Kümelerin Birleşimi
İki ya da daha fazla kümenin tüm elemanlarından oluşan kümeye bu kümelerin birleşim kümesi denir ve bu kümelerin arasına konan bir \( \cup \) sembolü ile gösterilir.
Birleşim kümesinin ortak özellik yöntemi ile tanımı aşağıdaki gibidir.
\( A \cup B = \{ x: x \in A \lor x \in B \} \)
İki kümenin birleşim kümesinin liste ve Venn şeması gösterimleri aşağıdaki gibidir.
\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \)
\( B = \{ 4, 5, 6, 7 \} \)
\( A \cup B = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \)
İki kümenin birleşiminin eleman sayısı, kümelerin eleman sayıları toplamından kesişimlerinin eleman sayısı çıkarılarak bulunur. Bunun sebebi, iki kümenin de kesişim kümesini ayrı ayrı içermesi, dolayısıyla kümelerin eleman sayılarını topladığımızda kesişim kümesinin iki kez sayılmasıdır.
\( s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) \)
\( A \cap B = \{ 4, 5 \} \)
\( s(A) = 5 \)
\( s(B) = 4 \)
\( s(A \cap B) = 2 \)
\( s(A \cup B) = 5 + 4 - 2 = 7 \)
Üç kümenin birleşim kümesinin liste ve Venn şeması gösterimleri aşağıdaki gibidir.
\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \)
\( B = \{ 4, 5, 6, 7 \} \)
\( C = \{ 1, 4, 7, 8, 9 \} \)
\( A \cup B \cup C = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} \)
Bu üç kümenin ikili birleşim kümeleri de aşağıdaki gibi olur.
\( A \cup B = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \)
\( A \cup C = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 \} \)
\( B \cup C = \{ 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} \)
Üç kümenin birleşiminin eleman sayısı aşağıdaki formülle bulunur.
\( s(A \cup B \cup C) = s(A) + s(B) \) \( + S(C) - s(A \cap B) \) \( - s(A \cap C) - s(B \cap C) \) \( + s(A \cap B \cap C) \)
\( n \) tane kümenin birleşim kümesinin eleman sayısı formülünün mantığı "Dahil Etme - Hariç Bırakma Prensibi"'ne dayanmaktadır. Bu prensibin detaylarını "Sayma" konusu altındaki "Dahil Etme - Hariç Tutma Prensibi" bölümünde inceleyeceğiz.
Birleşim İşlem Özellikleri
Birleşim işleminin değişme özelliği vardır.
\( A \cup B = B \cup A \)
Birleşim işleminin birleşme özelliği vardır.
\( A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C \)
\( A = \{ 1, 2, 3, 4 \} \)
\( B = \{ 1, 2, 5, 6 \} \)
\( C = \{ 1, 3, 5, 7 \} \)
\( A \cup (B \cup C) = A \cap \{ 1, 2, 3, 5, 6, 7 \} \) \( = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \)
\( (A \cup B) \cup C = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \cap C \) \( = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \)
Birleşim işleminin kesişim üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.
\( A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \)
\( (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C) \)
\( A = \{ 1, 2, 3 \} \)
\( B = \{ 2, 4, 5 \} \)
\( C = \{ 3, 4, 6 \} \)
\( A \cup (B \cap C) = A \cup \{ 4 \} \) \( = \{ 1, 2, 3, 4 \} \)
\( (A \cup B) \cap (A \cup C) \) \( = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \cap \{ 1, 2, 3, 4, 6 \} \) \( = \{ 1, 2, 3, 4 \} \)
\( (A \cap B) \cup C = \{ 2 \} \cup C \) \( = \{ 2, 3, 4, 6 \} \)
\( (A \cup C) \cap (B \cup C) \) \( = \{ 1, 2, 3, 4, 6 \} \cap \{ 2, 3, 4, 5, 6 \} \) \( = \{ 2, 3, 4, 6 \} \)
Birleşim işleminin birim (etkisiz) elemanı boş kümedir.
\( A \cup \emptyset = A \)
Birleşim İşlem Kuralları
Tüm kümelerin boş küme ile birleşimi kendisidir.
\( A \cup \emptyset = A \)
Tüm kümelerin kendisiyle birleşimi kendisidir.
\( A \cup A = A \)
Tüm kümelerin evrensel kümeyle birleşimi evrensel kümedir.
\( A \cup E = E \)
\( A \) kümesi \( B \) kümesinin bir alt kümesiyse birleşimleri \( B \) kümesi olur.
\( A \subset B \) olmak üzere,
\( A \cup B = B \)
\( A \) ve \( B \) kümelerinin birleşimi her iki kümeyi de ayrı ayrı kapsar.
\( A \subseteq (A \cup B) \)
\( B \subseteq (A \cup B) \)
İki kümenin birleşiminin eleman sayısı, her iki kümenin eleman sayılarının toplamından büyük olamaz.
\( s(A \cup B) \le s(A) + s(B) \)
\( s(A) = 14, s(B) = 8 \) ve \( s(A \cup B) = 19 \) ise, \( s(A \cap B) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( A \subset B \) olmak üzere,
\( (A \cap B) \cup (A \cap \emptyset) \) ifadesinin en sade şekli nedir?
Çözümü Göster
\( A \) ve \( B \) kümeleri için,
\( s(A) = s(B) + 3 \), \( \quad s(A \cup B) = 21 \), \( \quad s(A \cap B) = 4 \) ise,
\( s(B) \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( A \cup B = \{a, b, c, d \} \)
\( A \cup C = \{b, d, e, f, k, l \} \)
\( A \cup (B \cap C) \) kümesi nedir?
Çözümü Göster
\( A \) kümesinin 4, \( B \) kümesinin 5 elemanı \( A \cap B \) kümesinin elemanı değildir.
\( A \cup B \) kümesinin eleman sayısı \( A \cap B \) kümesinin eleman sayısının iki katı olduğuna göre, \( A \) kümesi kaç elemanlıdır?
Çözümü Göster
\( A = [-\dfrac{5}{2}, \sqrt{7}] \)
\( B = [\sqrt{2}, \dfrac{26}{3}] \)
aralıkları için \( (A \cup B) \cap \mathbb{Z} \) kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
\( (A \cap B)' \cup B \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster
\( A \) ve \( B \) ayrık olmayan iki kümedir.
\( C \cap (A \cup B) = A \cup B = \{ 1, 2, 3, 4 \} \)
\( A' = \{ 4, 5, 6, 7 \} \) olduğuna göre,
\( B - A \) kümesi nedir?
Çözümü Göster
\( s(A \cap B) = 10 \)
\( s(A \cup B) = 56 \)
\( s(A) = 5s(B) \) olduğuna göre,
\( s(A) \) kaçtır?
Çözümü Göster
