Kümelerin Birleşimi
İki ya da daha fazla kümenin tüm elemanlarından oluşan kümeye bu kümelerin birleşim kümesi denir ve bu kümelerin arasına konan bir \( \cup \) sembolü ile gösterilir.
Birleşim kümesinin ortak özellik yöntemi ile tanımı aşağıdaki gibidir.
\( A \cup B = \{ x: x \in A \lor x \in B \} \)
İki kümenin birleşim kümesinin liste ve Venn şeması gösterimleri aşağıdaki gibidir.
\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \)
\( B = \{ 4, 5, 6, 7 \} \)
\( A \cup B = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \)
İki kümenin birleşiminin eleman sayısı, kümelerin eleman sayıları toplamından kesişimlerinin eleman sayısı çıkarılarak bulunur. Bunun sebebi, iki kümenin de kesişim kümesini ayrı ayrı içermesi, dolayısıyla kümelerin eleman sayılarını topladığımızda kesişim kümesinin iki kez sayılmasıdır.
\( s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) \)
\( A \cap B = \{ 4, 5 \} \)
\( s(A) = 5 \)
\( s(B) = 4 \)
\( s(A \cap B) = 2 \)
\( s(A \cup B) = 5 + 4 - 2 = 7 \)
Üç kümenin birleşim kümesinin liste ve Venn şeması gösterimleri aşağıdaki gibidir.
\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \)
\( B = \{ 4, 5, 6, 7 \} \)
\( C = \{ 1, 4, 7, 8, 9 \} \)
\( A \cup B \cup C = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} \)
Bu üç kümenin ikili birleşim kümeleri de aşağıdaki gibi olur.
\( A \cup B = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \)
\( A \cup C = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 \} \)
\( B \cup C = \{ 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} \)
Üç kümenin birleşiminin eleman sayısı aşağıdaki formülle bulunur.
\( s(A \cup B \cup C) = s(A) + s(B) \) \( + S(C) - s(A \cap B) \) \( - s(A \cap C) - s(B \cap C) \) \( + s(A \cap B \cap C) \)
\( n \) tane kümenin birleşim kümesinin eleman sayısı formülünün mantığı "Dahil Etme - Hariç Tutma Prensibi"ne dayanmaktadır. Bu prensibin detaylarını "Sayma" konusu altındaki "Dahil Etme - Hariç Tutma Prensibi" bölümünde inceleyeceğiz.
Birleşim İşlem Özellikleri
Birleşim işleminin değişme özelliği vardır.
Birleşim işleminin birleşme özelliği vardır.
\( A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C \)
\( A = \{ 1, 2, 3, 4 \} \)
\( B = \{ 1, 2, 5, 6 \} \)
\( C = \{ 1, 3, 5, 7 \} \)
\( A \cup (B \cup C) = A \cap \{ 1, 2, 3, 5, 6, 7 \} \) \( = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \)
\( (A \cup B) \cup C = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \cap C \) \( = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \)
İSPATI GÖSTER
Birleşim işleminin değişme ve birleşme özellikleri olduğu için, sadece birleşim işleminden oluşan bir ifadede kümeler arasındaki parantezler kaydırılabilir ya da kaldırılabilir ve kümelerin sırası değiştirilebilir.
\( (A \cup B) \cup (C \cup D) \)
\( = A \cup (B \cup C) \cup D \)
\( = A \cup B \cup C \cup D \)
\( = D \cup B \cup A \cup C \)
Birleşim işleminin kesişim üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.
\( A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \)
\( (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C) \)
\( A = \{ 1, 2, 3 \} \)
\( B = \{ 2, 4, 5 \} \)
\( C = \{ 3, 4, 6 \} \)
\( A \cup (B \cap C) = A \cup \{ 4 \} \) \( = \{ 1, 2, 3, 4 \} \)
\( (A \cup B) \cap (A \cup C) \) \( = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \cap \{ 1, 2, 3, 4, 6 \} \) \( = \{ 1, 2, 3, 4 \} \)
\( (A \cap B) \cup C = \{ 2 \} \cup C \) \( = \{ 2, 3, 4, 6 \} \)
\( (A \cup C) \cap (B \cup C) \) \( = \{ 1, 2, 3, 4, 6 \} \cap \{ 2, 3, 4, 5, 6 \} \) \( = \{ 2, 3, 4, 6 \} \)
İSPATI GÖSTER
Birleşim işleminin birim (etkisiz) elemanı boş kümedir.
\( A \cup \emptyset = A \)
Birleşim İşlem Kuralları
Bir kümenin boş küme ile birleşimi kendisine eşittir.
\( A \cup \emptyset = A \)
Bir kümenin kendisiyle birleşimi kendisine eşittir.
Bir kümenin evrensel kümeyle birleşimi evrensel kümedir.
\( A \cup E = E \)
\( A \) kümesi \( B \) kümesinin bir alt kümesiyse birleşimleri \( B \) kümesi olur.
\( A \subset B \) ise,
\( A \cup B = B \)
İki kümenin birleşimi, her iki kümeyi de kapsar.
İki kümenin birleşiminin eleman sayısı, her iki kümenin eleman sayılarının toplamından büyük olamaz.
\( s(A \cup B) \le s(A) + s(B) \)
\( s(A) = 14, s(B) = 8 \) ve \( s(A \cup B) = 19 \) ise, \( s(A \cap B) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( A \subset B \) olmak üzere,
\( (A \cap B) \cup (A \cap \emptyset) \) ifadesinin en sade şekli nedir?
Çözümü Göster\( A \) ve \( B \) kümeleri için,
\( s(A) = s(B) + 3 \), \( \quad s(A \cup B) = 21 \), \( \quad s(A \cap B) = 4 \) ise,
\( s(B) \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( A \cup B = \{a, b, c, d \} \)
\( A \cup C = \{b, d, e, f, k, l \} \)
\( A \cup (B \cap C) \) kümesi nedir?
Çözümü Göster\( A \) kümesinin 4, \( B \) kümesinin 5 elemanı \( A \cap B \) kümesinin elemanı değildir.
\( A \cup B \) kümesinin eleman sayısı \( A \cap B \) kümesinin eleman sayısının iki katı olduğuna göre, \( A \) kümesi kaç elemanlıdır?
Çözümü Göster
\( A = \{ x: x = 3k, k \lt 70, k \in \mathbb{Z^+} \} \)
\( B = \{ x: x = 5k, k \lt 48, k \in \mathbb{Z^+} \} \)
kümeleri için \( s(A \cup B) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( A = [-\dfrac{5}{2}, \sqrt{7}] \)
\( B = [\sqrt{2}, \dfrac{26}{3}] \)
aralıkları için \( (A \cup B) \cap \mathbb{Z} \) kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Çözümü Göster\( (A \cap B)' \cup B \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster\( A \) ve \( B \) ayrık olmayan iki kümedir.
\( C \cap (A \cup B) = A \cup B = \{ 1, 2, 3, 4 \} \)
\( A' = \{ 4, 5, 6, 7 \} \) olduğuna göre,
\( B - A \) kümesi nedir?
Çözümü Göster
\( s(A \cap B) = 10 \)
\( s(A \cup B) = 56 \)
\( s(A) = 5s(B) \) olduğuna göre,
\( s(A) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( A \) ve \( B \) birer kümedir.
\( s(A) = 8 \)
\( s(B) = 13 \)
\( s(A \cap B) \ne 0 \)
olduğuna göre, \( s(A \cup B) \) en fazla kaç olabilir?
Çözümü Göster
Bir grup öğrencinin \( \frac{4}{7} \)'si biyoloji dersi, \( \frac{3}{5} \)'i kimya dersi alıyor. Bu grupta her iki dersi de alan öğrenci sayısı en az kaç olabilir?
Çözümü Göster
Yukarıda verilen \( A, B \) ve \( C \) kümeleri için aşağıdakilerden hangileri yanlıştır?
I. \( A \cap B = \{b, d, g\} \)
II. \( A \cap C = \{c, k\} \)
III. \( B \cap C = \{d\} \)
IV. \( s(A) = 7 \)
V. \( s(C) = 2 \)
VI. \( (A \cup B) \cap C = \{c, d, k\} \)
Çözümü Göster
Yukarıdaki Venn şemasındaki \( A \), \( B \) ve \( C \) kümeleri için aşağıdakilerden hangileri yanlıştır?
I. \( A = \{2, 4, 5, 6, 8\} \)
II. \( B \cap C = \{10, 11\} \)
III. \( (A \cap B) \cup (B \cap C) = \{5, 6, 10, 11\} \)
IV. \( s(A) + s(B) = 10 \)
V. \( s(B \cup C) = 13 \)
Çözümü Göster\( A \) ve \( B \) iki kümedir.
\( 2 \cdot s(A) = 3 \cdot s(B) \)
\( s(A \cap B) = 5 \)
\( s(A \cup B) = 35 \)
olduğuna göre, \( s(B) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) ve \( B \) birer kümedir.
\( s(A \cap B) + s(A \cup B) = s(B) \)
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur.
(a) \( A \cup B = \emptyset \)
(b) \( A = \emptyset \)
(c) \( B = \emptyset \)
(d) \( A \subset B \)
(e) \( A \cap B = \emptyset \)
Çözümü Göster\( K \), \( L \) ve \( M \) kümeleri için aşağıdaki bilgiler verilmiştir.
\( K \cap M = K \cup M \)
\( K \subseteq L \subseteq M \)
Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
(a) \( K = \emptyset \)
(b) \( K = L = M \)
(c) \( s(K) \lt s(L) \lt s(M) \)
(d) \( s(M) \gt 0 \)
(e) \( M \ne K \)
Çözümü Göster