İki Kümenin Farkı

\( \triangle \) sembolü simetrik fark işlemi için kullanılır.

İki kümenin simetrik farkı, kümelerin birleşim kümesinde olup kesişim kümesinde olmayan elemanlardan oluşur.

\( K \triangle L = \{13, 15, 16, 18, 21, 30\} \)

\( M \triangle N = \{13, 21, 23, 27, 30, 32\} \)

\( (K \triangle L) \triangle (M \triangle N) = \{15, 16, 18, 23, 27, 32\} \)

Buna göre verilen işlemin sonucu 6 elemanlıdır.

\( s(A \cup B) = n \) ise, \( 2^n - 1 = 511 \)

\( 2^n = 512 \)

\( n = 9 \)

İki kümenin birleşimini aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( s(A \cup B) = s(A - B) + s(B - A) + s(A \cap B) \)

\( 9 = 4 + 2 + s(A \cap B) \)

\( s(A \cap B) = 3 \) olur.

O halde, \( s(A) = s(A - B) + s(A \cap B) \)

\( s(A) = 4 + 3 = 7 \)

Taralı bölge \( A \) ve \( B \) kümelerinin kesişiminin \( C \)'den farkıdır.

\( (A \cap B) - C \)

\( A \) kümesi ve \( B - A \) ayrık kümelerdir ve birleşimleri iki kümenin birleşimini verir.

\( s(A) + s(B - A) = s(A \cup B) \)

\( s(A) + 5 = 8 \)

\( s(A) = 3 \)

\( A \), \( B \) ve evrensel kümeleri Venn şeması şeklinde çizelim ve her bölgenin eleman sayısına birer değişken atayalım.

\( s(A') = c + d = 7 \)

\( s(B') = a + d = 11 \)

İki eşitliği taraf tarafa çıkaralım.

\( (a + d) - (c + d) = 11 - 7 \)

\( a - c = 4 \)

\( s(A) = a + b \)

\( s(B) = b + c \)

İki eşitliği taraf tarafa çıkaralım.

\( s(A) - s(B) = (a + b) - (b + c) \)

\( a - c = 4 \) bulunur.

\( B' - A \) yalnızca evrensel kümede bulunan elemanları içerir.

Bu ifadenin tümleyeni \( A \cup B \) olur.

\( (B' - A)' = A \cup B \)

Sorudaki ifade düzenlendiğinde, \( (A \cup B) \cap (A \cup B) \) ifadesi elde edilir. Bir kümenin kendisiyle kesişimi kendisine eşittir.

\( (A \cup B) \cap (A \cup B) = A \cup B \)

\( s(B - A) = a \) dersek \( s(A - B) = 3a \) olur.

\( s(A \cap B) = b \) diyelim.

\( s(A) + 2 \cdot s(B) = 42 \) verildiğine göre,

\( a + b + 2(b + 3a) = 42 \)

\( 7a + 3b = 42 \)

Kümelerin boş olmadığı bilindiğine göre ve eleman sayılarının tam sayı olması gerektiği için \( a = 3 \) ve \( b = 7 \) olmalıdır.

\( s(A \cup B) = 4a + b = 19 \)

\( p = 1 \) için:

\( A_1 = \{ x : (-1)^1 \lt \dfrac{x}{1} \lt 4 \} = (-1, 4) \)

\( p = 2 \) için:

\( A_2 = \{ x : (-1)^2 \lt \dfrac{x}{2} \lt 4 \} = (2, 8) \)

Buna göre iki kümenin farkı aşağıdaki aralık olur.

\( A_1 - A_2 = (-1, 4) - (2, 8) = (-1, 2] \)

\( A \cup B \) kümesinin eleman sayısını en az yapmak için yalnızca evrensel kümede bulunan eleman sayısı 0 kabul edilir.

3, 4 ve 5 sayılarının en küçük ortak katı (EKOK) 60 olduğu için verilen denklemi \( 60a \)'ya eşitleyip her bölgenin eleman sayısını Venn şemasında yerlerine yazalım.

\( 3s(A - B) = 4s(A - B') = 5s(B - A) = 60a \)

\( s(A - B) = 20a \)

\( s(A - B') = s(A \cap B) = 15a \)

\( s(B - A) = 12a \)

Birleşim kümesinin en küçük eleman sayısı için \( a \) yerine 1 yazılır.

