Kartezyen Çarpımının Grafik Gösterimi

Önceki bölümde kartezyen çarpımının sıralı ikililerden oluşan bir kümeye karşılık geldiğini ve analitik geometride gördüğümüz kartezyen düzleminde her noktayı ifade etmek için kullandığımız \( (x, y) \) koordinat gösteriminin de aslında bir sıralı ikili olduğunu belirtmiştik.

Kartezyen çarpımını aldığımız iki kümeden birincisinin elemanlarını bir noktanın \( x \) koordinatı, ikincisinin elemanlarını \( y \) koordinatı olarak kabul edersek, bu iki kümenin kartezyen çarpımı sonucu elde edeceğimiz sıralı ikilileri kartezyen düzleminde birer nokta olarak işaretleyerek kartezyen çarpımının grafiksel gösterimini elde edebiliriz.

Aşağıda iki kümenin kartezyen çarpımları, liste ve kartezyen düzleminde bir grafik olarak gösterilmiştir.

Aralıkların Kartezyen Çarpımı

Kümeler liste şeklinde yazabileceğimiz sınırlı sayıda elemandan oluştukları gibi, belirli bir aralıktaki sınırsız sayıda elemandan da oluşabilir. Örneğin reel sayılar kümesinde birer aralık olarak tanımlanmış iki kümenin de kartezyen çarpımını alabiliriz ve bu çarpımı bir grafik olarak gösterebiliriz.

Bu örnekte \( A \) kümesi \( [-1, 3) \) yarı açık aralığını, \( B \) kümesi de \( (1, 4] \) yarı açık aralığını içermektedir. Bu iki kümenin kartezyen çarpımının grafiği aşağıda verilmiştir.

Bu grafiğin bir önceki örnekteki grafikten en önemli farkı, grafiğin sadece tam sayılara karşılık gelen noktaları değil, bu noktalar arasındaki tüm reel sayılara karşılık gelen sonsuz sayıdaki noktayı da içeriyor olmasıdır. Ayrıca, \( A \) ve \( B \) kümelerinin temsil ettikleri aralıklardaki açık sınır noktaları bu grafikte kesikli doğrularla, kapalı sınır noktaları da sürekli doğrularla gösterilmiştir, dolayısıyla kesikli doğruların üzerindeki noktalar bu grafiğe dahil değildir, sürekli doğrular üzerindeki noktalar ise dahildir.

SORU 1:

Yukarıda \( A \times B \) kümesinin elemanları gösterilmiştir. Buna göre \( A - B \) kümesinin kaç alt kümesi vardır?

Çözümü Göster

\( A \) eksenindeki değerler \( A \) kümesinin elemanlarıdır.

\( A = \{ -1, 0, 1, 2, 3, 4 \}\)

\( B \) eksenindeki değerler \( B \) kümesinin elemanlarıdır.

\( B = \{ -1, 0, 1, 2 \}\)

\( A - B = \{ 3, 4 \} \)

\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) olur.

Buna göre \( A - B \) kümesinin alt küme sayısı \( 2^2 = 4 \) olur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

---

SORU 2:

\( A = \{ x: -2 \lt x \le 1, x \in \mathbb{R} \} \)

\( B = \{ x: -1 \le x \lt 3, x \in \mathbb{Z} \} \)

olduğuna göre, \( A \times B \) kartezyen çarpım kümesinin grafiği nedir?

Çözümü Göster

\( A \) kümesi reel sayılarda tanımlı olduğu için aralıktaki tüm sayıları kapsar ve bir doğru parçasına karşılık gelir.

Bu doğru parçasına -2 dahil değil, 1 dahildir.

\( B \) kümesi tam sayılarda tanımlı olduğu için sadece aralıktaki tam sayıları kapsar ve belirli noktalara karşılık gelir.

Bu noktalara -1 dahil, 3 dahil değildir.

Bu iki kümenin kartezyen çarpımlarının grafiği aşağıdaki şekildeki gibi olur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

---

SORU 3:

Yukarıda \( A \times B \) kartezyen çarpımının koordinat düzleminde grafiği verilmiştir.

Buna göre, aynı düzleme \( B \times A \) kartezyen çarpımının grafiği çizilirse kaç nokta iki kez işaretlenmiş olur?

Çözümü Göster

Verilen grafiğe göre iki küme aşağıdaki gibi olur.

\( A = \{ 0, 1, 2 \} \)

\( B = \{ -1, 0, 2, 3 \} \)

\( B \times A \) kartezyen çarpımında da bulunacak elemanlar iki kümenin ortak elemanları arasındaki kartezyen çarpımına eşittir.

\( A \cap B = \{ 0, 2 \} \)

Buna göre aşağıdaki 4 nokta iki grafikte de ortaktır ve iki kez işaretlenir.

\( (A \cap B) \times (A \cap B) = \{ (0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2) \} \)

Soru sorun   Soruda hata bildirin

---

SORU 4:

\( A \), \( B \) ve \( K \) kümeleri,

\( A = \{ x: 2 \le x \le 3, x \in \mathbb{R} \} \)

\( B = \{ x: 1 \le x \le 5, x \in \mathbb{R} \} \)

\( K = B - A \)

şeklinde tanımlanıyor.

Buna göre, \( K \times K \) kartezyen çarpım kümesinin grafiği nedir?

Çözümü Göster

\( K = B - A \) olduğu için iki kümenin farkı \( [1, 2) \) ve \( (3, 5] \) yarı açık aralıklarının birleşimi olur.

\( K = [1, 2) \cup (3, 5] \)

O halde \( K \times K \) kartezyen çarpımının grafiği aşağıdaki gibi olur.

Eksenler üzerinde işaretli yeşil aralık ve noktalar grafiğin parçası olmayıp kartezyen çarpım grafiğinin nasıl oluştuğunu göstermek için bilgi amaçlı verilmiştir.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

---

SORU 5:

Şekilde \( A \times B \) kartezyen çarpımının grafiği verilmiştir.

Buna göre, \( B \cap A' \) kümesi nedir?

Çözümü Göster

Verilen kartezyen çarpım grafiğine göre iki küme aşağıdaki aralıklardan oluşur.

\( A = [1, 4), \quad B = [-1, 3) \)

İki kümeyi sayı doğrusu üzerinde gösterelim.

\( B \cap A' = [-1, 3) \cap [(-\infty, 1) \cup [4, +\infty)] \)

\( B \cap A' = [-1, 1) \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin