De Morgan Kuralları
Mantık konusunda gördüğümüz De Morgan kurallarının benzerleri kümeler için de geçerlidir.
| Mantık | Kümeler |
|---|---|
| \( (p \land q)' \equiv p' \lor q' \) | \( (A \cap B)' = A' \cup B' \) |
| \( (p \lor q)' \equiv p' \land q' \) | \( (A \cup B)' = A' \cap B' \) |
Bu kuralların geçerliliğini mantıkta doğruluk tabloları yardımıyla göstermiştik, burada birer Venn şeması yardımıyla gösterebiliriz.
Birinci De Morgan kuralına göre; iki kümenin kesişiminin tümleyeni, bu iki kümenin ayrı ayrı tümleyenlerinin birleşimine eşittir.
\( (A \cap B)' = A' \cup B' \)
\( E = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} \)
\( A = \{ 0, 1, 2, 3 \} \)
\( B = \{ 2, 3, 4, 5 \} \)
\( A' = \{ 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} \)
\( B' = \{ 0, 1, 6, 7, 8, 9 \} \)
\( A \cap B = \{ 2, 3 \} \)
\( (A \cap B)' = \{ 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} \)
\( A' \cup B' = \{ 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} \)
İkinci De Morgan kuralına göre; iki kümenin birleşiminin tümleyeni, bu iki kümenin ayrı ayrı tümleyenlerinin kesişimine eşittir.
\( (A \cup B)' = A' \cap B' \)
\( E = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} \)
\( A = \{ 0, 1, 2, 3 \} \)
\( B = \{ 2, 3, 4, 5 \} \)
\( A' = \{ 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} \)
\( B' = \{ 0, 1, 6, 7, 8, 9 \} \)
\( A \cup B = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 \} \)
\( (A \cup B)' = \{ 6, 7, 8, 9 \} \)
\( A' \cap B' = \{ 6, 7, 8, 9 \} \)
\( K \) ve \( L \) kümeleri, \( E \) evrensel kümesinin alt kümeleridir.
Buna göre, \( [(K' \cap L)' \cup L] \cap K' \) ifadesinin en sade hali nedir?
\( [(K' \cap L)' \cup L] \cap K' \)
En içteki paranteze De Morgan kuralını uygulayalım.
\( = [(K \cup L') \cup L] \cap K' \)
Kümelerde birleşim işleminin birleşme özelliği vardır.
\( = (K \cup L' \cup L) \cap K' \)
Bir kümenin tümleyeni ile birleşimi evrensel kümedir.
\( = (K \cup E) \cap K' \)
Bir kümenin evrensel küme ile birleşimi evrensel kümedir.
\( = E \cap K' \)
Bir kümenin evrensel küme ile kesişimi kendisidir.
\( = K' \) bulunur.
\( (A \cap B)' \cup B \) ifadesinin en sade hali nedir?
Verilen ifadeye De Morgan kuralını uygulayalım.
\( (A \cap B)' \cup B = A' \cup B' \cup B \)
Bir kümenin tümleyeni ile birleşimi evrensel kümedir.
\( = A' \cup E \)
Bir kümenin evrensel küme ile birleşimi evrensel kümedir.
\( = E \) bulunur.