\( s(A \cup B) = 20 + 15 + 12 = 47 \)

\( A \) kümesinin \( B \) kümesinin tümleyeninden farkı iki kümenin kesişimidir.

\( A - B' = A \cap B \)

\( B \) kümesinin \( A \) ile kesişiminden farkı \( A \) kümesinden farkına eşittir.

\( B - (A \cap B) = B - A \)

Buna göre bu iki kümenin birleşimi \( B \) kümesine eşittir.

\( (A - B') \cup [B - (A \cap B)] = B \)

\( (A \cap B) \cup (B - A) = B \)

Bu iki küme ayrık kümeler olduğu için eleman sayıları toplamı \( B \) kümesinin eleman sayısına eşittir.

\( s(A - B') + s[B - (A \cap B)) = s(B) \)

\( (x - 1) + (2x + 3) = 11 \)

\( x = 3 \)

\( s(A \cap B) = x - 1 = 2 \)

I. öncül \( A \) kümesinin içinde zaten 3 elemanının bulunduğunu gösterir. Bu öncüle göre 3 sayısı kesinlikle \( A \) kümesinin elemanıdır.

II. öncüle göre, 3 elemanından oluşan kümenin \( A \) kümesinden farkı boş küme ise \( A \) kümesinin içinde 3 elemanı bulunur. Bu öncüle göre 3 sayısı kesinlikle \( A \) kümesinin elemanıdır.

III. öncüle göre, \( A \) kümesi ile 3 elemanında oluşan kümenin kesişimi tek elemanlı ise bu eleman 3'tür ve \( A \) kümesinin içinde 3 elemanının bulunduğunu gösterir. Bu öncüle göre 3 sayısı kesinlikle \( A \) kümesinin elemanıdır.

IV. öncüle göre, \( A \) kümesinin 3'den farklı bir elemanı yoktur, ancak \( A \) kümesi boş küme de olabilir. Bu öncüle göre 3 sayısı kesinlikle \( A \) kümesinin elemanı değildir.

\( s(A' \cap B') \) ifadesi \( A \) ve \( B \) kümelerinin elemanı olmayıp yalnızca evrensel kümenin elemanı olan elemanları belirtir.

\( s(A' \cup B') \) ifadesi \( A \cap B \) dışında kalan elemanları belirtir.

\( s(A' \cup B') = 4 + a + 3 = 12 \)

\( a = 5 \)

\( s(B - A) = a = 5 \) bulunur.

I., II., III. ve V. öncüller doğrudur.

\( M - L = \{c, d, e, h\} \) olduğu için IV. öncül yanlıştır.

Verilen eşitliği bir orantı sabitine eşitleyelim.

\( s(A - B) = 3 \cdot s(B - A) = 5 \cdot s(A \cap B) = 15k \) olsun.

\( s(A - B) = 15k \)

\( s(B - A) = 5k \)

\( s(A \cap B) = 3k \)

Verileri Venn şemasında gösterelim.

\( s(A \cup B) = 15k + 3k + 5k = 23k \)

\( A \) ve \( B \) kümeleri boş kümeden farklı oldukları için \( k \) en az 1 olabilir.

Buna göre \( s(A \cup B) \) en az \( 23k = 23 \) olabilir.

Verilen orantıyı bir orantı sabitine eşitleyelim.

\( \dfrac{s(K - L)}{3} = \dfrac{s(L - K)}{5} = \dfrac{s(K \cap L)}{2} = k \)

\( s(K - L) = 3k \)

\( s(L - K) = 5k \)

\( s(K \cap L) = 2k \)

Verileri Venn şemasında gösterelim.

\( s(K \cup L) = 3k + 2k + 5k = 10k = 90 \)

\( k = 9 \)

\( s(K) = 5k = 45 \) bulunur.

Doğru cevap (c) seçeneğidir.

Bir kümenin boş kümeden farkı kendisi, boş kümenin bir kümeden farkı boş kümedir. Ayrıca bir kümenin boş küme ile kesişimi boş kümedir.

\( (A - \emptyset) \cap (\emptyset - A) \)

\( = A \cap \emptyset = \emptyset \)

\( (A' \cap B')' \cup (B' - A)' \)

Fark işlemini kesişim işlemi şeklinde yazalım.

\( = (A' \cap B')' \cup (B' \cap A')' \)

İşlemin iki tarafındaki kümeler aynı ifadelerdir. Bir kümenin kendisiyle birleşimi yine kendisidir.

