Kümeleri tanımlarken bir elemanın bir küme içinde sadece bir kez yer alabileceğini belirtmiştik. Buna göre aşağıdaki kümeler birbirine eşittir ve her biri üç elemanlıdır.
\( A = \{ 1, 2, 3 \} \)
\( B = \{ 1, 1, 2, 2, 3, 3 \} \)
\( C = \{ 1, 1, 1, 2, 2, 3 \} \)
\( A = B = C \)
Çoklu küme olarak isimlendirilen ve şu ana kadar gördüğümüz kümelerin bir uzantısı olan küme tiplerinde ise bir eleman birden fazla kez yer alabilir. Örneğin aşağıdaki kümeler eşit birer küme, ama farklı birer çoklu kümedir.
\( A = \{ 1, 2, 3 \} \)
\( B = \{ 1, 1, 2, 3, 3 \} \)
\( C = \{ 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3 \} \)
Kümelerde olduğu gibi çoklu kümelerde de elemanların sıralaması önemli değildir ve sıralamanın değiştirilmesi küme tanımını değiştirmez. Buna göre aşağıdaki çoklu kümeler birbirine eşittir.
\( A = \{ 1, 1, 2, 3, 3 \} \)
\( B = \{ 1, 2, 3, 1, 3 \} \)
\( C = \{ 3, 3, 2, 1, 1 \} \)
\( A = B = C \)
Konu anlatımları ve sorularda karşımıza çıkacak kümelerin birer çoklu küme değil, standart küme olduğu varsayılmalıdır. Çoklu kümeler kullanım alanları ve teorik altyapıları açısından normal kümelerle karşılaştırabileceğimiz bir kavram değildir. Burada çoklu kümelere yer vermemizin tek sebebi, aşağıda bahsedeceğimiz birkaç konuda çoklu küme kavramının konuyu anlama açısından kolaylık sağlamasıdır.
İki çoklu kümenin eşit olması için kümelerin elemanlarının ve her elemanın kümelerde bulunma sayılarının birbirine eşit olması gerekir.
İki çoklu kümenin birleşim kümesinde iki kümenin elemanları bu kümelerde bulunma sayılarının en büyüğü kadar sayıda (toplamı kadar değil) bulunurlar.
\( A = \{ 1, 1, 2, 2, 3, 3 \} \)
\( B = \{ 1, 2, 2, 2 \} \)
\( A \cup B = \{ 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3 \} \)
İki çoklu kümenin kesişim kümesinde iki kümenin elemanları bu kümelerde bulunma sayılarının en küçüğü kadar sayıda bulunurlar.
\( A = \{ 1, 1, 2, 2, 3, 3 \} \)
\( B = \{ 1, 2, 2, 2 \} \)
\( A \cap B = \{ 1, 2, 2 \} \)
Çoklu kümeleri kullanabileceğimiz konulardan biri tam sayıların asal çarpanlarıdır. Örnek olarak, asal çarpanlarına aşağıdaki gibi ayrılan \( 360 \) sayısının bu asal çarpanlarını bir çoklu küme olarak aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \)
\( A_{360} = \{ 2, 2, 2, 3, 3, 5 \} \)
Çoklu kümeleri kullanabileceğimiz bir diğer konu ise tekrarlı permütasyondur. Örnek olarak DERSPRESSO kelimesinin harflerini kullanarak anlamlı ya da anlamsız kaç kelime yazabileceğimizi bulmak istersek permütasyon tanımı gereği öncelikle bu kelimenin harflerini bir küme olarak ifade edebilmemiz gerekir. Normal küme tanımına göre her harf kümede bir kez yer alabileceği için kelimenin tüm harflerini bir çoklu küme olarak ifade edebiliriz.
\( A = \{ D, E, R, S, P, R, E, S, S, O \} \)