Evrensel kümenin tümleyeni boş kümedir. Boş kümenin tümleyeni evrensel kümedir.
\( E' = \emptyset \)
\( \emptyset' = E \)
Bir kümenin tümleyeni ile kesişimi boş kümedir. Bir kümenin tümleyeni ile birleşimi evrensel kümedir.
\( A \cap A' = \emptyset \)
\( A \cup A' = E \)
\( s(A) + s(A') = s(E) \)
Bir küme diğer bir kümenin alt kümesiyse bu iki kümenin tümleyenleri arasındaki alt küme ilişkisi tersine döner.
\( A \subseteq B \iff B' \subseteq A' \)
SORU:
Yukarıda bahsettiğimiz \( A \subseteq B \iff B' \subseteq A' \) kuralının doğruluğunu bir örnekle gösterelim.
Çözümü Göster
Rakamlar evrensel kümesini kullanarak aşağıdaki gibi iki küme tanımlayalım.
\( E = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 \} \)
\( A = \{ 1, 2, 3, 4 \} \)
\( B = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \)
\( A \subseteq B \)
İki kümenin tümleyenlerini bulalım.
\( A' = \{ 5, 6, 7, 8, 9, 0 \} \)
\( B' = \{ 8, 9, 0 \} \)
\( B \) kümesinin tümleyeninin \( A \) kümesinin tümleyeninin bir alt kümesi olduğunu görebiliriz.
\( B' \subseteq A' \)
\( A \subseteq B \Longrightarrow B' \subseteq A' \)
Bir kümenin tümleyeninin tümleyeni kendisine eşit olduğu için, bu ifadeyi çift yönlü koşullu önerme olarak da yazabiliriz.
\( A \subseteq B \Longrightarrow B' \subseteq A' \)
Soldaki önermede \( A \) kümesi yerine \( B' \) kümesi, \( B \) kümesi yerine \( A' \) kümesi yazarak, sağdaki önermeyi buna göre düzenleyelim.
\( B' \subseteq A' \Longrightarrow (A')' \subseteq (B')' \)
\( B' \subseteq A' \Longrightarrow A \subseteq B \)
Buna göre, yukarıdaki koşullu önermenin karşıtını da gerektirdiğini görmüş olduk, buna göre ifadeyi bir çift yönlü koşullu önerme şeklinde yazabiliriz.
\( A \subseteq B \iff B' \subseteq A' \)
SORU:
18 elemanlı \( E \) evrensel kümesinin bir alt kümesi \( A \) olmak üzere,