\( = (A' \cap B')' \)

De Morgan kuralını uygulayalım.

\( = A \cup B \) bulunur.

Önce \( A \), \( B \) ve \( C \) kümelerini bulalım.

\( A = \{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25\} \)

\( B = \{3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\} \)

\( C = \{0, 4, 8, 12, 16, 20, 24\} \)

Bu üç kümenin birleşim kümesini bulalım.

\( A \cup B \cup C = \{0, 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 23, 24, 25\} \)

\( U \) kümesinin birleşim kümesinden farkını bulalım.

\( U - (A \cup B \cup C) = \{2, 6, 10, 14, 18, 22\} \)

Bu kümenin elemanlarının toplamını bulalım.

\( 2 + 6 + 10 + 14 + 18 + 22 = 72 \) bulunur.

\( n \) elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı \( 2^n - 1 \) formülü ile bulunur.

\( 2^n - 1 = 63 \)

\( 2^n = 64 \)

\( n = s(A \cup B) = 6 \)

İki kümenin birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü yazalım.

\( \underbrace{s(A \cup B)}_{6} = \underbrace{s(A)}_{s(B) - 3} + s(B) - \underbrace{s(A \cap B)}_{1} \)

\( 6 = 2 \cdot s(B) - 4 \)

\( s(B) = 5 \)

\( s(A) = s(B) - 3 = 2 \)

Bir kümenin diğer kümeden farkının eleman sayısı o kümenin eleman sayısı ile kesişimlerinin eleman sayısının farkına eşittir.

\( s(B - A) = s(B) - s(A \cap B) \)

\( = 5 - 1 = 4 \) bulunur.

\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) formülü ile bulunur.

\( 2^n = 128 \)

\( n = s(A) = 7 \)

\( B \not\subset A \) olduğu için \( x \gt 0 \) olmalıdır.

\( x = 1 \) için \( s(B) = 3 \) olur.

Buna göre, \( B \) kümesinin alt küme sayısı en az \( 2^3 = 8 \) olabilir.

(a) seçeneği \( p \) bölgesini ifade eder.

(b) seçeneği \( q \) bölgesini ifade eder.

(c) seçeneği taralı bölgeyi ifade eder.

(d) seçeneği \( r \) bölgesini ifade eder.

(e) seçeneği \( s \) bölgesini ifade eder.

Buna göre doğru seçenek (c) olur.

(a) seçeneği \( p \) bölgesini ifade eder.

(b) seçeneği \( l \) bölgesini ifade eder.

(c) seçeneği \( t \) bölgesini ifade eder.

(d) seçeneği \( r \) ve \( k \) bölgelerinin birleşimini ifade eder.

(e) seçeneği \( q \) ve \( s \) bölgelerinin birleşimini ifade eder.

Buna göre taralı bölgeyi (e) seçeneği ifade eder.

Şekildeki taralı bölgenin ifadesi \( C \cap [(A \cup B) - (A \cap B)] \) olur. Buna göre bu bölgenin elemanları, 4 harfli VE (E harfi ile başlayan, ama K harfi ile bitmeyen VEYA K harfi ile biten, ama E harfi ile başlamayan) kelimelerden oluşmalıdır.

\( K \) kümesinin elemanlarından Ecem ve Elma kelimeleri bu koşulları sağlamaktadır.

Buna göre \( K \) kümesinin 2 elemanı verilen kümeye aittir.

(a) seçeneği \( l \) bölgesini ifade eder.

(b) seçeneği \( p \) ve \( r \) bölgelerinin birleşimini ifade eder.

(c) seçeneği taralı bölgeleri ifade eder.

(d) seçeneği \( p \) ve \( r \) bölgelerinin birleşimini ifade eder.

(e) seçeneği \( s \) ve \( k \) bölgelerinin birleşimini ifade eder.

Buna göre doğru cevap (c) seçeneğidir.

Verilen küme sınıftaki mavi gözlü kız öğrenciler içinde sarışın olmayanlar ile sınıftaki tüm öğrenciler içinde takdir almamış olanların birleşimini ifade eder.

(a), (b), (d) ve (e) seçenekleri taralı bölgeyi ifade eder.

\( (C - A) \cap B = \emptyset \) olduğu için (b) seçeneği taralı bölgeyi ifade etmez.