Bir kümeye dahil olmayıp evrensel kümeye dahil olan elemanlardan oluşan kümeye o kümenin tümleyeni denir ve \( A' \) ile gösterilir.
Bir kümenin tümleyeninin ortak özellik yöntemi ile tanımı aşağıdaki gibidir.
Aşağıdaki gibi tanımlanmış bir kümenin tümleyeni olan kümenin liste ve Venn şeması ile gösterimi aşağıdadır.
\( E = \{ \) Pzts, Salı, Çarş, Perş, Cuma, Cmts, Pazar \( \} \)
\( A = \{ \) Pzts, Salı, Çarş, Perş, Cuma \( \} \)
\( A' = \{ \) Cmts, Pazar \( \} \)
Bir kümenin tümleyeninin tümleyeni kendisidir.
Evrensel kümenin tümleyeni boş kümedir. Boş kümenin tümleyeni evrensel kümedir.
Bir kümenin tümleyeni ile kesişimi boş kümedir. Bir kümenin tümleyeni ile birleşimi evrensel kümedir.
Bir küme diğer bir kümenin alt kümesiyse bu iki kümenin tümleyenleri arasındaki alt küme ilişkisi tersine döner.
SORU 1:
Yukarıda bahsettiğimiz \( A \subseteq B \iff B' \subseteq A' \) kuralının doğruluğunu bir örnekle gösterin.
Çözümü Göster
Rakamlar evrensel kümesini kullanarak aşağıdaki gibi iki küme tanımlayalım.
\( E = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 \} \)
\( A = \{ 1, 2, 3, 4 \} \)
\( B = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \)
\( A \subseteq B \)
İki kümenin tümleyenlerini bulalım.
\( A' = \{ 5, 6, 7, 8, 9, 0 \} \)
\( B' = \{ 8, 9, 0 \} \)
\( B \) kümesinin tümleyeninin \( A \) kümesinin tümleyeninin bir alt kümesi olduğunu görebiliriz.
\( B' \subseteq A' \)
\( A \subseteq B \Longrightarrow B' \subseteq A' \)
Bir kümenin tümleyeninin tümleyeni kendisine eşit olduğu için, bu ifadeyi çift yönlü koşullu önerme olarak da yazabiliriz.
\( A \subseteq B \Longrightarrow B' \subseteq A' \)
Soldaki önermede \( A \) kümesi yerine \( B' \) kümesi, \( B \) kümesi yerine \( A' \) kümesi yazarak, sağdaki önermeyi buna göre düzenleyelim.
\( B' \subseteq A' \Longrightarrow (A')' \subseteq (B')' \)
\( B' \subseteq A' \Longrightarrow A \subseteq B \)
Buna göre, yukarıdaki koşullu önermenin karşıtını da gerektirdiğini görmüş olduk, buna göre ifadeyi bir çift yönlü koşullu önerme şeklinde yazabiliriz.
\( A \subseteq B \iff B' \subseteq A' \)
SORU 2:
18 elemanlı \( E \) evrensel kümesinin bir alt kümesi \( A \) olmak üzere,
\( s(A') = 3 \cdot s(A) - 2 \) ise, \( s(A) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( s(A) + s(A') = s(E) \) olduğundan,
\( s(A) + s(A') = 18 \)
\( s(A) + 3 \cdot s(A) - 2 = 18 \)
\( 4 \cdot s(A) = 20 \)
\( s(A) = 5 \) bulunur.
SORU 3:
\( A \) ve \( B \) iki kümedir.
\( A \subset B \) ve
\( s(A') = 12, \) \( \quad s(B') = 10, \) \( \quad s(A \cup B) = 9 \)
olduğuna göre, \( s(A) + s(B) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( A \) ve \( B \) kümelerini Venn şeması olarak gösterelim ve her farklı bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.
\( s(A') = y + z = 12 \)
\( s(B') = z = 10 \)
\( s(A \cup B) = x + y = 12 \)
\( y = 2 \)
\( x + y = 9 \)
\( x = 7 \)
\( s(A) + s(B) = x + (x + y) \)
\( = 2x + y \)
\( = 2 \cdot 7 + 2 \)
\( = 16 \) bulunur.
SORU 4:
\( A \), \( B \) ve \( C \) kümeleri \( E \) evrensel kümesinin alt kümeleridir.
\( s(A) + s(C') = 13 \)
\( s(B) + s(A') = 15 \)
\( s(C) + s(B') = 17 \) olduğuna göre,
\( s(E) \) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen 3 denklemi alt alta toplayalım.
\( s(A) + s(A') + s(B) + s(B') + s(C) + s(C') = 45 \)
Bir kümenin ve tümleyeninin eleman sayıları toplamı evrensel kümenin eleman sayısını verir.
\( 3s(E) = 45 \)
\( s(E) = 15 \)
SORU 5:
\( A \), \( B \) ve \( C \) kümeleri \( E \) evrensel kümesinde tanımlı birer kümedir.
\( s(A') + s(B) + s(C') = 18 \)
\( s(A) + s(B') + s(C) = 42 \)
olduğuna göre, \( s(E) \) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen iki eşitliği taraf tarafa toplayalım.
\( \underbrace{s(A) + s(A')}_{s(E)} + \underbrace{s(B) + s(B')}_{s(E)} + \underbrace{s(C) + s(C')}_{s(E)} = 60 \)
\( 3 \cdot s(E) = 60 \)
\( s(E) = 20 \) olarak bulunur.
SORU 6:
Yukarıdaki şemaya göre, \( B' \cap A \) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
(a) \( \{c, e\} \)
(b) \( \{a, b, c, e, h\} \)
(c) \( \{a, b, h\} \)
(d) \( \{a, b\} \)
(e) \( \{h\} \)
Çözümü Göster
(a) seçeneği \( A \cap B \) kümesidir.
(b) seçeneği \( B' \cup (A \cap B) \) kümesidir.
(c) seçeneği \( B' \) kümesidir.
(d) seçeneği \( B' \cap A \) kümesidir.
(e) seçeneği \( (A \cup B)' \) kümesidir.
Buna göre doğru seçenek (d) seçeneğidir.
SORU 7:
\( A \) ve \( B \) aynı evrensel kümede tanımlı iki kümedir.
\( s(A') = 10 \)
\( s(B') = 15 \)
olduğuna göre , \( s(A) - s(B) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( s(A') = z + t = 10 \)
\( s(B') = x + t = 15 \)
2. denklemin taraflarından 1. denklemi çıkaralım.
\( (x + t) - (z + t) = 15 - 10 \)
\( x - z = 5 \)
\( s(A) = x + y \)
\( s(B) = y + z \)
\( s(A) - s(B) = (x + y) - (y + z) \)
\( = x - z = 5 \) bulunur.
