Bir Kümenin Tümleyeni
Bir kümeye dahil olmayıp evrensel kümeye dahil olan elemanlardan oluşan kümeye o kümenin tümleyeni denir ve \( A' \) ile gösterilir.
\( A' = \{ x \mid x \notin A \land x \in E \} \)
\( E = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \)
\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \)
\( A' = \{ 6, 7 \} \)
Tümleyen İşlem Kuralları
Bir kümenin tümleyeninin tümleyeni kendisidir.
\( (A')' = A \)
Evrensel kümenin tümleyeni boş kümedir. Boş kümenin tümleyeni evrensel kümedir.
\( E' = \emptyset \)
\( \emptyset' = E \)
Bir kümenin tümleyeni ile kesişimi boş kümedir. Bir kümenin tümleyeni ile birleşimi evrensel kümedir.
\( A \cap A' = \emptyset \)
\( A \cup A' = E \)
\( s(A) + s(A') = s(E) \)
Bir küme diğer bir kümenin alt kümesiyse bu iki kümenin tümleyenleri arasındaki alt küme ilişkisi tersine döner.
\( A \subseteq B \iff B' \subseteq A' \)
\( A \subset B \iff B' \subset A' \)
\( E = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 \} \)
\( A = \{ 1, 2, 3, 4 \} \)
\( B = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \)
\( A \subseteq B \)
İki kümenin tümleyenlerini bulalım.
\( A' = \{ 5, 6, 7, 8, 9, 0 \} \)
\( B' = \{ 8, 9, 0 \} \)
\( B' \subseteq A' \)
\( A \) ve \( B \), \( E \) evrensel kümesinin birer alt kümesidir.
\( s(B') + s(A) = 23 \)
\( s(A') + s(B) = 49 \)
olduğuna göre, \( s(E) \) kaçtır?
Çözümü GösterSoruda verilen iki eşitliği taraf tarafa toplayalım.
\( s(B') + s(A) + s(A') + s(B) = 23 + 49 \)
\( (s(A) + s(A')) + (s(B) + s(B')) = 72 \)
Bir küme ile tümleyeni ayrık kümelerdir ve eleman sayılarının toplamı evrensel kümenin eleman sayısına eşittir.
\( s(E) + s(E) = 72 \)
\( s(E) = 36 \) bulunur.
\( A \) kümesi 18 elemanlı \( E \) evrensel kümesinin bir alt kümesidir.
\( s(A') = 3s(A) - 2 \) olduğuna göre, \( s(A) \) kaçtır?
Çözümü GösterBir kümenin tümleyeni ile birleşimi evrensel kümedir.
\( s(A) + s(A') = s(E) \)
\( s(A) + 3s(A) - 2 = 18 \)
\( s(A) = 5 \) bulunur.
\( A \), \( B \) ve \( C \) kümeleri \( E \) evrensel kümesinin alt kümeleridir.
\( s(A) + s(C') = 13 \)
\( s(B) + s(A') = 15 \)
\( s(C) + s(B') = 17 \)
olduğuna göre, \( s(E) \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen 3 eşitliği taraf tarafa toplayalım.
\( s(A) + s(A') + s(B) + s(B') + s(C) + s(C') = 45 \)
Bir kümenin ve tümleyeninin eleman sayıları toplamı evrensel kümenin eleman sayısına eşittir.
\( s(E) + s(E) + s(E) = 45 \)
\( s(E) = 15 \) bulunur.
\( A \subset B \) olmak üzere,
\( s(A') = 12, \quad s(B') = 10, \quad s(A \cup B) = 9 \)
olduğuna göre, \( s(A) + s(B) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) ve \( B \) kümelerini bir Venn şemasında gösterelim ve farklı bölgelerin eleman sayılarını birer değişken olarak işaretleyelim.
\( s(A') = y + z = 12 \)
\( s(B') = z = 10 \)
\( y = 2 \)
\( s(A \cup B) = x + y = 9 \)
\( x = 7 \)
\( s(A) + s(B) \) toplamını bulalım.
\( s(A) + s(B) = x + (x + y) \)
\( = 2x + y \)
\( = 2 \cdot 7 + 2 \)
\( = 16 \) bulunur.
\( A \) ve \( B \) aynı evrensel kümede tanımlı iki kümedir.
\( s(A') = 10 \)
\( s(B') = 15 \)
olduğuna göre , \( s(A) - s(B) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( s(A') = z + t = 10 \)
\( s(B') = x + t = 15 \)
İkinci denklemin taraflarından birinci denklemi çıkaralım.
\( (x + t) - (z + t) = 15 - 10 \)
\( x - z = 5 \)
\( s(A) = x + y \)
\( s(B) = y + z \)
\( s(A) - s(B) = (x + y) - (y + z) \)
\( = x - z = 5 \) bulunur.
Yukarıdaki şekle göre, aşağıdaki elemanlardan oluşan kümeleri \( A \) ve \( B \) kümeleri cinsinden ifade ediniz.
(a) \( \{ h \} \)
(b) \( \{ a, b, h \} \)
(c) \( \{ a, b \} \)
(d) \( \{ a, b, c, e, h \} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( (A \cup B)' = \{ h \} \)
(b) seçeneği:
\( B' = \{ a, b, h \} \)
(c) seçeneği:
\( B' \cap A = \{ a, b \} \)
(d) seçeneği:
\( B' \cup (A \cap B) = \{ a, b, c, e, h \} \)