster
SORU 9:

Boş kümeden farklı \( A \) ve \( B \) kümeleri için,

\( 3s(A - B) = 4s(A - B') = 5s(B - A) \) olduğuna göre, \( A \cup B \) kümesinin eleman sayısı en az kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 10:

\( s(A - B') = x - 1 \), \( s[B - (A \cap B)] = 2x + 3 \) ve \( s(B) = 11 \) olduğuna göre \( s(A \cap B) \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 11:

I. \( \{ 3 \} \cup A = A \)

II. \( \{ 3 \} - A = \emptyset \)

III. \( s(A \cap \{ 3 \}) = 1 \)

IV. \( A - \{ 3 \} = \emptyset \)

ifadelerinden hangileri tek başına sağlandığında 3 sayısı kesinlikle \( A \) kümesinin elemanı olur?

Çözümü Göster
SORU 12:

\( s(A - B) = 4 \)

\( s(A' \cap B') = 3 \)

\( s(A' \cup B') = 12 \) olduğuna göre,

\( B - A \) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 13:
Soru

Yukarıdaki Venn şemasındaki \( K \), \( L \) ve \( M \) kümeleri için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

I. \( K - L = \{a, e, h, l\} \)

II. \( L - M = \{b, f, m, n\} \)

III. \( K - M = \{a, f, l\} \)

IV. \( M - L = \{c, d\} \)

V. \( L - K = \{b, g, m, n\} \)

Çözümü Göster
SORU 14:

\( A \) ve \( B \) boş kümeden farklı birer kümedir.

\( s(A - B) = 3 \cdot s(B - A) = 5 \cdot s(A \cap B) \)

olduğuna göre, \( s(A \cup B) \) en az kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 15:

\( K \) ve \( L \) birer kümedir.

\( \dfrac{s(K - L)}{3} = \dfrac{s(L - K)}{5} = \dfrac{s(K \cap L)}{2} \)

\( s(K \cup L) = 90 \)

olduğuna göre, \( s(K) \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 16:
Soru

Yukarıdaki şemaya göre, taralı kısmın küme gösterimi hangisidir?

(a) \( B - (A \cap B \cap C) \)

(b) \( B - (A \cap C) \)

(c) \( (A \cap C) - B \)

(d) \( A \cap (B \cup C) \)

(e) \( (A \cup C) - B \)

Çözümü Göster
SORU 17:

\( (A - \emptyset) \cap (\emptyset - A) \) kümesinin eşiti nedir?

Çözümü Göster
SORU 18:

\( A \) ve \( B \) kümeleri \( E \) evrensel kümesinin alt kümeleridir.

\( (A' \cap B')' \cup (B' - A)' \)

kümesinin eşiti nedir?

Çözümü Göster
SORU 19:

\( U = \{x: 0 \le x \le 25, x \in \mathbb{Z}\} \)

\( A \) kümesi \( U \) kümesindeki tek sayı elemanlardan, \( B \) kümesi \( A \) kümesindeki asal sayılar elemanlardan, \( C \) kümesi de \( U \) kümesindeki 4'e tam bölünen elemanlardan oluşmaktadır.

Buna göre \( U - (A \cup B \cup C) \) kümesinin elemanlarının toplamı nedir?

Çözümü Göster
SORU 20:

\( A \) ve \( B \) birer küme olmak üzere,

\( A \cup B \) kümesinin öz alt kümelerinin sayısı 63,

\( s(A) = s(B) - 3, \quad s(A \cap B) = 1 \)

olduğuna göre, \( B - A \) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 21:

\( B \not\subset A, \quad s(A - B) = 5 \)

\( A \) kümesinin alt kümelerinin sayısı 128 olduğuna göre,

\( B \) kümesinin alt kümelerinin sayısı en az kaç olabilir?

Çözümü Göster
SORU 22:
Soru

Yukarıdaki şekildeki \( p, q, r, s \) harfleri bulundukları bölgeleri temsil etmektedir.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi taralı bölgeyi ifade eder?

(a) \( (A \cap B) \cap C \)

(b) \( (A \cap B) - C \)

(c) \( (A \cap C) - B \)

(d) \( A - (B \cup C) \)

(e) \( C - A \)

Çözümü Göster
SORU 23:
Soru

Yukarıdaki şekildeki \( p, q, r, s, t, k, l \) harfleri bulundukları bölgeleri temsil etmektedir.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi taralı bölgeyi ifade eder?

(a) \( A - (B \cup C) \)

(b) \( C - (A \cup B) \)

(c) \( B - (A \cup C) \)

(d) \( [A \cap (B \cap C)] \cup [(C \cap B) - A] \)

(e) \( [(A \cap C) - B] \cup [(A \cap B) - C] \)

Çözümü Göster
SORU 24:
Soru

Yukarıdaki Venn şemasında,

  • E harfi ile başlayan kelimeler kümesi \( A \),
  • K harfi ile biten kelimeler kümesi \( B \),
  • 4 harfli kelimeler kümesi \( C \)

ile gösterilmiştir. Buna göre,

\( K = \{ \text{Ekmek, Erik, Karpuz, Eşek, Elma, Kenan, Buse, Ecem} \} \)

kümesinin elemanlarından kaç tanesi şekildeki taralı bölgelerin elemanıdır?

Çözümü Göster
SORU 25:
Soru

Yukarıda verilen \( A \), \( B \) ve \( C \) kümelerinin Venn şemalarındaki \( p, q, r, s, t, k, l \) harfleri bulundukları bölgeleri temsil etmektedir.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi taralı bölgeleri ifade eder?

(a) \( A \cap (B \cap C) \)

(b) \( (A - C) - (B - C) \)

(c) \( [C - (A \cup B)] \cup [(A \cap B) - C] \)

(d) \( A - (C \cup B) \)

(e) \( B - (C \cup A) \)

Çözümü Göster
SORU 26:

\( A = \{ \text{Sınıftaki kız öğrenciler} \} \)

\( B = \{ \text{Sınıftaki takdir alan öğrenciler} \} \)

\( C = \{ \text{Sınıftaki mavi gözlü öğrenciler} \} \)

\( D = \{ \text{Sınıftaki sarışın öğrenciler} \} \)

Yukarıda verilen kümelere göre,

\( [(A \cap C) - D] \cup B' \)

kümesi hangi öğrencileri içerir?

Çözümü Göster
SORU 27:
Soru

Şekildeki taralı bölgenin ifadesi aşağıdakilerden hangisi olamaz?

(a) \( (C \cap A) - B \)

(b) \( (C - A) \cap B \)

(c) \( (A - B) \cap C \)

(d) \( (A \cap B') \cap C \)

(e) \( (C - B) \cap A \)

Çözümü Göster

« Önceki
Bir Kümenin Tümleyeni
Sonraki »
De Morgan Kuralları


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır